POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO

Transkrypt

1 POLE MAGNETYZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYZNEGO Wykład lato Definicja wektora indukcji pola magnetycznego F = q( v B) Jednostką indukcji pola B jest 1T (tesla) 1T=1N/Am Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu ładunku elektrycznego. Wykład lato 011 1

2 Siła Lorentza Siła działająca na ładunek w obszarze, w którym występują jednocześnie pole elektryczne i magnetyczne F = q( v B + E) B E jeżeli v B = E Ruch w skrzyżowanych polach, tj. gdy to F = 0 E v = B tor cząstki i jej prędkość nie ulegną zmianie Wykład lato Doświadczenie Thomsona 1897 r. J.J. Thomson, ambridge, wyznaczył q/m a elektronu, odkrycie elektronu q = 17, m kg Wykład lato 011 4

3 Zadanie.1 Wiązka elektronów przechodzi bez odchylenia przez lampę oscyloskopową kiedy natężenie pola elektrycznego wynosi 3000 V/m, a indukcja skrzyżowanego z nim pola magnetycznego wynosi 1,4 Gs; 1Gs (gauss) = 10-4 T. Długość płytek odchylających wynosi 4 cm, a oegłość od końca płytek do ekranu wynosi 30 cm. Znajdź odchylenie wiązki na ekranie przy wyłączonym polu magnetycznym Wykład lato Zadanie. Na podstawie podręcznika HRW, t.3 lub innych źródeł opracować dwa tematy: cyklotron i synchrotron zjawisko Halla Podać przykłady praktycznego wykorzystania Wykład lato

4 Definicja natężenia prądu i = dq dt Natężenie prądu jest skalarem Jednostką natężenia prądu jest 1A=1/s (ale to nie jest definicja tej jednostki!) Umownie przyjmuje się, że prąd płynie tak jakby był to ruch ładunków dodatnich. W rzeczywistości prąd w metalu stanowią elektrony przewodnictwa Wykład lato Siła elektrodynamiczna Siła działająca na przewodnik, przez który płynie prąd F = i( l B) l Wykład lato

5 Zastosowania siły elektrodynamicznej Silnik elektryczny ramka z prądem w polu magnetycznym Analogowe mierniki woltomierz, amperomierz, galwanometr Na ramkę z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym działa moment siły τ µ B µ = moment magnetyczny Przypomnienie: a dipola elektrycznego τ = p E Wykład lato Moment magnetyczny Pod wpływem momentu siły ramka ustawia się prostopae do kierunku wektora indukcji pola magnetycznego, tak aby µ B Moment magnetyczny definiowany jest a każdego zamkniętego obwodu, przez który płynie prąd I: µ = NIAnˆ liczba zwojów pole wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni A Wykład lato powierzchni 5

6 Dipol magnetyczny Moment magnetyczny charakteryzuje każdy dipol magnetyczny. Dipolem magnetycznym jest nie tylko ramka (pętla, cewka), przez który płynie prąd lecz również: magnes sztabkowy (µ 5J/T) Ziemia (w przybliżeniu) µ 8,0 10 J/T większość cząstek elementarnych, np. elektron (µ 9, J/T), proton (µ 1, J/T), neutron Wykład lato Energia potencjalna E p dipola magnetycznego z zewnętrznym polu magnetycznym: E = µ B p najwyższa energia E p najniższa energia E p Przypomnienie: a dipola elektrycznego w zewnętrznym polu elektrycznym E = p E p Wykład lato

7 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda ( ) I=0 I 0 Kiedy przez przewodnik nie Kiedy przez przewodnik płynie płynie prąd, igła ustawia się prąd, igła odchyla się od kierunku wzdłuż kierunku pola pola magnetycznego Ziemi. magnetycznego ziemskiego Wykład lato 011 Dlaczego? 13 PRAWO BIOTA-SAVARTA µ o I d l r db = 4 π r3 Prawo Biota-Savarta Zasada superpozycji Rozkład ładunku Prawo oulomba Zasada superpozycji Wykład lato

8 Przykład.1 Znaleźć wektor indukcji pola magnetycznego w środku pętli o promieniu R, przez którą płynie prąd o natężeniu I. Z prawa Biota-Savarta µ o I sinθ db = 4π R o θ = 90 µ o I µ o I = db = = 4π R 4π R B B = µ oi R πr Wykład lato Zadanie domowe.3 Pokazać, że (a) wartość wektora indukcji pola magnetycznego w punkcie P na osi pętli z prądem wynosi B x µ o = IR ( x + R ) 3 (b) a w dużej oegłości od środka pętli x>>r µ o B x = π µ x 3 Wykład lato

9 Pętla z prądem zachowuje się jak dipol magnetyczny wniosek z zadania.3 Pętla z prądem wytwarza pole magnetyczne jak dipol magnetyczny w dużych oegłościach (pole magnetyczne zanika z oegłością jak x-3, podobnie jak a dipola elektrycznego) Wykład lato Zadanie domowe.4 (a) (b) (c) (d) Pętla kołowa o promieniu r=5 cm ma 1 zwojów. Przez pętlę płynie prąd o natężeniu 4A. Układ odniesienia wybrano tak, że pętla leży w płaszczyźnie YZ (x=0) a początek układu odniesienia leży w środku pętli. Znaleźć wartość indukcji pola magnetycznego na osi x a: x=0 x=3 cm x=15 cm x=3 cm w przybliżeniu dipolowym Wykład lato

10 Zadanie domowe.5 Mały magnes sztabkowy o momencie magnetycznym µ jest umieszczony w środku pętli z poprzedniego zadania. Wektor momentu magnetycznego leży w płaszczyźnie XY i tworzy kąt 30 o z osią OX. Znaleźć wektor momentu siły działającego na magnes. Zaniedbać efekty związane ze zmianami pola magnetycznego w obszarze zajmowanym przez magnes. Wykład lato Pole magnetyczne a elektryczne -podobieństwa i różnice Linie pola elektrycznego zaczynają się i kończą na ładunku elektrycznym Linie pola magnetycznego tworzą zamknięte pętle. Na niczym się nie zaczynają i nie kończą Wykład lato

11 PRAWO GAUSSA Istnieje pojedynczy ładunek punktowy monopol elektryczny S E d A = div E = ρ ε o q ε o B d A = 0 Wykład lato S div B = 0 Brak monopoli magnetycznych. Magnes czy pętla z prądem stanowią dipol magnetyczny Prawo Gaussa a pola magnetycznego jest jednym z równań Maxwella. Jego treścią jest fakt, że pole magnetyczne jest bezźródłowe. Strumień pola magnetycznego przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru. Nie można wyodrębnić pojedynczego bieguna magnetycznego nie istnieją monopole magnetyczne. ΦB = B d A = 0 S div B = 0 Wykład lato

12 KRĄŻENIE POLA WEKTOROWEGO Krążenie (cyrkulacja) pola wektorowego F po konturze zamkniętym jest zdefiniowane jako całka krzywoliniowa: Γ = element drogi całkowania ma kierunek styczny do krzywej w danym punkcie Jeżeli F jest siłą, to krążenie Γ ma sens fizyczny pracy. F Jeżeli F jest siłą zachowawczą (pole elektrostatyczne, grawitacyjne), to Γ=0. Krzywa ogranicza pewną powierzchnię zamkniętą rozpiętą na tej krzywej. Wykład lato ROTAJA POLA Γ = F d l Prowadząc krzywą B tworzymy dwa zamknięte kontury 1 i takie, że: F d l F d l = F d l + 1 definicja operatora rotacji F d l i ( rot F) nˆ = lim ai 0 a i Wykład lato

13 Pytanie: Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym (rotacja pola jest równa zeru w każdym jego punkcie). A co z rotacją pola magnetycznego? d ls E Przewodnik z prądem i E d l = 0 rot E = 0 rot B 0 Odpowiedź: Istotnie, pole magnetyczne jest polem wirowym. To Wykład lato określa prawo Ampère a. B d l 0 Prawo Ampère a B = µ oi krążenie pola prąd wewnątrz magnetycznego konturu całkowania µ o - przenikalność magnetyczna próżni, stała uniwersalna 7 µ = 4π 10 T m / A kontur całkowania o I =i 1 -i Wykład lato

14 Twierdzenie Stokes a Wiąże krążenie wektora po krzywej z rotacją w punkcie, podobnie jak twierdzenie Gaussa- Ostrogradskiego wiązało strumień pola przez powierzchnię z dywergencją w punkcie F ( rot F) da = Wykład lato S całka powierzchniowa, po powierzchni S ograniczonej krzywą Prawo Ampère a w postaci różniczkowej rot B =µ o j gęstość prądu Gęstość prądu Gęstość prądu jest to wektor, którego wartość równa jest natężeniu prądu przepływającemu przez element pola przekroju powierzchni na jednostkę pola tej powierzchni j = di ds i j S 1 1 S j strumień = j d S Wartość natężenia prądu pozostaje stała, zmienia się gęstość prądu prawo ciągłości przepływu, zasada zachowania ładunku Wykład lato

15 Przykład - Gęstość prądu w przewodniku o kształcie walca o promieniu R = mm jest jednakowa na całym przekroju przewodnika i równa j= 10 5 A/m. Ile wynosi natężenie prądu, przepływającego przez zewnętrzną warstwę przewodnika, w obszarze pomiędzy R/ i R? i = js' Rozwiązanie: bo j=const na całym przekroju walca R 3π S' = πr π = R 4 Odpowiedź: i =1,9 A R R/ j Wykład lato Przykład -3 Załóżmy, że gęstość prądu w przewodniku o kształcie walca o promieniu R = mm nie jest jednakowa na całym przekroju przewodnika i zmienia się z oegłością r od środka walca zgodnie ze wzorem j = αr, gdzie α= A/m 4. Ile wynosi natężenie prądu, przepływającego przez zewnętrzną warstwę przewodnika, w obszarze pomiędzy R/ i R? Rozwiązanie: i = j ds = jds = R R / Wykład lato R R/ α r π rdr Odpowiedź: 15 4 i = πα R i = 7,1A 3 j 15

16 Zadanie domowe.6 ztery z przedstawionych pól wektorowych mają znikającą dywergencję w przedstawionym obszarze. Trzy z nich mają znikającą rotację. zy możecie ocenić, które z pól mają omawiane własności? Wykład lato Zastosowania prawa Ampère a pole magnetyczne wokół przewodnika prostoliniowego B d l B=const na krzywej (kontur całkowania jest okręgiem ) krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r korzystając z prawa Ampère a B d l = B = π rb π rb = µ o i Wykład lato B = Odpowiedź: µ o i πr 16

17 Zadanie domowe.7 Ten sam rezultat można otrzymać poprzez żmudne całkowanie, korzystając z prawa Biota-Savarta. Proszę spróbować, aby móc docenić prawo Ampère a. Odpowiednie obliczenia znajdziemy w Rozdz.30, &30.1 podręcznika HRW, t. 3. Wykład lato Zastosowania prawa Ampère a pole magnetyczne wewnątrz przewodnika o promieniu R, przez który płynie prąd I (r<r) krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r wyraża się tym samym wzorem a r<r i r>r B d l = πrb trzeba znaleźć natężenie prądu I wewnątrz konturu gęstość prądu j jest stała I j = = π r π R Wykład lato I 17

18 I j= π r I = I = z prawa Ampère a π R I R r B = µo I π Br = µ o Odpowiedź: B= Wykład lato 011 I R µo I π R r r 35 Zastosowania prawa Ampère a pole magnetyczne wewnątrz solenoidu Solenoid wytwarza jednorodne pole magnetyczne i pełni podobną rolę jak kondensator płaski w elektrostatyce solenoid magnes sztabkowy Wykład lato

19 c B = B + B + B + b a b d c a d B aczego? Bh B d l B B=0 B pole jednorodne Wykład lato B d l = Bh = µ o I I = (nh)i liczba zwojów na jednostkę długości natężenie prądu w uzwojeniu solenoidu solenoid idealny B = µ o ni Wykład lato

20 Zadanie domowe.8 Wykorzystać prawo Ampère a do znalezienia wartości wektora indukcji wewnątrz toroidu, przez który płynie prąd o natężeniu I. Toroid a < r < b a b B = µ o NI πr N - liczba zwojów toroidu Wykład lato Siły działające między dwoma równoległymi przewodami z prądem Te przewody się przyciągają. Dlaczego? pole magnetyczne wytworzone przez prąd i a µ o ia πd Wykład lato B a = siła działająca na przewód z F prądem i b ba = ibl Ba Definicja ampera: 1A jest to natężenie prądu stałego, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich Fba = przewodach o znikomo małym przekroju poprzecznym, umieszczonych w próżni w oegłości 1m, wywołuje między tymi przewodami siłę o wartości 10-7 N na każdy metr długości przewodu µ o Liai πd b 0

21 Podsumowanie Ruch ładunku w polach magnetycznym i elektrycznym odbywa się pod wpływem siły Lorentza. Pole magnetyczne nie zmienia energii kinetycznej lecz zakrzywia tor ładunku. Różnice pomiędzy polem elektrostatycznym i magnetycznym można prześledzić posługując się prawem Gaussa a elektryczności i magnetyzmu. Nie istnieją monopole magnetyczne. Na przewodnik z prądem w polu magnetycznym działa siła elektrodynamiczna. Ładunek w spoczynku wytwarza pole elektrostatyczne, ładunek w ruchu (prąd elektryczny) jest źródłem pola magnetycznego Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez przewodnik z prądem można obliczyć korzystając z prawa Biota-Savarta lub prawa Ampère a, które jednak stosujemy tylko do rozwiązywania problemów o wysokiej symetrii. Wykład lato