Algebra abstrakcyjna

Transkrypt

1 Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą abelową dwuelementową (rzędu ) ze względu na zwykłe mnożenie. 3. Zbiór liczb zespolonych {1, 1, i, i} stanowi grupę abelową rzędu 4 ze względu na mnożenie zespolone. 4. Zbiór przekształceń trójkąta równobocznego na siebie, składający się z trzech jego obrotów ( o kąty 0 0, 10 0, 40 0 ) i trzech symetrii względem jego wysokości tworzy grupę względem składania (superpozycji) tych przekształceń. Elementem neutralnym jest tu obrót o kąt 0. Elementem odwrotnym do obrotu o kąt α jest kąt α, elementem odwrotnym do każdej symetrii jest ta sama symetria. Składanie przekształceń jest działaniem łącznym. 5. Niech będzie dany zbiór G = (, ) i działanie określone wzorem a b = ab a b + 6, a, b G. Sprawdzić, czy zbiór G wraz z tym działaniem stanowi grupę abelową. Najpierw musimy sprawdzić, czy działanie jest działaniem wewnętrznym. W tym celu zauważmy, że ab a b + 6 = (a ) (b ) +. Jeśli a > i b >, to (a ) (b ) > 0. Wynika stąd, że a b = ab a b + 6 = (a ) (b ) + >. Widzimy więc, że jeśli a, b G, to a b G, co oznacza, że działanie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze G. Sprawdzimy teraz łączność działania. Niech a, b, c będą dowolnymi elementami zbioru G. Wówczas (a b) c = (ab a b + 6) c = (ab a b + 6) c (ab a b + 6) c + 6 = = abc ab ac bc + 4a + 4b + 4c 6, a (b c) = a (bc b c + 6) = a (bc b c + 6) a (bc b c + 6) + 6 = = abc ab ac bc + 4a + 4b + 4c 6. 1

2 Z powyższych rachunków wynika, że (a b) c = a (b c). Zatem działanie jest łączne. Pokażemy teraz, że nasze działanie jest przemienne. Niech a, b będą dowolnymi elementami zbioru G. Wówczas a b = ab a b + 6 = ba b a + 6 = b a. Działanie jest więc przemienne. Znajdziemy teraz element neutralny działania. Działanie jest przemienne, zatem wystarczy znaleźć niewiadomą e z równania Z definicji naszego działania wynika, że a e = a, a G. ae a e + 6 = a. Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy e = 3. Liczba 3 jest elementem zbioru G, co oznacza, że e = 3 jest elementem neutralnym działania. Pozostało jeszcze sprawdzenie istnienia elementu odwrotnego dla każdego elementu zbioru G. Niech a G. Działanie jest przemienne, zatem wystarczy znaleźć niewiadomą b z równania a b = 3. Z definicji naszego działania wynika, że ab a b + 6 = 3. Po wykonaniu odpowiednich rachunków otrzymujemy b = a 3. Należy jeszcze a sprawdzić, czy a 3 a 3 jest elementem zbioru G, czyli czy >. Ponieważ a a a >, to a > 0. Stąd a 3 > (a ). Co daje prawdziwą nierówność 3 > 4. Element a posiada zatem element odwrotny a 1 = a 3 a. Odpowiedź. Zbiór G wraz z działaniem stanowi grupę abelową. 6. Zbadać, czy zbiór A = { a + b : a, b Q\ {0} } wraz ze zwykłym mnożeniem stanowi podgrupę grupy multiplikatywnej liczb rzeczywistych. Sprawdzimy, czy dla elementów x, y A, element x y 1 A. Niech x = a + b, y = c + d, a, b, c, d a, b Q\ {0}. Policzmy x y 1 = ( a + b ) ( c + d ) 1 a + b = c + d = = ac bd + ( ad + bc) = ( a + b ) ( c d ) = ac bd ad + bc + c d.

3 Zauważmy, że 0. Bo gdyby = 0, to c = d i wtedy c = ±d. To jednak jest niemożliwe ponieważ c jest liczbą wymierną. Ponieważ iloczyny i sumy liczb wymiernych są liczbami wymiernymi, więc element x y 1 = ac bd ad + bc + c d jest elementem zbioru A. Warunek na to, by zbiór A stanowił podgrupę grupy multiplikatywnej liczb rzeczywistych jest zatem spełniony. Odpowiedź. Zbiór A stanowi podgrupę grupy multiplikatywnej liczb rzeczywistych. 7. Pokazać, że zbiór G = {0, 1,,..., n 1} wraz z działaniem + n (dodawaniem modulo n) stanowi grupę abelową. Przy sprawdzaniu łączności działania przydatny będzie wzór r n (a + b) = r n (r n a + b) = r n (a + r n b), a, b Z. ( ) Symbol r n a oznacza resztę powstała przy dzieleniu liczby całkowitaj a przy dzieleniu przez liczbę naturalną n. Przypomnijmy definicję dodawania modulo n: a + n b = r n (a + b), a, b Z. Sprawdzimy teraz, czy spełnione są wszystkie aksjomaty grupy abelowej. Działanie + n jest działaniem wewnętrznym w zbiorze G, gdyż reszta z dzielenia liczby całkowitej przez liczbę naturalną n jest jednym z elementów zbioru G. Sprawdzimy teraz łączność działania + n. Niech a, b, c będą dowolnymi elementami zbioru G. Wówczas korzystając ze wzoru ( ) otrzymujemy (a + n b) + n c = r n (a + b) + n c = r n (r n (a + b) + c) = r n (a + b + c), a + n (b + n c) = a + n r n (b + c) = r n (a + r n (b + c)) = r n (a + b + c). Z powyższych rachunków wynika, że (a + n b) + n c = a + n (b + n c). Zatem działanie + n jest łączne. Przemienność dodawania + n wynika z przemienności zwykłego dodawania w zbiorze liczb całkowitych. Rzeczywiście, niech a, b będą dowolnymi elementami zbioru G. Wówczas Działanie + n jest więc przemienne. a + n b = r n (a + b) = r n (b + a) = b + n a. Pokażemy teraz, że liczba 0 jest elementem neutralnym naszego działania. Z przemienności naszego działania i definicji elementu neutralnego wynika, że element neutralny można znaleźć rozwiązując równanie postaci a + n e = a, gdzie e jest 3

4 niewiadomą. Z definicji działania + n otrzymujemy a+ n e = r n (a + e) = a. Liczba a + e należy do zbioru {0, 1,,..., n 1, n,..., n, }. Rozważmy dwa przypadki: 1 o gdy a+e {0, 1,,..., n 1}, wtedy r n (a + e) = a+e = a i stąd otrzymujemy e = 0, o gdy a + e {n,..., n, }, wtedy r n (a + e) = a + e n = a i stąd otrzymujemy e = n. Przypadek drugi jest sprzeczny, gdyż liczba n / G. Zatem element neutralny e = 0. Należy jeszcze znaleźć element przeciwny do dowolnego elementu a G. Z przemienności naszego działania i definicji elementu przeciwnego do danego elementu a wynika, że wystarczy rozwiązać równanie postaci a + n b = e, gdzie b jest niewiadomą. Ale a + n b = r n (a + b) = e. Liczba a + b należy do zbioru {0, 1,,..., n 1, n,..., n, }. Musimy zatem znów rozważyć dwa przypadki: 1 o gdy a+b {0, 1,,..., n 1}, wtedy r n (a + b) = a+b = 0 i stąd otrzymujemy a = b, o gdy a+b {n,..., n, }, wtedy r n (a + e) = a+b n = 0 i stąd otrzymujemy b = n a. Jedyną liczbą należącą do zbioru G dla której jest spełniony warunek a = b z przypadku 1 o jest liczba 0. Zatem w tym przypadku a = b = 0 i stąd elementem przeciwnym do liczby 0 jest ta sama liczba 0. Z o wynika natomiast, że jeśli liczba a 0, to element do niej przeciwny b ma postać b = n a. 8. Pokazać, zbiór F wszystkich funkcji rzeczywistych określonych na przedziale otwartym (0, 5) i przyjmujących wartość 0 w punkcie 1, wraz ze zwykłym dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji stanowi pierscień przemienny. Musimy sprawdzić, czy dodawanie funkcji ze zbioru F i mnożenie funkcji ze zbioru F są działaniami wewnętrznymi w zbiorze F. Niech f, g F. Wówczas f + g : (0, 5) R i (f + g) (1) = f (1) + g (1) = = 0, oraz f g : (0, 5) R i (f g) (1) = f (1) g (1) = 0 0 = 0, co oznacza, że f + g, f g F. Dodawanie funkcji z F jest działaniem łącznym. Rzeczywiście, jeśli f, g, h F, to dla dowolnego x (0, 5), wykorzystując definicję dodawania funkcji i łączność dodawania liczb rzeczywistych, otrzymujemy ((f + g) + h) (x) = (f + g) (x) + h (x) = (f (x) + g (x)) + h (x) = = f (x) + (g (x) + h (x)) = f (x) + (g + h) (x) = (f + (g + h)) (x). Co oznacza, że dodawanie funkcji ze zbioru F jest działaniem łącznym. W analogiczny sposób dowodzi się łączności mnożenia funkcji ze zbioru F. Podobnie dowodzi się przemienności dodawania i mnożenia funkcji ze zbioru F. Pokażemy przemienność dodawania funkcji z F. Jeśli f, g F, to dla dowolnego x (0, 5), 4

5 wykorzystując definicję dodawania funkcji i przemienność dodawania liczb rzeczywistych, otrzymujemy (f + g) (x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + f) (x). Elementem zerowym jest tu funkcja O przyjmująca wartość 0 na przedziale (0, 5), gdyż (O + f) (x) = O (x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x) dla dowolnego x (0, 5). Elementem przeciwnym do funkcji f F jest funkcja f taka, że ( f) (x) = f (x) dla x (0, 5). Rzeczywiście, ( f + f) (x) = ( f) (x) + f (x) = f (x) + f (x) = 0 = O (x). Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Istotnie, jeśli f, g, h F, to dla dowolnego x (0, 5), wykorzystując definicje dodawania i mnożenia funkcji oraz rozdzielność mnożenia względem dodawania dla liczb rzeczywistych, otrzymujemy (f (g + h)) (x) = f (x) (g + h) (x) = f (x) (g (x) + h (x)) = = f (x) g (x) + f (x) h (x) = (f g) (x) + (f h) (x) = ((f g) + (f h)) (x). Zatem zbiór F wszystkich funkcji rzeczywistych określonych na przedziale otwartym (0, 5) i przyjmujących wartość 0 w punkcie 1, wraz ze zwykłym dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji stanowi pierścień przemienny. 5