Ładunek elektryczny. Zastosowanie równania Laplace a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal. Wprowadzenie. Podstawowe cechy pól siłowych

Transkrypt

1 6 czerwca 2013

2 Ładunek elektryczny Ciała fizyczne mogą być obdarzone (i w znacznej większości faktycznie są) ładunkiem elektrycznym. Ładunek ten może być dodatni lub ujemny. Kiedy na jednym ciele zgromadzonych jest bardzo wiele ładunków jednego i drugiego rodzaju, niewielka różnica między nimi staje się niemal niezauważalna, jednak często na ciele gromadzą się w znakomitej większości ładunki tylko jednego rodzaju i o takim ciele mówimy, że jest ono naelektryzowane.

3 Pole siłowe Obiekt naładowany elektrycznie jest z natury rzeczy źródłem pola siłowego: działa siłą na inne ciała naelektryzowane, które znajdą się w pewnej odległości od niego. Jeśli nasz obiekt znajduje się w spoczynku, staje się źródłem pola, jeśli zaś jest w ruchu pola. Specyfika tych dwóch pól siłowych jest zgoła inna, a ich podstawowe cechy postaram się przedstawić w tej prezentacji.

4 Uwaga - ważne założenie! Jako źródło pola będziemy traktować nieruchomy ładunek punktowy dodatni (chyba, że zaznaczono inaczej) a nieskończenie długi i cienki, spoczywający liniowy przewodnik z prądem. Pole, którego źródłem jest nieruchomy przewodnik nazywamy w szczególności magnetostatycznym.

5 Siła elektrostatyczna Na każde ciało naładowane, które znajduje się w polu elektrostatycznym działa siła opisana prawem Coulomba: q 1 q ( 2 r F = k r 2 r ) (1) gdzie k jest stałą zależną od przenikalności elektrycznej ośrodka, q 1 i q 2 wartościami ładunków, natomiast r odległością pomiędzy ładunkami. W nawiasie znajduje się wektor jednostkowy określający zwrot i kierunek siły.

6 Siła elektrostatyczna Możemy łatwo zauważyć, że ładunki jednoimienne będą odpychane a różnoimienne przyciągane. Siła zawsze działa jednak w kierunku wektora łączącego oba ładunki, zmienia się jedynie jej zwrot.

7 Natężenie pola Za pomocą prawa Coulomba definiujemy podstawową miarę pola natężenie, hipotetyczną siłę, która zadziała na ładunek próbny umieszczony w polu (ładunek próbny jest zawsze dodatni). Widzimy więc, że natężenie: F = E q (2) q ( ) r E = k r (3) 2 r jest wektorem o kierunku i zwrocie zgodnymi z odpowiadającym mu wektorem siły.

8 Na ładunki znajdujące się w polu magnetycznym również działa siła, zwana siłą Lorentza, jednak w inny sposób: F = q ( v B ) (4) gdzie v jest wektorem prędkości źródła, a B wektorem indukcji magnetycznej, który w pewien sposób odpowiada wektorowi natężenia. Prawo Biota Savarta pozwala określić jego wartość, ale nie jest to w tej chwili istotne dla naszych rozważań.

9 Indukcja pola Wektor indukcji jest również miarą pola, ale siła działa zawsze prostopadle do wektora indukcji i do prędkości źródła. Jej zwrot wyznacza się zgodnie z zasadą śruby prawoskrętnej.

10 Zobrazujmy teraz, jak wyglądają linie obu rozważanych pól. Dla pola są one obrazowane przez tory cząstek umieszczonych w polu. Gdy w polu elektrostatycznym umieścimy cząstkę dodatnią, będzie się ona zawsze oddalała od źródła. Po krótkim zastanowieniu dochodzimy do wniosku, że linie pola będą się rozchodziły promieniście ze źródła, aż do nieskończoności.

11 są obrazowane przez ustawienie igły kompasu umieszczonego w polu. Na podstawie doświadczeń dowiedziono, że linie pola układają się we współśrodkowe okręgi leżące w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika stanowiącego źródło, o środku w punkcie przecięcia tej płaszczyzny z przewodnikiem.

12 Prawo Gaussa W teorii niezwykle ważną rolę pełni prawo Gaussa, które charakteryzuje przebieg linii pola. Dla pola przybiera postać: S E d s = 1 ɛ 0 Q c (5) gdzie S jest pewną powierzchnią zamkniętą, natomiast Q c całkowitym ładunkiem zawartym wewnątrz tej powierzchni. Oznacza to, że przez dowolną powierzchnię zamkniętą, przechodzi strumień pola proporcjonalny do ładunku zamkniętego wewnątrz tej powierzchni.

13 Strumień pola Strumień pola siłowego definiujemy wzorem: S G d s (6) gdzie G jest odpowiednim polem wektorowym, S dowolną powierzchnią (ograniczoną lub nie) a ds wektorem normalnym do tej powierzchni. Strumień powinniśmy rozumieć intuicyjnie jako pewien skalar, opisujący ilość pola przechodzącą przez daną powierzchnię.

14 Twierdzenie Ostrogradskiego - Gaussa Z twierdzenia Ostrogradskiego Gaussa mamy, że: S E d s = V div E dv = 1 ɛ ρ V dv (7) gdzie V jest objętością zamkniętą wewnątrz powierzchni S, a ρ V jest gęstością objętościową ładunków w tej objętości. Widzimy więc, że dywergencja pola jest w obecności ładunków różna od zera.

15 Interpretacja dywergencji Dla ładunków dodatnich dywergencja jest dodatnia. Oznacza to, że ładunki dodatnie stanowią źródła pola (zgadza się to z naszymi wcześniejszymi przemyśleniami linie pola wypływają ze źródła dodatniego). Dla ładunków ujemnych całka z dywergencji jest ujemna, a co za tym idzie sama dywergencja jest ujemna. Źródła ujemne stanowią więc ścieki pola linie wpływają do wewnątrz źródła.

16 Prawo Gaussa wyraża się wzorem: B d S = 0 (8) S co oznacza, że przez dowolną zamkniętą powierzchnię w polu magnetycznym przepływ strumienia jest stały. Znów powołując się na prawo Ostrogradskiego Gaussa wnioskujemy, że w dowolnym punkcie dywergencja pola jest równa zero.

17 Interpretacja dywergencji Zerowanie się dywergencji oznacza, że tyle samo linii pola wpływa do danego punktu i z niego wypływa. Pole magnetyczne nie posiada więc źródeł ani ścieków jest to pole bezźródłowe. Oznacza to, że w przyrodzie nie istnieją ładunki magnetyczne.

18 Czym jest potencjał? Inną wielkością charakteryzującą pola siłowe jest potencjał. jest polem skalarnym charakteryzującym pewne pole wektorowe. Różnica potencjałów między dwoma punktami informuje o pracy, jaka zostanie wykonana przy przemieszczeniu ładunku próbnego z jednego punktu do drugiego.

19 elektrostatyczny W polu elektrostatycznym potencjał φ spełnia zależność: E(x) = φ(x) (9) czyli natężenie powstaje jako minus gradient potencjału.

20 wektorowy Dla pola nie da się sformułować pojęcia skalarnego potencjału, dlatego definiuje się jedynie potencjał wektorowy A, jako pole wektorowe, którego rotacja jest polem magnetycznym: B = A (10)

21 Uzasadnienie Pozwólmy sobie na małą dygresję, obrazującą fizyczną poprawność tej definicji: B = ( A ) = 0, (11) ostatnia równość z własności iloczynów wektorowego i skalarnego. Jak pamiętamy, iloczyn B oznacza dywergencję pola, która w istocie jest równa 0.

22 Prawo Ampere a dla pola Kolejnym ważnym prawem dla naszych rozważań jest prawo Ampere a. Pierwotnie zostało ono sformułowane dla pola. Za pomocą wzoru matematycznego zostało zapisane następująco: B d l = µ0 I c (12) Γ Jawnie oznacza on, że całka po krzywej zamkniętej, otaczającej przewód z prądem, z wektora indukcji, jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów przepływających przez powierzchnię wyznaczoną przez tę krzywą.

23 pola Z prawa Stokesa mamy: B d l = rot B d S = µ 0 I c = µ 0 j d S (13) Γ S S gdzie j jest wektorem gęstości prądu w przewodniku. Ponieważ rotacja tego pola jest różna od zera, oznacza to, że pole magnetyczne jest polem wirowym. W polu wirowym nie definiujemy potencjału skalarnego. Z wirowością (lub bezwirowością) pola nieodłącznie wiąże się charakterystyka pracy w tym polu. W polu wirowym praca wykonywana po krzywej zamkniętej jest różna od zera.

24 Prawo Ampere a dla pola Prawo Ampere a dla pola wyraża się wzorem E d l = 0 (14) Γ Zauważmy, że pomnożenie obu stron przez wartość ładunku daje wynik: Γ q E d l = 0 (15) Γ F d l = 0 (16) a taka całka oznacza, że praca wykonana po krzywej zamkniętej jest równa 0.

25 Prawo Ampere a dla pola Jest to w pełni zgodne z wnioskami płynącymi z prawa Stokesa: E d l = rot E d s = 0 (17) Γ S jak również z wcześniejszymi założeniami, że praca w polu elektrostatycznym zależy jedynie od punktów początkowego i końcowego. Ponieważ w krzywej zamkniętej początek pokrywa się z końcem, praca musi być równa 0.

26 pola jest polem bezwirowym (wirowość jest równa 0), a więc praca wykonywana po krzywej zamkniętej jest równa 0. Pole bezwirowe powstaje jako gradient swego potencjału, co zapisaliśmy już wcześniej w tożsamości: E(x) = φ(x) (18)

27 Równanie Zebraliśmy już wystarczającą ilość danych aby wysnuć wniosek dotyczący.

28 Korzystając z wcześniejszych wzorów: E = dive = 1 ɛ ρ V (19) E = ( φ) = 1 ɛ ρ V (20) φ = 1 ɛ ρ V (21) φ = 1 ɛ ρ V (22) Zatem pod obecnością ładunków źródłowych, potencjał pola spełnia równanie Poissona.

29 Gdy zaś ρ v =0, czyli we wszystkich punktach przestrzeni poza źródłami, potencjał elektryczny spełnia równanie : φ = 0 (23)

30 Dla pola magnetostatycznego: rot B = B = µ 0 j (24) ( A ) = ( A ) A ( = µ0 j )(25) Ponieważ A = 0 to: A = µ 0 j (26) A = µ 0 (27) Zatem potencjał wektorowy pola magnetostatycznego spełnia równanie Poissona, w miejscach, w których gęstość prądu jest niezerowa (czyli w przewodniku). Poza nim, potencjał wektorowy spełnia równanie.