EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
|
|
- Kinga Krajewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIZA ZADA ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05
2 Schemt ocenini zd otwrtych Zdnie ( pkt) Wyzncz wszystkie wrtoci prmetru m, dl których równnie x m x m m 0 m dw różne pierwistki rzeczywiste x, x tkie, że x x x x x x Rozwiznie Zpisujemy ukłd wrunków Rozwiązujemy nierównoć 0 0 x x x x x x, czyli m m m Przeksztłcmy w sposób równowżny tę nierównoć do postci m 0 i stąd otrzymujemy rozwiąznie: m x x x x x x do postci Przeksztłcmy w sposób równowżny nierównoć x x x x x x x x, nstępnie x x xx 0 Uwg Dną nierównoć możemy przeksztłcić w inny sposóbś x x x x x x, stąd x x x x x x x x x x x xx x x x x x x xx x 0 x x x x 0 Wykorzystując wzory Viete' otrzymujemy nierównoć m m m 0, nstępnie 5 5 m m m m Stąd otrzymujemy,, Stąd i z poprzedniego wrunku otrzymujemy rozwiąznie zdni m,
3 Schemt ocenini Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów Pierwszy z nich poleg n rozwiązniu nierównoci 0 Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje punkt Uwg Jeżeli zdjący zpisze 0, to z ten etp otrzymuje Ń punktów Drugi etp poleg n rozwiązniu nierównoci x x x x x x Z tę częć rozwiązni zdjący może otrzymć 4 punkty Podził punktów z drugi etp rozwiązniś x x x x zdjący otrzymuje punkt - Z zpisnie nierównoci w postci 0 - Z zpisnie nierównoci w postci m m m 0 zdjący otrzymuje punkty zdjący - Z zpisnie nierównoci w postci m m m otrzymuje punkty 5 5 m - Z rozwiąznie tej nierównoci,, 4 punkty zdjący otrzymuje Trzeci etp poleg n wyznczeniu częci wspólnej rozwiązń nierównoci z etpu pierwszego i drugiego Z tę częć rozwiązni zdjący może otrzymć punkt 5 5 OdpowiedźŚ m, Uwg W przypdku rozwiązni z usterkmi, z osttni etp przyznjemy punkt jedynie wówczs, gdy zdjący poprwnie wykon etp I i popełni błędy w rozwiązniu nierównoci z etpu II gdy popełni błędy w etpie I i dobrze rozwiąże nierównoć z etpu II x x x x x x x x x x lub Jeżeli zdjący obie strony nierównoci xx x x 0 podzieli bez uzsdnieni przez x x i rozwiąże zdnie do końc, to z rozwiąznie zdni otrzymuje 4 punkty
4 Zdnie (4 pkt) x Funkcj f jest okrelon wzorem f x dl wszystkich liczb rzeczywistych x tkich, x że x 0 Rozwiąż nierównoć f 4 x Rozwiznie x f x x x dl kżdego x, więc nierównoć Poniewż x f 4 możemy zpisć w postci x 4 Stąd x x 4 i x 4, x 7 i x Drug z otrzymnych nierównoci jest prwdziw dl kżdej liczby x, pierwszą spełniją tkie liczby x, że x 7 i x 7 Skąd x 4, Uwzględnijąc złożenie OdpowiedźŚ x 4,, Schemt ocenini x 4,, x, otrzymujemy osttecznie Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p wyznczy f x x dl x zpisze nierównoć w postci równowżnejś f 7 i f x x Pokonnie zsdniczych trudności zdni p zpisze koniunkcję nierównociś x 7 i x Rozwiznie prwie pełne p rozwiąże koniunkcję nierównociś x 4, Rozwiznie pełne 4 p wyznczy zbiór rozwiązń nierównoci f 4 x x 4,, : 4
5 Zdnie (4 pkt) Rozwiąż równnie sin x sin x 0 w przedzile 0, 5 Rozwiznie Poniewż sin x sin x cos x, to równnie sin x sin x 0 możemy zpisć w postci równowżnej sin x cos x sin x 0, Stąd sin x cos x 0 sin x 0 lub cos x W przedzile 0, równnie sin x 0 m trzy rozwiązniś x 0 lub x lub x Równnie cos x m w przedzile 0, dw rozwiązniś x 5 lub x 7 Ztem równnie sin x sin x 0 m w przedzile 0, pięć rozwiązńś x 0, x 5, x, x 7, x Schemt ocenini Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze równnie w zleżnoci od funkcji trygonometrycznych tego smego rgumentu, np: sin x cos x sin x 0 i n tym zkończy Pokonnie zsdniczych trudności zdni p zpisze lterntywę sin x 0 lub cos x błędy i n tym zkończy lub dlej popełni Rozwiznie prwie pełne p rozwiąże równnie sin x 0 w przedzile 0, : x 0, x, x rozwiąże równnie cos x w przedzile 0, : x 5 lub x 7 rozwiąże ob równni sin x 0 orz cos x w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych: x k, x 5 l, x 7 m, gdzie k, l, m to liczby cłkowite Rozwiznie pełne 4 p zpisze wszystkie rozwiązni równni sin x sin x 0 w przedzile 0, : x 0, x 5, x, x 7, x ( x 0, x 50, x 80, x 0, x 0) Uwg Jeżeli zdjący dzieli stronmi równnie sin xcos x sin x 0 przez sin x bez rozptrzeni dwóch przypdków i poprwnie rozwiąże równnie cos 0 x, to otrzymuje z cłe rozwiąznie punkty
6 Zdnie 4 ( pkt) W trpez ACD wpisno okrąg o rodku S Okrąg ten jest styczny do rmion AD i C tego trpezu w punktch odpowiednio P i Q (zobcz rysunek) P D C Q S A Uzsdnij, że trójkąt ASD jest prostokątny Wykż, że Rozwiznie Oznczmy przez r promień dnego okręgu D C Q AP DP Q CQ P r S r A Sum kątów przy rmieniu trpezu jest równ 80, czyli AD CDA 80 orz AC DC 80 rodek okręgu wpisnego w trpez leży n dwusiecznych kątów AD i CDA, więc SAD SDA AD CDA ASD 80 SAD SDA , czyli trójkąt ASD jest Ztem prostokątny Tk smo uzsdnimy, że trójkąt SC jest prostokątny W trójkącie prostokątnym kwdrt wysokoci poprowdzonej z wierzchołk kąt prostego jest równy iloczynowi długoci odcinków, n jkie spodek tej wysokoci dzieli przeciwprostokątną Ztem AP DP r orz Q CQ r Stąd AP DP Q CQ, co kończy dowód Schemt ocenini Zdjcy otrzymuje p gdy uzsdni, że trójkąt ASD jest prostokątny
7 7 Zdjcy otrzymuje p gdy zpisze jedną z równoci wynikjącą z twierdzeni o podzile przeciwprostokątnej trójkąt prostokątnego spodkiem wysokociś AP DP r lub Q CQ r Zdjcy otrzymuje p gdy uzsdni, że trójkąt ASD jest prostokątny, zpisze, że trójkąt SC jest prostokątny orz wykże równoć AP DP Q CQ Zdnie 5 ( pkt) Wykż, że dl kżdej dodtniej i różnej od jednoci liczby i dl kżdej dodtniej i różnej od jednoci liczby b spełnion jest równoć 55 log b log b log b log b log b log b 9 0 I sposób rozwizni Stosując wzór n zminę podstw logrytmu otrzymujemyś logb log b, logb log b,, 0 logb log 0 b Stąd i ze wzoru n logrytm potęgi lewą stronę równoci możemy zpisć w postci logb log b 0log b Lew stron równoci jest więc równ 55 0logb 55logb log b To kończy dowód II sposób rozwizni Wykorzystujemy wzór n zminę podstwy logrytmu Możemy zpisć, że log b log b logb logb log b log b log b, log b,, log 0 b 0 log log log 0 Zuwżmy, że przy podnych złożenich log b 0 i mnożymy obie strony równni przez log b log b log b log b Wówczs otrzymujemy: 55 log b log b log b 0 Po przeksztłceniu otrzymujemy: 0 55, co kończy dowód Schemt ocenini rozwizni Zdjcy otrzymuje p gdy zstosuje wzór n zminę podstw logrytmu i zpisześ logb log b, logb log b,, 0 logb log 0 b log b log b log b logb logb log b log b, log b,, log 0 b 0 log log log 0
8 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Zdjcy otrzymuje p gdy przedstwi lewą stronę równoci w postciś log log 0log lub b b b log b log b log b 55 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy log b log b log b 0 Zdjcy otrzymuje p gdy przedstwi kompletny dowód podnej równoci 8
9 Zdnie (5 pkt) Prost l, n której leży punkt A,5 różnych punktch x, y i C x, y, przecin prbolę o równniu prostej l, przy której sum y y osiągnie wrtoć njmniejszą y 9 x w dwóch Oblicz wrtoć współczynnik kierunkowego Rozwiznie Wyznczmy równnie rodziny prostych przechodzących przez punkt A Niech ozncz współczynnik kierunkowy dowolnej prostej l tej rodziny, ztem jej równnie przyjmuje postćś y 5 x, czyli y x 5 Prost o równniu x nie spełni wrunków zdni, gdyż przecin prbolę o równniu C y x tylko w jednym punkcie Współrzędne punktów i C to rozwiązni ukłdu równń y x, y x 5 z którego otrzymujemy równnie kwdrtowe z niewidomą x y A y = x x x 5 0 Dl kżdej wrtoci równnie to m dw rozwiązni (kżd z prostych opisnych równnie y 5 x przecin prbolę w dwóch punktch o różnych odciętych) Z tego, że punkty i C leżą n prboli wnioskujemy, żeś y x i y y y x x x x x x Ze wzorów Viète możemy tę sumę zpisć w postci 5 y y 4 0 Otrzymlimy w ten sposób funkcję okreloną wzorem dl kżdej liczby rzeczywistej f 4 0 x Ztem Funkcj f jest kwdrtow, współczynnik przy jest dodtni, więc przyjmuje on wrtoć 4 njmniejszą dl Odpowiedź Wyrżenie y y przyjmuje njmniejszą wrtoć, gdy współczynnik kierunkowy prostej l jest równy
10 0 Schemt ocenini Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwizni zdni p zpisze równnie rodziny prostych przechodzących przez punkt A i przecinjących prbolę y x y 5 x lub y x 5 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy w punktch i C: Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p y x zpisze ukłd równń y x 5 Uwg Jeżeli zdjący zpisze równnie x x 5 0, to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p wykorzyst wzory Viète i zpisze wyrżenie y y jko funkcję zmiennej : f 4 0 Rozwiznie pełne 5 p obliczy, dl którego wyrżenie y y przyjmuje wrtoć njmniejsząś
11 Zdnie 7 ( pkt) Trzy liczby, których sum jest równ 05, są kolejnymi wyrzmi rosnącego ciągu geometrycznego Pierwsz z tych liczb jest jednoczenie pierwszym, drug szóstym, trzeci dwudziestym szóstym wyrzem pewnego ciągu rytmetycznego Oblicz te liczby I sposób rozwizni Niech, b i c oznczją odpowiednio pierwszą, drugą i trzecią z szuknych liczb Sum tych liczb jest równ 05, czyli b c 05 Z włsnoci ciągu geometrycznego otrzymujemy równnie b c Niech d n będzie ciągiem rytmetycznym, w którym d, d Ze wzoru n n-ty wyrz ciągu rytmetycznego otrzymujemy b d 5r, c d 5r Otrzymlimy ztem ukłd równń 5r 5r 05 5r 5r Pierwsze równnie przeksztłcmy równowżnie i otrzymujemy 0r 05, 0r 5, 5 0r Ztem drugie równnie możemy zpisć w postci 5 5r 5 0r5 5r, 5 7 r 57 r57 r, 7 r 7 r7 r, b, d 5 0r 5r 5 0r 5 0r 5r, r r 0, 7r r 0 r r r r r, c Stąd wynik, że r 0 lub r Gdy r 0, to 5, b 5r 5 orz c 5r 5 Ztem ciąg jest stły Gdy r to 5, b 55 0 orz c OdpowiedźŚ Jest jedn trójk tkich liczb: 5, 0, 80 Schemt ocenini I sposobu rozwizni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze równnie wynikjące z włsnoci ciągu geometrycznego bc,,, np: zpisze liczby, b i c w zleżnoci od różnicy ciągu rytmetycznego d, np: d, b d 5r, c d 5r n b c
12 Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p zpisze równnie wynikjące z włsnoci ciągu geometrycznego bc,,, np: b c orz zpisze zleżnoci między liczbmi, b i c orz różnicy r ciągu rytmetycznego d n, np: d, b d 5r, c d 5r Uwg Jeżeli zdjący zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć i r, np: 5r 5r 05, 5r 5r to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p zpisze równnie z jedną niewidomą, npś 5 0r 5r 5 0r 5 0r 5r Rozwiznie zdni do koc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślj poprwności rozwizni (np błędy rchunkowe) 5 p zpisze równnie z jedną niewidomą w postci uporządkownej i n tym zkończy, npś 7r r 0 rozwiąże zdnie do końc i nie odrzuci przypdku ciągu stłego, czyli r 0 rozwiąże zdnie do końc, le w trkcie rozwiązywni zdni popełni błędy rchunkowe Rozwiznie pełne p wyznczy szukną trójkę liczb: 5, 0, 80 II sposób rozwizni Niech, b i c oznczją odpowiednio pierwszą, drugą i trzecią z szuknych liczb, których sum jest równ 05, stąd b c 05 Z włsnoci ciągu geometrycznego otrzymujemy równnie b c Wyrzy ciągu rytmetycznego d n, to: d, d b, d c Korzystjąc z definicji ciągu rytmetycznego otrzymujemy d, b d 5r, c d 5r Stąd otrzymujemy ukłd równń 5r 5r 05 5r 5r Pierwsze równnie przeksztłcmy równowżnie i otrzymujemy 0r 05, 0r 5, Drugie równnie możemy zpisć w postci 5r 5r,
13 , 5r 5r 0, 5r 5r 0 0r 5r 5r Stąd wynik, że r 0 lub r 5 Gdy r 0, to 5, wtedy b 5 orz c 5 Ztem wtedy ciąg jest stły Gdy r 5 to 0 5 5, wtedy 5 orz r Ztem b 55 0, c OdpowiedźŚ Jest jedn trójk tkich liczb: 5, 0, 80 Schemt ocenini II sposobu rozwizni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze równnie wynikjące z włsnoci ciągu geometrycznego bc,,, np: zpisze liczby, b i c w zleżnoci od różnicy ciągu rytmetycznego d, np: d, b d 5r, c d 5r n b c Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p zpisze równnie wynikjące z włsnoci ciągu geometrycznego bc,,, np: b c orz zpisze zleżnoci między liczbmi, b i c orz różnicy r ciągu rytmetycznego d n, np: d, b d 5r, c d 5r Uwg Jeżeli zdjący zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć i r, np: i 5r 5r r r, to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p zpisze równnie kwdrtowe (nwet w postci nieuporządkownej) z jedną niewidomą, npś 5 5r 5 0r5 5r równnie pozwljące wyznczyć r, np: lub r 5 i n tym zkończy orz wywnioskuje, że r 0 5r 5r 0 Rozwiznie zdni do koc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślj poprwności rozwizni (np błędy rchunkowe) 5 p rozwiąże zdnie do końc i nie odrzuci przypdku ciągu stłego, czyli r 0 rozwiąże zdnie do końc, le w trkcie rozwiązywni zdni popełni błędy rchunkowe Rozwiznie pełne p wyznczy szukną trójkę liczb: 5, 0, 80
14 Zdnie 8 ( pkt) Punkt M 5, jest rodkiem rmieni C trójkąt równormiennego AC, w którym AC C Podstw A tego trójkąt jest zwrt w prostej o równniu A,0 Oblicz współrzędne wierzchołk tego trójkąt I sposób rozwizni Odcinek AM jest rodkową trójkąt AC Niech S x, y trójkąt A y Z twierdzeni o rodku ciężkoci trójkąt wynik, że S D S S M AS 4 y x orz będzie rodkiem ciężkoci tego x AM, czyli xs, ys 5,, xs, ys,4, xs orz ys Stąd xs orz ys 4, czyli S,4 Poniewż trójkąt AC jest równormienny i A jest jego podstwą, więc prost zwierjąc rodkową CS tego trójkąt jest jednoczenie symetrlną podstwy A Jej równnie m ztem postć 7 y x 4, y x Rozwiązując ukłd równń y x i y x obliczymy współrzędne rodk D odcink A Porównując prwe strony równń tych prostych mmy x x, 0 0 x,
15 x Ztem D, y, więc Współrzędne rodk D odcink A są równe xa x ya y xd orz yd, więc x 0 y orz Stąd x 9 orz y 4, czyli 9,4 5 II sposób rozwizni 0 9 Prost AM m równnie postci y x, czyli y x rodek ciężkoci S xs, ys trójkąt AC leży n prostej AM, więc S xs, xs 4 4 i x S 5 Z twierdzeni o rodku ciężkoci trójkąt wynik, że AS AM Stąd s 4 x x 5 0 s 9 8 s, x x s 5 x s 00, 5 x 4 s 00, 9 x s, xs lub xs, 7 xs 8 lub xs Tylko drugie z tych rozwiązń spełni wrunek x S 5, więc xs, 7 Ztem S,,4 4 4 Poniewż trójkąt AC jest równormienny i A jest jego podstwą, więc prost zwierjąc rodkową CS tego trójkąt jest jednoczenie symetrlną podstwy A Jej równnie m ztem postć 7 y x 4, y x
16 Rozwiązując ukłd równń y x i y x obliczymy współrzędne rodk D odcink A Porównując prwe strony równń tych prostych mmy x x, Ztem y, więc 0 0 x, x D, Współrzędne rodk D odcink A są równe xa x ya y xd orz yd, więc x 0 y orz Stąd x 9 orz y 4, czyli 9,4 Schemt ocenini I i II sposobu rozwizni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze równnie lub zleżnoć pozwljąc obliczyć współrzędne punktu S, przecięci rodkowych trójkąt, npś AS AM lub AS AM Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p 7 obliczy współrzędne rodk ciężkoci trójkąt AC: S,4 Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć współrzędne rodk podstwy A trójkąt y x AC, np: y x Uwg Jeżeli zdjący zpisze równnie prostej zwierjącej wysokoć trójkąt AC opuszczoną z wierzchołk C, to otrzymuje punkty Rozwiznie zdni do koc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślj poprwności rozwizni (np błędy rchunkowe) 5 p zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć współrzędne wierzchołk : x 0 y orz obliczy współrzędne wierzchołk z błedmi rchunkowymi Rozwiznie pełne p obliczy współrzędne wierzchołk : 9,4
17 7 III sposób rozwizni Przyjmujemy oznczeni jk n rysunku C M A D E Długoć rodkowej AM jest równ AM Równnie prostej A możemy zpisć w postci xy 0 Długoć odcink ME jest równ odległoci punktu M od prostej A, więc 5 0 ME 0 Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt AME otrzymujemy Stąd AE AM AE ME 0, czyli 0 AE 0 Punkt D jest rodkiem boku A, gdyż trójkąt AC jest równormienny Poniewż M jest rodkiem C, odcinki CD i ME są równoległe, więc punkt E jest rodkiem odcink D 4 4 Ztem AE A Stąd wynik, że A AE Punkt x, y leży n prostej A, więc x, x, gdzie x 5 Poniewż A 4 0, więc stąd i ze wzoru n odległoć między dwom punktmi otrzymujemy x x 4 0, 0, 9 0 x 0, 9 x x x 9, x lub x, x 9 lub x 5
18 Tylko pierwsze z tych rozwiązń spełni wrunek x 5, więc x 9 Ztem 9, 9 9, 4 Schemt ocenini III sposobu rozwizni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p obliczy długoć rodkowej AM: AM 0 obliczy odległoć punktu M od prostej A: ME 0 zpisze, że punkt E jest rodkiem odcink D Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p obliczy długoci odcinków AM i ME: AM 0, ME 0 obliczy długoć jednego z odcinków AM lub ME i zpisze, że punkt E jest rodkiem D obliczy długoć jednego z odcinków AM lub ME i zpisze współrzędne punktu w zleżnoci od jednej zmiennej, npś x, x Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p zpisze równnie z jedną niewidomą współrzędną punktu, np: x x 4 0 Uwg Jeżeli zdjący obliczy długoć boku A, to otrzymuje punkty Rozwiznie zdni do koc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślj poprwności rozwizni (np błędy rchunkowe) 5 p zpisze równnie kwdrtowe z jedną niewidomą i n tym zkończy, np: 0 x 0 9 obliczy współrzędne punktu z błędmi rchunkowymi Rozwiznie pełne p obliczy współrzędne wierzchołk : 9,4 8
19 Zdnie 9 (5 pkt) Dny jest szecin ACDEFGH o krwędzi długoci Punkt P jest rodkiem krwędzi C Płszczyzn AHP przecin krwędź CG w punkcie R (zobcz rysunek) Oblicz pole przekroju tego szecinu płszczyzną przechodzącą przez punkty A, H, R i P H G 9 E F R A D P C Rozwiznie Niech R będzie punktem, w którym krwędź boczn CG szecinu przebij płszczyznę APH szuknego przekroju H G E F R D C P A Poniewż płszczyzny cin ADHE i CGF są równoległe, więc kżd płszczyzn, któr nie jest do nich równoległ przecin te płszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych
20 0 Wynik stąd, że przekrój APRH jest trpezem o podstwch AH i PR Poniewż odcinek G jest równoległy do AH, odcinek AH jest równoległy do PR, więc PR jest równoległy do G Stąd i z fktu, że P jest rodkiem C wynik, że R jest rodkiem CG To z kolei ozncz, wobec przystwni trójkątów AP i HGR, że trpez APRH jest równormienny, długoć podstwy PR jest połową długoci podstwy AH Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt AP otrzymujemy AP A P 5 Stąd AP HR 5 Podstwy AH i PR mją długoci AH, PR Nrysujmy trpez HAPR i jego wysokoć RS opuszczoną z wierzchołk R R P h Poniewż jest to trpez równormienny, więc HS AH PR Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt HSR otrzymujemy Stąd H HR h HS, h 5 9 h 5 5 Pole przekroju jest więc równe P APRH 9 Schemt punktowni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze, że przekrój jest trpezem obliczy długoć rmieni trpezu: AP 5 obliczy długoć krótszej podstwy trpezuś PR S Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p obliczy długoci boków trpezu: AH, PR, AP 5 A
21 Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p obliczy długoć wysokoci trpezuś h Uwg Jeli zdjący popełni błędy rchunkowe przy wyznczniu wysokoci trpezu, to otrzymuje punkty Rozwiznie pełne 5 p obliczy pole przekrojuś 9 Zdnie 0 (4 pkt) Wyzncz wszystkie wrtoci prmetru m, dl których liczb jest jedynym cłkowitym W x mx x m 9 x m pierwistkiem wielominu Rozwiznie Poniewż liczb jest pierwistkiem wielominu W, więc równnie Stąd wynik, że m 4 lub m Gdy 4 m m m 9 0, m m8 0, m m 4 0 W x 4x x 7x 4 m, to wielomin W m postć W 0 Otrzymujemy ztem Poniewż liczb jest pierwistkiem wielominu, ztem wielomin W jest podzielny przez dwumin x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy Poniewż trójmin 4x x 4 4x x 7x 4 x 4x x 4 m współczynniki wymierne i różne od 0, jego wyróżnik nie jest kwdrtem liczby wymiernej, więc pierwistki tego 7 7 trójminu są liczbmi niewymiernymi ( x, x ) Ztem dl m 4 liczb 8 8 jest jedynym cłkowitym pierwistkiem wielominu W Gdy ntomist W x x x 5x Liczb jest pierwistkiem wielominu, m, to ztem wielomin W jest podzielny przez dwumin x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy Obliczmy pierwistki trójminu x x : x x 5x x x x 4 9 5, 5, 5 5 x, x, 4 4
22 Jeden z pozostłych pierwistków jest cłkowity, ztem dl m nie są spełnione wrunki zdni Uwg Te wrtoci prmetru m, dl których liczb jest pierwistkiem wielominu W możemy też wyznczyć dzieląc wielomin W przez dwumin x, nstępnie otrzymną resztą przyrównując do zer Dzielenie możemy wykonć stosując np lgorytm Horner Reszt jest równ m m m 9 m m m m m 8 m m 8 m8 0 Ztem m 4m 0, więc m 4 lub m Schemt ocenini Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p m m 9 m 0 zpisze równnie z niewidomą m, np podzieli wielomin W przez dwumin x otrzym resztę z tego dzieleni równą m m 8 Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p obliczy wrtoci prmetru m: m 4 lub m Pokonnie zsdniczych trudności zdni p podzieli wielominy: W x 4x x 7x 4 i W x x x 5x przez dwumin x i otrzym odpowiednio ilorzy: 4x x 4 orz x x, obliczy pozostłe pierwistki tych wielominów i n tym zkończy lub dlej popełni błędy W x x x 5x x i otrzym ilorz podzieli wielomin przez dwumin x x, sprwdzi, że liczb jest pierwistkiem tego trójminu i nie odrzuci prmetru m podzieli wielomin W x x x 5x przez dwumin x i otrzym ilorz x x, sprwdzi, że liczb jest pierwistkiem tego trójminu i nie odrzuci prmetru m Rozwiznie pełne 4 p wyznczy wszystkie wrtoci prmetru m, dl których liczb jest jedynym cłkowitym pierwistkiem wielominu W: m 4
23 Zdnie (4 pkt) Kżd z urn oznczonych liczbmi,, zwier po kule czrne i 4 biłe, kżd urn oznczon liczbmi 4, 5, zwier po czrne i biłe kule Rzucmy szecienną kostką do gry, nstępnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez zwrcni kule Co jest brdziej prwdopodobneś wylosownie dwóch kul czrnych, czy dwóch kul biłych? Rozwiznie Przyjmujemy oznczeni: n n, b wylosownie kuli biłej, c wylosownie kuli czrnej, zdrzenie polegjące n wylosowniu dwóch kul biłych, C zdrzenie polegjące n wylosowniu dwóch kul czrnych U urn, z której losujemy, gdzie,,, 4, 5, W pierwszej częci dowidczeni rzucmy szecienną kostką do gry Liczb oczek wyrzucon n kostce wskzuje numer urny, z której losujemy kule Prwdopodobieństwo wyboru urny do losowni jest jednkowe dl wszystkich szeciu urn i jest równe Rysujemy drzewo probbilistyczne dl pierwszego etpu dowidczeni, z okrelonymi prwdopodobieństwmi przy głęzich Jeli n kostce wypdnie liczb oczek równ, lub, drzewo probbilistyczne, obrzujące drugą częć dowidczeni, będzie wyglądło nstępującoś Ztem prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych z urn U, U, U jest równe 4 P (,, ) 7 7 Ntomist prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul czrnych z urn U, U, U jest równe P (,, C) 7 4 Jeli n kostce wypdnie liczb oczek równ 4, 5 lub, drzewo probbilistyczne, obrzujące drugą częć dowidczeni, będzie wyglądło nstępującoś
24 4 Prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych z urn U 4, U 5, U jest równe P ( 4,5, ) Ntomist prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul czrnych z urn U 4, U 5, U jest równe P ( 4,5, C) Ztem prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych w tym dowidczeniu jest równe P ( ) P,, P4,5,, z prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul czrnych jest równe 0 P ( C) P,,C P4,5, C Poniewż P( C) P( ), więc brdziej prwdopodobne w tym dowidczeniu jest wylosownie dwóch kul czrnych Schemt ocenini Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwizni zdni p nrysuje drzewo probbilistyczne i zpisze prwdopodobieństw n głęzich i n tym zkończy lub dlej rozwiązuje błędnie zdjący nrysuje drzewo probbilistyczne, wskże istotne głęzie drzew i tylko n nich zpisze prwdopodobieństw, i n tym zkończy lub dlej rozwiązuje błędnie Uwg Ocenimy rozwiąznie n Ń punktów, gdy w dlszej częci rozwiązni zdjący dod prwdopodobieństw wzdłuż głęzi zmist mnożyć pomnoży otrzymne iloczyny zmist je dodć Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p obliczy P ( C) lub 40 P ( ) obliczy P (,, ) i P 7 7 C) 7 (,, 4
25 obliczy P ( 4,5, ) i P ( 4,5, C) Pokonnie zsdniczych trudności zdni p 7 obliczy P( C) i P ( ) Rozwiznie pełne 4 p zpisześ P( C) P( ) i wskże brdziej prwdopodobne zdrzenieś wylosownie dwóch kul czrnych Uwgi Jeżeli zdjący rozwiąże zdnie do końc i otrzym P C 0 lub P C lub P 0 lub P, to otrzymuje z cłe zdnie Ń punktów Jeżeli zdjący popełni błąd rchunkowy podczs obliczni prwdopodobieństw i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zdnie do końc, to otrzymuje punkty 5
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C
Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 4 5 C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie. (-) x Rozwiąż
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Nr zd Klucz punktowni zdń zmkniętych 3 5
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R MAJ 09 Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoMatematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM. Modelowe etapy rozwiązywania zadania
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Mtemtyk Poziom rozszerzony Mrzec 09 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. C Obliczenie wrtości funkcji: f(
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =
Vdemecum GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* Mtemtyk - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Prón Mtur z OPERONEM Operon 00% MATURA 07 VA D EMECUM
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R MAJ 09 Zdni zmknięte Punkt przyznje się z wskznie poprwnej
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 2 CZERWCA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 14:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy
Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Pobrno ze strony www.sqlmedi.pl Modele odpowiedzi do rkusz Próbnej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 9 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ Copyright by Now Er Sp z oo Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprwne i spełnijące
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętch orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwow Klucz punktowni zdń zmkniętch Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź D A B D C B B C C B A C D D C B C A D D C
Bardziej szczegółowoSkrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera
Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoSCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy
SCHEMAT UNKTOWANIA Wojewódzki Konkurs rzedmiotowy z Mtemtyki dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 0/03 Etp rejonowy rzy punktowniu zdń otwrtych nleży stosowć nstępujące ogólne reguły: Ocenimy rozwiązni zdń
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoKlasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa
Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. III
Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ W ROKU SZKOLNYM 08/09 Schemt punktowni zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź uczeń otrzymuje punkt Numer zdni Poprwn odpowiedź 5 6 7 8 9
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri Środowisk w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Kls technikum Przedmiotowy system ocenini wrz wymgnimi edukcyjnymi Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące (D) i wykrczjące (W). Wymienione
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019
Wymgni edukcyjne z mtemtyki dl klsy II liceum (poziom podstwowy) n rok szkolny 08/09 Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy
Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp... 4
pis treści Wstęp... 4 Zdni mturlne......................................................... 5 1. Funkcj kwdrtow... 5. Wielominy... 7. Trygonometri... 9 4. Wrtość bezwzględn... 11 5. Plnimetri... 15 6.
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoH. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania
H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 2. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyk Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH
MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY
Bardziej szczegółowof(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził - Lp Lp temt z.p. z.r. Zkres treści Wykres f() = 1 1 wykres i włsności f() =, gdzie 0 Przesunięcie wykresu f() = wzdłuż osi OX i OY /o wektor/ Postć knoniczn i postć ogóln
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 2C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 2
Wymgni egzmincyjne z mtemtyki. ls C. MATeMATyk. Now Er. y są ze sobą ściśle powiązne ( + + R + D + W), stnowiąc ocenę szkolną, i tk: ocenę dopuszczjącą () otrzymuje uczeń, który spełnił wymgni konieczne;
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II
1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 2 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych
MATeMAtyk 2 Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Kls 2 Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej
Bardziej szczegółowo1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu
MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowo