Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
|
|
|
- Paulina Niewiadomska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008
2 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j x j max (min) n j=1 n j=1 n j=1 a ij x j b i (i = 1, 2,..., m) a ij x j b i (i = m + 1,..., p) a ij x j = b i (i = p + 1,..., r) x j 0 (j + 1, 2,..., n 1 ), n 1 n 1
3 Postać standardowa oraz kanoniczna PL Postać standardowa PL(max) PL(min): n j=1 n j=1 c j x j max a ij x j b i (i = 1, 2,..., m) n j=1 n j=1 c j x j min a ij x j b i (i = 1, 2,..., m) x j 0 (j = 1, 2,..., n) x j 0 (j = 1, 2,..., n) 2
4 Postać kanoniczna (wersja macierzowa): c T x max(min) c T = [c 1 c 2... c n ] x = x 1 x 2. x n ax = b A = a 11 a a 1n a 21. a a 2n. a m1 a m2... a mn x 0 b = b 1 b 2. b m 3
5 Sprowadzanie do postaci kanonicznej - zmienne swobodne Przykład: 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 max 2x 1 + 3x 2 + x 3 3 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 5 x 1, x 2, x 3 0 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 max 2x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 3 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 5 = 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 4
6 Dualność Zadanie pierwotne (ZP): n j=1 n j=1 Zadanie dualne (ZD): c j x j max, a ij x j b i (i = 1, 2,..., m), x j 0 (j = 1, 2,..., n) m i=1 m i=1 b i y i min, a ij y i c j (j = 1, 2,..., n), y i 0 (i = 1, 2,..., m) 5
7 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 6
8 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 7
9 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 8
10 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 9
11 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 10
12 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 11
13 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 12
14 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 13
15 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 14
16 1. W ZD jest tyle zmiennych, ile nierówności w ZP 2. W ZD jest tyle warunków, ile zmiennych jest w ZP 3. Wagi funkcji celu ZP są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym 4. Wyrazy wolne ZP są wagami funkcji celu w ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min (i odwrotnie) Ponadto: 7. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest równością, to odpowiadająca mu zmienna y i nie ma ograniczeń, 8. Jeżeli w ZP i-ty w-k jest nietypową nierównością, to y i 0 9. Jeżeli w ZP na zmienną x j nie nałożono ograniczeń, to j-ty w-k w ZD jest równością 10. Jeżeli w ZP x j 0, to w ZD j-ty w-k jest nietypową nierównością 15
17 Twierdzenie 1 Jeżeli ZP i ZD mają rozwiązania dopuszczalne, to obydwa mają rozwiązania optymalne. Jeżeli natomiast chociaż jedno z nich nie ma rozwiązania dopuszczalnego, to obydwa nie mają rozwiązań optymalnych. Twierdzenie 2 Jeżeli istnieją rozwiązania: x ZP i y ZD, dla których odpowiadające funkcje celu dają te same wartości, to obydwa rozwiązania są optymalne. 16
18 Twierdzenie 3 (o równowadze) Jeżeli x 1, x 2,..., x n jest rozwiązaniem dopuszczalnym ZP oraz y 1, y 2,..., y m jest rozw. dop. ZD, to aby te rozwiązania były optymalnymi, wystarcza, że spełnione są następujące warunki: n j=1 m i=1 a ij x j < b i y i = 0, a ij y i > c j x j = 0, y i > 0 x j > 0 n j=1 m i=1 a ij x j = b i a ij y i = c j. 17
19 ZP f(x) = 9x 1 + 6x 2 max 3x 1 + 6x x 1 + 4x x 1 + 3x x 1, x 2 0 ZD f (y) = 240y y y 3 min 3y 1 + 8y 2 + 9y 3 9 6y 1 + 4y 2 + 3y 3 6 y 1, y 2, y 3 0 x = (20, 30) y = (0.6, 0, 0.8) 18
20 Metoda simpleks dla ZP: f(x) = 9x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 max 3x 1 + 6x 2 + x 3 = 240 8x 1 + 4x 2 + x 4 = 400 9x 1 + 3x 2 + x 5 = 270 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 c j wyrazy zm.baz. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 wolne ilorazy 0 x x x z j x 0 war.opt
21 Po obliczeniach: c j wyrazy zm.baz. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 wolne ilorazy 6 x /5 0 1/ x /15 1 4/ x /15 0 2/15 20 z j x 0 war.opt Wartości bezwzględne wskaźników optymalności zmiennych decyzyjnych ZP są wartościami zm. bilansujących ZD, natomiast wartości bezwzględne wskaźników optymalności zmiennych bilansujących ZP są wartościami zm. decyzyjnych ZD. 20
22 Po obliczeniach: c j wyrazy zm.baz. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 wolne ilorazy 6 x /5 0 1/ x /15 1 4/ x /15 0 2/15 20 z j x 0 war.opt Wartości bezwzględne wskaźników optymalności zmiennych decyzyjnych ZP są wartościami zm. bilansujących ZD, natomiast wartości bezwzględne wskaźników optymalności zmiennych bilansujących ZP są wartościami zm. decyzyjnych ZD. 21
23 Zadanie prymalne: f(x) = 9x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 max 3x 1 + 6x 2 + x 3 = 240 8x 1 + 4x 2 + x 4 = 400 9x 1 + 3x 2 + x 5 = 270 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Zadanie dualne: f (y) = 240y y y 3 + 0y 4 + 0y 5 min 3y 1 + 8y 2 + 9y 3 y 4 = 9 6y 1 + 4y 2 + 3y 3 y 5 = 6 y 1, y 2, y 3, y 4, y
24 c j wyrazy zm.baz. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 wolne ilorazy 6 x /5 0 1/ x /15 1 4/ x /15 0 2/15 20 z j x 0 war.opt Zadanie prymalne Zadanie dualne Zmienne wartości wskaźniki zmienne wartości optymalności Decyzyjne x 1 = 20 0 bilansujące y 4 = 0 x 2 = 30 0 y 5 = 0 Bilansujace x 3 = decyzyjne y 1 = 0.6 x 4 = y 2 = 0 x 5 = y 3 =
25 Metoda simpleks PL: c T x max(min) c - n-wymiarowy wektor wag Ax = b A - macierz współczynników (m n) b - m-wymiarowy wektor wyrazów wolnych x 0 x - n-wymiarowy wektor zmiennych B - baza - macierz kwadratowa (m m), m liniowo niezależnych kolumn macierzy A; det(b) 0 Z każdą bazą B związane jest rozwiązanie bazowe, jest ich ( ) n m. 24
26 Jak uzyskać rozwiązanie bazowe? 1. Wybieramy bazę B. 2. Zmienne niebazowe przyjmują wartośc 0 (x N = 0). 3. Rozwiązujemy układ m r-ń z m niewiadomymi Bx B =b. Twierdzenie 4 Jeżeli zadanie PL ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Wniosek 1 Rozwiązania optymalnego wystarczy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. 25
27 Jak uzyskać rozwiązanie bazowe? 1. Wybieramy bazę B. 2. Zmienne niebazowe przyjmują wartośc 0 (x N = 0). 3. Rozwiązujemy układ m r-ń z m niewiadomymi Bx B =b. Twierdzenie 3 Jeżeli zadanie PL ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Wniosek 2 Rozwiązania optymalnego wystarczy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. 26
28 Jak uzyskać rozwiązanie bazowe? 1. Wybieramy bazę B. 2. Zmienne niebazowe przyjmują wartośc 0 (x N = 0). 3. Rozwiązujemy układ m r-ń z m niewiadomymi Bx B =b. Twierdzenie 3 Jeżeli zadanie PL ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Wniosek 1 Rozwiązania optymalnego wystarczy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. 27
29 Pełny przegląd WSZYSTKICH rozwiązań bazowych jest nieefektywny! W metodzie simpleks przechodzimy od jednego dopuszczalengo rozwiązania bazowego do drugiego, o którym wiemy, że jest NIE GORSZE od poprzedniego. KROK A: Wyznaczamy rozwiązanie wejściowe - dopuszczalne i bazowe. KROK B: Sprawdzamy, czy aktualne rozwiązanie bazowe jest optymalne. KROK C: Jeżeli nie, to bierzemy pod uwagę sąsiednie rozwiązanie bazowe, o ktorym wiemy, że jest nie gorsze i wracamy do B. 28
Elementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Metoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Definicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Programowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Algorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Dualność w programowaniu liniowym
2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Programowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Teoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki
METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Programowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,
Wykład 6. Programowanie liniowe
Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
![( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa](/thumbs/45/23284662.jpg "( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa")
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Programowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności
Elementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Wprowadzenie do badań operacyjnych
Wprowadzenie do badań operacyjnych Hanna Furmańczyk 10 października 2008 Badania operacyjne (ang. operations research) - dyscyplina naukowa związana z teorią decyzji pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązanie
Programowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik
Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Programowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
![Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]](/thumbs/24/2412062.jpg "Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]")
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego
6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
OPTYMALIZACJA DYSKRETNA
Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi
1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
![Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]](/thumbs/24/2378181.jpg "Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]")
Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
(Dantzig G. B. (1963))
(Dantzig G.. (1963)) Uniwersalna metoda numeryczna dla rozwiązywania zadań PL. Ideą metody est uporządkowany przegląd skończone ilości rozwiązań bazowych układu ograniczeń, które możemy utożsamiać, w przypadku
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
- modele liniowe. - modele nieliniowe.
Model decyzyjny sformalizowane ujęcie działania związanego z podejmowaniem decyzji. Decyzje dopuszczalne decyzje uwzględniające warunki ograniczające, jest ich wiele. Decyzja optymalna decyzja dopuszczalna
KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).
KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Laboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby
Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Układy równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
4. PROGRAMOWANIE LINIOWE
4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany