Obliczanie indukcyjności cewek

Transkrypt

1 napisał Michał Wierzbicki Obliczanie indukcyjności cewek Indukcyjność dla cewek z prądem powierzchniowym Energia zgromadzona w polu magnetycznym dwóch cewek, przez uzwojenia których płyną prądy I 1 i I 2, wynosi W = 1 2 L 1 I L 2 I M 12 I 1 I 2 (1) gdzie L 1 i L 2 są wpółczynnikami samoindukcji cewek, a M 12 jest współczynnikiem ich indukcyjności wzajemnej. Jeśli uzwojenia cewek są nawinięte dostatecznie gęsto, to możemy uznać, że po powierzchni cewek płynie prąd o gęstości powierzchniowej j = ni, gdzie n jest gęstością uzwojenia o wymiarze liczba zwojów na metr. Energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki najłatwiej liczyć stosując wzór całkowy dla potencjału wektorowego W = 1 j 2 A ds (2) S gdzie S jest powierzchnią cewki, j gęstością powierzchniową prądu płynącego w uzwojeniu cewki, a A potencjałem wektorowym wytwarzanym przez ten prąd. 1) Energia związana z samoindukcją Potencjał wektorowy cewki obliczamy stosując ogólne rozwiązanie równania Poissona A = µ 0 j w postaci całki: A( r ) = µ 0 j( r ) 4π r r ds (3) S gdzie S jest powierzchnią cewki, wektor r wskazuje na punkt obserwacji, w którym obliczamy potencjał wektorowy, a wektor r wskazuje na źródło pola czyli element prądu j ds. Wstawiając powyższe wyrażenie na potencjał wektorowy do wzoru (2) otrzymujemy wyrażenie na energię pola magnetycznego cewki w postaci podwójnej całki powierzchniowej: W = µ 0 j( r) j( r ) ds ds = 1 8π r r 2 LI2 (4) S S gdzie S i S oznaczają tą samą powierzchnię cewki, a wektory r i r przy całkowaniu obiegają niezależnie powierzchnię cewki. 1

2 2) Energia związana z indukcją wzajemną Energię związaną z indukcją wzajemną obliczamy całkując potencjał wektorowy A 1 wytwarzany przez cewkę nr 1 po powierzchni cewki nr 2 i na odwrót: W 12 = 1 A1 j 2 ds A2 j 1 ds 1 (5) 2 2 S 2 S 1 Potencjał wektorowy wytwarzany przez cewkę nr 1 na powierzchni cewki nr 2 dany jest wzorem (3): A 1 ( r 2 ) = µ 0 j 1 ( r 1 ) 4π r 2 r 1 ds 1 (6) S 1 gdzie wektor r 2 wskazuje na punkt na powierzchni cewki nr 2 (punkt obserwacji), a wektor r 1 wskazuje na punkt na powierzchni cewki nr 1 (źródło pola). Potencjał wektorowy wytwarzany przez cewkę nr 2 na powierzchni cewki nr 1 dany jest wzorem analogicznym wzorem: A 2 ( r 1 ) = µ 0 j 2 ( r 2 ) 4π r 1 r 2 ds 2 (7) S 2 Powyższe wzory różnią się od siebie tylko zamianą indeksów 1 na 2. Oba składniki we wzorze na energię W 12 są więc sobie równe. Energię związaną z indukcyjnością wzajemną dwóch cewek obliczamy więc za pomocą następującej podwójnej całki powierzchniowej: W 12 = µ 0 j 1 j 2 4π r 1 r 2 ds 1 ds 2 = M 12 I 1 I 2 (8) S 2 Współczynnik samoindukcji solenoidu S 1 Cewkę walcową o promieniu R i nieskończonej długości nazywamy solenoidem. Niech n = N/l, będzie gęstością uzwojenia takiej cewki, gdzie N jest liczbą zwojów na długości l. Całkowa postać prawa Ampera zastosowana do zamkniętego konturu o długości l przecinającego solenoid wynosi: C B = B l = µ 0 I n l (9) Indukcja pola magnetycznego B wewnątrz solenoidu jest stała, skierowana wzdłuż 2

3 osi solenoindu 1 i ma wartość B = µ 0 I n. Energia pola magnetycznego zgromadzonego w odcinku solenoidu o długości l wynosi W = B2 2µ 0 V = µ 0 2 I2 n 2 πr 2 l = 1 2 LI2 (10) gdzie V jest objętością walca o długości l i promieniu podstawy R. Stąd współczynnik samoindukcji L odcinka solenoidu o długości l wynosi: L = µ 0 n 2 πr 2 l = µ 0 N 2 πr2 (11) l Można go stosować jako przybliżony wzór dla cewki walcowej o liczbie zwojów N, promieniu R i skończonej długości l. Współczynnik samoindukcji cewki walcowej Współczynnik samoindukcji dla cewki w kształcie walca o promieniu R, długości l i liczbie zwojów N obliczamy za pomocą wzoru całkowego (4) W = 1 2 S j A ds = µ 0 8π S S j( r) j( r ) r r ds ds = 1 2 LI2 (12) Przyjmując oś z układu cylindrycznego wzdłuż osi cewki możemy napisać r = [R cos φ, R sin φ, z], r = [R cos φ, R sin φ, z ] (13) gdzie 0 φ, φ 2π oraz 0 z, z l. Prąd w uzwojeniu płynie dookoła walca, kierunek wektora gęstości powierzchniowej prądu cewki j wyrażamy więc przez wersor e φ układu cylindrycznego: j( r) = n I [ sin φ, cos φ, 0], j( r ) = n I [ sin φ, cos φ, 0] (14) gdzie n = N/l jest gęstością uzwojenia. Obliczając iloczyny skalarne w równaniu (12) możemy napisać wyrażenie na energię pola magnetycznego cewki w postaci całki poczwórnej: W = µ 0 8π n2 I 2 l l z=0 z =0 φ=0 φ =0 cos(φ φ ) dz dz dφ dφ 2R 2 [1 cos(φ φ )] + (z z ) 2 (15) 1 Stosując prawo Ampera i prawo Gaussa w układzie cylindrycznym i powołując się na symetrię cylindryczną takiego solenoidu można pokazać, że jedyną nieznikającą składową indukcji jest składowa B z wzdłuż osi solenoidu. 3

4 Wprowadzając bezwymiarowe zmienne całkowania ξ = z/l, ξ = z/l oraz bezwymiarowy współczynnik η = R/l, możemy wyrażenie na indukcyjność cewki L zapisać jako L = 2W I 2 = L S 4π 2 ξ=0 ξ =0 φ=0 φ =0 cos(φ φ ) dξ dξ dφ dφ 2η 2 [1 cos(φ φ )] + (ξ ξ ) 2 (16) gdzie L S jest wartością indukcyjności (11) odcinka solenoidu o tych samych parametrach co rozpatrywana cewka walcowa. Przystąpimy teraz do obliczania bezwymiarowej całki poczwórnej w powyższym wzorze. Wprowadzając zmienną całkowania: u = φ φ, du = dφ, podwójną całke po kątach z wyrażenia zależnego od cos(φ φ ) można zapisać jako φ+2π φ=0 u= φ f(cos u) dφ du = 4π u=0 Stąd równanie (16) redukuje się do całki potrójnej f(cos u) du (17) L = L s π π u=0 ξ=0 ξ =0 cos u du dξ dξ 2η 2 (1 cos u) + (ξ ξ ) 2 (18) Do całki podwójnej po zmiennych ξ i ξ można zastosować podstawienie: v = ξ ξ, dv = dξ. Całkę podwójną z wyrażenia zależnego od v 2 można zapisać jako ξ+1 ξ=0 v= ξ f(v 2 ) dv dξ = 2 1 v v=0 ξ=0 f(v 2 ) dv dξ = 2 v=0 (1 v)f(v 2 ) dv (19) gdzie zamieniliśmy kolejność całkowania po zmiennych ξ i v dla obszaru przedstawionego na rysunku. 4

5 Wzór (18) redukuje się więc do całki podwójnej L = 2L s π v=0 u=0 Oznaczając u = 2ϕ oraz ζ = 2R/l możemy napisać L = 4L s π v=0 ϕ=0 (1 v) cos u du dv 2η 2 (1 cos u) + v 2 (20) (1 v) cos 2ϕ du dϕ ζ 2 sin 2 ϕ + v 2 (21) Całkę po v możemy wykonać korzystając z następującej elementarnej całki 0 1 v a2 + v 2 dv = a a ln(1 + a 2 + 1) ln a (22) gdzie a = ζ sin ϕ. Wzór (21) przyjmuje postać: L = 4L S π ϕ=0 + ln(1 + cos 2ϕ dϕ ( ζ sin ϕ ζ 2 sin 2 ϕ + 1+ ) ζ 2 sin 2 ϕ + 1) ln ζ ln sin ϕ (23) Indukcyjność L można więc zapisać jako sumę czterech całek pojedynczych gdzie L = 4L S π (I 1 I 2 + I 3 I 4 ) (24) I 1 = ϕ=0 ζ sin ϕ cos 2ϕ dϕ = ζ 3 (25) I 3 = I 2 = ϕ=0 ϕ=0 cos 2ϕ ζ 2 sin 2 ϕ + 1 dϕ = 2 ζ (K E) 3ζk 3k E (26) cos 2ϕ ln(1 + ζ 2 sin 2 ϕ + 1) dϕ = π (K E) (27) ζk I 4 = ϕ=0 cos 2ϕ (ln ζ + ln sin ϕ) dϕ = π 4 (28) 5

6 gdzie K(k) = jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju, E(k) = 0 /2 0 1 dθ (29) 1 k2 sin 2 θ 1 k 2 sin 2 θ dθ (30) jest zupełną całką eliptyczną drugiego rodzaju, natomiast liczba k 2 = ζ2 1 + ζ 2 (31) jest modułem całki eliptycznej. Indukcyjność cewki walcowej wynosi więc L = 4L S π Co można ostatecznie zapisać jako gdzie czynnik [ 1 ζ (K E) + 3ζk 3k E ζ ] 3 (32) L = L S f(ζ) (33) f(ζ) = 4 [ 1 3π ζk (K E) + ζ ] k E ζ jest bezwymiarową poprawką zależną od stosunku ζ = d/l średnicy cewki do jej długości. Poprawka ta opisuje efekty brzegowe wynikające z obcięcia nieskończonego solenoidu do długości l. Dla dostatecznie długiej i cienkiej cewki, dla której ζ 1, poprawkę można obliczać za pomocą rozwinięcia równania (34) w szereg względem ζ: f(ζ) 1 4ζ 3π + ζ2 8 + O(ζ4 ) (35) Wartość ζ = 0 odpowiada nieskończenie długiej cewce, dla której L = L S. * * * W podręcznikach z elektrotechniki można znaleźć przybliżony wzór Wheelera na indukcyjność cewki o liczbie zwojów N, oraz promieniu R i długości l wyrażonych w calach: (34) 6

7 L W [µh] = R2 N 2 9R + 10l (36) Jeśli R i L wyrazimy w metrach to L W = 39,37 µh R 2 N 2 9R + 10l Obliczony przez nas wzór (33) można zapisać jako (37) L = µ 0 N 2 πr2 f(2r/l) (38) l Przenikalność magnetyczna próżni wynosi 4π 10 7 H/m. Stąd L = 3,948 µh R2 N 2 f(2r/l) (39) l Stosunek wyznaczonej przez nas indukcyjności cewki walcowej do obliczonej ze wzoru Wheelera jest więc z dobrym przybliżeniem równy L L W = 0,1 f(2r/l) (9R/l + 10) = f(ζ) (0,45 ζ + 1) (40) Jak widać z poniższego rysunku oba wzory zgadzają się w szerokim zakresie d/l. Co znaczy, że poprawkę (34) można w dobrym przybliżeniu obliczać jako f(ζ) 1 0, 45 ζ + 1 (41) 7

8 Indukcyjność płaskiej cewki Zamiast nawijać cewkę na powierzchni walcowej, można przewód zwinąć na powierzchni płakiej w postaci spirali. Taką cewkę daje się na przykład wykonać przez wytrawienie odpowiedniej ścieżki na płytce drukowanej. Można także przeplatać zwykły przewód przez radialnie nacięty wzornik w kształcie koła. Jeśli założymy, że kolejne zwoje cewki są nawinięte dostatecznie blisko siebie, to prąd płynący przez cewkę możemy opisywać gęstością powierzchniową prądu j = ni, gdzie n jest gęstością uzwojenia. Energię zgromadzoną w polu magnetycznym takiej cewki obliczamy stosując wzór całkowy (4). W = µ 0 j( r) j( r ) ds ds (42) 8π r r S S Załóżmy, że uzwojenie cewki zawiera się w płaskim pierścieniu o promieniach a < b. Na płaszczyźnie zawierającej cewkę zastosujmy biegunowy układ współrzędnych. Wektory wodzące r i r obiegające niezależnie powierzchnię cewki mają wówczas postać: r = r[cos φ, sin φ] r = r [cos φ, sin φ ] (43) gdzie a r, r b oraz 0 φ, φ 2π. Kierunek wektora gęstości powierzchniowej prądu jest zgodny z kierunkiem wersora e φ układu biegunowego: j( r) = In [ sin φ, cos φ] j( r ) = In [ sin φ, cos φ ] (44) Obliczając iloczyny skalarne w równaniu (42) otrzymujemy wyrażenie na energię pola magnetycznego w postaci całki poczwórnej: W = LI2 2 = µ 0 8π I2 n 2 b b r=a r =a φ=0 φ =0 cos(φ φ ) rdr r dr dφ dφ r 2 + r 2 2rr cos(φ φ ) (45) 8

9 Wprowadzając bezwymiarowe zmienne całkowania: ξ = r/b, ξ = r /b, kąt u = φ φ oraz bezwymiarowy parametr η = a/b < 1 możemy napisać wyrażenie na indukcyjność cewki spiralnej w postaci całki potrójnej L = µ 0 n 2 b 3 ξ=η ξ =η θ=0 cos u du ξξ dξ dξ ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u gdzie zredukowaliśmy dwie całki po φ i φ do jednej całki po u, korzystając z tożsamości (17). Współczynnik stojący przed całką można wyrazić przez liczbę zwojów cewki N n 2 b 3 = N 2 b 3 (b a) 2 = N 2 b (1 η 2 ) Całkę podwójną względem ξ i ξ po powierzchni kwadratu η ξ 1 i η ξ 1 można rozłożyć na dwie całki dzieląc kwadrat jego przekątną ξ = ξ : Dla ξ < ξ, oznaczając x = ξ /ξ < 1, dξ = ξ dx (46) (47) L = µ 0N 2 b (1 η) 2 (I 1 + I 2 ) (48) I 1 = ξ u=0 ξ=η ξ =η ξξ dξ dξ cos u du ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u = u=0 ξ=η x=η/ξ ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u (49) Dla ξ < ξ, oznaczając x = ξ/ξ < 1, dξ = ξ dx I 2 = ξ u=0 ξ =η ξ=η ξξ dξ dξ cos u du ξ2 + ξ 2 2ξξ cos u = u=0 ξ =η x=η/ξ ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u (50) Jak widać I 1 = I 2, stąd L = µ 0N 2 b (1 η) 2 2I 1(η) (51) W całce potrójnej I 1 można zamienić kolejność całkowania zmiennych ξ i x, w dziedzinie całkowania przedstawionej na rysunku. 9

10 i wykonać całkowanie po ξ. I 1 = π u=0 x=η ξ=η/x ξ 2 dξ xdx cos u du 1 + x2 2x cos u = 1 3 π u=0 x=η ( ) x η3 x 2 cos u du dx 1 + x2 2x cos u (52) Całki po x i po u można wykonać w programie Mathematica. Pierwsza z nich prowadzi do dość skomplikowanej całki elementarnej, a druga do zupełnych całek eliptycznych K i E pierwszego i drugiego rodzaju: I 1 (η) = 1 + η [ (1 η) 2 K(k) (1 + η 2 ) E(k) + 2(1 η + η 2 ) ] (53) 3 Moduł k całek eliptycznych jest równy k 2 = 4η (1 + η) = 4ab 2 (a + b) = ab (54) 2 r 2 gdzie r = (a + b)/2 jest średnim promieniem cewki. Dla η 1 obowiązuje rozwinięcie w szereg I 1 (η) 2 3 πη2 2 * * * (55) W literaturze z elektrotechniki można znaleźć następujący przybliżony wzór na indukcyjność cewki spiralnej: L S [µh] = r2 N 2 (56) 8r + 11w gdzie N jest liczbą zwojów cewki, r = (a + b)/2 jest średnim promieniem cewki, a w = (b a)/n jest grubością przewodnika. Wielkości r i w należy wyrazić w calach. Jeśli r i w wyrazimy w metrach to 10

11 r 2 N 2 L S = 39,37 µh 8r + 11w Wprowadzając parametr η = a/b < 1 i zakładając dużą liczbę zwojów N 1, możemy napisać (57) L S 2,5 µh bn 2 (1 + η) (58) Obliczony przez nas wzór (51) dla cewki spiralnej wynosi: L = 0,5133 µh bn 2 Jak widać z rysunku zgodność obu wzorów jest dość słaba. I 1 (η) (1 η) 2 (59) 11