P(T) = P(T M) = P(T A) = P(T L) = P(T S) = P(T L M) = P(T L A) = P(T S M) = P(T S A) =

Transkrypt

1 Przyład (obrona orętów USA przed ataami lotnictwa japońsiego) Możliwe dwie wyluczające się tatyi: M = manewr A = artyleria przeciwlotnicza Departament Marynari Wojennej na podstawie danych z wojny na Pacyfiu przeprowadził analizę statystyczną i wypracował zalecenia tatyczne (były tajne do 960 rou). Przyjęto, że danych jest ta dużo, że prawdopodobieństwa można zastąpić częstościami. Oręty podzielono na dwie ategorie: L = duże, S = małe Niech T oznacza trafienie orętu. TAKTYKA L S Razem Atai T Atai T Atai T Manewr M Art. p-lot A Razem Obliczono prawdopodobieństwa warunowe: P(T) = P(T M) = P(T A) = Oraz P(T L) = P(T S) = P(T L M) = P(T L A) = P(T S M) = P(T S A) =

2 P(T) = 22/365 = 0,334 P(T M) = (60/365)/(80/365) = 0,333 P(T A) = 62/85 = 0,335 Oraz P(T L) = 38/97 = 0,392 P(T S) = 84/268 = 0,33 P(T L M) = 8/36 =0,222 P(T L A) = 30/6 = 0,492 P(T S M) = 52/44 = 0,36 P(T S A) = 32/24 = 0,258 Wniose. Duże oręty powinny manewrować, małe powinny ontrataować. Literatura: B.A. Ogunnaie,"Random Phenomena". Problem. Gra polega na sreśleniu 6 liczb spośród 49. Uczestni gry wygrywa gdy wśród wylosowanych przez organizatora 6 liczb są co najmniej 3 wytypowane przez gracza. Obliczyć prawdopodobieństwo, że gracz wygra?. Problemy tego typu (losowanie bez zwracania gdy wśród elementów jest pewien wyróżniony podzbiór) modelujemy rozładem hipergeometrycznym. Rozład hipergeometryczny Dla danej liczby obietów N z tórych M ma oreśloną własność losujemy n elementów bez zwracania. X - liczba wylosowanych obietów o oreślonej własności oreślamy funcję prawdopodobieństwa 2

3 3 = = n N n M N M X P ) ( gdzie n, N, M to liczby całowite nieujemne, M N, n N, max(0, M + n - N) min(m, n) W MS EXSCEL: ROZKŁAD.HIPERGEOM(;n;M;N) Rozwiązanie Problemu: W tym przypadu n = 6, N = 49, M =6. X liczba odgadniętych liczb, wtedy = = n N n M N M X P ) ( Prawdopodobieństwa dla od 3 do 6 można przedstawić w tabelce: p 0, , , , Suma tych prawdopodobieństw wynosi ooło 0, i jest to szuane prawdopodobieństwo. Wniose. Średnio co 54 załad powinien wygrywać.

4 Przyład. (zastosowanie rozładu hipergeometrycznego) Aby oszacować liczbę N ryb w stawie wyłowiono M = 2000 ryb oznaowano je i wpuszczono do stawu. Następnie wyłowiono n = 300 ryb, oazało się, że wśród nich jest = 60 ryb oznaowanych N Szuamy N aby prawdopodobieństwo N 300 Obliczmy to prawdopodobieństwo dla różnych N: N p(n) , , , , , , , , , , , , , , , , , masymalne. Zatem należy sądzić, że w całym stawie jest o ryb. Drugi sposób to badanie ja zmienia się P(N)/P(N-) = (N-M)(N-n)/[(N-M-n+)N] co daje N~Mn/ =

5 Probabilistyczny błąd mafii Nowojorsa mafia w 920 rou organizuje nielegalną loterię. Jao pięciocyfrowy wyni losowania biorą pięciocyfrową ońcówę długu publicznego publiowanego przez Departament Stanu. Benford zupełnie przypadiem zauważył (938), że strony tablic logarytmicznych są znacznie bardziej zabrudzone na początowych, niż na ońcowych stronach. (Wcześniej (88) przez S. Newcomba). T. P. Hill (995) analiza teoretyczna. Rozład Benforda - prawdopodobienstwo wystapienia cyfry n na pierwszej pozycji P( n) = lg + n rozład pierwszej cyfry , 7,6 2,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5, 4,6 Prawo Benforda = zjawiso częstego występowania powyższego rozładu w danych statystycznych. Przyłady: Dane geograficzne, Dane fizyczne, Dane eonomiczne. H.Tijms, "Understanding Probability" 5

6 Przyład (wniosowanie) Ocenić wielość producji czołgów w III rzeszy na podstawie numerów seryjnych zdobytych czołgów. Założenie: czołgi są numerowane olejnymi liczbami naturalnymi od do N. Zagadnienie: ocenić N. Rozwiązanie. Metoda momentów. Wartość oczeiwaną oczeiwaną) N + 2 przyrównujemy do wartości średniej m. (Uzasadnić wartość m = N + 2 Stąd N = 2m Przyład. dane: 0, 70, 90, 20 N = 2(290/4) = 44 Przyład 2. dane: 0, 20, 00, 70 N = 2(300/4) = 49 Wyni bez sensu. Wniose należy ocenę uzależnić od max{ } Propozycja = i liczebności próby n. n i N n = + n Obliczyć N dla danych z Przyładu i 2. 6

7 Rzut niesymetryczną monetą. p -prawdopodobieństwo wyrzucenia orła, Rzucamy 0 razy ROOOOROOOO Ocenić wartość p. Stosujemy metodę najwięszej wiarygodności Wyznacz p aby funcja L(p) = (-p)p 4 (-p)p 4 = (-p) 2 p 8 osiągała masimum p L(p) 0,05 3,53E- 0, 8,E-09 0,5,85E-07 0,2,64E-06 0,25 8,58E-06 0,3 3,2E-05 0,35 9,5E-05 0,4 0, ,45 0, ,5 0, ,55 0, ,6 0, ,65 0, ,7 0, ,75 0, ,8 0,0067 0,85 0,0063 0,9 0, ,95 0,00659 Zatem p = 0,8 7

8 Przyład zastosowania estymacji Chcemy w dysretny sposób (obawa aralności) ocenić odsete osób dających łapówi. Można to zrobić następująco. Pytana osoba rzuca monetą i wyni rzutu zachowuje do swojej wiadomości. Przygotowujemy dużą liczbę art na połowie tórych jest pytanie: "czy wypadł orzeł?" a na drugiej połowie art jest pytanie "czy dajesz łapówi?". Karty losujemy. Pytany losuje artę i odpowiada TAK (T) lub NIE na wylosowane pytanie. Rozpatrywane doświadczenie ma rozład zerojedynowy z nieznanym parametrem p. Niech K wylosowanie arty z pytaniem nr. Niech K2 wylosowanie arty z pytaniem nr 2. Wtedy p = P(T) = P(K) P(T K) + P(K2) P(T K2) = = 0,5 0,5 + 0,5 Estymatorem dla p jest średnia w. Stąd estymatorem jest 2w - 0,5. 8

9 Parados zmiany decyzji w "Idź na całość" Wpływ dodatowej informacji na prawdopodobieństwo. Oto opis najczęściej spotyanej wersji: Teleturniej "Idź na całość" Gracz ma wybrać jedną z trzech srzyne: w jednej jest cenna nagroda. Gracz wsazuje srzynę - nic nie wiedząc wybiera ją losowo. Przed otwarciem srzyni prowadzący teleturniej (tóry wie, gdzie jest nagroda) otwiera jedną z pozostałych dwóch srzyne, pustą. Prowadzący pyta gracza: "Pozostajesz przy swoim wyborze, czy zmieniasz?". Co ma zrobić gracz? Pozostać przy swoim początowym wyborze, czy go zmienić? Rozwiązanie: Ponumerujmy srzyni: - pusta, 2 - pusta, 3 - pełna. Najpierw gracz (G) losuje jedną z trzech możliwości, potem losuje prowadzący (P): wybór gracza 2 3 Prawdopodobieństwo: I Gracz 2 3 Szansa na wygraną wynosi. Wybór prowadzącego. Niewiadome prawdopodobieństwo losowania przez prowadzącego, gdy gracz trafił, przyjmujemy równe /2. Gracz 2 3 /2 /2 Prowadzący 2 2 9

10 Zmiana pierwotnego wyboru Gracz 2 3 /2 /2 Prowadzący 2 2 Gracz Szansa na wygraną wynosi teraz + = 2/3. Zatem zmiana pierwotnego wyboru podwaja szanse. 0

11 Fałszywa moneta. Gdy chcemy coś rozstrzygnąć bezstronnie, rzucamy monetą. Przypuśćmy, że mamy tylo niesymetryczną monetę (przesunięty środe ciężości). Czy można taą monetą uzysać dwa równie prawdopodobne wynii? Ta, należy rzucać dwurotnie i pomijać wynii identyczne (OO), (RR). Wtedy wynii (OR), (RO) są jednaowo prawdopodobne. Jest to pomysł matematya von Neumanna. p -p O R p -p p -p O R O R