Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7

Transkrypt

1 Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7

2 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem kryterium optymalizacyjnego Zbioru zmiennych decyzyjnych oraz pozostałych parametrów opisujących proces Zbioru ograniczeń (warunków ograniczających)

3 Zadanie optymalizacji liniowej x { x 1,..., } x n T zbiór zmiennych decyzyjnych zadania optymalizacji n=1,...,n ilość zmiennych zadania f (x) funkcja celu h ( x) 0, dla j 1,..., ograniczenia j n r równościowe g ograniczenia k ( x) 0, dla k 1,..., n n nierównościowe

4 Problem (diety) mieszanek W zagadnieniu optymalnego składu mieszaniny, podejmujący decyzję musi określić, jakie ilości podstawowych surowców należy zakupić (zmieszać), aby otrzymać produkt o pożądanym składzie (np. chemicznym) przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców.

5 Typowym zagadnieniem problemu mieszanki jest następujące zagadnienie: "Danych jest n surowców wyjściowych zawierających m różnych składników, istotnych z punktu widzenia właściwości produktu, będącego odpowiednią mieszaniną tych surowców (np. mogą to być surowce naturalne zawierające określoną liczbę różnych składników chemicznych lub fazowych). znany jest poziom a ij (i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., n) zawartości i-tego składnika w jednostce wagowej (np. w 1 kg) j-tego surowca oraz cena jednostkowa p j (j = 1,2,..., n) j-tego surowca.

6 " Z surowców tych należy utworzyć mieszankę, przy czym proporcje poszczególnych surowców powinny być takie, aby w jednostce wagowej mieszanki zawartość i-tego składnika wynosiła co najmniej b i (i = 1,2,..., m). Które surowce należy mieszać jakich ilościach, aby uzyskać żądaną mieszankę o najmniejszym koszcie? Funkcja celu wyraża koszt jednej jednostki wagowej mieszanki, natomiast ograniczenia wynikają z żądania, aby zawartość i-tego składnika w jednej jednostce wagowej mieszanki wynosiła co najmniej b i (i = 1,2,..., m).

7 Ogólny model matematyczny zagadnienia wygląda następująco: x j (j = 1,2,..., n) oznacza zawartość j-tego surowca w jednej jednostce wagowej mieszanki (zawartość ta może być wyrażona procentowo lub w przyjętej jednostce wagi). Zagadnienie przyjmie wtedy postać: z n j 1 p j x j min przy warunkach ograniczających n j 1 x j a ij x 0 j b i j i 1,2,.. 1,2,.., n, m

8 Przykładowe zadanie Dwa gatunki węgla A i B zawierają zanieczyszczenia fosforem i popiołem. W pewnym procesie przemysłowym potrzeba co najmniej 90 ton żeliwa zawierającego nie więcej niż 0.03% fosforu i nie więcej niż 4% popiołu. Procent zanieczyszczeń i ceny zakupu poszczególnych gatunków węgla (w jednostkach względnych) podaje tablica. Gatunek węgla Zawartość zanieczyszczeń, % fosforu popiołu Cena zakupu 1 tony węgla (j. wzg) A 0, B 0, Jak zmieszać wymienione dwa gatunki węgla, aby uzyskać paliwo o możliwie najniższym koszcie, spełniające wyżej wymienione wymagania?

9 Rozwiązanie Należy zbudować model matematyczny opisujący przedstawioną sytuację. Niech x 1 oznacza gatunek węgla A, a x 2 gatunek węgla B. Pierwsze równanie dotyczy minimalnej ilości węgla (w tonach) potrzebnej w rozpatrywanym procesie przemysłowym: x 1 + x 2 >= 90 Ograniczenia jakościowe są następujące: 0,02*x 1 + 0,05*x 2 <= 0,03*(x 1 + x 2 ) 3*x 1 + 5*x 2 <= 4*(x 1 + x 2 ) Funkcja celu jest następująca: F(x 1, x 2 ) = 500*x *x 2 --> min W sytuacji gdy mamy do czynienia tylko z dwiema zmiennymi decyzyjnymi problem optymalizacji możemy rozwiązać metodą geometryczną.

10 Zadanie 1 Odlewnia powinna wyprodukować w ramach zamówienia 1600 ton żeliwa zawierającego 62,5% Si i 18,75% Mn. W celu realizacji zamówienia odlewnia może kupić cztery rodzaje stopów żeliwnych, ale o innej proporcji wyżej wymienionych pierwiastków. Zawartości pierwiastków i ceny zakupu stopów, podanych w tablicy. a) Ile należy zakupić poszczególnych stopów, aby wyprodukować żeliwo o pożądanym składzie ponosząc możliwie najniższe koszty zakupu stopów. b) Jak wzrosną koszty zakupu stopów, jeżeli wymagania dotyczące zawartości Si w żeliwie wzrosną o 10 ton.

11 Zawartości pierwiastków i ceny zakupu stopów Stop Zawartość pierwiastka w stopie, % Si Mn Cena zakupu 1 tony stopu (zł) S S S S

12 Zadanie 2

13 Zadanie 3