Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
|
|
- Aneta Rutkowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011
2 Dyskretne układy LTI Definicja analogiczna do tej, która podano dla sygnałów analogowych Opis transmisyjny: układ operator T wykonujacy pewna operację na sygnale y = T [x] Niech X - zbiór dopuszczalnych wejść, Y - zbiór dopuszczalych wyjść - dziedzina i zbiór wartości operatora T. Proste układy - jedne wejście (wymuszenie) x(n), jedno wyjście odpowiedź y(n) odpowiedź impulsowa układu h(n) - odpowiedź na wymuszenie δ(n)(= 1 dla n = 0; 0 dla pozostałych n szczególna grupa układów - układy LTI, czyli układy: liniowe: T [ax + by] = at [x] + bt [y] stacjonarne (niezmienne w czasie): jezeli odpowiedzia na x(n) jest y(n), to odpowiedzia na x(n n 0 ) jest y(n n 0 )
3 Opis dyskretnych ukladów LTI Dla każdej próbki dowolnego sygnału x(n) możemy zapisać: x(n) = x(k)δ(n k) k= Ponadto dla ukladów LTI: odpowiedź na przesunięty impuls to przesunięta odpowiedź impulsowa: δ(n k) h(n k) To w połaczeniu z liniowościa implikuje: x(n) = x(k)δ(n k) y(n) = x(k)h(n k) k= k= Układ przyczynowy taki, dla któego odpowiedź nie poprzedza wymuszenia: h(n) = 0 dla n < 0, czyli y(n) = h(k)x(n k) k=0
4 Opis dyskretnych ukladów LTI - c.d. Stabilność układu (w sensie BIBO) ograniczona amplituda wymuszenia gwarantuje ograniczoność amplitudy odpowiedzi WKW stabilności - bezwzględna sumowalość odpwiedzi impulsowej: h(k) < k= Odpowiedź impulsowa układów złożonych: równolegle połaczenie dwóch układów LTI: h(k) = h 1 (k) + h 2 (k) kaskadowe połaczenie dwóch układów LTI: h(n) = k= h 1 (k)h 2 (n k) = h 1 (n) h 2 (n) Sprzężenie zwrotne - wyjście zależy od wejścia, ale również od poprzednich wyjść przykład: y(n) = x(n) ay(n 1) kolejne wyjścia to: y(0) = 1, y(1) = a, y(2) = ( a) 2..., czyli h(n) = ( a) n, stabilny gdy a < 1
5 Ogólna postać układu dyskretnego LTI Dopuszczajac większa ilość opóźnień dostajemy: y(n) = h(m)x(n m) g(k)y(n k) m=0 k=1 Dalej interesować nas będa uklady o skończonej "pamięci" opisywane równaniami różnicowymi: M N y(n) = h(m)x(n m) g(k)y(n k) m=0 k=1 inny zapis zastępujac funkcje impulsowe h(n), g(k) zestawem stałych: M N y(n) = b m x(n m) a k y(n k) m=0 k=1 Projekt ukladu - określenie rzędów równań M, N oraz stałych a i, b j
6 Transformacja Z Podstawowe narzędzie opisu ukladów dyskretnych - odpowiednik transformaty Laplace a dla układów ciagłych Niech x(n) - sygnał dyskretny. Jego transformatę X (funkcję zmiennej zespolnej z) określa równanie: X(z) = m= x(m)z m pod warunkiem, że powyższy szereg jest zbieżny (co zależy od z) Gdy sygnał x(n) - impulsowy o skończonej ilości niezerowych próbek to zawsze istnieje obszar na płaszczyźnie z, w którym szereg zbieżny przyklady: niech x(n) = (0 dla n < 1, 0.25 dla n = 1, 0.5 dla n = 0, 0.25 dla n = 1, 0 dla n > 1. Wtedy X(z) = 0.25z z 1 dla z i z 0
7 Transformata a sygnał. Obliczanie transformat Z Znajac X(z) - mozemy odczytać sygnał x(n) przyklad: wiemy, że X(z) = /z 2/z 2 + 3/z 3 z definicji transformaty Z dostajemy: x(0) = 0.2, x(1) = 1, x(2) = 2, x(3) = 3 Przykłady wyznaczania transformat Z skok jednostkowy u(n) = 1 dla x 0 oraz = 0 dla n < 0 X(z) = m= u(m)z m = m=0 z m = 1 1 z 1, z > 1 przyczynowy szereg wykładniczy a n u(n) X(z) = a m u(m)z m = (a/z) m = 1 z z a, m= m=0 z > a szereg wykładniczy a n dla ujemnych n, 0 dla nieujemnych: X(z) = 1 (z/a) m = m= (z/a) m + 1 = 1 1 m=0 1 z/a = z z a, 1 az 1 = z < a
8 Obliczanie transformat Z. Transformata odwrotna Wyrażenie typu: x(n, k) = n k u(n); przyklad dla k=1. Dla k = 0 mamy: X 0 (z) = z n = 1 1 z 1 n=0 Różniczkujac stronami dostajemy:1/z nz n = n=0 co prowadzi do zwiazu: X 1 (z) = z 1 /(1 1/z) 2 1/z 2 (1 1/z) 2 Transformata odwrotna - służy wyznaczeniu sygnału x(n) z jego transformaty X(z). Definicja: x(n) = 1 2πi Γ X(z)z n 1 dz gdzie Γ kontur całkowania okrażaj acy poczatek układu Uzasadnienie: Tw. całkowe Cauchy ego mówi: z n 1 dz = 1 dla n = 0 lub 0 dla n 0 1 2πi Γ
9 Transformata Z - podstawowe własności Liniowość: ax(t) + by(t) ax(z) + by (z) Niezależność od przesunięcia: x(n) X(z) x(n n 0 ) z n 0 X(z) Własność splotu transformata Z splotu dyskretnego jest równa iloczynowi transformat Własność iloczynu transformata Z iloczynu funkcji dyskretnych jest splotem transformat Wykorzystujac powyższe własności obliczamy transformatę Z wyrażenia typu b m x(n m): m=0 ( M ) b m x(n m) z n = n= m=0 ( M ) [ M ] b m x(n m)z n = b m z m X(z) m=0 n= m=0 M
10 Transmitancja układow dyskretnych stosujac to do ogolnego równania różnicowego dyskretnego układu LTI postaci: y(n) = M b m x(n m) m=0 N a k y(n k) k=1 otrzymujemy: [ M ] [ N ] Y (z) = b m z m X[z] a k z k Y (z) m=0 k=1 dzielac obustronnie przez X(z) i dostajemy formulę na transmitancję dyskretnego układu LTI: H(z) = Y (z) X(z) = b 0 + b 1 /z + b 2 /z b M /z M 1 + a 1 /z + a 2 /z a N /z N gdzie liczby M, b 0,... b M - opisuja zależność wyjścia od (opóźnionych) wejść, zaś N, a 0,... a N - sprzężenie zwrotne
11 Transmitancja układow dyskretnych - c.d. powyższa postać transmitancji jednoznacznie wyznacza równania czasowe układu, który ja realizuje Przykład: Transmitancja postaci 2+3/z 1/z2 oznacza, że 1+2/z 4/z 3 równanie czasowe ma postać: y(n) = 2 x(n)+3 x(n 1) x(n 2) (2y(n 1) 4 y(n 3) inne formy transmitancji dyskretnej: mnożac licznik i mianownnik przez z M+N otrzymujmy postać: H(z) = zn z M b 0 z M + b 1 z M b M 1 z + b M z N + a 1 z N a N 1 z + a N zaś zapisujac wielomiany w postaci czynnikowej (poprzez zera z k i bieguny p k transmitancji) dostajemy: H(z) = z N M b 0 (z z 1 )(z z 2 )... (z z M ) (z p 1 )(z p 2 )... (z p N )
12 Projektowanie układów dyskretnych Projekt dyskretnego układu LTI - projekt transmitancji ukladu, czyli określenie liczb M, N, b j, j = 1... M, a k, k = 1... N Ograniczenia - warunek stabilności równoważny ograniczeniu p k < 1 - bieguny transmitancji musza leżeć wewnatrz okręgu jedostkowego Główna przesłanka projektowania - interpretacja częstotliwościowa transmitancji Dla układów analogowych - transmitancja H(jω) to widmo odpowiedzi impulsowej; ω ma sens rzeczywistej częstości rzeczywiste pulsacje odpowiadaja osi urojonej na płaszczyźnie zespolonego s dla transmitancji dyskretnej - konieczne jest określenie relacji pomiędzy zespolomym z a częstościa (pulsacja)
13 Interpretacja częstotliwościowa Kluczowa obserwacja - zwiazek pomiędzy transformacja Z X(z) sygnału dyskretnego x(n) a jego transformacja Fouriera X(e jω ): X(z) = X(e jω ) = n= n= x(n)z n x(n)e jωn Wielkości te sa sobie równe dla z = e jω gdzie Ω - pulsacja unormowane względem częstości próbkowania Ω = 2πF = 2π f f pr Tak więc rzeczywistym, dozwolomym wartosciom pulsacji unormowanej Ω (0, 2π) odpowiadaja wartości z na okręgu jednostkowym.
14 Przesłanki do projektowania Podstawowe zasady - podobne do przypadku analogowego jeżeli pulsacja Ω jest liczba rzeczywista, to zmianie wartości Ω od π do π odpowiada przejście przez wielkość e iω okręgu jednostkowego Podstawienie z = e iω prowadzi do wyrażenia na transmitancję: H(e iω ) = (e iω ) M N b 0 (e iω z 1 )(e iω z 2 )... (e iω z M ) (e iω p 1 )(e iω p2)... (e iω p N ) główne zasady projektowania podobne do tych, jakie obowiazuj a dla zmiennych analogowych
15 Porównanie zasad projektowania uklad analogowy dyskretny płaszczyzna zesp. s zespol. z zmienna ω Ω zakres 0... π... π linia oś urojona s okrag jednostkowy zera cała płaszcz. s cała płaszcz. z bieguny Res < 0 wnętrze okręgu jednost. osłab. zero na osi urojonej zera na okręgu K (0, 1) wzmoc. biegun bliski osi urojonej biegun blisko K (0, 1)
16 Projektowanie - przykłady Ilustracja graficzna zasad projektowania transmitancji układów dyskretnych
17 Metody projektowania Przykład projektowania - metoda zer i biegunów problem: sygnał zawiera skladowa o częstotliwości f s =10 Hz (właściwy sygnał) oraz f z =50 Hz (przydźwięk sieci energetycznej); częstotliwość próbkowania - f p =1000 Hz. zadanie - zaprojektować filtr, który usunie zakłócenia sieciowe stosowana metoda - "zer i biegunów" realizacja: pulsacje unormowane odpowiadajace składowym synału to: sygnał właściwy: Ω s = 2πf s /f p = π/50 zakłócenie: Ω z = 2πf z /f p = π/10 usunięcie zakłócenia: zero transmitancji na okręgu jednostkowym dla kata ϕ z = Ω z, z z = e iϕz by uzyskać rzeczywisty wielomian - licznik transmitancji - dodajemy drugie zero, sprzężone z z z
18 Metoda zer i biegunów wzmocnienie sygnału właściwego - umieszczenie bieguna w pobliżu punktu na okręgu jednostkowym zadanym przez kat ϕ s = Ω s, czyli p s = 0.98e iϕs oraz bieguna z nim sprzężonego to daje transmitancję: H(z) = (1 z z/z)(1 z z /z) (1 p s /z)(1 p s/z) = /z + 1/z /z /z 2 by uzyskać charakterystykę częstotliwościowa robimy podstawienie: z = e iω co prowadzi do: H(e iω ) = e iω + e 2iΩ e iω e 2iΩ efekty działania dla składowych sygnału: H(Ω s ) = 37.23e i1.4 - wzmocnienie sygnału 37 razy, przesunięcie w fazie (opóźnienie) o 1.4 radiana; H(Ω z ) = 0 - całkowite usunięcie zakłóceń
19 Metoda zer i biegunów - c.d. Realizacja w dziedzinie czasu - z definicji transmitancji: H(z) = Y (z) X(z) oraz uzyskanej postaci transmitancji mamy: ( /z /z 2 )Y (z) = ( /z+1/z 2 )X(z) co się tłumaczy na równanie czasowe opisujace układ: y(n) = x(n) x(n 1) + x(n 2) y(n 1) y(n 2) Analiza odpowiedzi filtra na impuls jednostkowy - sygnał ustala się bardzo długo ( ) pytanie - dlaczego, skoro filtr ma tylko kilka współczynników? odpowiedz bo jest to filtr ze sprzężeniem zwrotnym, może mieć nieskończna odpowiedź impulsowa analiza (rozkład transmitancji na czynniki proste) pokazuje następujac a postać odpowiedzi h(n) = (0.98) n cos(πn/ ) Wynik analizy - czas ustalania się odpowiedzi długość opowiedzi impulsowej
20 Filtry IIR Poprzedni przyklad pokazuje - gdy jest sprzężenie zwrotne, to filtr jest typu IIR (ma nieskończona odpowiedź impulsowa) - filtr rekursywny Matematycznie - takie filtry maja wielomianowy mianownik w transmitancji Własności fitrów IIR zaleta: możliwość uzyskiwania bardzo stromych charakterystyk przy małej liczbie współczynników a n, b k aby uzyskać ten sam efekt dla filtru nierekursywnego (FIR) trzeba użyć użyć znacznie więcej współczyników b k i o wiele dłuższej linii opóźniajacej wady: nieliniowosć charakterystyki fazowo-częstotliwościowej różnicowanie czasów opóźnień zniekształcenia sygnału wady: niebezpieczeństwo niestabilności konieczność bardzo starannego projektowania
21 Metody projektowania filtrów IIR Punkt startu - określenie wymagań stawianym filtrom Przykład: filtry LP zadane przez: parametry: δ pass, δ stop, Ω pass, Ω stop relacje: H LP (e iω ) = 1 ± δ pass dla Ω < Ω pass H LP (e iω ) = 0 + δ stop dla Ω > Ω stop charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa - w "tunelu" wyznaczonym przez parametry i relacje między nimi Dwie podstawowe grupy metod projektowania filtrów IIR projektowanie bezpośrednie projektowanie pośrednie Metody bezpośrednie nie odwołuje się do wyników uzyskanych dla filtrów innego rodzaju dobór współczynników wielomianów filtra przez minimalizację średniego kwadratu odchylenia od żadanej charakterystyki filtra przykład - metoda Youe a-walkera
22 Projektowania filtrów IIR Metody pośrednie wykorzystuja umiejętność projektowania odpowiednich filtrów analogowych dokonuja transformacji z dziedziny analogowej do dyskretnej Najważniejsze metody tego rozaju: niezmienności odpowiedzi impulsowej dopasowanej transformacji Z (rzadko stosowana, problemy z aliasingiem) transformacji biliniowej Metoda transformacji biliniowej najważniejsza z metod pośrednich projektowania filtrów IIR zakłada, że każdemu filtrowi analogowemu H a (s) odpowiada pewien filtr cyfrowy H c (e iω ) taki, że H c (e iω ) = H a (iω) oznacza to istnienie transformacji wiaż acej s i z: z = φ(s), spełniajacej pewne określone wymagania - patrz następny wykład.
Przekształcenie Z. Krzysztof Patan
Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET
CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Projektowania filtrów IIR Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej Podstawowa zasada określajaca: projektujemy
Bardziej szczegółowoStabilność. Krzysztof Patan
Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Plan na dziś 1 Przedstawienie przedmiotu i zakresu wykładu polecanej iteratury zasad zaliczenia 2 Wyklad
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoCzęść 1. Transmitancje i stabilność
Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów dyskretnych
Przetwarzanie sygnałów dyskretnych System dyskretny p[ n ] r[ n] Przykłady: [ ] = [ ] + [ ] r n a p n a p n [ ] r n = 2 [ + ] + p[ n ] p n 2 r[ n] = a p[ n] + b n [ ] = [ ] r n a p n n [ ] = [ + ] r n
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowob n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:
1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czestotliwościowa sygnałów dyskretnych Do tej pory - dwie metody analizy częstotliwościowej sygnałów
Bardziej szczegółowoSTUDIA MAGISTERSKIE DZIENNE LABORATORIUM SYGNAŁÓW, SYSTEMÓW I MODULACJI. Filtracja cyfrowa. v.1.0
Politechnika Warszawska Instytut Radioelektroniki Zakład Radiokomunikacji SUDIA MAGISERSKIE DZIENNE LABORAORIUM SYGNAŁÓW, SYSEMÓW I MODULACJI Filtracja cyfrowa v.1. Opracowanie: dr inż. Wojciech Kazubski,
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoFFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Bardziej szczegółowoUkład regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności
Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoBadanie stabilności liniowych układów sterowania
Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
. Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 10. Dyskretyzacja
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów
Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 5 Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI) Spis treści 1 Wprowadzenie 1 1.1 Filtry jednobiegunowe....................... 1 1.2 Filtry wąskopasmowe........................
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czas - częstotliwość analiza częstotliwościowa: problem dla sygnału niestacjonarnego zwykła transformata
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowoLINIOWE UKŁADY DYSKRETNE
LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry
Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Spis treści 1 Wprowadzenie 2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu 2.1 Działanie filtra w dziedzinie czasu 2.2 Nazewnictwo 2.3 Przejście do dziedziny częstości 2.3.1 Działanie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe
Wstęp teoretyczny Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji oraz korekta nastaw regulatora na
Bardziej szczegółowoWłaściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan
Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ
Bardziej szczegółowoANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH
ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH Generowanie podstawowych przebiegów okresowych sawtooth() przebieg trójkątny (wierzhołki +/-1, okres 2 ) square() przebieg kwadratowy (okres 2 ) gauspuls()przebieg sinusoidalny
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Bardziej szczegółowoLaboratorium z podstaw automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z podstaw automatyki Analiza stabilności obiektów automatyzacji, Wpływ sprzężenia zwrotnego na stabilność obiektów Kierunek studiów: Transport,
Bardziej szczegółowoA-2. Filtry bierne. wersja
wersja 04 2014 1. Zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zrozumienie propagacji sygnałów zmiennych w czasie przez układy filtracji oparte na elementach rezystancyjno-pojemnościowych. Wyznaczenie doświadczalne
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c.
Opis matematyczny Równanie modulatora Charakterystyka statyczna d t = v c t V M dla 0 v c t V M D 1 V M V c Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy v c (t )=V c + v c (t ) d (t
Bardziej szczegółowoTransmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan
Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Teoria i przetwarzanie sygnałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EEL-1-524-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM
ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM D. B. Tefelski Zakład VI Badań Wysokociśnieniowych Wydział Fizyki Politechnika Warszawska, Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, PL 28 lutego 2011 Stany nieustalone, stabilność
Bardziej szczegółowoPrzeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan
Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 6 Projektowanie filtrów cyfrowych o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej
Ćwiczenie 6 Projektowanie filtrów cyfrowych o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Filtry FIR o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Filtracja FIR polega na tym, że sygnał wyjściowy powstaje
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów
Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Spis treści 1 Filtracja cyfrowa podstawowe wiadomości 1 1.1 Właściwości filtru w dziedzinie czasu............... 1 1.2
Bardziej szczegółowoSYNTEZA obwodów. Zbigniew Leonowicz
SYNTEZA obwodów Zbigniew Leonowicz Literatura: [1]. S. Bolkowski Elektrotechnika teoretyczna. Tom I. WNT Warszawa 1982 (s.420-439) [2]. A. Cichocki, K.Mikołajuk, S. Osowski, Z. Trzaska: Zbiór zadań z elektrotechniki
Bardziej szczegółowoAiR_TSiS_1/2 Teoria sygnałów i systemów Signals and systems theory. Automatyka i Robotyka I stopień ogólnoakademicki
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoProjektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ćwiczenie 3. Transformata Z; blokowe struktury opisujące filtr
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie Transformata ; blokowe struktury opisujące filtr Przemysław Korohoda, KE, AGH awartość instrukcji: Materiał z zakresu DSP. Transformata.2
Bardziej szczegółowoKartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem.
Znowu prosta zasada - zbierzmy wszystkie zagadnienia z tych 3ech kartkówek i opracujmy - może się akurat przyda na dopytkę i uda się zaliczyć labki :) (dodatkowo można opracowania z tych rzeczy z doc ów
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowo8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR
53 8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR Cele ćwiczenia Realizacja na zestawie TMX320C5515 ezdsp prostych liniowych filtrów cyfrowych. Pomiary charakterystyk amplitudowych zrealizowanych filtrów
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów
ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów. Cel ćwiczenia Badanie układów pierwszego rzędu różniczkującego, całkującego
Bardziej szczegółowoPodstawy Przetwarzania Sygnałów
Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoPrzedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.
Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały
Bardziej szczegółowo13.2. Filtry cyfrowe
Bibliografia: 1. Chassaing Rulph, Digital Signal Processing and Applications with the C6713 and C6416 DSK, Wiley-Interscience 2005. 2. Borodziewicz W., Jaszczak K., Cyfrowe Przetwarzanie sygnałów, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoFiltracja. Krzysztof Patan
Filtracja Krzysztof Patan Wprowadzenie Działanie systemu polega na przetwarzaniu sygnału wejściowego x(t) na sygnał wyjściowy y(t) Równoważnie, system przetwarza widmo sygnału wejściowego X(jω) na widmo
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoLaboratorium z automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z automatyki Algebra schematów blokowych, wyznaczanie odpowiedzi obiektu na sygnał zadany, charakterystyki częstotliwościowe Kierunek studiów:
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne I. 1 Nazwa modułu kształcenia Analiza i przetwarzanie sygnałów 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł (należy wskazać nazwę zgodnie ze Statutem PSW Instytut,
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8
Teoria Synałów rok nformatyki Stosowanej Wykład 8 Analiza częstotliwościowa dyskretnych synałów cyfrowych okna widmowe (cd poprzednieo wykładu) N = 52; T =.24; %czas trwania synału w sekundach dt = T/N;
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego
Bardziej szczegółowoanalogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów:
Cel projektu. Projekt składa się z dwóch podstawowych zadań, mających na celu zaprojektowanie dla danej transmitancji: G( s) = m 2 s 2 e + m s + sτ gdzie wartości m 2 = 27, m = 2, a τ = 4. G( s) = 27s
Bardziej szczegółowoTeoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoFiltrowanie a sploty. W powyższym przykładzie proszę zwrócić uwagę na efekty brzegowe. Wprowadzenie Projektowanie filtru Zadania
Filtrowanie a sploty idea x=[2222222222] %sygnałstochastycznyodługości5próbek h=[1111]/4; %Filtruśredniającypo4sąsiednichelementach y=conv(h,x)%zaaplikowaniefiltruhdosygnałux W powyższym przykładzie proszę
Bardziej szczegółowoTechnika audio część 2
Technika audio część 2 Wykład 12 Projektowanie cyfrowych układów elektronicznych Mgr inż. Łukasz Kirchner lukasz.kirchner@cs.put.poznan.pl http://www.cs.put.poznan.pl/lkirchner Wprowadzenie do filtracji
Bardziej szczegółowo4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...
Spis treści 1 Wstęp 11 1.1 Do kogo adresowana jest ta książka... 12 1.2 Historia badań nad mową i językiem... 12 1.3 Obecne główne trendy badań... 16 1.4 Opis zawartości rozdziałów... 18 2 Wyzwania i możliwe
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 4: Porównanie filtrów FIR i IIR. skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR) zawsze stabilne, mogą mieć liniową charakterystykę fazową
Teoria Sygnałów sprawozdanie z zajęć laboratoryjnych Zajęcia z dnia 07.01.2009 Prowadzący: dr inż. Stanisław Nuckowski Sprawozdanie wykonał: Tomasz Witka Laboratorium nr 4: Porównanie filtrów FIR i IIR
Bardziej szczegółowoĆwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC.
Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC. Spis treści 1 Cel ćwiczenia 2 2 Podstawy teoretyczne 2 2.1 Charakterystyki częstotliwościowe..........................
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 7. Metoda projektowania
Bardziej szczegółowoGenerowanie sygnałów na DSP
Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Generowanie sygnałów na DSP Wstęp Dziś w programie: generowanie sygnałów za pomocą
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1-
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013
SIMULINK część pakietu numerycznego MATLAB (firmy MathWorks) służąca do przeprowadzania symulacji komputerowych. Atutem programu jest interfejs graficzny (budowanie układów na bazie logicznie połączonych
Bardziej szczegółowoKompensator PID. 1 sω z 1 ω. G cm. aby nie zmienić częstotliwości odcięcia f L. =G c0. s =G cm. G c. f c. /10=500 Hz aby nie zmniejszyć zapasu fazy
Kompensator PID G c s =G cm sω z ω L s s ω p G cm =G c0 aby nie zmienić częstotliwości odcięcia f L f c /0=500 Hz aby nie zmniejszyć zapasu fazy Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowo1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa
MODULACJA W16 SMK 2005-05-30 Jest operacja mnożenia. Jest procesem nakładania informacji w postaci sygnału informacyjnego m.(t) na inny przebieg o wyższej częstotliwości, nazywany falą nośną. Przyczyna
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 6 - Odpowiedź częstotliwościowa Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 37 Plan wykładu Wprowadzenie Podstawowe człony
Bardziej szczegółowoZjawisko aliasingu. Filtr antyaliasingowy. Przecieki widma - okna czasowe.
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn POLITECHNIKA OPOLSKA Komputerowe wspomaganie eksperymentu Zjawisko aliasingu.. Przecieki widma - okna czasowe. dr inż. Roland PAWLICZEK Zjawisko aliasingu
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów
Spis treści Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Właściwości przekształcenia Fouriera 1 Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera 1 1.1 Kompresja i ekspansja sygnału................... 2 1.2 Właściwości
Bardziej szczegółowoPAiTM. materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż.
PAiTM materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia.
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoTeoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, Spis treści
Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, 2013 Spis treści Słowo wstępne 8 Wymagania egzaminacyjne 9 Wykaz symboli graficznych 10 Lekcja 1. Podstawowe prawa
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja systemów 1.
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowo