T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych
|
|
- Zofia Beata Morawska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych Definicja. Przez rodzinȩ skierowan a rozumiemy dowolny zbiór z porz adkiem czȩściowym (K, ), taki że (istnienie wspólnej majoranty). κ1,κ 2 K κ3 K κ 3 κ 1 oraz κ 3 κ 2 Uwaga. Latwo zauważyć, że wtedy dowolny skończony zbiór {κ 1,κ 2,...,κ n } K posiada wspóln a majorantȩ. PRZYK LADY: 1. (N, ), (R, ), ([,1), ). 2. (K, ) = ({podzbiory skończone jakiegoś ustalonego zbioru}, ) (wiȩkszy zbiór jest,,dalszy w porz adku, wspóln a majorant a jest suma zbiorów). 3. (K, ) = ({otoczenia ustalonego punktu w przestrzeni topologicznej}, ) (mniejsze otoczenie jest,,dalsze w porz adku, wspóln a majorant a jest przekrój otoczeń). Podobn a rodzinȩ skierowan a tworzy baza topologii w punkcie. 4. Jeśli (K 1, ) i (K 2, ) s a rodzinami skierowanymi, to (K 1 K 2, ) jest też rodzin a skierowan a, gdzie porz adek w produkcie jest zadany zależności a (κ 1,κ 2 ) (κ 1,κ 2) κ 1 κ 1 oraz κ 2 κ 2. Definicja. Ci agiem uogólnionym (netem) w przestrzeni X nazywamy dowoln a funkcjȩ f : K X, gdzie K jest dowoln a rodzin a skierowan a. Konwencja zapisu jest taka, że zamiast f(κ) piszemy x κ, a ca ly net zapisujemy jako (x κ ) κ K. PRZYK LADY: 1. Zwyk le ci agi (indeksowane n N). 2. NaprzestrzeniX rozważamyfunkcjecharakterystyczne1 A zbiorówskończonych. Dostajemy net funkcji z X w [, 1] indeksowany rodzin a zbiorów skończonych A X (jak w przyk ladzie drugim powyżej). 3. Z każdego otoczenia U punktu x w przestrzeni topologicznej X wybieramy po jednym punkcie i oznaczamy go x U. Dostajemy net punktów z X indeksowany rodzin a skierowan a otoczeń punktu x (z przyk ladu trzeciego powyżej). Definicja. Powiemy, że net (x κ ) κ K zbiega do x X, jeśli dla każdego otoczenia U x istnieje indeks κ U, taki że x κ U dla wszystkich κ κ U. PRZYK LADY: Net z przyk ladu 3 powyżej zbiega do x. Net funkcji z przyk ladu 2 powyżej zbiega do funkcji sta lej 1 w topologii zbieżności punktowej (to wyjaśnimy za chwilȩ). Definicja. Dany jest net (x κ ) κ K w przestrzeni X. Jego podnetem nazwiemy inny net (y λ ) λ Λ (również elementów przestrzeni X), jeśli istnieje funkcja φ : Λ K spe lniaj aca: (1) κ K λκ Λ λ λκ φ(λ) κ, (2) λ Λ y λ = x φ(λ).
2 2 PRZYK LAD:JeśliK Kspe lnia κ K κ K κ κ,tok jestrodzin askierowan a i indeksowany ni a net (x κ ) κ K jest podnetem netu (x κ) κ K (funkcj a φ : K K jest wtedy funkcja identycznościowa). Jednak nie każdy podnet netu powstaje w ten sposób. Na przyk lad dla ci agów otrzymamy w ten sposób tylko znane nam klasyczne podci agi, podczas gdy istniej a podnety zwyk lych ci agów, które nie s a podci agami. Zobaczymy to na późniejszym przyk ladzie. Podamy teraz listȩ klasycznych faktów, których dowody pominiemy. Fakty: (1) Każdy podnet netu zbieżnego zbiega do tej samej granicy. (2) Zbiór w przestrzeni topologicznej jest domkniȩty wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym netem zawiera wszystkie jego granice. (3) Domkniȩcie zbioru A jest równe zbiorowi wszystkich granic wszystkich zbieżnych netów punktów z A. (4) AksjomatrodzielaniaT 2 jestrównoważnytemu,żekażdynetmaconajwyżej jedn a granicȩ. PRZYK LAD.NiechX = RiT = {dope lnienia zbiorów skończonych i zbiór pusty}. Jest to topologia T 1 ale nie T 2. Weźmy net (x) x R (indeksowany sam sob a ze zwyk lym porz adkiem w R). Latwo widać, że net ten zbiega do każdego punktu w R. Tȩ sam a w lasność ma de facto dowolny zwyk ly ci ag o parami różnych wyrazach. Zbieżność netowa determinuje topologiȩ w nastȩpuj acym sensie: Twierdzenie. Na przestrzeni X dane s a dwie topologie, T 1,T 2. Wtedy T 1 jest s labsza od T 2 wtedy i tylko wtedy, gdy każdy net w X zbieżny w T 2 jest zbieżny w T 1 do przynajmniej tych samych granic. Jeśli dwie topologie maj a te same nety zbieżne i nety te maj a te same zbiory granic, to topologie te s a tożsame. Dowód: Jest oczywiste, że jeśli T 1 T 2, to każdy net zbieżny w T 2 jest zbieżny w T 1 do przynajmniej tych samych granic (bo zbieżność w T 2 do jakiejś granicy x to pewien warunek spe lniony dla każdego otoczenia x w topologii T 2 jest on wtedy automatycznie spe lniony dla każdego otoczenia x w topologii T 1 ). Na odwrót. To, że każdy net zbieżny w T 2 jest zbieżny w T 1 do przynajmniej tych samych granic, można streścić mówi ac, że każdy net ma,,wiȩcej (de facto powinniśmy użyć s lów,,nie mniej ) granic w T 1 niż w T 2. Jeśli jakiś zbiór jest domkniȩtywt 1, tospe lniaonwarunek(2)dlakażdegonetuiwszystkichjegogranic w T 1, a wiȩc tym bardziej spe lnia on warunek (2) dla każdego netu i wszystkich jego granic w topologii T 2, a zatem jest w niej domkniȩty. Czyli topologia T 2 ma,,wiȩcej zbiorów domkniȩtych niż T 1. Ponieważ każdy zbiór otwarty, to dope lnienie zbioru domknier tego, przeto T 2 ma też,,wiȩcej zbiorów otwartych niż T 1, czyli po prostu jest jej nadzbiorem. Ostatnie zdanie tezy twierdzenia jest teraz oczywiste. Twierdzenie. Przestrzeń topologiczna jest (pokryciowo) zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy net ma podnet zbieżny (do przynajmniej jednej granicy). Dowód: Pokryciowa zwartość latwo t lumaczy siȩ na warunek, że każda rodzina scentrowana (zbiorów domkniȩtych) ma przekrój niepusty. Za lóżmy to i rozważmy dowolny net (x κ ) w X. Zbiory F κ = {x κ : κ κ} stanowi a, co latwo widać, rodzinȩ scentrowan a, a wiȩc ma ona przekrój niepusty F. Niech x F. Dla każdego otoczenia U x i każdego indeksu κ K przekrój U {x κ : κ κ} jest niepusty. Wybierzmy z niego jeden punkt (jest on postaci x κ dla pewnego κ κ) i przypiszmy go parze (U,κ) jako y (U,κ) = x κ, a jednocześnie określmy φ((u,κ)) = κ. Teraz latwo sprawdzić, że (y (U,κ) ) (jako net indeksowany parami
3 z,,porz adkiem produktowym opisamym w przyk ladzie 4 na poprzedniej stronie) jest podnetem netu x κ zbieżnym do x. Za lóżmy,,netow a zwartość i weźmy rodzinȩ scentrowan a C, czyli tak a, że każdy jej poduk lad skończony C C ma przekrój niepusty. Wybierzmy z każdego takiego przekroju po jednym punkcie. Uzyskamy net (x C ) indeksowany skończonymi poduk ladami rodziny C. Net ten ma podnet zbieżny, powiedzmy (y κ ), do granicy y. Pokażemy, że y C, co zakończy dowód. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy w C znajdziemy element (zbiór domkniȩty F) nie zawieraj acy y. Oczywiście {F} jest jednoelementowym(a wiȩc skończonym) uk ladem C C. Powyżej pewnego indeksu wszystkie indeksy κ spe lniaj a φ(κ) C, czyli φ(κ) jest uk ladem skończonym w sk lad którego wchodzi zbiór F. To oznacza, że y κ = x φ(κ) F. Skoro F jest domkniȩty, to y, jako granica netu (y κ ), też należy do F. Sprzeczność. TOPOLOGIA PRODUKTOWA (TICHONOWA) Najpierw uzupe lnienie ze wstȩpu do topologii ogólnej. Definicja. Pó lbaz a topologii T nazywamy tak a rodzinȩ P zbiorów otwartych, że rodzina wszystkich skończonych przekrojów zbiorów z P stanowi bazȩ. Wymogiem na to aby rodzina zbiorów P by la pó lbaz a pewnej topologii jest jedynie to, aby pokrywa la ona ca l a przestrzeń i zawiera la zbiór pusty (co można latwo uzyskać dorzucaj ac do P zbiory X i ). Dlatego latwo jest definiować topologie przy pomocy pó lbaz. Można z dowolnej rodziny podzbiorów zrobić topologiȩ. Bȩdzie to najs labsza (czyli najmniejsza w sensie zawierania) topologia zawieraj aca tȩ rodzinȩ. Na przyk lad odcinki otwarte o d lugości 1 stanowi a pó lbazȩ w dla standardowej topologii w R. Albo, rodzina wszystkich pó lp laszczyzn otwartych stanowi pó lbazȩ dla standardowej topologii w R 2. Sprawdza siȩ elementarnie, że do tego aby funkcja f : Y X by la ci ag la wystarcza, aby przeciwobrazy wszystkich zbiorów z ustalonej pó lbazy w X by ly otwarte w Y. Niech (X ι,t ι ) ι J oznacza rodzinȩ przestrzeni topologicznych indeksowan a dowolnym zbiorem J. Przez produkt (kartezjański) ι J X ι rozumiemy zbiór wszystkich funkcji f : J ι J X ι, takich że dla każdego ι J mamy f(ι) X ι. Zgodnie z konwencj a, w miejsce f(ι) piszemy x ι, (pamiȩtaj ac, że jest to element X ι ), a zamiast f piszemy (x ι ) ι J. Czyli X ι = {(x ι ) ι J : ι J x ι X ι }. ι J Dla wybranego indeksu ι, rzutem na wspó lrzȩdn a ι nazywamy odwzorowanie π ι : ι J X ι X ι zadane wzorem π ι ((x ι )) ι J ) = x ι. W takim produkcie wprowadzimy teraz topologiȩ poprzez wskazanie bazy. Definicja. Topologi a produktow a (Tichonowa)wX = ι J X ι nazywamytopologiȩ, której baz a s a zbiory postaci U ι, ι J gdzie dla każdego indeksu ι U ι jest otwartym podzbiorem X ι, oraz tylko dla skończenie wielu indeksów U ι nie jest ca l a przestrzeni a X ι. Zbiory takie nazywamy cylindrami. Cylindry można zapisywać jako zbiory C(ι 1,...,ι n,u ι1,...,u ιn ) = {(x ι ) ι J : x ι1 U ι1,..., x ιn U ιn,}, 3
4 4 gdzie {ι 1,...,ι n } reprezentuje dowolny skończony podzbiór J, zaś dla każdego i {1,...,n} U ιi jest (dowolnym niepustym) otwartym podzbiorem X ιi. To, że wszystkie takie cylindry tworz a bazȩ, sprawdza siȩ elementarnie. Cylindry nad jedn a wspó lrzȩdn a C(ι,U ι ) stanowi a pó lbazȩ. Twierdzenie. 1. Net (x κ ) κ K punktów z X = ι J X ι (gdzie każdy x κ jest postaci (x κ ι) ι J ) zbiega do punktu x = (x ι ) ι J X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ι zachodzi zbieżność netu (x κ ι) κ K do x ι. Innymi s lowy, zbieżność w topologii produktowej, to to samo co zbieżność na każdej wspó lrzȩdnej (wspó lrzȩdnymi s a dla nas indeksy ι). 2. Rzuty π ι s a ci ag le. 3. Funkcja f : Y X (określona na dowolnej przestrzeni topologicznej Y) jest ci ag la wtedy i tylko wtedy, gdy ci ag le s a z lożenia π ι f dla wszystkich ι J. Dowód. Ad 2. Udowodnimy ci ag lość rzutu π ι. Przeciwobrazem zbioru otwartego U X ι jest, jak latwo widać, cylinder C(ι,U ι ), gdzie U ι = U. A to jest zbiór otwarty (a nawet bazowy) w topologii produktowej. Ad 3. Jeśli f jest ci ag la, to jej z lożenia z rzutami (które też s a ci ag le) s a ci ag le. Na odwrót. Niech f nie bȩdzie ci ag la. Wtedy istnieje zbiór otwarty, którego przeciwobraz nie jest otwarty. Musi istnieć taki zbiór bazowy, a nawet z pó lbazy. A wiȩc istnieje cylinder C(ι,U ι ), którego przeciwobraz przez f nie jest otwarty. Ale ten przeciwobraz pokrywa siȩ z przeciwobrazem U ι przez z lożenie π ι f. Zatem to z lożenie nie jest ci ag le. Ad 1. Jeśli net (x κ ) κ K zbiega do x, to z ci ag lości rzutów natychmiast dostajemy zbieżność na każdej wspó lrzȩdnej. Za lóżmy dla każdego ι J zbieżność (x κ ι) κ K do x ι. Weźmy dowolne otoczenie U (w topologii produktowej) punktu x. Otoczenie to zawiera bazowe otoczenie x, a wiȩc pewien cylinder C(ι 1,...,ι n,u ι1,...,u ιn ). To, że cylinder ten zawiera x oznacza, że x ιi U ιi dla każdego i {1,...n}. Ze zbieżnościpowspó lrzȩdnychwnioskujemy, żedlakażdegotakiegoiistniejeindeksκ i powyżej którego x κ ι i U ιi. Niech κ oznacza wspóln a majorantȩ dla {κ 1,...,κ n }. Wtedy powyżej κ punkt x κ wpada do naszego cylindra, a wiȩc i do U. Pozosta lo do udowodnienia jedno z najważnieszych twierdzeń w tym dziale. Twierdzenie Tichonowa. Przestrzeń produktowa X = ι J X ι (z topologi a produktow a) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy zwarte s a wszystkie przestrzenie sk ladowe (X ι,t ι ). Dowód. Jeśli produkt jest zwarty, to zwartość sk ladowych wynika natychmiast z ci ag lości rzutów i tego, że s a one surjekcjami (ci ag ly obraz zbioru zwartego jest zwarty). Dowód implikacji przeciwnej wymaga technicznego lematu na temat pó lbazy. Lemat (Twierdzenie Aleksandera). Do zwartości przestrzeni topologicznej X z ustalon a pó lbaz a P wystarcza, aby każde pokrycie X zbiorami z P zawiera lo podpokrycie skończone. Dowód lematu. Rodzina wszystkich pokryć nie maj acych podpokrycia skończonego spe lnia za lożenia lematu Kuratowskiego Zorna (suma wstȩpuj acej rodziny takich pokryć też nie ma podpokrycia skończonego to sprawdza siȩ elementarnie), a wiȩc istnieje maksymalne takie pokrycie U. Ma ono tȩ w lasność, że dorzucaj ac dowolny inny zbiór otwarty V otrzymamy pokrycie już posiadaj ace podpokrycie skończone. Innymi s lowy U zawiera pokrycie skończone dope lnienia V. Ustalmy x X. Skoro U jest pokryciem, to istnieje U U zawieraj ace x. Wtedy U zawiera też zbiór bazowy zawieraj acy x, w postaci przekroju P 1 P n zbiorów z P. Za lóżmy, że żaden z P i nie należy do U. Wtedy, dla każdego i, U zawiera
5 podpokrycie skończone U i dope lnienia P i. Rodzina n i=1 U i (która jest skończon a podrodzin a U) pokrywa sumȩ dope lnień zbiorów P i, czyli dope lnienie przekroju P 1 P n. Ale teraz wystarczy dorzucić zbiór U aby pokryć ca le X. W ten sposób uda lo siȩ skonstruować skończone pokrycie ca lej przestrzeni X wybrane z U, co jest sprzeczności a, bo U nie posiada skończonych podpokryć. Wykazaliśmy wiȩc, że każdy punkt jest pokryty zbiorem (nazwijmy go P x ) należ acym jednocześnie do P i do U. Tak wybrane zbiory {P x : x X} stanowi a pokrycie X zbiorami pó lbazy i bȩd ace zarazem podpokryciem U, co implikuje, że nie może ono mieć podpokrycia skończonego (bo nie ma go U). Ci ag dalszy dowodu twierdzenia Tichonowa: W przestrzeni produktowej X mamy pó lbazȩ cylindrów nad jedn a wspó lrzȩdn a. Ustalmy pokrycie U takimi cylindrami. Zak ladaj ac zwartość wszystkich przestrzeni sk ladowych mamy pokazać, że U zawiera podpokrycie skończone. Jeśli jednym z elementów pokrycia U jest X, to{x} jest podpokryciem skończonym, co kończy rozumowanie. W pozosta lym przypadku U sk lada siȩ z istotnych cylindrównadjedn awspó lrzȩdn a, czylizbiorówpostacic(ι,u ι ), gdzieu ι jestw laściwym podzbioremotwartymx ι. Indeksιjestdlatakiegocylindraokreślonyjednoznacznie (ι nie jest jednoznacznie określone jedynie wtedy, gdy U ι = X ι ; w tym wypadku nasz cylinder pokrywa siȩ z X i dowolna wspó lrzȩdna może być uznana za ι; dlatego ten przypadek musieliśmy rozważać osobno). Indeks ι wystȩpuj acy w tej roli w elementach U przebiega pewien podzbiór J J (to może, ale nie musi być ca le J). Ponieważ w pokryciu U może wyst apić wiele cylindrów z tym samym indeksem ι J, (i różnymi zbiorami U ι ), wprowadzimy dodatkowy indeks α numeruj acy te zbiory jako U α ι (dla różnych ι J, α przebiegać bȩdzie być może różne zbiory A ι ). W ten sposób nasze pokrycie zapisujemy jako U = {C(ι,U α ι ) : ι J, ι J α A ι }. Teraz dla ι J niech U ι oznacza rodzinȩ {Uι α : α A ι }. Jest to oczywiście rozdzina zbiorów otwartych w X ι. Twierdzimy, że istnieje ι J, dla którego U ι jest pokryciem X ι. Gdyby tak nie by lo, to dla każdego ι J istnia lby punkt x ι X ι nie pokryty przez U ι, a wtedy dowolny punkt y = (y ι ) ι J spe lniaj acy y ι = x ι dla wszystkich ι J nie by lby wcale pokryty przez U (każdy zbiór z U jest postaci C(ι,A α ι ) dla pewnego ι J i wtedy na wspó lrzȩdnej ι,,mija lby siȩ z y ι ). Zatem rzeczywiście, dla pewnego ι J, U ι pokrywa X ι. Ze zwartości X ι istnieje skończone podpokrycie {Uι αi,: i = 1,...,k}. Ale wtedy cylindry C(ι,Uι αi ) (i = 1,...,k) pokrywaj a ca le X (bo przeciwobraz pokrycia jest pokryciem, a zbiory C(ι,Uι αi ) s a w laśnie przeciwobrazami przez π ι zbiorów Uι αi ). PRZYK LADY Podamy teraz kilka przyk ladów pokazuj acych, że intuicje wziȩte z analizy ci agów czȩsto s a zawodne w odniesieniu do,,dużych przestrzeni, takich jak na przyk lad przestrzenie produktowe. 1) Zbiór wszystkich funkcji(bynajmniej koniecznie ci ag lych albo nawet mierzalnych) f : [,1] [,1] jest przestrzeni a produktow a x [,1] [,1] x (gdzie [,1] x = [,1]; indeks x dodanotylkopoto, żebyujawnićpozycjȩwspó lrzȩdnejiodróżnićprzestrzenie sk ladowe od zbioru indeksów, który też jest odcinkiem [, 1]). Ponieważ na każdej wspó lrzȩdnej wystȩpuje przestrzeń zwarta [,1] x, wiȩc przestrzeń produktowa jest zwarta. Zbieżność netu funkcji, to zbieżność na każdej wspó lrzȩdnej, czyli dobrze nam znana zbieżność punktowa (tylko teraz myślimy o netach, a nie tylko ci agach, funkcji). Rozważmy net funkcji charakterystycznych zbiorów skończonych (1 A ) A A indeksowanyrodzin askierowan aapodzbiorówskończonychodcinka[,1]. 5
6 6 Otóż net ten (wbrew pewnym intuicjom) zbiega do funkcji 1 (równej 1 w każdym punkcie). Faktycznie, ustalmy wspó lrzȩdn a x [,1] i niech A x = {x}. Jest to element rodziny A oraz dla każdego A A x (czyli A A x ) mamy 1 A (x) = 1. To dowodzi, że na wspó lrzȩdnej x net (1 A (x)) A A (w przestrzeni [,1] x ) zbiega do 1. Zatem net (1 A ) A A (w przestrzeni produktowej) zbiega do funkcji 1. Jest to o tyle nieintuicyjne, że wszystkie funkcje w tym przyk ladzie s a mierzalne i wspólnie ograniczone, wiȩc,,powinno zachodzić twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej (również net ten jest rosn acy, tzn. A A = 1 A 1 A, czyli,,powinno stosować siȩ monotoniczne twierdzenie Lebesgue a). Ale tak nie jest, bo ca lki z funkcji w necie s a zerami, a ca lka z funkcji granicznej jest równa 1. A wiȩc twierdzenia Lebesgue a nie stosuj a siȩ do netów! 2) Na zespolonym okrȩgu jednostkowym T = {z C : z = 1} rozważmy ci ag funkcji f n (z) = z n. S a to funkcje z T w T, a wiȩc należ a do przestrzeni zwartej z T T z (konwencja zapisu jak poprzednio). Zatem ci ag ten ma podnet zbieżny do funkcji f : T T. Jest to bardzo nieintuicyjne, gdyż, jak pokażemy, ci ag ten nie posiada podci agów zbieżnych (do żadnej funkcji). Faktycznie, ewentualny podci ag zbieżny by lby zbieżny punktowo, a wiȩc granica f by laby mierzalna i dla ci agu f nk f zachodzi loby twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej (wersja zespolona dla miary Lebesgue a na okrȩgu): f nk f dλ k f f dλ =. Czyli zachodzi laby zbieżność f nk do f w normie L 1 (λ), a co za tym idzie również w normie L 2 (λ). To jest jednak niemożliwe, gdyż funkcje f n s a uk ladem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta L 2 (λ), zatem odleg lości miȩdzy dowolnymi dwiema z nich wynosi 2, co oznacza, że ci ag ten nie ma podci agów podstawowych (a tym bardziej zbieżnych) w L 2 (λ). Jednak, jak już powiedzielśmy, istnieje podnet zbieżny. A wiȩc istnieje przyk lad podnetu ci agu, które nie jest podci agiem. (tekst nieobowi azkowy) Aby lepiej zrozumieć, jak takie podnety wygl adaj a, wskażemy explicie, że ci ag ten ma podnet zbieżny do każdej,,swojej funkcji f n (z) = z n. W tym celu ustalmy n. Nasz podnet bȩdzie indeksowany trójkami (A,n,ǫ), gdzie A jest podzbiorem skończonym T, n N i ǫ > (dla ǫ-ów stosujemy porz adek odwrócony: im mniejszy ǫ tym,,dalszy ). Otóż, nietrudno wykazać (co jednak pominiemy), że dla dowolnej takiej trójki istnieje takie n > n, że w każdym punkcie z A zachodzi z n 1 < ǫ. Umawiamy siȩ, że n oznacza najmniejszy taki numer powyżej n. Ponieważ mnożenie przez liczbȩ zespolon a o module 1 jest izometri a na C, mamy też z n +n z n < ǫ. Przyporz adkujmy g (A,n,ǫ) = f n +n oraz φ(a,n,ǫ) = n + n. Sprawdzenie, że (g (A,n,ǫ) ) jest podnetem ci agu (f n ) (maj ac już wskazan a funkcjȩ φ) jest natychmiastowe, podobnie jak sprawdzenie zbieżności punktowej tego podnetu do f n. Tomasz Downarowicz
Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa
T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa Niech X i Y oznaczaj a przestrzenie topologiczne, zaś C(X,Y) bȩdzie zbiorem
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,
TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowonie zależy (z dok ladności a do jednostajnego homeomorfizmu) od wyboru ci agu uzbieżniaj acego c n. 1 min{n : x n y n }.
A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A PPI 2r., sem. letni LISTY 5-9 LISTA 5 Wroc law, 14 marca - 25 kwietnia 2006 ZADANIE 1. Niech (X 1,d 1 ), (X 2,d 2 ), (X 3,d 3 ),... bȩdzie ci agiem przestrzeni metrycznych
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoRozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoWPPT 2r., sem. letni KOLOKWIUM 1 Wroc law, 19 kwietnia 2011
A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A WPPT r, sem letni KOLOKWIUM Wroc law, 9 kwietnia 0 ZADANIE ab W pewnej przestrzeni mamy wie metryki i przy czym czyni nasz a przestrzeń zwart a a jest s labsza o (tzn
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoa to, jako ogon szeregu zbieżnego można uczynić dowolnie ma lym wybieraj ac dostatecznei
Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. semestr letni 2011 WYK LADY 2 i 3: PRZESTRZENIE UNORMOWANE i BANACHA BAZA TOPOLOGICZNA 29/03/11 Definicja. Norm a w rzestrzeni liniowej V nazywamy funkcjȩ : V [0, ) se lniaj
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01
Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z1, 1 4. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01 Edwin Koźniewski Instytut Inżynierii Budowlanej, Politechnika Bia lostocka 1. Twierdzenie o punkcie wȩz
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowo