1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1) x +a(t)x=h(t), gdziea:i R,h:I R. Równanie(RL1) nazywamy liniowym jednorodnym, gdy h 0. W przeciwnym przypadku równanie nazywamy liniowym niejednorodnym. 1.1 Zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu Twierdzenie 1.1(Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego dla równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu).jeżelifunkcjeaihsąciągłe,todlakażdegopunktu(,x 0 ) I R istnieje dokładnie jedno rozwiązanie zagadnienia początkowego (RL1-ZP) określone na całym przedziale I. x +a(t)x=h(t) x( )=x 0, Dowód.Załóżmy,żefunkcjaϕ:I Rjestrozwiązaniemzagadnienia początkowego(rl1-zp). Zatem ϕ (t)+a(t)ϕ(t)=h(t) t I. Mnożymyobiestronypowyższejrównościprzeze A(t),gdzie A(t):= t a(s)ds,icałkujemy,otrzymującrównoważnąpostać (e A(s) ϕ (s)+a(s)e A(s) ϕ(s))ds= e A(s) h(s)ds t I, e A(t) ϕ(t) e A() ϕ( )= e A(s) h(s)ds.

2 1 2 Skompilował Janusz Mierczyński Ponieważe A() =1,poprostychprzekształceniachotrzymujemy (1.1) ϕ(t)=e A(t) x 0 + t e A(s) A(t) h(s)ds dlawszystkicht I. We wszystkich dokonywanych przekształceniach mamy w istocie równoważności, zatem funkcja określona wzorem(1.1) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego(rl1-zp) na I. Z dowodu twierdzenia wynika, że rozwiązanie zagadnienia początkowego (RL1-ZP) można zapisać w postaci ϕ(t)=x 0 exp ( a(s)ds ) + exp ( s a(τ)dτ ) h(s) ds. 1.2 Struktura rozwiązań równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu Rozważmy równanie różniczkowe liniowe jednorodne pierwszego rzędu (RLJ1) x +a(t)x=0, Rozwiązanie równania(rlj1) równe stale zero nazywamy rozwiązaniem trywialnym. Lemat1.2.Załóżmy,żea:I Rjestfunkcjąciągłą.Wówczasdla każdego rozwiązania ϕ( ) zachodzi następująca alternatywa: albo ϕ 0 na I,alboϕ(t) 0dlakażdegot I. Dowód.Wystarczywykazać,żejeśliistnieje Itakie,żeϕ( )=0,to ϕ 0. Istotnie, funkcja ϕ( ) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego x +a(t)x=0 x( )=0. Rzecz jasna, funkcja stale równa 0 też spełnia powyższe zagadnienie początkowe. Zatem, na podstawie jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego(twierdzenie 1.1), funkcje te są identyczne. Twierdzenie 1.3. Zbiór wszystkich rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego pierwszego rzędu(rlj1), gdzie a: I R jest funkcją ciągłą, tworzy przestrzeń liniową(nad ciałem liczb rzeczywistych) wymiaru 1.

3 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 3 Dowód. Oznaczmy zbiór rozwiązań równania(rlj1) przez S. To, że S jest przestrzeniąliniową,jest(niemal)oczywiste.ustalmy I,ioznaczmy przez R odwzorowanie liniowe przyporządkowujące rozwiązaniu ϕ( ) równania(rlj1)jegowartośćw.ztwierdzenia1.1wynika,żerjest różnowartościowe i na, zatem jest izomorfizmem przestrzeni liniowych S i R. Wniosek(Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego pierwszego rzędu). Zbiór wszystkich rozwiązań równania(rlj1) można zapisać w postaci (1.2) ϕ( ;C)=Cϕ 0 ( ), gdziec Rjestdowolnąstałą,zaśϕ 0 jestustalonymnietrywialnym rozwiązaniem równania(rlj1). Wzór(1.2) nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego pierwszego rzędu(rlj1). Rozważmy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne pierwszego rzędu (RLN1) x +a(t)x=h(t). Równanie różniczkowe liniowe jednorodne pierwszego rzędu x +a(t)x=0 nazywamy równaniem stowarzyszonym z(rln1). Poniższy wynik jest oczywisty. Twierdzenie 1.4(Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu). Niech ψ( ) będzie ustalonym rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu(rln1),gdziea:i Rih:I Rsąfunkcjamiciągłymi,iniech ϕ 0 ( )będzieustalonymnietrywialnymrozwiązaniemrównania stowarzyszonego. Wówczas każde rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego(rln1) można jednoznacznie zapisać w postaci (1.3) ϕ( ;C)=Cϕ 0 ( )+ψ( ) gdziec R. Wzór(1.3) nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu. Stosując terminologię z algebry

4 1 4 Skompilował Janusz Mierczyński liniowej, można powiedzieć, że zbiór rozwiązań równania liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu jest przestrzenią afiniczną(nad ciałem liczb rzeczywistych) wymiaru 1. W praktyce, rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu (RLN1) x +a(t)x=h(t) otrzymujesię,mnożącobiejegostronyprzezfunkcjęe A(t),gdzieA( )jest pewną(ustaloną) funkcją pierwotną funkcji a( ). Otrzymujemy e A(t) x (t)+a(t)e A(t) x(t)=e A(t) h(t), d dt (ea(t) x(t))=e A(t) h(t), co po nałożeniu na obie strony całki nieoznaczonej i oczywistych przekształceniach daje x(t)=e A(t) e A(t) h(t)dt. Funkcjęe A( ) nazywamyczynnikiemcałkującymrównania(rln1). Przykład. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego x +tx=te t2 /2. Mnożącobiestronyrównaniaprzezczynnikcałkującye t2 /2,otrzymujemy (e t2 /2 x) =te t2, co daje e t2 /2 x= 1 2 et2 +C, x= 1 2 et2 /2 +Ce t2 / Równania różniczkowe Bernoulliego RównaniemróżniczkowymBernoulliego 1 nazywamyrównaniepostaci (RB) x +a(t)x=h(t)x p, p 0,p 1,h 0. 1 JakobBernoulli( ),matematykifizykszwajcarski

5 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 5 Fakt1.5.Przypomocypodstawieniau:=x 1 p równanieróżniczkowe Bernoulliego(RB) sprowadza się do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego. Uzasadnienie. Różniczkując u po t, otrzymujemy u =(1 p)x p x. Podstawienie powyższego wyrażenia do(rb) daje równanie liniowe niejednorodne u +(1 p)a(t)u=(1 p)h(t). Zauważmy jednak, że niekiedy przy pomocy powyższego podstawienia nie daje się otrzymać wszystkich rozwiązań danego równania Bernoulliego. Aby się o tym przekonać, rozważmy następujące równanie różniczkowe Bernoulliego: (1.4) x =2 x. Łatwo zauważyć, że funkcja 0 dlat (,0] ϕ 1 (t)= t 2 dlat [0, ) jest rozwiązaniem równania(1.4). Podokonaniupodstawieniau= xotrzymujemyrównanieliniowe niejednorodne (1.5) u =1, któregokażderozwiązaniemapostaćt+c,t (, ).Rozwiązaniuϕ 1 równania(1.4) odpowiada rozwiązanie ψ(t) = t równania(1.5), lecz tylko na przedziale[0, ). Zdrugiejstrony,rozwiązanieϕ 2 0równania(1.4)nieodpowiada żadnemu rozwiązaniu równania(1.5).