Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC

Transkrypt

1 Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl

2 Układ RC Podczas ładowania kondensatora zmienia się natężenie prądu w obwodzie i napięcie na oporze. Napięciowe prawo Kirchoffa: E U R U C = 0 E IR q C = 0 I = dq dt R dq dt + q C = E E Rozwiązaniem tego równania jest funkcja: q t = CE 1 e t/(rc) 2

3 Stała czasowa RC Prąd w obwodzie RC: I = dq dt = E R e t/(rc) Kondesator po naładowaniu jest po prostu przerwą w obwodzie, przepływ prądu jest w istocie rozładowaniem kondensatora. Napięcie na kondensatorze: U c = q C = E 1 e t/(rc) U C E Iloczyn oporu i pojemności stała czasowa układu - τ = RC Im większa stała czasowa, tym dłużej kondensator się rozładowuje U c = E 1 e t/(rc) 3

4 Rozładowanie kondensatora Jeżeli teraz kondesator zacznie się rozładowywać przełącznik w pozycji b R dq dt + q C = 0 Rozwiązanie zależność ładunku od czasu: q t = q 0 e t/(rc) A natężenie prądu: I = dq dt = q 0 RC e t/(rc) Jeżeli ładowanie i rozładowanie nastąpią wielokrotnie, to otrzymamy oscylacje prądu (ładunku, napięcia) 4

5 Układy RL Mamy obwód z opornikiem i cewką: Najpierw (pozycja a przełącznika) prąd ze źródła napięcia zaczyna płynąć przez opornik i cewkę. Prąd rośnie, zatem w cewce wytwarza zmienne pole magnetyczne i wyindukowane SEM: Rozwiązaniem tego równania jest: stała czasowa układów RL: 5

6 Układy RL Prąd w cewce rośnie do wartości maksymalnej Jeżeli odłączymy źródło: 6

7 Czas na układ cewka-kondensator (LC) Czy zamiana w? Rozładowanie Indukcja prądu START Na START 7

8 Drgania układu LC START zaczynamy od całkowicie naładowanego kondensatora. Prąd nie płynie, cała energia pochodzi z pola elektrycznego kondensatora: E E = 1 2 ROZŁADOWANIE kondensator się rozładowuje, przez układ zaczyna płynąć prąd. Energia kondensatora maleje, rośnie energia cewki: INDUKCJA PRĄDU w cewce malejący prąd przepływający przez cewkę indukuje w niej prąd, który podtrzymuje pierwotny prąd. Ładuje wtedy kondensator, ale z przeciwną polarnością. NA START- cykl powtarza się, ale prąd płynie w przeciwną stronę. q 2 C E B = 1 2 LI2 8

9 Drgania LC Napięcie na kondesatorze zmienia się okresowo z czasem: A napięcie w obwodzie (z uwzględneniem małego oporu układu): W rzeczywistym układzie LC drgania zanikają z powodu strat energii na oporze 9

10 Drgania tłumione RLC Energia zgromadzona w kondesatorze i cewce: E C,B = 1 2 C LI2 jest rozpraszana na oporniku (w postaci enegii cieplnej) z szybkością: de dt = I2 R Równanie dla układu RLC (zasada zachowania energii): czyli: 1 2 q 2 q 2 C LI2 = I 2 R L d2 q dq + R dt2 dt + 1 q = 0 C I = dq dt rozwiązanie: q t = q max e Rt/2L cos (ω t + φ) gdzie: ω = ω 0 2 (R/2L) 2 sprawdzić! 10

11 Tłumienie w układach RLC ω 0 = 1/ LC częstość drgań nietłumionych (własnych) (LC) ξ = α = R C ω 0 2 L wsp. tłumienia w ukł RLC α = R 2L wsp. tłumienia w ukł RL W zależności od współczynnika tłumienia, drgania maja charakter: ruch aperiodyczny: ξ > 1 R > 2 L/C tłumienie krytyczne: ξ = 1 ; R = 2 L/C tłumiona oscylacja ξ < 1; R < 2 L/C 11

12 Wymuszenie w RLC W celu podtrzymania drgań w układach RLC stosowane jest zewnętrzne źródło SEM. Przeważnie SEM zmienia się okresowo (AC): zmiana amplitudy napięcia dzięki transformatorowi, mniejsze straty energii przy przesyłaniu, zastosowania domowe i przemysłowe: prądnice, silniki PRĄDNICA Ramka jest obracana w zewnętrznym polu magnetycznym. Indukowana SEM: E = E max sin ωt I = I max (sin ωt φ) 12

13 Obwody AC Do źródła prądu zmiennego przyłączamy najpierw wyłącznie opornik (obciążenie oporowe): U R = E R max sin ωt I R = I R max (sin ωt φ) E = E max sin ωt I R = U R /R φ = 0 E U R = 0 Zależności U R i I R, przedstawia się za pomocą wskazów (lub liczb zespolonych za chwilę!) Prąd i napięcie na oporniku drgają w zgodnej fazie (max i min pokrywają się w czasie) I R = U R max R sin ωt 13

14 Obciążenie pojemnościowe U C = U C max sin ωt q = CU C = CU C max sin ωt E = E max sin ωt I C = dq C dt = ωc U C max cos ωt E U C = 0 I C max = U C max /X C reaktancja pojemnościowa (def) Możemy również zapisać: I C = U C max X C sin ωt + π 2 Natężenie prądu w obwodzie pojemnościowym wyprzedza napięcie. 14

15 Obciążenie indukcyjne U L = U L max sin ωt U L = L di dt di dt = U L max L sin ωt E = E max sin ωt E U L = 0 Możemy również zapisać: I L = න I L dt = U L max L 1 ωl U L max cos ωt I L max = U L max /X L න sin ωt dt = X L = ω L def. reaktancja indukcyjna I L = U L max X L sin ωt π 2 Natężenie prądu w obwodzie indukcyjnym opóźnia się w stosunku do napięcia. 15

16 Szeregowy układ RLC I = I max (sin ωt φ) I max = E max Z (na wzór poprzednich) E = E max sin ωt gdzie: E U R U L U C = 0 I max = Z = R 2 + X L X 2 C E max R 2 + X L X C 2 def. impedancja obwodu Gdy X L X C = 0, natężenie prądu w obwodzie osiąga maksimum. Układ jest w stanie rezonansu elektrycznego. X L = X C ωl = 1 ωc czyli, SEM wymuszające ma częstotliwość (zwaną rezonansową) równą: ω r = 1 LC 16

17 Wskazy w RLC E U R U L U C = 0 tgφ = U L U C U R tgφ = I X L I X C I R Faza początkowa: tgφ = X L X C R Gdy X L = X C, to napięcie zmienia się w fazie z natężeniem, układ jest w rezonansie φ = 0 17

18 Rezonans elektryczny Gdy częstotliwość SEM wymuszającej dopasowana jest do częstości drgań swobodnych: ω r = 1 LC natężenie prądu osiąga wartość maksymalną, a układ jest w rezonansie. 18

19 Moc W układach ze zmiennym prądem, moc (szybkość rozpraszania energii) wyrażona jest przez funkcję zależną od czasu: P = I 2 R = I 2 max(sin 2 ωt φ) R Natomiast średnia moc: P śr = I2 max R 2 = I max 2 2 R I sk wartość skuteczna natężenia prądu P śr = I 2 sk R analogicznie: napięcie skuteczne: U sk = U max 2 19

20 Podsumowanie Drgania LC. Układy RLC (równanie Kirchoffa, rozwiązanie, impedancja, rezonans, faza początkowa) Prąd skuteczny, moc średnia w układach ze zmiennym prądem. * rysunki pochodzą z: Fundamentals of Physics. Part 3 David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker 20