OBWODY RLC W ASPEKCIE POCHODNYCH NIECAŁKOWITYCH RZĘDÓW DODATNICH RLC CIRCUITS IN ASPECT OF POSITIVE FRACTIONAL DERIVATIVES

Transkrypt

1 KTYKA Zezy (7) o VII Maciej WŁODACZYK, Andrzej ZAWADZKI Kaedra leroechnii i Syemów Pomiarowych, Poliechnia Święorzya w Kielcach OBWODY W ASPKCI POCHODNYCH NICAŁKOWITYCH ZĘDÓW DODATNICH Srezczenie. Obecnie duże zainereowanie wzbudzają zw. uperondenaory, dla órych layczne charaeryyi nie ą doładne. Próbuje ię więc do opiu charaeryy wyorzyać pochodne ułamowego rzędu. W pracy przedawiono analizę obwodów w anie nieualonym przy zaoowaniu pochodnych ułamowego rzędu. Założono, że zależności między prądami a napięciami zarówno w cewce, ja i ondenaorze ą opiane pochodnymi ułamowego rzędu. Podano ogólne rozwiązania aiego obwodu, a dla wybranych rzędów pochodnych i paramerów przedawiono uzyane wynii na wyreach. Słowa luczowe: an nieualony, równanie różniczowe niecałowiego rzędu, obwody CICUITS IN ASPCT OF POSITIV FACTIONA DIVATIVS Summary. A preen, he o-called upercapacior, claic characeriic of which are no precie, aroue high inere. To decribe heir characeriic one ray o ue fracional derivaive ha model a upercapacior a a yem buil wih elemen. In he paper, he analyi of uch circui in ranien ae i preened. There i aumed, ha dependencie beween curren and volage in a coil a well a in a capacior are decribed wih fracional derivaive. There are announced general oluion of uch a circui For eleced degree of derivaive obained reul are preened in diagram,. Keyword: an nieualony, równanie różniczowe niecałowiego rzędu, obwody. WPOWADZNI Ja wiadomo, analizę obwodów w anie nieualonym przeprowadza ię rozwiązując zwyczajne równanie różniczowe drugiego rzędu o ałych wpółczynniach. Powaje ono w związu z różniczowymi zależnościami pomiędzy napięciem i prądem na cewce i ondenaorze. Obecnie duże zainereowanie wzbudzają zw. uperondenaory o bardzo dużych pojemnościach, dla órych layczne charaeryyi nie ą doładne i próbuje ię u zaoować pochodne ułamowego rzędu [6].

2 76 M. Włodarczy, A. Zawadzi Przy założeniu że zależności między prądami a napięciami zarówno w cewce, ja i ondenaorze ą opiane przez pochodne niecałowiego rzędu, o dla aiego obwodu zeregowego, zailanego napięciem e(), można napiać równania: D α i i u e i CD u α () gdzie: i prąd w obwodzie, u napięcie na ondenaorze, D ogólny ymbol pochodnej rzędu α. Sprowadzając je do jednego równania rzędu α, uzyano: D u α α CD u u e () α Dla funcji ciągłych inieją dwie definicje pochodnych niecałowiego rzędu [,,3]: definicja iemanna iouville a (-): d D f a d a f d (3) gdzie:, e d funcja gamma definicja Capuo (C): gdzie: n n. C D f a n a f n d n Soując przezałcenie aplace a dla pochodnych zdefiniowanych wg iemanna iouville a, orzymuje ię [3,5]: j D f F D f (5) gdzie: j j N. Naomia dla pochodnych zdefiniowanych wg Capuo [3,5]: n C D f F f (6) gdzie: n n N. Po porównaniu związów (5) i (6) nauwa ię wnioe, że wygodniej je oować definicję Capuo, ponieważ w ym wypadu przy oreślaniu przezałcenia aplace a (4)

3 Obwody w apecie 77 wyępują pochodne całowiego rzędu dla warunów począowych co ma ławą inerpreację fizyczną. Soowanie definicji iemanna iouville a napoya na pewne rudności, ponieważ wyępują u pochodne niecałowiego rzędu dla warunów począowych, órych inerpreacja fizyczna je niewyjaśniona. Przy zerowych warunach począowych wybór definicji nie ma znaczenia. Zaem, oując przezałcenie przezałcenia aplace a do równania () dla zerowych warunów począowych i źródła napięcia ałego, orzymuje ię: U U C U (7) ąd: U (8) Przeprowadzając rozład na ułami proe: B A gdzie: 4,, i obliczając wpółczynnii A i B:, B A orzymuje ię oaecznie ranformaę aplace a napięcia na ondenaorze w poaci: ) ( U (9) Aby orzymać napięcie na ondenaorze w funcji czau, należy doonać odwronego przezałcenia aplace a do wyrażenia (9). u () Opierając ię na związu [,, 3, 5]: r r, () gdzie:, u u funcja Miag-efflera.

4 78 M. Włodarczy, A. Zawadzi Orzymano napięcie na ondenaorze w poaci: u () Aby wyznaczyć prąd w rozparywanym obwodzie, opierając ię na drugim równaniu uładu (), należy obliczyć pochodną ułamową napięcia u(). Najwygodniej je uczynić o dla ranformay napięcia (8). I a, przy zerowym warunu począowym [,5] orzymano: I (3) Do wyznaczenia ranformay odwronej również i u przeprowadzono rozład na ułami proe: B A orzymując:, B A. A zaem ranformaa aplace a prądu w obwodzie uzyuje poać: I (4) a w funcji czau: i co oaecznie dało: i (5) Obliczając napięcie na cewce i mając na uwadze poczynione wcześniej założenia, orzymano olejno: I U (6) U (7)

5 Obwody w apecie 79 Napięcie na cewce w funcji czau je odwroną ranformaą aplace a wyrażenia (7). Aby doonać rozładu na ułami proe, należy najpierw podzielić przez iebie wielomiany licznia i mianownia w wyrażeniu (7): C i zaoować rozład na ułami proe rezy z dzielenia: B A C Wpółczynnii A i B ą w ym wypadu równe: ; C B C A więc ranformaa napięcia na cewce orzymuje poać: C C U (8) Zaem, napięcie na cewce w funcji czau przedawia zależność (9). C C u (9) Napięcie na ondenaorze, prąd i napięcie na cewce w obwodzie niecałowiego rzędu wyrażają związi (), (5) i (9).. KSPYMNTY NUMYCZN ealizacja numeryczna poawionego zagadnienia nie je proa, ponieważ w związach (), (5) i (9) wyępują zeregi funcyjne nieończone, óre ą na ogół rozbieżne, mimo o można orzymać warości funcji przedawionych przez e zeregi, biorąc umę odpowiedniej liczby wyrazów ego zeregu je o zw. zbieżność aympoyczna [4]. W pracy [] zamiezczono uwagę, że funcję Miag-efflera można raować jao uogólnienie funcji y = ep(-/) ylo przy założeniu, że - - <, a więc dla małych warości czau i dla odpowiednich ałych czaowych, óre wyniają z paramerów, i C.

6 8 M. Włodarczy, A. Zawadzi W celu wizualizacji przebiegów napięć i prądu w środowiu MATAB napiano odpowiedni program, óry dla podanych paramerów obwodu i wybranych rzędów pochodnych oblicza warości funcji i wyreśla ich przebiegi. Na ażdym wyreie je przedawiony, dla porównania, przebieg funcji uzyany z laycznego rozwiązania (=) oraz przebiegi dla rzech wybranych rzędów. W pracy przeanalizowano dwa przypadi anu nieualonego obwodu : aperiodyczny i ocylacyjny. W dalzej części zoaną przedawione wynii analiz anu nieualonego obwodu rzędu w poaci wyreów przebiegów prądu i napięć na pozczególnych elemenach... Przypade aperiodyczny Dla przypadu aperiodycznego przyjęo naępujące warości paramerów: =,3 Ω, =, H, C=F. I a ryuni, i 3 przedawiają olejno napięcie na ondenaorze, prąd w obwodzie i napięcie na cewce dla rzędów α = ;,9;,8 i,7, naomia ryuni 4, 5 i 6 dla α = ;, ;, i, u [V] alfa = alfa =.9 alfa =.8 alfa = [] y.. Napięcie na ondenaorze dla rzędów α = ;,9;,8 i,7 (przypade aperiodyczny) Fig.. Capacior volage for order α = ;,9;,8 and,7 (aperiodic cae)

7 Obwody w apecie 8.5 alfa = alfa =.9 alfa =.8 alfa =.7.5 i [A] [] y.. Prąd w obwodzie dla rzędów α = ;,9;,8 i,7 (przypade aperiodyczny) Fig.. Curren in he circui for order α = ;,9;,8 and,7 (aperiodic cae)..8 alfa = alfa =.9 alfa =.8 alfa =.7.6 u [V] [] y. 3. Napięcie na cewce dla rzędów α = ;,9;,8 i,7 (przypade aperiodyczny) Fig. 3. Coil volage for order α = ;,9;,8 and,7 (aperiodic cae)

8 8 M. Włodarczy, A. Zawadzi.4..8 u [V].6.4. alfa = alfa =. alfa =. alfa = [] y. 4. Napięcie na ondenaorze dla rzędów α = ;, ;, i,3 (przypade aperiodyczny) Fig. 4. Capacior volage for order α = ;, ;, and,3 (aperiodic cae) alfa = alfa =. alfa =. alfa =.3 i [A] [] y. 5. Prąd w obwodzie dla rzędów α = ;, ;, i,3 (przypade aperiodyczny) Fig. 5. Curren in he circui for order α = ;, ;, i,3 (aperiodic cae)

9 Obwody w apecie alfa = alfa =. alfa =.3 alfa =.4.4 u [V] [] y. 6. Napięcie na cewce dla rzędów α = ;, ;,3 i,4 (przypade aperiodyczny) Fig. 6. Coil volage for order α = ;, ;,3 and,4 (aperiodic cae) Analizując e wyrey w porównaniu z rozwiązaniem laycznym (α = ), można zauważyć, że dla rzędów mniejzych od napięcia na ondenaorze: w pierwzej fazie zybciej roną, ale później wolniej roną do napięcia ualonego (ry. ). Prąd w obwodzie również począowo zybciej naraa, ale oiąga mniejze warości maymalne i wolniej opada do zera (ry. ). Napięcia na cewce w pierwzej fazie opadają zybciej, ale później przebiegi ą bardziej płazczone, a że coraz dłużej ą urzymywane warości dodanie (ry. 3). Dla rzędów więzych od napięcie na ondenaorze wolniej rośnie, ale później oiąga więze warości niż ualone, aby z olei opaść do warości ualonej (można zaoberwować u wojego rodzaju przeerowanie ) (ry. 4). Podobne zjawio wyępuje dla warości prądu, óre oiągają nawe warości ujemne, by poem zbliżać ię do zera (ry. 5). Napięcie na cewce zybciej opada i również oiąga minimum dla ujemnych warości, aby później zbliżyć ię do zera warości ualonej (ry. 6)... Przypade ocylacyjny Dla przypadu ocylacyjnego przyjęo naępujące warości paramerów: =,3 Ω, =, H, C=F. I u podobnie przedawiono w porównaniu z laycznymi rozwiązaniami: napięcie na ondenaorze, prąd w obwodzie i napięcie na cewce dla rzędów α = ;,9;,8 i,7 ryuni 7, 8 i 9, naomia dla α = ;, ;, i,3 ryuni, i.

10 84 M. Włodarczy, A. Zawadzi.4..8 u [V].6.4. alfa = alfa =.9 alfa =.8 alfa = [] y. 7. Napięcie na ondenaorze dla rzędów α = ;,9;,8 i,7 (przypade ocylacyjny) Fig. 7. Capacior volage for order α = ;,9;,8 and,7 (ocillaory cae) i [A].5 alfa = alfa =.9 alfa =.8 alfa = [] y. 8. Prąd w obwodzie dla rzędów α = ;,9;,8 i,7 (przypade ocylacyjny) Fig. 8. Curren in he circui for order α = ;,9;,8 and,7 (ocillaory cae)

11 Obwody w apecie alfa = alfa =.9 alfa =.8 alfa =.7.4 u [V] [] y. 9. Napięcie na cewce dla rzędów α = ;,9;,8 i,7 (przypade ocylacyjny) Fig. 9. Coil volage for order α = ;,9;,8 and,7 (ocillaory cae) u [V] alfa = alfa =. alfa =. alfa = [] y.. Napięcie na ondenaorze dla rzędów α = ;, ;, i,3 (przypade ocylacyjny) Fig.. Capacior volage for order α = ;, ;, and,3 (ocillaory cae)

12 86 M. Włodarczy, A. Zawadzi i [A] alfa = alfa =. alfa =. alfa = [] y.. Prąd w obwodzie dla rzędów α = ;, ;, i,3 (przypade ocylacyjny) Fig.. Curren in he circui for order α = ;, ;, and,3 (ocillaory cae).5 alfa = alfa =. alfa =.3 alfa =.4.5 u [V] [] y.. Napięcie na cewce dla rzędów α = ;, ;,3 i,4 (przypade ocylacyjny) Fig.. Coil volage for order α = ;, ;,3 and,4 (ocillaory cae)

13 Obwody w apecie 87 Analizując orzymane wyrey dla przypadu ocylacyjnego w porównaniu z rozwiązaniem laycznym (α = ), można zauważyć, że generalnie rzędy mniejze od powodują łumienie ocylacji napięcia na ondenaorze, prądu w obwodzie, ja również napięcia na cewce ym ilniej, im mniejzy je rząd α (ry. 7, 8 i 9). Naomia rzędy więze od powodują zwięzenia ampliudy ocylacji wraz ze zwięzaniem ię rzędu dla wzyich rozparywanych przebiegów (ry., i ). Zaem, rzędy ułamowe ograniczają właności ocylacyjne przebiegów, naomia rzędy więze od jedności właności e poęgują, co wiąże ię bezpośrednio z czaem oiągania warości ualonych. 3. WNIOSKI W pracy przedawiono rozwiązanie obwodu rzędu α w anie nieualonym z wymuzeniem ałym a więc ym amym rozwiązano równanie różniczowe o ałych wpółczynniach, niejednorodne o ałej prawej ronie, rzędu α, gdzie α je liczbą niecałowią (w ogólnym przypadu może być dowolną liczbą rzeczywią). Do rozwiązania zaoowano przezałcenie aplace a. Uzyane przebiegi napięć i prądów ą inuicyjnie zgodne zwięzając rzędy ułamowe do jedności, przebiegi dążą do rozwiązań laycznych zmniejzając rzędy niecałowie (,3,) do jedności, również dążą do rozwiązań laycznych, ale od drugiej rony. Można więc wierdzić, że rzędy ułamowe przeuwają właności rozwiązań charaeryycznych dla przebiegów ocylacyjnych w ierunu aperiodycznych, naomia rzędy więze od jedności w ierunu właności ocylacyjnych. Jaolwie ondenaorem pełniającym niecałowią zależność różniczową między prądem a napięciem, dla oreślonej warości rzędu α, mógłby być uperondenaor, a cewa o aich właściwościach jezcze nie zoała onruowana. BIBIOGAFIA. Kaczore T.: Fracional poiive linear yem and elecrical circui. Przegląd leroechniczny 8, Nr 9, Kozołowicz T.: Zaoowanie równań różniczowych z pochodnymi ułamowymi do opiu ubdyfuzji. Wydawnicwo Uniweryeu Humaniyczno Przyrodniczego Jana Kochanowiego, Kielce Podlubny I.: Fracional Differenial quaion. Academic Pre, yży I.M., Gradzejn I.S.: Tablice całe, um, zeregów i iloczynów. PWN, Warzawa 964.

14 88 M. Włodarczy, A. Zawadzi 5. Sierociu D.: ymacja i erowanie dyrenych uładów dynamicznych ułamowego rzędu opianych w przerzeni anu. ozprawa doora, Poliechnia Warzawa, Warzawa Zawadzi A., Włodarczy M.: Modelowanie proceów ładowania i rozładowania uperondenaora. Pomiary, Auomaya, Konrola, Vol. 56, Nr, Wpłynęło do edacji dnia 7 marca r. ecenzen: Prof. dr hab. inż. Marian Pao Abrac A preen, he o-called upercapacior, claic characeriic of which are no precie, aroue high inere. To decribe heir characeriic one ray o ue fracional derivaive ha model a upercapacior a a yem buil wih elemen. In he paper, he analyi of uch circui in ranien ae i preened. There i aumed, ha dependencie beween curren and volage in a coil a well a in a capacior are decribed wih fracional derivaive. There are announced general oluion of uch a circui i.e. heerogenic differenial equaion wih conan coefficien, wih conan righ ide, order α, where α i non-ineger number (in general cae i can be any real number) wa olved. aplace ranformaion wa ued for he oluion. For eleced degree of derivaive (α =,7,9 i,4,), obained reul are preened in diagram, where, for he comparion purpoe, oluion of claic circui (wih α = ) are hown. Numerical realizaion of he problem require calculaion of infinie funcional erie. In order o viualie coure of volage and curren in he circui a program in Malab environmen wa elaboraed, which for aumed circui parameer and eleced order of derivaive calculae value of funcion and draw heir coure. ach diagram preen, for he comparion, he funcion coure obained from claic oluion (α = ) and coure for hree eleced order. In he paper wo caue of ranien ae for circui: aperiodic and ocillaory were analyzed. For aperiodic cae following value of parameer were e: =,3 Ω, =, H, C= F and for ocillaory one a follow: =,3 Ω, =, H, C= F. Obained coure of volage on he capacior and he coil and curren in he circui are inuiionally compaible increaing fracional order (α =,7,9) or decreaing nonineger order (α =,4,) o one lead o claic oluion. ecapiulaing, i can be aed, ha fracional order hif properie of characeriic oluion for ocillaory coure oward aperiodic, while order bigger han one oward ocillaory properie.