Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy

Transkrypt

1 Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 1 Rachunek wektorowy

2 Co to jest,,pole? Matematyka: odwzorowanie Rn Rm które przypisuje każdemu punktowi wartość (skalarną lub wektorową). Fizyka: Własność przestrzeni oddziaływanie (obserwowane w postaci sił działających na obiekty) W tym kursie: Pole oznacza własność lub przestrzeń w której ta własność jest obserwowana lub funkcję która opisuje tę własność. PEM, Wykład 1, Slajd 2

3 Rachunek wektorowy Rachunek wektorowy (lub analiza wektorowa) to gałąź matematyki poświęcona operacjom (różniczkowym i całkowym) na polach wektorowych, przede wszystkim w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R3 Wektor (euklidesowy) to obiekt geometryczny, który posiada długość (amplitudę) i kierunek. Wektory to podstawa w naukach technicznych! PEM, Wykład 1, Slajd 3

4 Dlaczego używamy wektorów! Przy zmianach układu współrzędnych wektory zachowują się tak samo, jak punkty. Dlatego opis pola za pomocą wektorów jest taki sam we wszystkich układach współrzędnych. Wektory są wygodne! [Fizyka] Zasada niezmienniczości: jej idea polega na tym, że współrzędne (układy współrzędnych) nie istnieją w naturze a priori, a są jedynie narzędziem opisu natury I jako takie nie powinny odgrywać roli w fundamentalnych prawach fizyki. PEM, Wykład 1, Slajd 4

5 Układ współrzędnych Układ współrzędnych to system, który używa wartości liczbowych do jednoznacznego określenia położenia punktów. Z wykorzystaniem UW jesteśmy w stanie przekształcić problemy sformułowane w kategoriach geometrii w problemy opisane za pomocą liczb (które można rozwiązać przez obliczenia). y 2.65 P(3.33,2.65) 3.33 x Wektory pozwalają wygodnie i ogólnie opisać generalne zachowanie się pól, ale inżynier potrzebuje liczb, aby ilościowo opisać zjawiska, obliczać, przewidywać i projektować... PEM, Wykład 1, Slajd 5

6 Kartezjański UW Wybieramy trzy prostopadłe płaszczyzny i mierzymy odległości od tych płaszczyzn. Odległości są dodatnie lub ujemne w zależności od strony, po której punkt się znajduje. x odległość od płaszczyzny yz y odległość od płaszczyzny xz z odległość od płaszczyzny xy PEM, Wykład 1, Slajd 6

7 Cylindyczny UW Wybieramy oś odniesienia (linię) płaszczyznę prostopadłą do oo i kierunek odniesienia prostopadły do oo. r promień odległość od oo φ kąt pomiędzy kierunkiem odniesienia i rzutem prostokątnym OP na płaszczyznę. z odległość od płaszczyzny (ujemna lub dodatnia) PEM, Wykład 1, Slajd 7

8 Sferyczny UW Wybieramy oś, płaszczyznę i kierunek, jak w cylindryczny UW. r promień jak w cylindrycznym. θ szerokość to kąt pomiędzy OP i osią. φ długość tak samo, jak w cylindrycznym UW. PEM, Wykład 1, Slajd 8

9 Przekształcenia Kartezjański (x,y,z) Kartezjański (x,y,z) Sferyczny (r,θ,φ) = x y =arctan y / x z=z 2 Cylindryczny (ρ,φ,z) Sferyczny (r,θ,φ) Cylindryczny (ρ,φ,z) 2 = 2 z2 =arctan / z =arctan y / x x = cos r= x 2 y 2 z2 =arccos z /r = y = sin z=z x=r sin cos =r sin y=r sin sin z=r cos = z=r cos teta To nie wszystko! Więcej na następnej stronie... PEM, Wykład 1, Slajd 9

10 Przekształcenia wersorów Kartezjański (x,y,z) x y 1 = 1 x 1 y y z 1 = 1 x 1 y 1 z =1 z Kartezjański 1x, 1 y, 1z Cylindryczny (ρ,φ,z) Cylindryczny 1 =cos 1 sin 1 x 1,1, 1 z 1 y =sin 1 cos 1 1 z =1 z Sferyczny Sferyczny (r,θ,φ) x 1 x y 1 y z 1 z r x z 1 x y z 1 y 2 1 z 1 = r y 1x x 1 y 1 = z 1r = 1 1 z r r z 1 = 1 1 z r r 1 =1 1r = 1 x=sin cos 1 r cos cos 1 sin 1 1r,1, 1 1 y =sin sin 1 r cos cos 1 cos 1 1 z =cos 1r sin 1 To jeszcze nie koniec... ale musimy poczekać na więcej. PEM, Wykład 1, Slajd 10 1 =sin 1 r cos 1 1 =1 1 z =cos 1r sin 1

11 Reprezenatacja wektorów Wektory zachowują się jak punkty i dlatego też są tak samo reprezentowane w UW. y Z P(3.33,2.65) 2.65 v=[3.33,2.65] 3.33 v=[0,0,5.3] x A PEM, Wykład 1, Slajd 11

12 Podstawowe operacja na wektorach Mnożenie przez skalar Iloczyn skalara (pola skalarnego) i wektora (pola wektorowego), to wektor (pole wektorowe): w=av v Suma (różnica) Dodając lub odejmując wektory (pola wektorowe), otrzymujemy wektor (pole wektorowe): w=v+u v u w=v + u PEM, Wykład 1, Slajd 12

13 Iloczyn skalarny Iloczyn dwóch wektorów (pól wektorowych), dający w wyniku skalar (pole skalarne): v s = v u = v u cos θ Własności: Iloczyn skalarny jest przemienny: v u=u v jest też rozdzielny względem sumy (różnicy) wektorów: u θ θ s o c v Przy pomocy współrzędnych: w (v+u)=w u+w v v = [ vi, vj, vk ], w = [ wi, wj, wk ] v u = viwi+vjwj+vkwk PEM, Wykład 1, Slajd 13

14 Iloczyn wektorowy Iloczyn dwóch wektorów (pól wektorowych), dający w wyniku wektorr (pole wektorowe): v u w = v u = v u sin θ 1n Własności: Iloczyn wektorowy jest antyprzemienny: v u=-u v jest też rozdzielny względem dodawania: w (v+u)=w u+w v u v u θ v Używając współrzędnych: v = [ vi, vj, vk ], w = [ wi, wj, wk ] [ i j k v u = det v i v j v k wi w j wk PEM, Wykład 1, Slajd 14 ]

15 Nabla specjalny wektor Wygodna notacja dla trzech operacji różniczkowych stosowanych w rachunku wektorowym: [ =,, x y z ] Reprezentowany przez symbol odwróconego trójkąta Co to jest pochodna cząstkowa? f(x,y,z)=2xy+sin y + y e- z f =2 y x f =2 x +cos y+e z y f = y e z z PEM, Wykład 1, Slajd 15

16 Gradient Gradient skalarnego pola f to pole wektorowe wskazujące kierunek najszybszego wzrostu f. [ f x, y, z = f f f,, x y z f x, y = x 2 y 2 f x, y = [ 2 x, 2 y ] PEM, Wykład 1, Slajd 16 ]

17 Gradient przykład Pole dipola (+q,-q): powierzchnia 3D, linie ekwipotencjalne i kierunek gradiantu. (Example from PEM, Wykład 1, Slajd 17

18 Całka liniowa pola wektorowego b L u r d r= a u r t r ' t dt gdzie r :[a,b] L to parametryczny opis L dr u ur L u r d r i L i ur i PEM, Wykład 1, Slajd i...

19 Całka liniowa gradientu L f d r=f e f b e L b PEM, Wykład 1, Slajd 19 Stosujemy to twierdzenie całkując u wzdłuż linii. Jeśli u jest gradientem jakiejś funkcji skalarnej to całka nie zależy od wyboru L.

20 Strumień pola wektorowego = S u nds un n PEM, Wykład 1, Slajd 20 u

21 Dywergencja Dywergencja wektorowego pola u to pole skalarne, określające źródło (lub anty-źródło) u w danym punkcie. u=lim r 0 S r u n ds V r u= [ u x x, y, z, u y x, y, z,u z x, y, z ] u x x, y, z u y x, y, z u z x, y, z u= x y z 2 u=x y [ x 3 y2 u=, 3 2 PEM, Wykład 1, Slajd 21 ]

22 Twiedzenie Gaussa (Ostrogradzkiego, Gaussa-Ostrogradzkiego) V u dv = V u n ds Całka objętościowa z dywergencji wektorowego pola u jest równa strumieniowi u przez powierzchnię ograniczającą tę objętość. n S n V n PEM, Wykład 1, Slajd 22 n

23 Rotacja Rotacja wektorowego pola u to pole wektorowe, które określa wirowość u w wybranym punkcie. u=lim r 0 S r n u ds V r u= [ u x x, y, z, u y x, y, z,u z x, y, z ] 1x u= x ux 1y y uy [ ] y 3 x2 u=,, z z uz u= [ 0, 0, x y 2 ] PEM, Wykład 1, Slajd 23

24 Interpretacja rotacji [ y 3 x2 u=,,0 3 2 ] u= [ 0, 0, x y 2 ] PEM, Wykład 1, Slajd 24

25 Twierdzenie Stokesa Dokładnie: Kelvina-Stokesa (specjalny przypadek ogólniejszego tw. Stokesa). S u ds= S u d r Strumien rotacji wektorowego pola u przez określoną powierzchnię jest równa cyrkulacji u wzdłuż brzegu (zamkniętego) tej powierzchni. u ds S S PEM, Wykład 1, Slajd 25

26 Twierdzenie Greena Zastanówmy się nad rotacją 2D wektora, opisanego w 3D jako u=[ L, M, 0 ]: u= 0 M L 0 M L i j k y z z x x y Obliczmy strumień rotacji tego pola przez pow. 2D ds=[dx dy]: s u d S= s u k ds= S Zgodnie z tw. Stokesa: S M L ds x y S u ds= S u d r M L ds= S u d r= S [ L, M,0] [dx,dy, dz ]= S L dx M dy x y Twierdzenie Greena: PEM, Wykład 1, Slajd 26 S L dx M dy = S M L ds x y

27 Pochodne drugiego stopnia Ogólnie matematyka daje nam szereg możliwości: Dla skalara: f oraz f 0 oraz u Dla wektora: u oraz u 0 Najważniejszy z naszego p. widzenia jest laplasjan: f = f = 2 f Który dla pola wektorowego możemy zdefiniować jako: 2 u= u u PEM, Wykład 1, Slajd 27

28 Własności Rotacja gradientu jest zawsze polem zerowym: f 0 Pozwala to wyrazić każde pole bezwirowe przez pole skalarne. Dywergencja każdej rotacji jest polem zerowym: u 0 Pozwala to wyrazić bezźródłowe pole wektorowe za pomocą innego wektora. PEM, Wykład 1, Slajd 28

29 Pole zachowawcze (potencjalne) Pole wektorowe u jest potencjalne, jeśli jest gradientem pola skalarnego: u= f Jak pokazaliśmy wcześniej, rotacja takiego pola musi być zere: u 0 e L Z tw. Stokesa wynika, że: S u d r= S u ds=0 C u d r= C f d r=0 b L' L f d r =f e f b L' f d r=f e f b PEM, Wykład 1, Slajd 29

30 Pole solenoidalne Pole wektorowe u nazywamy solenoidalnym (bezźródłowym) jeśli jego dywergencja jest zerem: u=0 Jak pokazano wcześniej pole solenoidalne możemy wyrazić za pomocą rotacji innego pola wektorowego: w 0 u= w Z twierdzenia Gaussa wynika, że strumień pola solenoidalnego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest zerem: V u d S= V u dv =0 PEM, Wykład 1, Slajd 30

31 Pseudowektor Wcześniej powiedzieliśmy, że przy przekształceniach układów współrzędnych wektory zachowują się jak punktu. Jednak przy Odbiciu lustrzanym pola mogą zachowywać się różnie: Pole elektryczne E od dodatniego ład. q. E jest wektorem. PEM, Wykład 1, Slajd 31 Pole magnetyczne B od pojedynczego przew. B jest pseudowektorem.

32 Tensor Tensory można zrozumieć jako następny element w szeregu: skalar, wektor, W ogólności należy je rozumieć jako wielowymiarowe tablice funkcji. [ t xx t xy T= t yx t yy ] W teorii pola mają wiele zastosowań, ale my będziemy ich używać przede wszystkim do opisu nietrywialnych materiałów. PEM, Wykład 1, Slajd 32