Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3"

Transkrypt

1 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008

2 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j x j max (min) n j=1 n j=1 n j=1 a ij x j b i (i = 1, 2,..., m) a ij x j b i (i = m + 1,..., p) a ij x j = b i (i = p + 1,..., r) x j 0 (j + 1, 2,..., n 1 ), n 1 n 1

3 Postać standardowa oraz kanoniczna PL Postać standardowa PL(max) PL(min): n j=1 n j=1 c j x j max a ij x j b i (i = 1, 2,..., m) n j=1 n j=1 c j x j min a ij x j b i (i = 1, 2,..., m) x j 0 (j = 1, 2,..., n) x j 0 (j = 1, 2,..., n) 2

4 Postać kanoniczna (wersja macierzowa): c T x max(min) c T = [c 1 c 2... c n ] x = x 1 x 2. x n ax = b A = a 11 a a 1n a 21. a a 2n. a m1 a m2... a mn x 0 b = b 1 b 2. b m 3

5 Sprowadzanie do postaci kanonicznej - zmienne swobodne Przykład: 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 max 2x 1 + 3x 2 + x 3 3 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 5 x 1, x 2, x 3 0 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 max 2x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 3 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 5 = 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 4

6 Dualność Zadanie pierwotne (ZP): n j=1 n j=1 Zadanie dualne (ZD): c j x j max, a ij x j b i (i = 1, 2,..., m), x j 0 (j = 1, 2,..., n) m i=1 m i=1 b i y i min, a ij y i c j (j = 1, 2,..., n), y i 0 (i = 1, 2,..., m) 5

7 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 6

8 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 7

9 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 8

10 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 9

11 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 10

12 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 11

13 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 12

14 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 13

15 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 14

16 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 15

17 Twierdzenie 1 Jeżeli ZP i ZD mają rozwiązania dopuszczalne, to obydwa mają rozwiązania optymalne. Jeżeli natomiast chociaż jedno z nich nie ma rozwiązania dopuszczalnego, to obydwa nie mają rozwiązań optymalnych. Twierdzenie 2 Jeżeli istnieją rozwiązania: x ZP i y ZD, dla których odpowiadające funkcje celu dają te same wartości, to obydwa rozwiązania są optymalne. 16

18 Twierdzenie 3 (o równowadze) Jeżeli x 1, x 2,..., x n jest rozwiązaniem dopuszczalnym ZP oraz y 1, y 2,..., y m jest rozw. dop. ZD, to aby te rozwiązania były optymalnymi, wystarcza, że spełnione są następujące warunki: n j=1 m i=1 a ij x j < b i y i = 0, a ij y i > c j x j = 0, y i > 0 x j > 0 n j=1 m i=1 a ij x j = b i a ij y i = c j. 17

19 ZP f(x) = 9x 1 + 6x 2 max 3x 1 + 6x x 1 + 4x x 1 + 3x x 1, x 2 0 ZD f (y) = 240y y y 3 min 3y 1 + 8y 2 + 9y 3 9 6y 1 + 4y 2 + 3y 3 6 y 1, y 2, y 3 0 x = (20, 30) y = (0.6, 0, 0.8) 18

20 Metoda simpleks dla ZP: f(x) = 9x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 max 3x 1 + 6x 2 + x 3 = 240 8x 1 + 4x 2 + x 4 = 400 9x 1 + 3x 2 + x 5 = 270 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 c j wyrazy zm.baz. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 wolne ilorazy 0 x x x z j x 0 war.opt

21 Po obliczeniach: c j wyrazy zm.baz. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 wolne ilorazy 6 x /5 0 1/ x /15 1 4/ x /15 0 2/15 20 z j x 0 war.opt Wartości bezwzględne wskaźników optymalności zmiennych decyzyjnych ZP są wartościami zm. bilansujących ZD, natomiast wartości bezwzględne wskaźników optymalności zmiennych bilansujących ZP są wartościami zm. decyzyjnych ZD. 20

22 Po obliczeniach: c j wyrazy zm.baz. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 wolne ilorazy 6 x /5 0 1/ x /15 1 4/ x /15 0 2/15 20 z j x 0 war.opt Wartości bezwzględne wskaźników optymalności zmiennych decyzyjnych ZP są wartościami zm. bilansujących ZD, natomiast wartości bezwzględne wskaźników optymalności zmiennych bilansujących ZP są wartościami zm. decyzyjnych ZD. 21

23 Zadanie prymalne: f(x) = 9x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 max 3x 1 + 6x 2 + x 3 = 240 8x 1 + 4x 2 + x 4 = 400 9x 1 + 3x 2 + x 5 = 270 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Zadanie dualne: f (y) = 240y y y 3 + 0y 4 + 0y 5 min 3y 1 + 8y 2 + 9y 3 y 4 = 9 6y 1 + 4y 2 + 3y 3 y 5 = 6 y 1, y 2, y 3, y 4, y

24 c j wyrazy zm.baz. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 wolne ilorazy 6 x /5 0 1/ x /15 1 4/ x /15 0 2/15 20 z j x 0 war.opt Zadanie prymalne Zadanie dualne Zmienne wartości wskaźniki zmienne wartości optymalności Decyzyjne x 1 = 20 0 bilansujące y 4 = 0 x 2 = 30 0 y 5 = 0 Bilansujace x 3 = decyzyjne y 1 = 0.6 x 4 = y 2 = 0 x 5 = y 3 =

25 Metoda simpleks PL: c T x max(min) c - n-wymiarowy wektor wag Ax = b A - macierz współczynników (m n) b - m-wymiarowy wektor wyrazów wolnych x 0 x - n-wymiarowy wektor zmiennych B - baza - macierz kwadratowa (m m), m liniowo niezależnych kolumn macierzy A; det(b) 0 Z każdą bazą B związane jest rozwiązanie bazowe, jest ich ( ) n m. 24

26 Jak uzyskać rozwiązanie bazowe? 1. Wybieramy bazę B. 2. Zmienne niebazowe przyjmują wartośc 0 (x N = 0). 3. Rozwiązujemy układ m r-ń z m niewiadomymi Bx B =b. Twierdzenie 4 Jeżeli zadanie PL ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Wniosek 1 Rozwiązania optymalnego wystarczy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. 25

27 Jak uzyskać rozwiązanie bazowe? 1. Wybieramy bazę B. 2. Zmienne niebazowe przyjmują wartośc 0 (x N = 0). 3. Rozwiązujemy układ m r-ń z m niewiadomymi Bx B =b. Twierdzenie 3 Jeżeli zadanie PL ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Wniosek 2 Rozwiązania optymalnego wystarczy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. 26

28 Jak uzyskać rozwiązanie bazowe? 1. Wybieramy bazę B. 2. Zmienne niebazowe przyjmują wartośc 0 (x N = 0). 3. Rozwiązujemy układ m r-ń z m niewiadomymi Bx B =b. Twierdzenie 3 Jeżeli zadanie PL ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Wniosek 1 Rozwiązania optymalnego wystarczy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. 27

29 Pełny przegląd WSZYSTKICH rozwiązań bazowych jest nieefektywny! W metodzie simpleks przechodzimy od jednego dopuszczalengo rozwiązania bazowego do drugiego, o którym wiemy, że jest NIE GORSZE od poprzedniego. KROK A: Wyznaczamy rozwiązanie wejściowe - dopuszczalne i bazowe. KROK B: Sprawdzamy, czy aktualne rozwiązanie bazowe jest optymalne. KROK C: Jeżeli nie, to bierzemy pod uwagę sąsiednie rozwiązanie bazowe, o ktorym wiemy, że jest nie gorsze i wracamy do B. 28

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) * ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Wykłady z programowania liniowego

Wykłady z programowania liniowego Wykłady z programowania liniowego A. Paweł Wojda Wydział Matematyki Stosowanej AGH 2 Spis treści 1 Wstęp 5 2 Problem programowania liniowego 7 2.1 PPL.................................. 7 2.2 Definicje................................

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych.. Układy równań o macierzach trójkątnych.. Metoda eliminacji Gaussa.3. Metoda Gaussa-Jordana.4.

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana. Optymalizacja I. Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa

Matematyka stosowana. Optymalizacja I. Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa Matematyka stosowana Optymalizacja I Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa Uniwersytet Warszawski, 2012 Streszczenie. Wykład zajmuje się programowaniem liniowym, w tym całkowitoliczbowym.

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne- programowanie liniowe

Badania operacyjne- programowanie liniowe Justyna Kosakowska i Piotr Malicki Badania operacyjne- programowanie liniowe Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki (specjalność: matematyka w ekonomii i finansach) Wydział Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z Pracowni Naukowej 1 Optymalizacja wielomianowa

Sprawozdanie z Pracowni Naukowej 1 Optymalizacja wielomianowa Sprawozdanie z Pracowni Naukowej 1 Optymalizacja wielomianowa Michał Przyłuski 4380/D 28 stycznia 2011 r. Przypuśćmy, że w każdej chwili t, pewna wielkość x przyjmuje wartość x(t) zgodnie z zależnością

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki Opis założonych osiągnięć ucznia W tabelach dla poszczególnych klas, przy treściach kształcenia podajemy przewidywane osiągnięcia uczniów w ramach zakresu rozszerzonego. Podzieliliśmy je na podstawowe

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

PHP w-3. Sterowanie w PHP

PHP w-3. Sterowanie w PHP PHP w-3 Sterowanie w PHP 1 INSTRUKCE STERUJĄCE W PHP podobnie jak w innych językach programowania wykorzystuje się instrukcje sterujące: 1. Instrukcja warunkowa If-else 2. Instrukcja wyboru Switch 3. Pętla

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH

PODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH Wykład 3 Liniowe metody klasyfikacji. Wprowadzenie do klasyfikacji pod nadzorem. Fisherowska dyskryminacja liniowa. Wprowadzenie do klasyfikacji pod nadzorem. Klasyfikacja pod nadzorem Klasyfikacja jest

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Diary przydatne polecenie. Korzystanie z funkcji wbudowanych i systemu pomocy on-line. Najczęstsze typy plików. diary nazwa_pliku

Diary przydatne polecenie. Korzystanie z funkcji wbudowanych i systemu pomocy on-line. Najczęstsze typy plików. diary nazwa_pliku Diary przydatne polecenie diary nazwa_pliku Polecenie to powoduje, że od tego momentu sesja MATLAB-a, tj. polecenia i teksty wysyłane na ekran (nie dotyczy grafiki) będą zapisywane w pliku o podanej nazwie.

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

F-789SGA INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA GHID DE UTILIZARE

F-789SGA INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA GHID DE UTILIZARE F-789SGA INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA GHID DE UTILIZARE E-IM-2727 POLSKI ROMÂNĂ Treść Wyświetl...P.3 Pierwsze Kroki Zasilanie On/Włączone, OFF/Wyłączone...P.4 Regulacja Kontrastu Wyświetlacza...P.4 Wybόr Trybu...

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań za pomocą pakietu WinQSB

Rozwiązywanie zadań za pomocą pakietu WinQSB Rozwiązywanie zadań za pomocą pakietu WinQSB Pakiet WinQSB (Windows Quantitative System for Business) jest przeznaczony do komputerowego rozwiązywania zadań z zakresu programowania matematycznego. Uruchomienie

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne.

Algorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne. Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE klasa 1

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE klasa 1 KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE klasa 1 Przedstawiamy, jakie umiejętności z danego działu powinien zdobyć uczeń, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczający uczeń

Bardziej szczegółowo

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC Metody optymalizacji, wykład nr 9 Paweł Zieliński Programowanie całkowitoliczbowe PLC Literatura [] S.P. Bradley, A.C. Hax, T. L. Magnanti Applied Mathematical Programming Addison-Wesley Pub. Co. (Reading,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza wypukła Nazwa w języku angielskim: Convex analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej Obliczenia w systemach resztowych [Song Y. Yan] Przykład: obliczanie z = x + y = 123684 + 413456 na komputerze przyjmującym słowa o długości 100 Obliczamy kongruencje: x 33 (mod 99), y 32 (mod 99), x 8

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

LICEUM I TECHNIKUM. zakres podstawowy i rozszerzony. Matematyka poznać, zrozumieć ZGODNY Z WYMAGANIAMI. Podręcznik, klasa

LICEUM I TECHNIKUM. zakres podstawowy i rozszerzony. Matematyka poznać, zrozumieć ZGODNY Z WYMAGANIAMI. Podręcznik, klasa LICEUM I TECHNIKUM zakres podstawowy i rozszerzony Matematyka poznać, zrozumieć ZGODNY Z WYMAGANIAMI od 2015 Podręcznik, klasa Autorzy: Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk Podręcznik dopuszczony do użytku

Bardziej szczegółowo

SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS)

SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS) SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS) Wybrane slajdy z prezentacji prof. Tadeusiewicza Wykład Andrzeja Burdy S. Osowski, Sieci Neuronowe w ujęciu algorytmicznym, Rozdz. 5, PWNT, Warszawa 1996. opr. P.Lula,

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce

Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce Autor: prof. dr hab. inż. Waldemar Kamrat Politechnika Gdańska, Katedra Elektroenergetyki ( Energetyka

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I.

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów Klasa I Treści nauczania I. Liczby 1. Liczby rzeczywiste, zapis dziesiętny liczby rzeczywistej, zamiana

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo