Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego."

Transkrypt

1 . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze...

2 . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. (1)

3 . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Równania te można zapisać krócej: n a ij x j = b i j=1 (i = 1,..., m). Współczynniki układu są elementami ciała K (najczęściej R lub C).

4 . Metoda eliminacji. Macierz układu Macierz A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1) nazywamy macierzą układu,

5 . Metoda eliminacji. Macierz układu Macierz A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1) nazywamy macierzą układu, a macierz B = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m poszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych układu nazywamy macierzą uzupełnioną.

6 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań.

7 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań,

8 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K

9 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania

10 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania przekształcają układ w układ mu równoważny.

11 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania przekształcają układ w układ mu równoważny. Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami na równaniach.

12 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Powyższym operacjom na równaniach odpowiadają elementarne operacje na wierszach macierzy układu: 1 przestawienie dowolnych dwóch wierszy, 2 pomnożenie wiersza przez stałą c 0, c K, 3 dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego wiersza.

13 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi.

14 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową.

15 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową. Przykład Macierz A = jest macierzą schodkową

16 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową. Przykład Macierz A = jest macierzą schodkową. Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny: pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta niewiodące.

17 . Metoda eliminacji. Wprowadzenie do metody eliminacji Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem szkolnej metody przeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu polega na rugowaniu kolejnych niewiadomych, aby uzyskać (jeśli to możliwe) równanie z jedną niewiadomą.

18 . Metoda eliminacji. Wprowadzenie do metody eliminacji Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem szkolnej metody przeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu polega na rugowaniu kolejnych niewiadomych, aby uzyskać (jeśli to możliwe) równanie z jedną niewiadomą. Kluczową sprawą jest jednak zapis. Ponieważ macierz uzupełniona zawiera pełną informację o układzie, więc w metodzie eliminacji Gaussa prowadzi się przekształcenia nie na równaniach układu, lecz na wierszach macierzy uzupełnionej.

19 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.

20 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską. 2) Jeśli a 11 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a 11 (wtedy wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w pierwszej kolumnie od wiersza drugiego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a 21 itd.

21 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską. 2) Jeśli a 11 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a 11 (wtedy wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w pierwszej kolumnie od wiersza drugiego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a 21 itd. Gdyby a 11 = 0, a np. a k1 0, to przestawiamy najpierw wiersz pierwszy z k-tym i dalej jak poprzednio.

22 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22.

23 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej.

24 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej. Jeśli wszystkie a k2 = 0 dla k = 2, 3,..., m, to przechodzimy do następnej kolumny.

25 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej. Jeśli wszystkie a k2 = 0 dla k = 2, 3,..., m, to przechodzimy do następnej kolumny. 4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.

26 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej 1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz ( ), to układ jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1).

27 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej 1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz ( ), to układ jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1). 2) Nie ma wierszy postaci ( ) i liczba niezerowych wierszy jest równa liczbie niewiadomych, tzn. macierz jest postaci: gdzie * oznacza jakiś element. 1 b b b n ,

28 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n

29 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n Stąd x n = b n. Po podstawieniu do równania (n 1)-szego obliczamy x n 1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.

30 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n Stąd x n = b n. Po podstawieniu do równania (n 1)-szego obliczamy x n 1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno. 3) W macierzy nie ma wierszy postaci ( ), ale występują kolumny niewiodące. Stosujemy, jak wyżej, podstawienie wsteczne, ale niewiadomym, które odpowiadają kolumnom niewiodącym nadajemy dowolne wartości (będą one parametrami rozwiązania).

31 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2)

32 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca.

33 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2,

34 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R),

35 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s,

36 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s, x 1 = 5 2x 2 3x 3 = 11 + s.

37 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s, x 1 = 5 2x 2 3x 3 = 11 + s. Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci: x 1 = 11 + s, x 2 = 3 2s, x 3 = s, x 4 = 2, (s R).

38 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:

39 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:

40 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:

41 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:

42 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi: Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x 3 = s): x 1 = 11 + s, x 2 = 3 2s, x 3 = s, x 4 = 2, (s R).

43 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z = 0

44 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

45 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

46 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

47 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

48 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

49 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z = Stąd x = 1 3 k, y = 1 3k, z = k

50 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład Metodą eliminacji rozwiązać układ z parametrem a: 2x y + z + t = 1 x + 2y z + 4t = 2 x + 7y 4z + 11t = a Dla jakich wartości a układ nie ma rozwiązania?

51 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a

52 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a 2

53 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a 5

54 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a a 5

55 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a 5 Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi: a 5 x = k 6 5 l, y = k 7 l, z = k, t = l, 5 gdzie k, l R.

56 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b).,

57 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p + 15.,

58 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p Rozwiązując równanie p 2 2p + 15 = 0 znajdziemy p 1 = 5, p 2 = 3.,

59 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p Rozwiązując równanie p 2 2p + 15 = 0 znajdziemy p 1 = 5, p 2 = 3. Zatem gdy p 5 i p 3 układ jest oznaczony.,

60 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0,

61 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność.,

62 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ x + 3y z = 1 x + 10y 6z = 3 2x y + 3z = 0 który również rozwiązujemy metodą eliminacji.,,

63 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ x + 3y z = 1 x + 10y 6z = 3 2x y + 3z = 0 który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemy x = 8 7 k + 1 7, y = 5 7 k + 2 7, z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.,,

64 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Definicja Macierz B nazywamy wierszowo równoważną macierzy A, jeżeli B można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach.

65 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Definicja Macierz B nazywamy wierszowo równoważną macierzy A, jeżeli B można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach. Definicja Przestrzenią wierszy macierzy A typu m n nazywamy podprzestrzeń przestrzeni K n, która jest generowana przez wiersze macierzy A (traktowane jako wektory przestrzeni K n ).

66 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A =

67 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A = Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory w 1 = (3, 2, 1), w 2 = (0, 1, 0), w 3 = (3, 1, 1).

68 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A = Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory w 1 = (3, 2, 1), w 2 = (0, 1, 0), w 3 = (3, 1, 1). Ponieważ w 1 = w 2 + w 3, więc jest to dwuwymiarowa podprzestrzeń w R 3.

69 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.

70 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze.

71 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze. Definicja Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy macierzy A.

72 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze. Definicja Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy macierzy A. Oznaczamy go R(A).

73 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy są liniowo niezależne.

74 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy są liniowo niezależne. Wniosek Dla dowolnej macierzy A jej rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy w postaci schodkowej tej macierzy.

75 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A =

76 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A = Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy operacje: w 2 2w 1 i w 3 3w 1, a następnie w 3 + 2w 2 :

77 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A = Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy operacje: w 2 2w 1 i w 3 3w 1, a następnie w 3 + 2w 2 : Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) =

78 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Twierdzenie Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla którego wszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minory obrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r.

79 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Twierdzenie Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla którego wszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minory obrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r. A zatem rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni różnych od zera minorów tej macierzy.

80 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Obliczanie rzędu macierzy metodą obrzeżania należy prowadzić od stopni najniższych do najwyższych. Przykładowo, weźmy ponownie macierz A = Minor a 11 = 1 jest niezerowy. Minor obrzeżający: = 3 jest także niezerowy. Dla niego mamy dwa minory obrzeżające: = 0, = 0, a więc R(A) = 2.

81 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek:

82 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ).

83 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ). Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny wniosek: Wniosek jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy.

84 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ). Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny wniosek: Wniosek jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy. Inaczej: rząd wierszowy jest równy rzędowi kolumnowemu. Zatem przy obliczaniu rzędu metodą przekształcania macierzy do postaci schodkowej można wykonywać również operacje na kolumnach (co było niedopuszczalne w metodzie eliminacji).

85 . Metoda eliminacji. Układ jako równanie wektorowe a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (3) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Niech A oznacza macierz układu, a B macierz uzupełnioną układu: a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b 1 a A = 12 a 22 a 2n , B = a 12 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn b m

86 . Metoda eliminacji. Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni K m. Oznaczmy: a 1j b 1 a v j = 2j..., w = b 2... a mj b m

87 . Metoda eliminacji. Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni K m. Oznaczmy: a 1j b 1 a v j = 2j..., w = b 2... a mj b m Wtedy układ (3) jest równoważny równaniu wektorowemu: x 1 v 1 + x 2 v x n v n = w. (4)

88 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B).

89 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4).

90 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na wektorach v 1, v 2,..., v n.

91 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na wektorach v 1, v 2,..., v n. Zatem wymiary przestrzeni generowanych przez {v 1, v 2,..., v n } i {v 1, v 2,..., v n, w} są takie same, a to oznacza, że R(A) = R(B).

92 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r.

93 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r. Ale R(B) = r, więc wśród wektorów v 1, v 2,..., v n, w jest też tylko r liniowo niezależnych. Muszą to być v 1, v 2,..., v r.

94 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r. Ale R(B) = r, więc wśród wektorów v 1, v 2,..., v n, w jest też tylko r liniowo niezależnych. Muszą to być v 1, v 2,..., v r. Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v r, a więc i wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym istnieją elementy x j K spełniające równanie (4), a więc i układ (3).

95 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = 2

96 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u =

97 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A więc R(A) = 3 oraz x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u =

98 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = więc R(A) = 3 oraz R(A) R(B)

99 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = więc R(A) = 3 oraz R(A) R(B) 3. Zatem R(A) = R(B). Układ ma rozwiązanie

100 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Układ jednorodny: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (5)

101 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Układ jednorodny: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (5) ma zawsze rozwiązanie x 1 = x 2 =... = x n = 0.

102 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n.

103 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów.

104 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów. Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są x r+1, x r+2,..., x n.

105 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów. Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są x r+1, x r+2,..., x n. Niewiadome główne są ich kombinacjami. Zatem rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci wektora: n n ai 1 x i,..., ai r x i, x r+1, x r+2,..., x n. i=r+1 i=r+1

106 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n.

107 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy (1, 0,..., 0), x r+1, x r+2,..., x n

108 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),

109 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1)

110 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1) Otrzymamy wtedy wektory: (a 1 r+1, a 2 r+1,..., a r r+1, 1, 0,..., 0), (a 1 r+2, a 2 r+2,..., a r r+2, 0, 1,..., 0), ( a 1 n, a 2 n,..., a r n, 0, 0,..., 1).

111 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1) Otrzymamy wtedy wektory: (a 1 r+1, a 2 r+1,..., a r r+1, 1, 0,..., 0), (a 1 r+2, a 2 r+2,..., a r r+2, 0, 1,..., 0), ( a 1 n, a 2 n,..., a r n, 0, 0,..., 1). Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązanie jest kombinacją tych rozwiązań.

112 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w.

113 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy x = 3, y = 2,

114 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest x = 3, y = 2, x = 4, y = 1,

115 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest Rozwiązaniami bazowymi są x = 3, y = 2, x = 4, y = 1, ( 3, 2, 1, 0), ( 4, 1, 0, 1)

116 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest Rozwiązaniami bazowymi są a rozwiązanie ogólne jest postaci: x = 3, y = 2, x = 4, y = 1, ( 3, 2, 1, 0), ( 4, 1, 0, 1) k( 3, 2, 1, 0) + l( 4, 1, 0, 1), gdzie k, l R.

117 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej?

118 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej? Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie te punkty, to układ Ax 1 + By 1 + C = 0 Ax 2 + By 2 + C = 0 Ax 3 + By 3 + C = 0 z niewiadomymi A, B, C ma rozwiązanie niezerowe.

119 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej? Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie te punkty, to układ Ax 1 + By 1 + C = 0 Ax 2 + By 2 + C = 0 Ax 3 + By 3 + C = 0 z niewiadomymi A, B, C ma rozwiązanie niezerowe. Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0. x 3 y 3 1

120 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej.

121 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik:

122 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik: = 0.

123 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik: Punkty leżą na jednej prostej = 0.

124 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt.

125 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt. Jeżeli istnieje punkt (x, y) wspólny dla tych prostych, to układ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 = 0

126 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt. Jeżeli istnieje punkt (x, y) wspólny dla tych prostych, to układ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 czyli A 1 x + B 1 y = C 1 A 2 x + B 2 y = C 2 A 3 x + B 3 y = C 3 z niewiadomymi x, y ma rozwiązanie.

127 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A 1 B 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2, A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 A 3 B 3 C 3 są równe. A zatem musi być

128 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A 1 B 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2, A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 A 3 B 3 C 3 są równe. A zatem musi być A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 = 0. A 3 B 3 C 3

129 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny.

130 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik:

131 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik: = 0.

132 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik: Proste mają punkt wspólny = 0.

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Macierze. Układy równań.

Macierze. Układy równań. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

9 Układy równań liniowych

9 Układy równań liniowych 122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ). B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

GAL. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy 2011/2012. Wydział MIM UW

GAL. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy 2011/2012. Wydział MIM UW GAL zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy / Wydział MIM UW wersja z października Spis treści Układy równań Liczby zespolone 7 Przestrzenie liniowe, kombinacje liniowe Podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =

04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A = 04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo