Obliczanie indukcyjności cewek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Obliczanie indukcyjności cewek"

Transkrypt

1 napisał Michał Wierzbicki Obliczanie indukcyjności cewek Indukcyjność dla cewek z prądem powierzchniowym Energia zgromadzona w polu magnetycznym dwóch cewek, przez uzwojenia których płyną prądy I 1 i I 2, wynosi W = 1 2 L 1 I L 2 I M 12 I 1 I 2 (1) gdzie L 1 i L 2 są wpółczynnikami samoindukcji cewek, a M 12 jest współczynnikiem ich indukcyjności wzajemnej. Jeśli uzwojenia cewek są nawinięte dostatecznie gęsto, to możemy uznać, że po powierzchni cewek płynie prąd o gęstości powierzchniowej j = ni, gdzie n jest gęstością uzwojenia o wymiarze liczba zwojów na metr. Energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki najłatwiej liczyć stosując wzór całkowy dla potencjału wektorowego W = 1 j 2 A ds (2) S gdzie S jest powierzchnią cewki, j gęstością powierzchniową prądu płynącego w uzwojeniu cewki, a A potencjałem wektorowym wytwarzanym przez ten prąd. 1) Energia związana z samoindukcją Potencjał wektorowy cewki obliczamy stosując ogólne rozwiązanie równania Poissona A = µ 0 j w postaci całki: A( r ) = µ 0 j( r ) 4π r r ds (3) S gdzie S jest powierzchnią cewki, wektor r wskazuje na punkt obserwacji, w którym obliczamy potencjał wektorowy, a wektor r wskazuje na źródło pola czyli element prądu j ds. Wstawiając powyższe wyrażenie na potencjał wektorowy do wzoru (2) otrzymujemy wyrażenie na energię pola magnetycznego cewki w postaci podwójnej całki powierzchniowej: W = µ 0 j( r) j( r ) ds ds = 1 8π r r 2 LI2 (4) S S gdzie S i S oznaczają tą samą powierzchnię cewki, a wektory r i r przy całkowaniu obiegają niezależnie powierzchnię cewki. 1

2 2) Energia związana z indukcją wzajemną Energię związaną z indukcją wzajemną obliczamy całkując potencjał wektorowy A 1 wytwarzany przez cewkę nr 1 po powierzchni cewki nr 2 i na odwrót: W 12 = 1 A1 j 2 ds A2 j 1 ds 1 (5) 2 2 S 2 S 1 Potencjał wektorowy wytwarzany przez cewkę nr 1 na powierzchni cewki nr 2 dany jest wzorem (3): A 1 ( r 2 ) = µ 0 j 1 ( r 1 ) 4π r 2 r 1 ds 1 (6) S 1 gdzie wektor r 2 wskazuje na punkt na powierzchni cewki nr 2 (punkt obserwacji), a wektor r 1 wskazuje na punkt na powierzchni cewki nr 1 (źródło pola). Potencjał wektorowy wytwarzany przez cewkę nr 2 na powierzchni cewki nr 1 dany jest wzorem analogicznym wzorem: A 2 ( r 1 ) = µ 0 j 2 ( r 2 ) 4π r 1 r 2 ds 2 (7) S 2 Powyższe wzory różnią się od siebie tylko zamianą indeksów 1 na 2. Oba składniki we wzorze na energię W 12 są więc sobie równe. Energię związaną z indukcyjnością wzajemną dwóch cewek obliczamy więc za pomocą następującej podwójnej całki powierzchniowej: W 12 = µ 0 j 1 j 2 4π r 1 r 2 ds 1 ds 2 = M 12 I 1 I 2 (8) S 2 Współczynnik samoindukcji solenoidu S 1 Cewkę walcową o promieniu R i nieskończonej długości nazywamy solenoidem. Niech n = N/l, będzie gęstością uzwojenia takiej cewki, gdzie N jest liczbą zwojów na długości l. Całkowa postać prawa Ampera zastosowana do zamkniętego konturu o długości l przecinającego solenoid wynosi: C B = B l = µ 0 I n l (9) Indukcja pola magnetycznego B wewnątrz solenoidu jest stała, skierowana wzdłuż 2

3 osi solenoindu 1 i ma wartość B = µ 0 I n. Energia pola magnetycznego zgromadzonego w odcinku solenoidu o długości l wynosi W = B2 2µ 0 V = µ 0 2 I2 n 2 πr 2 l = 1 2 LI2 (10) gdzie V jest objętością walca o długości l i promieniu podstawy R. Stąd współczynnik samoindukcji L odcinka solenoidu o długości l wynosi: L = µ 0 n 2 πr 2 l = µ 0 N 2 πr2 (11) l Można go stosować jako przybliżony wzór dla cewki walcowej o liczbie zwojów N, promieniu R i skończonej długości l. Współczynnik samoindukcji cewki walcowej Współczynnik samoindukcji dla cewki w kształcie walca o promieniu R, długości l i liczbie zwojów N obliczamy za pomocą wzoru całkowego (4) W = 1 2 S j A ds = µ 0 8π S S j( r) j( r ) r r ds ds = 1 2 LI2 (12) Przyjmując oś z układu cylindrycznego wzdłuż osi cewki możemy napisać r = [R cos φ, R sin φ, z], r = [R cos φ, R sin φ, z ] (13) gdzie 0 φ, φ 2π oraz 0 z, z l. Prąd w uzwojeniu płynie dookoła walca, kierunek wektora gęstości powierzchniowej prądu cewki j wyrażamy więc przez wersor e φ układu cylindrycznego: j( r) = n I [ sin φ, cos φ, 0], j( r ) = n I [ sin φ, cos φ, 0] (14) gdzie n = N/l jest gęstością uzwojenia. Obliczając iloczyny skalarne w równaniu (12) możemy napisać wyrażenie na energię pola magnetycznego cewki w postaci całki poczwórnej: W = µ 0 8π n2 I 2 l l z=0 z =0 φ=0 φ =0 cos(φ φ ) dz dz dφ dφ 2R 2 [1 cos(φ φ )] + (z z ) 2 (15) 1 Stosując prawo Ampera i prawo Gaussa w układzie cylindrycznym i powołując się na symetrię cylindryczną takiego solenoidu można pokazać, że jedyną nieznikającą składową indukcji jest składowa B z wzdłuż osi solenoidu. 3

4 Wprowadzając bezwymiarowe zmienne całkowania ξ = z/l, ξ = z/l oraz bezwymiarowy współczynnik η = R/l, możemy wyrażenie na indukcyjność cewki L zapisać jako L = 2W I 2 = L S 4π 2 ξ=0 ξ =0 φ=0 φ =0 cos(φ φ ) dξ dξ dφ dφ 2η 2 [1 cos(φ φ )] + (ξ ξ ) 2 (16) gdzie L S jest wartością indukcyjności (11) odcinka solenoidu o tych samych parametrach co rozpatrywana cewka walcowa. Przystąpimy teraz do obliczania bezwymiarowej całki poczwórnej w powyższym wzorze. Wprowadzając zmienną całkowania: u = φ φ, du = dφ, podwójną całke po kątach z wyrażenia zależnego od cos(φ φ ) można zapisać jako φ+2π φ=0 u= φ f(cos u) dφ du = 4π u=0 Stąd równanie (16) redukuje się do całki potrójnej f(cos u) du (17) L = L s π π u=0 ξ=0 ξ =0 cos u du dξ dξ 2η 2 (1 cos u) + (ξ ξ ) 2 (18) Do całki podwójnej po zmiennych ξ i ξ można zastosować podstawienie: v = ξ ξ, dv = dξ. Całkę podwójną z wyrażenia zależnego od v 2 można zapisać jako ξ+1 ξ=0 v= ξ f(v 2 ) dv dξ = 2 1 v v=0 ξ=0 f(v 2 ) dv dξ = 2 v=0 (1 v)f(v 2 ) dv (19) gdzie zamieniliśmy kolejność całkowania po zmiennych ξ i v dla obszaru przedstawionego na rysunku. 4

5 Wzór (18) redukuje się więc do całki podwójnej L = 2L s π v=0 u=0 Oznaczając u = 2ϕ oraz ζ = 2R/l możemy napisać L = 4L s π v=0 ϕ=0 (1 v) cos u du dv 2η 2 (1 cos u) + v 2 (20) (1 v) cos 2ϕ du dϕ ζ 2 sin 2 ϕ + v 2 (21) Całkę po v możemy wykonać korzystając z następującej elementarnej całki 0 1 v a2 + v 2 dv = a a ln(1 + a 2 + 1) ln a (22) gdzie a = ζ sin ϕ. Wzór (21) przyjmuje postać: L = 4L S π ϕ=0 + ln(1 + cos 2ϕ dϕ ( ζ sin ϕ ζ 2 sin 2 ϕ + 1+ ) ζ 2 sin 2 ϕ + 1) ln ζ ln sin ϕ (23) Indukcyjność L można więc zapisać jako sumę czterech całek pojedynczych gdzie L = 4L S π (I 1 I 2 + I 3 I 4 ) (24) I 1 = ϕ=0 ζ sin ϕ cos 2ϕ dϕ = ζ 3 (25) I 3 = I 2 = ϕ=0 ϕ=0 cos 2ϕ ζ 2 sin 2 ϕ + 1 dϕ = 2 ζ (K E) 3ζk 3k E (26) cos 2ϕ ln(1 + ζ 2 sin 2 ϕ + 1) dϕ = π (K E) (27) ζk I 4 = ϕ=0 cos 2ϕ (ln ζ + ln sin ϕ) dϕ = π 4 (28) 5

6 gdzie K(k) = jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju, E(k) = 0 /2 0 1 dθ (29) 1 k2 sin 2 θ 1 k 2 sin 2 θ dθ (30) jest zupełną całką eliptyczną drugiego rodzaju, natomiast liczba k 2 = ζ2 1 + ζ 2 (31) jest modułem całki eliptycznej. Indukcyjność cewki walcowej wynosi więc L = 4L S π Co można ostatecznie zapisać jako gdzie czynnik [ 1 ζ (K E) + 3ζk 3k E ζ ] 3 (32) L = L S f(ζ) (33) f(ζ) = 4 [ 1 3π ζk (K E) + ζ ] k E ζ jest bezwymiarową poprawką zależną od stosunku ζ = d/l średnicy cewki do jej długości. Poprawka ta opisuje efekty brzegowe wynikające z obcięcia nieskończonego solenoidu do długości l. Dla dostatecznie długiej i cienkiej cewki, dla której ζ 1, poprawkę można obliczać za pomocą rozwinięcia równania (34) w szereg względem ζ: f(ζ) 1 4ζ 3π + ζ2 8 + O(ζ4 ) (35) Wartość ζ = 0 odpowiada nieskończenie długiej cewce, dla której L = L S. * * * W podręcznikach z elektrotechniki można znaleźć przybliżony wzór Wheelera na indukcyjność cewki o liczbie zwojów N, oraz promieniu R i długości l wyrażonych w calach: (34) 6

7 L W [µh] = R2 N 2 9R + 10l (36) Jeśli R i L wyrazimy w metrach to L W = 39,37 µh R 2 N 2 9R + 10l Obliczony przez nas wzór (33) można zapisać jako (37) L = µ 0 N 2 πr2 f(2r/l) (38) l Przenikalność magnetyczna próżni wynosi 4π 10 7 H/m. Stąd L = 3,948 µh R2 N 2 f(2r/l) (39) l Stosunek wyznaczonej przez nas indukcyjności cewki walcowej do obliczonej ze wzoru Wheelera jest więc z dobrym przybliżeniem równy L L W = 0,1 f(2r/l) (9R/l + 10) = f(ζ) (0,45 ζ + 1) (40) Jak widać z poniższego rysunku oba wzory zgadzają się w szerokim zakresie d/l. Co znaczy, że poprawkę (34) można w dobrym przybliżeniu obliczać jako f(ζ) 1 0, 45 ζ + 1 (41) 7

8 Indukcyjność płaskiej cewki Zamiast nawijać cewkę na powierzchni walcowej, można przewód zwinąć na powierzchni płakiej w postaci spirali. Taką cewkę daje się na przykład wykonać przez wytrawienie odpowiedniej ścieżki na płytce drukowanej. Można także przeplatać zwykły przewód przez radialnie nacięty wzornik w kształcie koła. Jeśli założymy, że kolejne zwoje cewki są nawinięte dostatecznie blisko siebie, to prąd płynący przez cewkę możemy opisywać gęstością powierzchniową prądu j = ni, gdzie n jest gęstością uzwojenia. Energię zgromadzoną w polu magnetycznym takiej cewki obliczamy stosując wzór całkowy (4). W = µ 0 j( r) j( r ) ds ds (42) 8π r r S S Załóżmy, że uzwojenie cewki zawiera się w płaskim pierścieniu o promieniach a < b. Na płaszczyźnie zawierającej cewkę zastosujmy biegunowy układ współrzędnych. Wektory wodzące r i r obiegające niezależnie powierzchnię cewki mają wówczas postać: r = r[cos φ, sin φ] r = r [cos φ, sin φ ] (43) gdzie a r, r b oraz 0 φ, φ 2π. Kierunek wektora gęstości powierzchniowej prądu jest zgodny z kierunkiem wersora e φ układu biegunowego: j( r) = In [ sin φ, cos φ] j( r ) = In [ sin φ, cos φ ] (44) Obliczając iloczyny skalarne w równaniu (42) otrzymujemy wyrażenie na energię pola magnetycznego w postaci całki poczwórnej: W = LI2 2 = µ 0 8π I2 n 2 b b r=a r =a φ=0 φ =0 cos(φ φ ) rdr r dr dφ dφ r 2 + r 2 2rr cos(φ φ ) (45) 8

9 Wprowadzając bezwymiarowe zmienne całkowania: ξ = r/b, ξ = r /b, kąt u = φ φ oraz bezwymiarowy parametr η = a/b < 1 możemy napisać wyrażenie na indukcyjność cewki spiralnej w postaci całki potrójnej L = µ 0 n 2 b 3 ξ=η ξ =η θ=0 cos u du ξξ dξ dξ ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u gdzie zredukowaliśmy dwie całki po φ i φ do jednej całki po u, korzystając z tożsamości (17). Współczynnik stojący przed całką można wyrazić przez liczbę zwojów cewki N n 2 b 3 = N 2 b 3 (b a) 2 = N 2 b (1 η 2 ) Całkę podwójną względem ξ i ξ po powierzchni kwadratu η ξ 1 i η ξ 1 można rozłożyć na dwie całki dzieląc kwadrat jego przekątną ξ = ξ : Dla ξ < ξ, oznaczając x = ξ /ξ < 1, dξ = ξ dx (46) (47) L = µ 0N 2 b (1 η) 2 (I 1 + I 2 ) (48) I 1 = ξ u=0 ξ=η ξ =η ξξ dξ dξ cos u du ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u = u=0 ξ=η x=η/ξ ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u (49) Dla ξ < ξ, oznaczając x = ξ/ξ < 1, dξ = ξ dx I 2 = ξ u=0 ξ =η ξ=η ξξ dξ dξ cos u du ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u = u=0 ξ =η x=η/ξ ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u (50) Jak widać I 1 = I 2, stąd L = µ 0N 2 b (1 η) 2 2I 1(η) (51) W całce potrójnej I 1 można zamienić kolejność całkowania zmiennych ξ i x, w dziedzinie całkowania przedstawionej na rysunku. 9

10 i wykonać całkowanie po ξ. I 1 = π u=0 x=η ξ=η/x ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u = 1 3 π u=0 x=η ( ) x η3 x 2 cos u du dx 1 + x2 2x cos u (52) Całki po x i po u można wykonać w programie Mathematica. Pierwsza z nich prowadzi do dość skomplikowanej całki elementarnej, a druga do zupełnych całek eliptycznych K i E pierwszego i drugiego rodzaju: I 1 (η) = 1 + η [ (1 η) 2 K(k) (1 + η 2 ) E(k) + 2(1 η + η 2 ) ] (53) 3 Moduł k całek eliptycznych jest równy k 2 = 4η (1 + η) = 4ab 2 (a + b) = ab (54) 2 r 2 gdzie r = (a + b)/2 jest średnim promieniem cewki. Dla η 1 obowiązuje rozwinięcie w szereg I 1 (η) 2 3 πη2 2 * * * (55) W literaturze z elektrotechniki można znaleźć następujący przybliżony wzór na indukcyjność cewki spiralnej: L S [µh] = r2 N 2 (56) 8r + 11w gdzie N jest liczbą zwojów cewki, r = (a + b)/2 jest średnim promieniem cewki, a w = (b a)/n jest grubością przewodnika. Wielkości r i w należy wyrazić w calach. Jeśli r i w wyrazimy w metrach to 10

11 r 2 N 2 L S = 39,37 µh 8r + 11w Wprowadzając parametr η = a/b < 1 i zakładając dużą liczbę zwojów N 1, możemy napisać (57) L S 2,5 µh bn 2 (1 + η) (58) Obliczony przez nas wzór (51) dla cewki spiralnej wynosi: L = 0,5133 µh bn 2 Jak widać z rysunku zgodność obu wzorów jest dość słaba. I 1 (η) (1 η) 2 (59) 11

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Efekt naskórkowy (skin effect)

Efekt naskórkowy (skin effect) Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych

Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych napisał Michał Wierzbicki Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych Rozważmy tak zwaną linię Lechera, czyli układ dwóch równoległych, nieskończonych przewodników, o przekroju

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

Pole elektromagnetyczne

Pole elektromagnetyczne Pole elektromagnetyczne Pole magnetyczne Strumień pola magnetycznego Jednostką strumienia magnetycznego w układzie SI jest 1 weber (1 Wb) = 1 N m A -1. Zatem, pole magnetyczne B jest czasem nazywane gęstością

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Wykład 14: Indukcja cz.2.

Wykład 14: Indukcja cz.2. Wykład 14: Indukcja cz.. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 10.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 1 Przykład

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą

Zwój nad przewodzącą płytą Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................

Bardziej szczegółowo

Moment pędu fali elektromagnetycznej

Moment pędu fali elektromagnetycznej napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................

Bardziej szczegółowo

Fizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego

Fizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego Zmienne pole magnetyczne a prąd Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego Zmienne pole magnetyczne a prąd Wnioski (które wyciągnęlibyśmy, wykonując doświadczenia

Bardziej szczegółowo

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski FIZYKA 2 wykład 5 Janusz Andrzejewski Janusz Andrzejewski 2 Janusz Andrzejewski 3 Pole wytworzone przepływem prądu Wektor d indukcji magnetycznej pola wywołanego przepływem prądu wynosi: r r r µ 0 Ids

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 2 6. Indukcja magnetyczna

Podstawy fizyki sezon 2 6. Indukcja magnetyczna Podstawy fizyki sezon 2 6. Indukcja magnetyczna Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Dotychczas

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

POLE MAGNETYCZNE Własności pola magnetycznego. Źródła pola magnetycznego

POLE MAGNETYCZNE Własności pola magnetycznego. Źródła pola magnetycznego POLE MAGNETYCZNE Własności pola magnetycznego. Źródła pola magnetycznego Pole magnetyczne magnesu trwałego Pole magnetyczne Ziemi Jeśli przez przewód płynie prąd to wokół przewodu jest pole magnetyczne.

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 5 Magnetostatyka 3 5.1 Siła Lorentza........................ 3 5.2 Prawo

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych Cel ćwiczenia: Wyznaczenie składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Strumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie

Strumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba

Bardziej szczegółowo

POLE MAGNETYCZNE Magnetyzm. Pole magnetyczne. Indukcja magnetyczna. Siła Lorentza. Prawo Biota-Savarta. Prawo Ampère a. Prawo Gaussa dla pola

POLE MAGNETYCZNE Magnetyzm. Pole magnetyczne. Indukcja magnetyczna. Siła Lorentza. Prawo Biota-Savarta. Prawo Ampère a. Prawo Gaussa dla pola POLE MAGNETYCZNE Magnetyzm. Pole magnetyczne. Indukcja magnetyczna. Siła Lorentza. Prawo iota-savarta. Prawo Ampère a. Prawo Gaussa a pola magnetycznego. Prawo indukcji Faradaya. Reguła Lenza. Równania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)

Bardziej szczegółowo

Magnetyzm cz.i. Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera

Magnetyzm cz.i. Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera Magnetyzm cz.i Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera 1 Magnesy Zjawiska magnetyczne (naturalne magnesy) były obserwowane i badane już w starożytnej Grecji 500 lat

Bardziej szczegółowo

Indukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Indukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Indukcja elektromagnetyczna Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strumień indukcji magnetycznej Analogicznie do strumienia pola elektrycznego można

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna................ 3 7.2

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)

Bardziej szczegółowo

POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a

POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a POLE MAGNETYCZNE Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a 1 Doświadczenie Oersteda W 18 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko. Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną,

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika. Część 6. Elektrodynamika. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika. Część 6. Elektrodynamika. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna.................. 3

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie dwóch ciał

Zagadnienie dwóch ciał Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Teoria Pola Elektromagnetycznego

Teoria Pola Elektromagnetycznego Teoria Pola Elektromagnetycznego Wykład 3 Pole elektryczne w środowisku przewodzącym 19.05.2006 Stefan Filipowicz 3.1. Prąd i gęstość prądu przewodzenia Jeżeli w przewodniku istnieje pole elektryczne,

Bardziej szczegółowo

Indukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem. dr inż. Romuald Kędzierski

Indukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem. dr inż. Romuald Kędzierski Indukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem dr inż. Romuald Kędzierski Pole magnetyczne wokół pojedynczego przewodnika prostoliniowego Założenia wyjściowe: przez nieskończenie długi prostoliniowy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie przenikalności magnetycznej i krzywej histerezy

Wyznaczanie przenikalności magnetycznej i krzywej histerezy Ćwiczenie 13 Wyznaczanie przenikalności magnetycznej i krzywej histerezy 13.1. Zasada ćwiczenia W uzwojeniu, umieszczonym na żelaznym lub stalowym rdzeniu, wywołuje się przepływ prądu o stopniowo zmienianej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ

Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..

Bardziej szczegółowo

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY 30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY Magnetyzm Indukcja elektromagnetyczna Prąd przemienny Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY

MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY Włodzimierz Wolczyński 47 POWTÓRKA 9 MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY Zadanie 1 W dwóch przewodnikach prostoliniowych nieskończenie długich umieszczonych w próżni, oddalonych od siebie o r = cm, płynie prąd.

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne. Magnes wytwarza wektorowe pole magnetyczne we wszystkich punktach otaczającego go przestrzeni.

Pole magnetyczne. Magnes wytwarza wektorowe pole magnetyczne we wszystkich punktach otaczającego go przestrzeni. Pole magnetyczne Magnes wytwarza wektorowe pole magnetyczne we wszystkich punktach otaczającego go przestrzeni. naładowane elektrycznie cząstki, poruszające się w przewodniku w postaci prądu elektrycznego,

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

POLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI

POLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI POLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI Oprócz omówionych już oddziaływań grawitacyjnych (prawo powszechnego ciążenia) i elektrostatycznych (prawo Couloma) dostrzega się inny rodzaj oddziaływań, które nazywa się magnetycznymi.

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA II. 4. Indukcja elektromagnetyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA II. 4. Indukcja elektromagnetyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA II 4. Indukcja elektromagnetyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ PRAWO INDUKCJI FARADAYA SYMETRIA W FIZYCE

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 41. Busola stycznych

Ćwiczenie 41. Busola stycznych Ćwiczenie 41. Busola stycznych Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Zapoznanie się z budową i działaniem busoli, wyznaczenie składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem Ćwiczenie E7 Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem E7.1. Cel ćwiczenia Prąd elektryczny płynący przez przewodnik wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Ćwiczenie polega na pomiarze

Bardziej szczegółowo

Teoria pola elektromagnetycznego

Teoria pola elektromagnetycznego Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl e-mail: w temacie wiadomości

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Magnetyzm cz.i. Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera

Magnetyzm cz.i. Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera Magnetyzm cz.i Oddziaływanie magnetyczne Siła Lorentza Prawo Biote a Savart a Prawo Ampera 1 Magnesy Zjawiska magnetyczne (naturalne magnesy) były obserwowane i badane już w starożytnej Grecji 2500 lat

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m. Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI BADANIE TRANSFORMATORA. Autor: Grzegorz Lenc, Strona 1/11

INSTRUKCJA LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI BADANIE TRANSFORMATORA. Autor: Grzegorz Lenc, Strona 1/11 NSTRKCJA LABORATORM ELEKTROTECHNK BADANE TRANSFORMATORA Autor: Grzegorz Lenc, Strona / Badanie transformatora Celem ćwiczenia jest poznanie zasady działania transformatora oraz wyznaczenie parametrów schematu

Bardziej szczegółowo

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0] Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym

Bardziej szczegółowo

V.4 Ruch w polach sił zachowawczych

V.4 Ruch w polach sił zachowawczych r. akad. 5/ 6 V.4 Ruch w polach sił zachowawczych. Ruch cząstki w potencjale jednowyiarowy. Ruch w polu siły centralnej. Wzór Bineta 3. Przykład: całkowanie wzoru Bineta dla siły /r Dodatek: całkowanie

Bardziej szczegółowo

EUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015

EUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015 EROELEKTR Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 014/015 Zadania z elektrotechniki na zawody II stopnia (grupa elektryczna) Zadanie 1 W układzie jak na rysunku 1 dane są:,

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Obwód składający się z baterii (źródła siły elektromotorycznej ) oraz opornika. r opór wewnętrzny baterii R- opór opornika

Obwód składający się z baterii (źródła siły elektromotorycznej ) oraz opornika. r opór wewnętrzny baterii R- opór opornika Obwód składający się z baterii (źródła siły elektromotorycznej ) oraz opornika r opór wewnętrzny baterii - opór opornika V b V a V I V Ir Ir I 2 POŁĄCZENIE SZEEGOWE Taki sam prąd płynący przez oba oporniki

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Wykład 17 Izolatory i przewodniki

Wykład 17 Izolatory i przewodniki Wykład 7 Izolatory i przewodniki Wszystkie ciała możemy podzielić na przewodniki i izolatory albo dielektryki. Przewodnikami są wszystkie metale, roztwory kwasów i zasad, roztopione soli, nagrzane gazy

Bardziej szczegółowo

dr inż. Zbigniew Szklarski

dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 13: Pole magnetyczne dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Wektor indukcji pola magnetycznego, siła Lorentza F L Jeżeli na dodatni ładunek q poruszający

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek

Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217

Bardziej szczegółowo

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C Wymiana ciepła Ładunek jest skwantowany ładunek elementarny ładunek pojedynczego elektronu (e). Każdy ładunek q (dodatni lub ujemny) jest całkowitą wielokrotnością jego bezwzględnej wartości. q=n. e gdzie

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie składowej poziomej natężenia pola magnetycznego Ziemi za pomocą busoli stycznych

Wyznaczanie składowej poziomej natężenia pola magnetycznego Ziemi za pomocą busoli stycznych Ćwiczenie E12 Wyznaczanie składowej poziomej natężenia pola magnetycznego Ziemi za pomocą busoli stycznych E12.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości składowej poziomej natężenia pola

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie stosunku e/m elektronu

Wyznaczanie stosunku e/m elektronu Ćwiczenie 27 Wyznaczanie stosunku e/m elektronu 27.1. Zasada ćwiczenia Elektrony przyspieszane w polu elektrycznym wpadają w pole magnetyczne, skierowane prostopadle do kierunku ich ruchu. Wyznacza się

Bardziej szczegółowo

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z

Bardziej szczegółowo

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO

POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO POLE MAGNETYZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYZNEGO Wykład lato 011 1 Definicja wektora indukcji pola magnetycznego F = q( v B) Jednostką indukcji pola B jest 1T (tesla) 1T=1N/Am Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika. Część 5. Pola magnetyczne w materii. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.

Elektrodynamika. Część 5. Pola magnetyczne w materii. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu. Elektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii yszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 6 Pola magnetyczne w materii 3 6.1 Magnetyzacja.......................

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

ver magnetyzm cd.

ver magnetyzm cd. ver-10.01.12 magnetyzm cd. praca przemieszczenia obwodu w polu B B F F=ΙlB B j (siła Ampere a) dw =Fdx=Ι lbdx=ι BdS Φ B = B d S= BdS dφ B =BdS dw =ΙdΦ B =Ι B d S strumień dx dla obwodu: W =Ι dφ B =Ι Φ

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo