Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
|
|
|
- Ludwika Szczepaniak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze...
2 . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. (1)
3 . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Równania te można zapisać krócej: n a ij x j = b i j=1 (i = 1,..., m). Współczynniki układu są elementami ciała K (najczęściej R lub C).
4 . Metoda eliminacji. Macierz układu Macierz A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1) nazywamy macierzą układu,
5 . Metoda eliminacji. Macierz układu Macierz A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1) nazywamy macierzą układu, a macierz B = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m poszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych układu nazywamy macierzą uzupełnioną.
6 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań.
7 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań,
8 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K
9 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania
10 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania przekształcają układ w układ mu równoważny.
11 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania przekształcają układ w układ mu równoważny. Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami na równaniach.
12 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Powyższym operacjom na równaniach odpowiadają elementarne operacje na wierszach macierzy układu: 1 przestawienie dowolnych dwóch wierszy, 2 pomnożenie wiersza przez stałą c 0, c K, 3 dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego wiersza.
13 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi.
14 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową.
15 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową. Przykład Macierz A = jest macierzą schodkową
16 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową. Przykład Macierz A = jest macierzą schodkową. Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny: pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta niewiodące.
17 . Metoda eliminacji. Wprowadzenie do metody eliminacji Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem szkolnej metody przeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu polega na rugowaniu kolejnych niewiadomych, aby uzyskać (jeśli to możliwe) równanie z jedną niewiadomą.
18 . Metoda eliminacji. Wprowadzenie do metody eliminacji Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem szkolnej metody przeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu polega na rugowaniu kolejnych niewiadomych, aby uzyskać (jeśli to możliwe) równanie z jedną niewiadomą. Kluczową sprawą jest jednak zapis. Ponieważ macierz uzupełniona zawiera pełną informację o układzie, więc w metodzie eliminacji Gaussa prowadzi się przekształcenia nie na równaniach układu, lecz na wierszach macierzy uzupełnionej.
19 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.
20 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską. 2) Jeśli a 11 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a 11 (wtedy wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w pierwszej kolumnie od wiersza drugiego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a 21 itd.
21 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską. 2) Jeśli a 11 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a 11 (wtedy wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w pierwszej kolumnie od wiersza drugiego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a 21 itd. Gdyby a 11 = 0, a np. a k1 0, to przestawiamy najpierw wiersz pierwszy z k-tym i dalej jak poprzednio.
22 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22.
23 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej.
24 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej. Jeśli wszystkie a k2 = 0 dla k = 2, 3,..., m, to przechodzimy do następnej kolumny.
25 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej. Jeśli wszystkie a k2 = 0 dla k = 2, 3,..., m, to przechodzimy do następnej kolumny. 4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.
26 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej 1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz ( ), to układ jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1).
27 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej 1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz ( ), to układ jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1). 2) Nie ma wierszy postaci ( ) i liczba niezerowych wierszy jest równa liczbie niewiadomych, tzn. macierz jest postaci: gdzie * oznacza jakiś element. 1 b b b n ,
28 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n
29 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n Stąd x n = b n. Po podstawieniu do równania (n 1)-szego obliczamy x n 1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.
30 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n Stąd x n = b n. Po podstawieniu do równania (n 1)-szego obliczamy x n 1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno. 3) W macierzy nie ma wierszy postaci ( ), ale występują kolumny niewiodące. Stosujemy, jak wyżej, podstawienie wsteczne, ale niewiadomym, które odpowiadają kolumnom niewiodącym nadajemy dowolne wartości (będą one parametrami rozwiązania).
31 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2)
32 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca.
33 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2,
34 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R),
35 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s,
36 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s, x 1 = 5 2x 2 3x 3 = 11 + s.
37 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s, x 1 = 5 2x 2 3x 3 = 11 + s. Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci: x 1 = 11 + s, x 2 = 3 2s, x 3 = s, x 4 = 2, (s R).
38 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:
39 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:
40 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:
41 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:
42 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi: Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x 3 = s): x 1 = 11 + s, x 2 = 3 2s, x 3 = s, x 4 = 2, (s R).
43 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z = 0
44 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =
45 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =
46 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =
47 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =
48 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =
49 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z = Stąd x = 1 3 k, y = 1 3k, z = k
50 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład Metodą eliminacji rozwiązać układ z parametrem a: 2x y + z + t = 1 x + 2y z + 4t = 2 x + 7y 4z + 11t = a Dla jakich wartości a układ nie ma rozwiązania?
51 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a
52 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a 2
53 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a 5
54 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a a 5
55 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a 5 Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi: a 5 x = k 6 5 l, y = k 7 l, z = k, t = l, 5 gdzie k, l R.
56 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b).,
57 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p + 15.,
58 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p Rozwiązując równanie p 2 2p + 15 = 0 znajdziemy p 1 = 5, p 2 = 3.,
59 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p Rozwiązując równanie p 2 2p + 15 = 0 znajdziemy p 1 = 5, p 2 = 3. Zatem gdy p 5 i p 3 układ jest oznaczony.,
60 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0,
61 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność.,
62 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ x + 3y z = 1 x + 10y 6z = 3 2x y + 3z = 0 który również rozwiązujemy metodą eliminacji.,,
63 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ x + 3y z = 1 x + 10y 6z = 3 2x y + 3z = 0 który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemy x = 8 7 k + 1 7, y = 5 7 k + 2 7, z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.,,
64 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Definicja Macierz B nazywamy wierszowo równoważną macierzy A, jeżeli B można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach.
65 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Definicja Macierz B nazywamy wierszowo równoważną macierzy A, jeżeli B można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach. Definicja Przestrzenią wierszy macierzy A typu m n nazywamy podprzestrzeń przestrzeni K n, która jest generowana przez wiersze macierzy A (traktowane jako wektory przestrzeni K n ).
66 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A =
67 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A = Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory w 1 = (3, 2, 1), w 2 = (0, 1, 0), w 3 = (3, 1, 1).
68 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A = Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory w 1 = (3, 2, 1), w 2 = (0, 1, 0), w 3 = (3, 1, 1). Ponieważ w 1 = w 2 + w 3, więc jest to dwuwymiarowa podprzestrzeń w R 3.
69 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.
70 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze.
71 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze. Definicja Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy macierzy A.
72 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze. Definicja Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy macierzy A. Oznaczamy go R(A).
73 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy są liniowo niezależne.
74 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy są liniowo niezależne. Wniosek Dla dowolnej macierzy A jej rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy w postaci schodkowej tej macierzy.
75 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A =
76 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A = Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy operacje: w 2 2w 1 i w 3 3w 1, a następnie w 3 + 2w 2 :
77 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A = Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy operacje: w 2 2w 1 i w 3 3w 1, a następnie w 3 + 2w 2 : Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) =
78 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Twierdzenie Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla którego wszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minory obrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r.
79 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Twierdzenie Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla którego wszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minory obrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r. A zatem rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni różnych od zera minorów tej macierzy.
80 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Obliczanie rzędu macierzy metodą obrzeżania należy prowadzić od stopni najniższych do najwyższych. Przykładowo, weźmy ponownie macierz A = Minor a 11 = 1 jest niezerowy. Minor obrzeżający: = 3 jest także niezerowy. Dla niego mamy dwa minory obrzeżające: = 0, = 0, a więc R(A) = 2.
81 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek:
82 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ).
83 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ). Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny wniosek: Wniosek jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy.
84 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ). Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny wniosek: Wniosek jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy. Inaczej: rząd wierszowy jest równy rzędowi kolumnowemu. Zatem przy obliczaniu rzędu metodą przekształcania macierzy do postaci schodkowej można wykonywać również operacje na kolumnach (co było niedopuszczalne w metodzie eliminacji).
85 . Metoda eliminacji. Układ jako równanie wektorowe a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (3) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Niech A oznacza macierz układu, a B macierz uzupełnioną układu: a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b 1 a A = 12 a 22 a 2n , B = a 12 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn b m
86 . Metoda eliminacji. Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni K m. Oznaczmy: a 1j b 1 a v j = 2j..., w = b 2... a mj b m
87 . Metoda eliminacji. Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni K m. Oznaczmy: a 1j b 1 a v j = 2j..., w = b 2... a mj b m Wtedy układ (3) jest równoważny równaniu wektorowemu: x 1 v 1 + x 2 v x n v n = w. (4)
88 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B).
89 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4).
90 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na wektorach v 1, v 2,..., v n.
91 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na wektorach v 1, v 2,..., v n. Zatem wymiary przestrzeni generowanych przez {v 1, v 2,..., v n } i {v 1, v 2,..., v n, w} są takie same, a to oznacza, że R(A) = R(B).
92 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r.
93 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r. Ale R(B) = r, więc wśród wektorów v 1, v 2,..., v n, w jest też tylko r liniowo niezależnych. Muszą to być v 1, v 2,..., v r.
94 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r. Ale R(B) = r, więc wśród wektorów v 1, v 2,..., v n, w jest też tylko r liniowo niezależnych. Muszą to być v 1, v 2,..., v r. Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v r, a więc i wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym istnieją elementy x j K spełniające równanie (4), a więc i układ (3).
95 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = 2
96 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u =
97 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A więc R(A) = 3 oraz x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u =
98 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = więc R(A) = 3 oraz R(A) R(B)
99 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = więc R(A) = 3 oraz R(A) R(B) 3. Zatem R(A) = R(B). Układ ma rozwiązanie
100 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Układ jednorodny: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (5)
101 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Układ jednorodny: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (5) ma zawsze rozwiązanie x 1 = x 2 =... = x n = 0.
102 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n.
103 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów.
104 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów. Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są x r+1, x r+2,..., x n.
105 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów. Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są x r+1, x r+2,..., x n. Niewiadome główne są ich kombinacjami. Zatem rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci wektora: n n ai 1 x i,..., ai r x i, x r+1, x r+2,..., x n. i=r+1 i=r+1
106 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n.
107 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy (1, 0,..., 0), x r+1, x r+2,..., x n
108 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),
109 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1)
110 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1) Otrzymamy wtedy wektory: (a 1 r+1, a 2 r+1,..., a r r+1, 1, 0,..., 0), (a 1 r+2, a 2 r+2,..., a r r+2, 0, 1,..., 0), ( a 1 n, a 2 n,..., a r n, 0, 0,..., 1).
111 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1) Otrzymamy wtedy wektory: (a 1 r+1, a 2 r+1,..., a r r+1, 1, 0,..., 0), (a 1 r+2, a 2 r+2,..., a r r+2, 0, 1,..., 0), ( a 1 n, a 2 n,..., a r n, 0, 0,..., 1). Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązanie jest kombinacją tych rozwiązań.
112 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w.
113 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy x = 3, y = 2,
114 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest x = 3, y = 2, x = 4, y = 1,
115 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest Rozwiązaniami bazowymi są x = 3, y = 2, x = 4, y = 1, ( 3, 2, 1, 0), ( 4, 1, 0, 1)
116 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest Rozwiązaniami bazowymi są a rozwiązanie ogólne jest postaci: x = 3, y = 2, x = 4, y = 1, ( 3, 2, 1, 0), ( 4, 1, 0, 1) k( 3, 2, 1, 0) + l( 4, 1, 0, 1), gdzie k, l R.
117 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej?
118 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej? Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie te punkty, to układ Ax 1 + By 1 + C = 0 Ax 2 + By 2 + C = 0 Ax 3 + By 3 + C = 0 z niewiadomymi A, B, C ma rozwiązanie niezerowe.
119 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej? Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie te punkty, to układ Ax 1 + By 1 + C = 0 Ax 2 + By 2 + C = 0 Ax 3 + By 3 + C = 0 z niewiadomymi A, B, C ma rozwiązanie niezerowe. Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0. x 3 y 3 1
120 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej.
121 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik:
122 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik: = 0.
123 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik: Punkty leżą na jednej prostej = 0.
124 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt.
125 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt. Jeżeli istnieje punkt (x, y) wspólny dla tych prostych, to układ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 = 0
126 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt. Jeżeli istnieje punkt (x, y) wspólny dla tych prostych, to układ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 czyli A 1 x + B 1 y = C 1 A 2 x + B 2 y = C 2 A 3 x + B 3 y = C 3 z niewiadomymi x, y ma rozwiązanie.
127 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A 1 B 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2, A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 A 3 B 3 C 3 są równe. A zatem musi być
128 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A 1 B 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2, A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 A 3 B 3 C 3 są równe. A zatem musi być A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 = 0. A 3 B 3 C 3
129 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny.
130 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik:
131 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik: = 0.
132 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik: Proste mają punkt wspólny = 0.
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
![, A T = A + B = [a ij + b ij ].](/thumbs/98/137554993.jpg ", A T = A + B = [a ij + b ij ].")
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Macierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
![det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...](/thumbs/93/111637753.jpg "det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...")
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
9 Układy równań liniowych
122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Układy równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Układy równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Metody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Teoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję