Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2
|
|
- Łucja Żukowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego a pozostałe uwzględnia w warunkach ograniczających ustalając ich satysfakcjonujący poziom. Jeżeli tak utworzone zadanie jest niesprzeczne, to rozwiązując je uzyskamy rozwiązanie sprawne. Zmieniając kryteria uzyskamy różne rozwiązania sprawne. 2. Wykorzystanie współczynników wagowych kryteriom nadaje się wagi i tworzy nowe kryterium zastępcze jako ważoną sumę kryteriów, 3. Hierarchizacja kryteriów zadanie rozwiązywane jest sekwencyjnie jako zbiór zadań jednokryterialnych o ustalonym priorytecie ważności. W każdym kroku przyjmując kryterium o niższej ważności dołącza się jako nowy warunek ograniczający żądanie, aby wszystkie ważniejsze cele były zrealizowane na poziomie nie gorszym niż dotychczas, bądź określa się progi ich wartości (np. procentowo) - rozwiązanie nie jest dopuszczalne jeżeli nie są spełnione dodatkowe ograniczenia związane z progami wartości kryteriów ważniejszych w hierarchii. 4. Programowanie celowe dążymy do znalezienia rozwiązania, które spełniałoby oczekiwania odnośnie sformułowanych celów. Cele mogą być punktowe bądź przedziałowe. Jeżeli osiągnięcie wartości wszystkich pożądanych celów jednocześnie jest niemożliwe, szukamy rozwiązania, które zminimalizuje sumę odchyleń osiągniętych wartości od wartości pożądanych. 5. Metoda punktu idealnego definiuje się rozwiązanie idealne, które nie musi być osiągalne. Minimalizuje się odległość np. euklidesową rozwiązania od punktu idealnego, 6. Metody interaktywne decydent w trakcie postępowania dokonuje określenia satysfakcjonujących go poziomów kryteriów, iteracyjnie może je zmieniać.
2 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów Metoda polega na użyciu jednokryterialnego zadania PL w miejsce zadania wielokryterialnego - polega na zamianie K-1 funkcji celu na ograniczenia gwarantujące osiągnięcie satysfakcjonujących decydenta poziomów kryteriów i na rozwiązaniu zadania ze względu na jedną wybraną funkcję celu. Przykład Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum galonów paliwa X i minimum galonów paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarzane niezależnie w dwóch procesach: P1 i P2. W ciągu 1 godziny trwania procesu P1 zużywa się 1 baryłkę ropy A oraz 3 baryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X oraz 30 galonów paliwa Y. W ciągu 1 godziny trwania procesu P2 zużywa się 4 baryłki ropy A oraz 2 baryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz 40 galonów paliwa Y. Zasób ropy A wynosi 320 baryłek, a ropy B 240 baryłek. Zysk z godziny produkcji według procesu P1 wynosi 200$, a koszty 800$. Zysk z godziny produkcji według procesu P2 wynosi 500$, a koszty 1200$. Szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby osiągnąć: maksymalny zysk oraz minimalny koszt.
3 Załóżmy, że w przykładzie decydenta satysfakcjonuje kwota zysku na poziomie co najmniej $. W takiej sytuacji wystarczy rozwiązać następujący model optymalizacji jednokryterialnej: z 3 = 800x x 2 max 100x x x x x 1 + 4x ( koszty) (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) 200x x (min zysk) x 1 0, x 2 0 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji oraz w przestrzeni kryteriów zilustrowane są na rysunkach. Rozwiązaniami niezdominowanymi (w przestrzeni 2 kryteriów zysk, koszty) są punkty na odcinku B C. Rozwiązaniem optymalnym sformułowanego zadania jednokryterialnego jest punkt B o współrzędnych: x 1 =0, x 2 =80. Oznacza to zastosowanie procesu technologicznego P2 w ilości 80 godzin i nie stosowanie w ogóle procesu P1. Odpowiadające rozwiązaniu optymalne koszty to $. Osiągany przy tym rozwiązaniu zysk jest równy dokładnie 40000$ - ograniczenie wiążące. Drugim wiążącym ograniczeniem jest wykorzystanie w 100% zasobu ropy A. Ponadto wielkość produkcji paliwa X będzie dokładnie na dokładnie minimalnym wymaganym poziomie. Pozostałe ograniczenia są spełnione jako nierówności ostre więcej niż minimalny limit paliwa B, zasób ropy B niewykorzystany.
4
5 (ropa B) B C (ropa A) paliwo Y A Min zysk paliwo X D
6 2. Wykorzystanie współczynników wagowych Metoda polega na skonstruowaniu jednej funkcji kryterium zamiast K funkcji kryterium zadania wielokryteriowego. Decydent określa proporcje ważności pomiędzy kryteriami. W przykładzie załóżmy, że proporcje między zyskiem a kosztami ocenione zostały jak 7:3. Prowadzi to do funkcji celu: Funkcja W przyjmuje postać: W(x 1, x 2 ) = 7z 1 + 3z 3 max W(x 1, x 2 ) = 7(200x x 2 ) + 3( 800x x 2 ) = 1000x 1 100x 2 max Użycie wagowej funkcji celu prowadzi do rozwiązania sprawnego w punkcie B zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji.
7 3a. Hierarchizacja kryteriów ścisła Hierarchizacja kryteriów polega na nadaniu funkcjom kryterialnym priorytetów - przyporządkowaniu ich do określonych poziomów hierarchii ważności. Im wyższy priorytet tym kryterium jest ważniejsze. Rozwiązywanie zhierarchizowanego zadania WPL odbywa się sekwencyjnie. W pierwszym kroku rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie PL z funkcją celu o najwyższym priorytecie. W następnym kroku rozszerzamy zbiór ograniczeń o żądanie, aby funkcja celu optymalizowana w poprzednim kroku nie pogorszyła swojej wartości i rozwiązujemy jednokryterialne zadanie PL z funkcją celu z drugiego poziomu hierarchii. W kolejnych krokach postępujemy analogicznie jak w kroku poprzednim, używając funkcji celu z kolejnych (aktualnych) poziomów hierarchii i rozszerzając zbiór ograniczeń o żądanie aby funkcje celu ze wszystkich poprzednich poziomów hierarchii osiągały swoje optymalne wartości). W każdym kroku rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie PL o coraz większej liczbie dodatkowych ograniczeń. Przykład Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby osiągnąć: 1. maksymalny zysk, 2. maksymalną ilość paliw X i Y oraz 3. minimalny koszt. Załóżmy, że numeracja kryteriów odpowiada tutaj hierarchii ważności kryteriów. Zadanie WPL ma postać:
8 z 1 = 200x x 2 max (zysk) z 2 = 130x x 2 max (produkcja paliwa) z 3 = 800x x 2 max ( koszty) 100x x (paliwo X) 30x x (paliwo Y) x 1 + 4x (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) x 1 0, x 2 0
9 W pierwszym kroku rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie z funkcją kryterium zysk o najwyższym priorytecie: z 1 = 200x x 2 max 100x x x x x 1 + 4x (zysk) (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) x 1 0, x 2 0 Rozwiązaniem jest punkt C zbioru rozwiązań dopuszczalnych o współrzędnych: x 1 = 32 godziny oraz x 2 = 72 godziny. Wartość maksymalnego zysku wynosi $.
10 W drugim kroku rozwiązuje się zadanie z funkcją kryterium produkcja paliwa. z 2 = 130x x 2 max (produkcja paliwa) 100x x (paliwo X) 30x x (paliwo Y) x 1 + 4x (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) 200x x 2 = (zysk) x 1 0, x 2 0 Rozwiązanie zadania z drugiego poziomu hierarchii odpowiada również wierzchołkowi C. Wartość funkcji kryterium to galonów paliwa.
11 W trzecim kroku układ ograniczeń uzupełniany jest o żądanie produkcji galonów paliwa. Funkcja kryterium zadania z trzecim priorytetem to - koszty. Model decyzyjny trzeciego poziomu hierarchii jest następujący: z 3 = 800x x 2 max 100x x x x x 1 + 4x (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) 200x x 2 = x x 2 = ( koszty) (zysk) (produkcja paliwa) x 1 0, x 2 0 Uzyskuje się rozwiązanie optymalne również w punkcie C, przy kosztach równych $. Uwaga!!! Rozwiązanie uzyskane metodą ścisłej hierarchizacji jest zawsze rozwiązaniem sprawnym.
12 3.b Hierachizacja kryteriów quasi Jeżeli w postępowaniu ścisłej hierarchizacji nowo dołączane (od kroku 2) ograniczenia w postaci równości zastąpimy nierównościami z prawymi stronami na poziomie nieco niższym od maksymalnych, to postępowanie takie będzie odpowiadało tzw. quasi-hierarchizacji. Takie postępowanie jest podobne do opisanego postępowania, w którym w charakterze ograniczeń wprowadzaliśmy satysfakcjonujące poziomy kryteriów. Jedyna różnica polega tutaj na kolejności wprowadzania takich restrykcji. Ustalmy w imieniu decydenta, że będą nas satysfakcjonowały 90%-owe poziomy maksymalnych wartości kryteriów na K-1 pierwszych stopniach hierarchii. Przy takich założeniach na drugim stopniu hierarchii rozwiązywać będziemy model: z 2 = 130x x 2 max 100x x x x x 1 + 4x (produkcja paliwa) (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) 200x x 2 0, x 1 0, x 2 0 (zysk)
13 Rozwiązaniem jest punkt C, któremu odpowiada produkcja paliwa w ilości galonów. W trzecim kroku rozwiązywany jest model decyzyjny: z 3 = 800x x 2 max ( koszty) 100x x (paliwo X) 30x x (paliwo Y) x 1 + 4x (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) 200x x 2 0, (zysk) 130x x 2 0, (produkcja paliwa) x 1 0, x 2 0
14 Q Rozwiązaniem jest punkt Q o współrzędnych x 1 = 28,8 godziny oraz x 2 = 64,8 godziny. Funkcje kryterium osiągają w tym punkcie następujące wartości: Zysk $, produkcja paliwa galonów oraz koszty $. Uwaga: Rozwiązanie kompromisowe uzyskane metodą quasi-hierarchizacji nie musi być rozwiązaniem sprawnym.
15 -z3 5. Metoda odchyleń od punktu idealnego Metoda polega na znalezieniu w zbiorze rozwiązań niezdominowanych (przestrzeń kryteriów) takiego rozwiązania niezdominowanego, które będzie najbliższe rozwiązaniu idealnemu w sensie, np. odległości euklidesowej. Zagadnienie poszukiwania odpowiedniego rozwiązania w przestrzeni kryteriów można przedstawić jako następujące zadanie optymalizacji: znajdź punkt najbliższy idealnemu należący do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów. Rozważmy przestrzeń kryteriów z 1 zysk i z 3 -koszty : Przestrzeń kryteriów z1 i z D' A' Punkt idealny - niedopuszczalny Rozwiązanie niezdominowane najbliższe punktowi idealnemu B' z1 C'
16 Punkt najbliższy w sensie odległości euklidesowej od punktu idealnego znajdziemy rozwiązując zadanie minimalizacji: w = (y 1,N 42400) 2 + (y 2,N ( 64000)) 2 min, gdzie y N = [y 1,N y 2,N ] T to współrzędne punktu będącego rozwiązaniem kompromisowym w przestrzeni kryteriów. Rozwiązanie kompromisowe jest kombinacją liniową punktów wierzchołkowych zbioru rozwiązań niezdominowanych w przestrzeni kryteriów. Optymalizacja polega na znalezieniu optymalnych wag tej kombinacji. Wagi są nieujemne i sumują się do jedności. W przykładzie mamy 4 wierzchołki łamanej D A A B B C będącej zbiorem rozwiązań niezdominowanych; szukamy zatem 4 wag: y N = α D y D + α A y A + α B y B + α C y C α D + α A + α B + α C = 1 α D 0, α A 0, α B 0, α C 0. Współrzędne rozwiązania kompromisowego w przestrzeni kryteriów: y 1,N = 27680, y 2,N = Optymalne wagi (znalezione za pomocą Solvera narzędzia optymalizacji w Excelu) wynoszą: α D = 0, α A = 77 80, α B = 3 80, α C = 0. Wartości wag oznaczają, że rozwiązanie leży na odcinku A B.
17 Odpowiednik rozwiązania kompromisowego w przestrzeni decyzji znajdujemy jako kombinację liniową odpowiednich wierzchołków tworzących zbiór rozwiązań sprawnych, wykorzystując znalezione optymalne wartości wag. Jest to rozwiązanie sprawne leżące na krawędzi AB zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej: α D x D + α A x A + α B x B + α C x C = [ 15,4 49,2 ] Rozwiązanie kompromisowe: proces P1 15,4 godziny, proces P2 49,2 godziny. Wartości funkcji kryterium: zysk = $, koszty = $.
18 6. Wykorzystanie metody interaktywnej Idea metody interaktywnej polega na rozwiązywaniu zadań jednokryterialnych w każdej iteracji. Zadania te mają oryginalny zbiór ograniczeń zadania WPL, który wzbogacany jest dodatkowymi żądaniami dla każdego z K kryteriów poziomy aspiracji (por. metoda satysfakcjonujących poziomów). Rozwiązując jednokryterialne zadanie PL możemy wyliczyć wartości funkcji celu dla pozostałych K-1 kryteriów. W ten sposób dla wszystkich kryteriów możemy w danej iteracji ustalić dwie skrajne wartości: pesymistyczną i optymistyczną. Decydent ustala dla każdego kryterium swoje poziomy aspiracji (pomiędzy oceną pesymistyczną a optymistyczną). Następnie konstruuje się K nowych ograniczeń i dołącza je do oryginalnych ograniczeń zadania WPL. W kolejnej iteracji ponownie rozwiązywane są zadania jednokryteriowe, tworzone oceny pesymistyczne i optymistyczne, a następnie decydent ustala nowe poziomy aspiracji. Koniec postepowania: gdy oszacowania pesymistyczne i optymistyczne wystarczająco zbliżą się do siebie lub na życzenie decydenta.
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1]
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:
Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE
DR ADAM SOJDA Czasem istnieje wiele kryteriów oceny. Kupno samochodu: cena prędkość maksymalna spalanie kolor typ nadwozia bagażnik najniższa najwyższa najniższe {czarny*, czerwony, } {sedan, coupe, SUV,
Bardziej szczegółowoMetody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik
Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoIwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ
1 Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie Katedra Badań Operacyjnych UŁ 2 Programowanie celowe W praktycznych sytuacjach podejmowania decyzji często występuje kilka celów. Problem pojawia
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n
Bardziej szczegółowoAnaliza wielokryterialna
Analiza wielokryterialna dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Głogowie k.patan@issi.uz.zgora.pl Wprowadzenie Wielokryterialny wybór wariantu
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoAnaliza wielokryterialna wstęp do zagadnienia
Organizacja, przebieg i zarządzanie inwestycją budowlaną Analiza wielokryterialna wstęp do zagadnienia dr hab. Mieczysław Połoński prof. SGGW 1 Wprowadzenie Jednym z podstawowych, a równocześnie najważniejszym
Bardziej szczegółowoOptymalizacja wielokryterialna
Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Dział badań operacyjnych zajmujący się wyznaczaniem optymalnej decyzji w przypadku, gdy występuje więcej niż jedno kryterium Problem wielokryterialny
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)
Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie programów matematycznych
Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)
PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE) Przykład 14. Zakład zamierza rozpocząć produkcję wyrobów W 1 i W 2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą:
Bardziej szczegółowoExcel - użycie dodatku Solver
PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym
Bardziej szczegółowoMetody ilościowe w badaniach ekonomicznych
prof. dr hab. Tadeusz Trzaskalik dr hab. Maciej Nowak, prof. UE Wybór portfela projektów z wykorzystaniem wielokryterialnego programowania dynamicznego Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych 19-06-2017
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji
Bardziej szczegółowoMicrosoft EXCEL SOLVER
Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowoZarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik
Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia
Bardziej szczegółowoZadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby
Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zadanie projektowe 2 Czas realizacji: 6 godzin Maksymalna liczba
Bardziej szczegółowoM1 M2 M3 Jednostka produkcyjna W1 6h 3h 10h h/1000szt 2zł W2 8h 4h 5h h/100szt 25zł Max. czas pracy maszyn:
Zad. Programowanie liniowe Jakiś zakład produkcyjny, ma 3 różne maszyny i produkuje różne produkty. Każdy z produktów wymaga pewnych czasów każdej z 3ch maszyn (podane w tabelce niżej). Ile jakiego produktu
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. doc. dr inż. Tadeusz Zieliński r. ak. 2013/14. Metody komputerowe w inżynierii komunikacyjnej. ograniczenie kosztów budowy.
koszty optimum ograniczenie kosztów budowy Metody komputerowe w inżynierii komunikacyjnej Optymalizacja koszty całkowite koszty budowy koszty eksploatacji zła jakość rozwiązania dobra doc. dr inż. Tadeusz
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoProgramowanie wielocelowe lub wielokryterialne
Programowanie wielocelowe lub wieloryterialne Zadanie wielocelowe ma co najmniej dwie funcje celu nazywane celami cząstowymi. Cele cząstowe f numerujemy indesem = 1, 2, K. Programowanie wielocelowe ciągłe.
Bardziej szczegółowo4. PROGRAMOWANIE LINIOWE
4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji
Bardziej szczegółowołączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)
14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być
Bardziej szczegółowoProgramowanie wielocelowe lub wielokryterialne
Programowanie wielocelowe lub wieloryterialne Zadanie wielocelowe ma co najmniej dwie funcje celu nazywane celami cząstowymi. Cele cząstowe f numerujemy indesem = 1, 2, K. Programowanie wielocelowe ciągłe
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoOptymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego
Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Wstęp Spośród różnych analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów optymalizacji procesów technologicznych
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 13. PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Optymalizacja poszukiwanie
Bardziej szczegółowo1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną
binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel
Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23
Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne optymalizacji wielokryterialnej sterowane preferencjami decydenta
Algorytmy ewolucyjne optymalizacji wielokryterialnej sterowane preferencjami decydenta Dr Janusz Miroforidis MGI Metro Group Information Technology Polska Sp. z o.o. listopad 2010 Wprowadzenie Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoMetody Optymalizacji. Wstęp. Programowanie matematyczne. Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt
Metody Optymalizacji Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt Wstęp W ogólności optymalizacja związana jest z maksymalizowaniem lub minimalizowaniem pewnej wielkości np. maksymalizacja zysku
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoOptymalizacja systemów
Optymalizacja systemów Laboratorium Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania binarnego.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoJacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa
Jacek Skorupski pok. 251 tel. 234-7339 jsk@wt.pw.edu.pl http://skorupski.waw.pl/mmt prezentacje ogłoszenia konsultacje: poniedziałek 16 15-18, sobota zjazdowa 9 40-10 25 Udział w zajęciach Kontrola wyników
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoOptymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)
* ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału
Bardziej szczegółowoUkłady równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Bardziej szczegółowoDodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?
Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowo=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)
Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoZagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:
Programowanie liniowe. 1. Aktywacja polecenia Solver. Do narzędzia Solver można uzyskać dostęp za pomocą polecenia Dane/Analiza/Solver, bądź Narzędzia/Solver (dla Ex 2003). Jeżeli nie można go znaleźć,
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne
Algorytmy ewolucyjne Dr inż. Michał Bereta p. 144 / 10, Instytut Modelowania Komputerowego mbereta@pk.edu.pl beretam@torus.uck.pk.edu.pl www.michalbereta.pl Problemy świata rzeczywistego często wymagają
Bardziej szczegółowo