Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Transkrypt

1 Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności Stosujemy wzory Vi te a i z równania Stosunek sumy do iloczynu Z warunków zadania

2 Sprawdzamy czy liczby należą do zbioru i > i Zadanie 2 (5pkt) środek środek Obliczamy współrzędnych punktów przecięcia okręgów

3 Uzyskujemy układ Rozwiązujemy równanie kwadratowe Punty przecięcia okręgów Powstaje czworokąt o równych bokach, gdyż przecinające się okręgi mają równe promienie. Czworokąt jest więc rombem. Porównując współrzędne wierzchołków rombu, że proste zawierające boki rombu maja równania Proste te jako równoległe do osi układu są odpowiednio do siebie prostopadłe. Zatem figura jest kwadratem czyli czworokątem foremnym. Obliczamy pole kwadratu Osiami symetrii są proste 1. równoległe do osi układu współrzędnych i przechodzące przez środek kwadratu

4 2. zawierające przekątne kwadratu równe. ma równanie, gdyż przechodzi przez punkty, których współrzędne są Figura jest czworokątem foremnym;. Zadanie 3 (5pkt) Rys.14 Sposób I 3. Sposób II Sposób III Równośd zachodzi, jest prawdziwa. Zadanie 4 (4pkt)

5 Sprawdzamy czy ciąg jest arytmetyczny Skoro różnica jest stała (constans) dla dowolnego, to ciąg jest arytmetyczny o pierwszym wyrazie i różnicy Ciąg o ogólnym wyrazie jest ciągiem arytmetycznym. arytmetyczny Zadanie 5 (6pkt) Ustalamy równanie paraboli o wierzchołku przechodzącej przez punkt Otrzymujemy równania punkt należy do paraboli pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli punkt należy do paraboli

6 Równanie paraboli Ustalamy równanie prostej przechodzącej przez punkty prosta przechodząca przez punkt prosta przechodzi przez punkt a) Rys.15 Punkt, bo należy do paraboli Funkcja jest postaci b) Rysujemy wykres funkcji Rys.16 Ustalamy wartośd największą funkcji Ponieważ funkcja kwadratowa w podanym przedziale. osiąga minimum w punkcie i,

7 to funkcja osiąga w przedziale wartośd największą w punkcie. Odległośd punktu jest największa dla czyli, Drugą współrzędną punktu obliczamy z warunku, że punkt czyli. a) b) Zadanie 6 (4pkt) Rys.17 Z treści zadania i 168 Z twierdzenia Pitagorasa Podstawiając otrzymujemy Stąd Porównujemy pola trójkątów Zatem

8 Oznaczenie wysokośd trójkąta wysokośd trójkąta OCD Z podobieostwa trójkątów oraz z warunku z warunku mamy Zadanie 7 (5pkt) Rysujemy wykres funkcji. Z warunków zadania zauważamy, że narysujemy przesunięty wykres funkcji. Osią symetrii krzywej jest Przesuwamy tylko wzdłuż osi gdyż najmniejsza wartośd funkcji jest równa -1 Wartośd funkcji Rys.18

9 Wykres funkcji ma osie symetrii przecinające oś x w punktach, w których funkcja sinus przyjmuje wartośd. Z uwagi na to, że, to Wykres funkcji został przesunięty o wzdłuż osi w prawo czyli o wektor [. Wzór funkcji Rozwiązujemy równanie analitycznie graficznie odczytując z wykresu Zadanie 8 (4pkt) Czworościan foremny jest ostrosłupem trójkątnym, który ma cztery ściany będące trójkątami równobocznymi przystającymi. Zatem krawędzie czworościanu foremnego są takiej samej długości. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość równą długości wysokości trójkąta. Wyznaczanie długości krawędzi czworościanu foremnego przy pomocy promienia r. Oznaczymy przez długość krawędzi czworościanu. Odcinek o długości jest bokiem trójkąta równobocznego. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego:

10 Wyznaczanie pola powierzchni całkowitej czworościanu foremnego. Podstawiamy Wyznaczanie wysokości H czworościanu foremnego przy pomocy r. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnej H i przeciwprostokątnej równej krawędzi czworościanu ma druga przyprostokątną długości równej Wyznaczanie objętości czworościanu foremnego. Wzór na objętość ostrosłupa: Podstawiamy Zadanie 9 (4pkt) Dane jest równanie które traktujemy jako równanie z niewiadomą. W równaniu każdy z logarytmów licznika spełnia założenia pozwalające zastosowad podany w zadaniu wzór. Z uwagi na mianownik ustalamy dziedzinę równania

11 Ze wzoru wynika, że czyli mianownik przyjmuje postad Skorzystaliśmy powyżej ze wzoru na różnicę logarytmów. co jest spełnione dla dowolnego Rozwiązujemy równanie korzystając z pewnych wzorów z uzyskanego wyżej przekształcenia mianownika z podanego w zadaniu wzoru i z logarytmu potęgi z wzoru na zamianę podstaw logarytmów Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą Zadanie 10 (5pkt) Punkt jest punktem wspólnym wielomianu i stycznej przechodzącej przez ten punkt. Równanie prostej przechodzącej przez punkt i wielomian mają dokładnie dwa punkty wspólne Punkty te spełniają układ równao Przyrównujemy zmienną z obu równao

12 Równanie ma posiadad dwa pierwiastki w tym Wykonujemy dzielenie wielomianu przez dokonując dzielenia wielomianu przez wielomian lub stosując schemat Hornera. Otrzymujemy Aby warunki zadania były spełnione trójmian musi mied jeden pierwiastek czyli wyróżnik tego trójmianu jest równy 0 Zatem szukana prosta Równanie stycznej jest postaci Obliczamy współrzędne punktu równania, którego pierwsza współrzędna jest rozwiązaniem i Punkt i Zadanie 11 (3pkt)

13 Rozwiązujemy nierównośd Rozwiązujemy nierównośd metodą graficzną mnożąc obie strony nierówności przez kwadrat mianownika Na osi zaznaczamy punkty uporządkowane rosnąco: i uwzględniając współczynnik przy najwyższej potędze równy rysujemy szkic wykresu wielomianu wychodząc z punktu leżącego w górnej półpłaszczyźnie dla Odczytujemy rozwiązanie uwzględniając dziedzinę