Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów SZEREGI FOURIERA

Transkrypt

1 Ćwiczenie Zmodyfiowano 7..5 Prawa auorsie zasrzeżone: Kaedra Sysemów Przewarzania Sygnałów PWr SZEREGI OURIERA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z analizą i synezą sygnałów oresowych w dziedzinie częsoliwości. W ćwiczeniu należy: - wyznaczyć wyładniczy szereg ouriera sygnałów oresowych podanych przez prowadzącego ćwiczenie - przeprowadzić synezę sygnałów oresowych na podsawie znajomości ich dziesięciu pierwszych harmonicznych - porównać zmierzone współczynnii wyładniczego szeregu ouriera ze współczynniami eoreycznymi - zmierzyć dysrene widmo ampliudowe sygnału oresowego na wyjściu uładu RLC.. Wyładniczy szereg ouriera A. Wprowadzenie Sygnał f() nazywa się oresowym (periodycznym) jeżeli isnieje aa najmniejsza liczba > (zwana oresem) że dla dowolnego : f() = f(+) = ± ±.... () Sygnał oresowy f() spełniający waruni Dirichlea czyli: - mający w oresie sończoną liczbę punów nieciągłości pierwszego rodzaju - mający sończoną liczbę esremów (przedziałami monooniczny) może być zapisany w posaci wyładniczego szeregu ouriera: = j ω () = f() e gdzie + jωo jϕ = f() e d e = (3) przy czym o + = f()d jes sładową sałą (warością średnią) a ω o =π/ pulsacją podsawową zaś o może być wybrane dowolnie (warość całi nie zależy od wyboru ). j Bazą rozwinięcia w wyładniczy szereg jes zbiór funcji orogonalnych ypu e ω dla = ± ±... oraz dowolnego przedziału o długości równej oresowi. W srócie operację rozwinięcia () można zapisać f (). Szereg () jes zbieżny prawie wszędzie do f() zn. dla ażdego z wyjąiem punów nieciągłości pierwszego rodzaju sygnału f(). W ych punach nieciągłości szereg jes zbieżny do średniej: f ( i ) + f( i ) +.

2 Rozwinięcie () można zapisać w równoważnej posaci: f() = + cos( ωo+ ϕ). () = Do powyższego wzoru można dojść orzysając z zależności: ω ω e + e = cos( ω + ϕ ). (5) j j - Zależność (5) ma prosą inerpreację fizyczną. Wsazuje ona na o że funcję oresową o oresie można raować jao sumę sładowej sałej i niesończenie wielu przebiegów sinusoidalnych o pulsacjach będących wieloronościami pulsacji podsawowej ω (nazywanych harmonicznymi). Współczynnii = Am = 3... są ampliudami ych sładowych współczynnii ϕ ich fazami począowymi.. Podsawowe właściwości wyładniczego szeregu ouriera Niech funcje f() i g() mają ę sam ores i niech f () g() G. Zbiory współczynniów szeregów ouriera mają nasępujące właściwości:. liniowość: α f () + βg() α + βg jω. przesunięcie w dziedzinie czasu: f( ) e 3. różniczowanie w dziedzinie czasu: { ()} ( ω ). * n d n f j n d = gdzie (.) * oznacza operację sprzężenia; z ej własności wynia że ϕ = - dysrene widmo ampliudowe jes parzysą funcją ϕ = - dysrene widmo fazowe jes nieparzysą funcją 5. współczynnii oresowego ciągu del Diraca: δ () = δ( n) są równe n= =. Definicje. Zbiór współczynniów { } nazywany jes dysrenym widmem częsoliwościowym sygnału oresowego f().. Zbiór współczynniów { } nazywany jes dysrenym (prążowym) widmem ampliudowym sygnału oresowego f(). 3. Zbiór współczynniów { ϕ = arg } nazywany jes dysrenym widmem fazowym sygnału oresowego f().

3 3. Warość średnia i sueczna funcji oresowej. wierdzenie Parsevala. Dla sygnałów oresowych można podać nasępujące swierdzenia.. Warość średnia (sładowa sała) sygnału oresowego f() jes równa + sr = = f()d.. Warość średnia sumy sygnałów oresowych o ym samym oresie jes równa sumie warości średnich ych sygnałów. 3. wierdzenie Parsevala dla szeregów ouriera o + * f () g ()d = G. = o + f ()d =. n= Z wierdzenia Parsevala wynia że. Warość sueczna sygnału oresowego f() jes równa + () s = = s = f d = = + s jes warością sueczną sygnału s = jes warością sueczną ej harmonicznej sygnału. Dla sygnałów oresowych definiuje się zw. współczynni zawarości harmonicznych (współczynni znieszałceń) definiowany jao U = h = U gdzie U i jes ampliudą lub warością sueczną i-ej harmonicznej.. Reacja uładu na pobudzenie oresowe Reację uładu na pobudzenie oresowe można wyznaczyć gdzie ( j ω ) ( ) s = j jω jω ω (6) = = r () = Re = H(j ) Pe j (j ) ( ) e ω ω = R = H P p = P H = H s ω - warość ransmiancji uładu sabilnego w sensie BIBO dla s= jω. R R ( Am ) wy Zaem H(j ω ) = = = ( Am ) we P P ( Am ) we. Powyższy związe wsazuje że sosune -ych ampliud wyjściowych do wejściowych jes równy ( A ) /( A ) charaerysyce ampliudowej H(jω ) w dysrenych punach ω. m wy m we 3

4 Moc czynna wydzielona w rezysancji Ω przy pobudzeniu prądem lub napięciem oresowym jes równa + P= f ()d s = + = gdzie u ()lub i () B. Część laboraoryjna Wyaz przyrządów: - oscylosop wraz z analizaorem widma (PoScope) - ompuerowy synezer funcji oresowej - generaor funcji oresowej (PCGU) - uład RLC - mierni warości suecznej.. Syneza funcji oresowych.. Rozwinąć (orzysając z dodau do insrucji) wsazane przez prowadzącego ćwiczenie czery różne funcję oresowe w wyładniczy szereg ouriera. Oreślić warości liczbowe współczynniów i ϕ dla pierwszych N zadanych przez prowadzącego harmonicznych. Można do obliczeń wyorzysać program Malab... Przeprowadzić synezę ych funcji oresowych na podsawie obliczonych współczynniów i ϕ. Sorzysać z programu ompuerowego Synezer - synezy funcji oresowych (iona programu znajduje się na pulpicie).. Badanie widma ampliudowego i fazowego sygnałów oresowych.. Na wejście oscylosopu (przysawa do PC program Poscope na pulpicie) podać z generaora funcji oresowych (program PCLabse - generaor na pulpicie) pierwszy sygnał oresowy z p. o częsoliwości 565Hz. Sygnały z dodau do niniejszej insrucji można wczyać do generaora za pomocą insrucji: MORE UNC.->Library waweforms (np. syg5.lib - numeracja sygnałów odpowiada numeracji w dodau). Przed włączeniem rybu pracy OSCILLOSCOPE sprawdzić (ewenualnie usawić) ważne wsępne usawienia rys. rys. oraz rys. 3. Rys.

5 96 Rys. 96 Rys. 3 Jeśli sygnał oresowy ma zby dużą lub małą ampliudę należy a usawić ampliudę suwaiem Ampliuda rys. w programie generaor aby mierzony sygnał miał ampliudę ooło V (na zaresie V oscylosop-przysawa pracuje z masymalną rozdzielczością). Panel oscylosopu należy usawić a ja o poazano na rys.5 (ważne usawienia o: Channel A - V oraz Period - μs). Synchronizację przebiegów uzysuje się włączając przycis riggering On. W przypadu brau chwilowej reacji programu na zmianę sygnału wejściowego należy włączyć i wyłączyć synchronizację j. On Off i Off On (najlepiej zarzymywać sygnał na oscylosopie nie używając przycisu riggering ylo SOP - CYCLE). Najlepiej użyć synchronizację zewnęrzną. 5

6 Rys. Rys. 5 6

7 Oscylogram zapisać w posaci pliu z rozszerzeniem bmp na dys ompuera w domyślnym aalogu nazywając go np.. Zapis oscylogramu jes możliwy jeśli oscylosop nie pracuje (przycis SOP)... Przełączyć program w ryb pracy SPECRUM ANALYZER rys. 6. Rys. 6 Usawić poręło requency na 5K analizaora widma rys. 7. Włączyć analizaor za pomocą przycisu Cyclic. Rys. 7 Kręcąc poręłem Channel A(V) usawić ai zares aby prąże o najwięszej ampliudzie nie wychodził poza oscylogram. Wyłączyć pracę analizaora wcisając przycis Cyclic -> SOP. Zapisać pli oscylogramu widma sygnału również z rozszerzeniem bmp w aalogu ja w p.. pod nazwą np. w. Przyładowe inne oscylogramy i w przedsawiono na rys. 8a i 8b. Zmieniając zares Channel A(V) należy w prooole zapisać doładniejsze warości ampliudy olejnych harmonicznych (masymalnie dziesięć). 7

8 Rys. 8a Rys. 8b 8

9 Pun ćwiczenia powórzyć jeszcze rzy razy (dla rzech pozosałych sygnałów oresowych) zmieniając dla ażdego zapisywanego pliu nazwę (np. 3 i odpowiednio w 3w oraz w). Jednocześnie z ym punem wyonywać pun 5 ćwiczenia. 3. Druowanie oscylogramów Ze względów praycznych należy na jednej arce formau A wydruować jednocześnie dwa oscylogramy: sygnał w dziedzinie czasu (góra ari A np. pli.bmp) oraz jego dysrene widmo ampliudowe (dół ari A np. pli w.bmp). Do łączenia dwóch pliów graficznych należy użyć darmowego programu IrfanView lub GIMP. Iony ych programów znajdują się na pulpicie. Proces łączenia rysunów z użyciem GIMP w srócie można opisać w nasępujących roach.. Uruchamiamy program GIMP. Wybieramy -> Pli nasępnie -> Owórz jao warswy znajdujemy aalog w órym mamy zapisane plii np..bmp oraz w.bmp. Zaznaczamy jednocześnie dwa plii do wczyania (lawisz CRL+ lewy lawisz myszy) i wczyujemy dwa obrazy (jeden jes na dolnej warswie-bmp drugi na górnej-w.bmp).. W załadce -> Obraz wybieramy -> wymiary płóna i usawiamy szeroość i wysoość ja na rys. 9. Proszę ionę łańcusze usawić jao przerwany. Rys Wybieramy narzędzie przesuwanie rys. i przemieszczamy górny rysune na dolną część arusza. Rys. Po odpowiednim rozmieszczeniu oscylogramów można przejść do załadi Pli -> Druuj i wydruować omple oscylogramów. Mając rochę czasu można przed wydruowaniem umieścić na rysunach informacje esowe.. Badanie widma ampliudowego na wyjściu uładu RLC.. Na wejście uładu RLC z generaora funcji oresowych podać jeden z czerech wybranych w p.. sygnałów oresowych (powinien on mieć doładnie aą samą ampliudę ja w p.). Kanał A oscylosopu podłączyć do wyjścia badanego uładu. Zapisać w sposób podobny ja o opisano w p. sygnał w dziedzinie czasu na wyjściu uładu RLC oraz jego widmo. 9

10 5. Wyznaczanie warości suecznej 5.. Zmierzyć za pomocą wolomierza mierzącego prawdziwą warość sueczną (rue RMS) warość sueczną sygnałów wybranych w p.. (mierni na sanowisu oddzielnie mierzy warość sładowej sałej DC i warość sueczną sładowej zmiennej AC). Prawdziwa warość sueczna sygnału wynosi U = U + U. Uwagi do ćwiczenia s DC AC. Pun i 5 należy wyonywać jednocześnie.. Sprawozdanie powinno między innymi zawierać dla ażdego z analizowanych przebiegów: a) rysune szału przebiegu z poprawnie napisanym wzorem na b) wzór i obliczoną warość sładowej sałej c) abelę (abela ) zawierającą nasępujące elemeny: ampliuda i argumen (w o ) obliczonej na podsawie -ej harmonicznej ampliuda -ej zmierzonej harmonicznej abela --- N N - liczba harmonicznych podana przez prowadzącego d) wyznaczone warości sueczne bezpośrednio z definicji z w. Parsevala s N m = Obliczone ϕ m = oraz Us u () d A = + (dla ampliud obliczonych i zmierzonych). Porównać a orzymane wynii z warościami suecznymi orzymanymi z Us = UDC + UAC w p. 5 e) znając sruurę i warości elemenów wyznaczyć eoreyczną charaerysyę ampliudową A( f ) = H(j π f ) badanego obwodu RLC. Nanieść na en wyres wyznaczone sosuni ( Am ) wy A( f) = H(j π f ) = ( Am ) we f = f ( A ) m we = ( ) w odpowiednich punach f f ω = π f. Proszę wyorzysać procedurę ch_amp z ćwiczenia nr. Sany nieusalone. W sprawozdaniu somenować orzymane wynii. Pyania onrolne. Kóre z poniższych sygnałów są oresowe? Dla sygnałów oresowych obliczyć oresy. a) f () = Asin ( 3π 3 ) + Asin (.5π 3 + π / 3) b) f () Asin (.5 6 ) Acos( 3 6 ) A3sin ( 5 6 ) = + + Zmierzone A A m

11 = +. Dany jes nasępujący sygnał a) f( ) = sin( π / ) + 3cos( + π / 6) b) f( ) = sin( π / ) + 3cos( + π / 6). Wyznaczyć warości sueczne ych sygnałów. 3. Dany jes nasępujący wyładniczy szereg ouriera c) f () A sin ( π ) A cos ( ) -j -j j j f( ) = ( j)e + ( + j)e + ( + j)e + ( j)e. Wyznaczyć warość sueczną ego sygnału.. Podać sposób wyznaczania współczynniów wyładniczego szeregu ouriera gdy znana jes ransformaa Laplace a funcji za jeden ores. 5. Wyazać że jeżeli f () = f( ) o widmo ej funcji jes rzeczywise. 6. Wyazać że jeżeli f () = f( ) o widmo ej funcji jes urojone. 7. Wyznaczyć zależności analiyczne pozwalające znaleźć przebieg napięcia usalonego na induorze w uładzie zasępczym poazanym na rys. 3a pobudzanym SEM e() o przebiegu rójąnym (rys. 3b). e() R = Ω L=H E m =V =s u() -/ -/ E m e() -E m / / Rys. 3a Rys. 3b 8. Zapisać w posaci wyładniczego szeregu ouriera nasępujący przebieg oresowy f () = sin() cos(3). 9. Wyznaczyć współczynnii zespolonego szeregu ouriera sygnału przedsawionego poniżej. f() A λ -A. Obliczyć warości średnie i warości sueczne sygnałów oresowych (a i b) poazanych na rys. poniżej a) f() A Τ b) f() A fragmen sinusoidy Lieraura -A / [] Urusi M. Wolsi W. eoria obwodów część II sryp PWr. Wrocław 98. [] Lahi B. P. eoria sygnałów i uładów eleomuniacyjnych Warszawa 97 roz. 3. [3] Osiowsi J. Szbain J. Podsawy eorii obwodów Podręcznii aademicie WN 995 om II.

12 Dodae L.p Zapis analiyczny w oresie Rysune Współczynnii wyładniczego szeregu ouriera dla. + ( ) π ( ) sin π. ( ). = j =. ( π ) f () = sin = π ( ) 3. ( π) sin ( ) π ( = ) j =.. ( π) ( π) sin + cos < ( ) = + π = ( ) ( ) j π ( ) 5. ( π) sin < = + π ( ) ( ) j + π ( ) π π + = π

13 6. ( π) cos < ( ) + π ( ) ( )( ) + = j π ( ) π =. π 7. ( ) sin π < ( ) + j = π ( ) ( π) cos < 3 cos( π ) ( ) 3 6 < π cos π ( ) = = π =. ( + ( ) ) + π ( ( ) ) = j 3 3 π = 3 () = π = = 3 ( ) 3

14 f ( ) ( ) 3 ( ) f () = ( ) 5 6 ( ) 6 3 6( ) 3 ( ) + π ( ( ) ) = j 3 3 π = ( ) + π ( ( ) ) = j 3 3 π = ( ) + π ( ) ( π ) + = j 3 3 π = 6 + π ( ) ( π + ) = j 3 3 π = 3 + π π + ( ) = j 3 3 π 5 = 6 π π π cos 8sin = 3 3 π = 3

15 7 ( ). ( ) j = π = 8 ( ). ( ) = π = /. 9 ( ) ( ) ( -j) + = π = ( ). ( ) ( ) j = π π = < λ < λ λ + λ λ < λ ( λ ) jπλ ( e ) = π λ( λ) = ( ) ( ) 3 < (( ) ) = π = f () = 3 ( ) j = π = 5

16 λ ( ) λ < λ λ < λ ( λ ) < + λ + λ < λ () + λ ( ) jπλ ( e ) = π λ = 5 ( ) λ = λ λ < λ jπλ j ( e ) = π λ = < ( ) = j π =. 7 ( ) λ = λ λ < λ λ ( πλ) cos j = π = λ = ( ) ( λ) λ λ λ < < λ ( + λ ) λ < λ ( ) < 3 ( ) < 3 ( ) < < 3 ( ) < 3 < λ λ ( πλ) cos = π λ = λ. π π sin ( ) + = π =. π sin ( ) ( ) + π j = π π =. Program PoScope oraz insrucję można pobrać ze srony: hp://poscope.com/produc.php?pid=3 Program do obsługi generaora (działa bez urządzenia) można pobrać ze srony: hp:// Pozosałe programy są na sronie ZO. 6