Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Transkrypt

1 Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

2 Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }.

3 Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem Q. Liczbą wymierną jest każdy ułamek dziesiętny skończony c 0, c 1 c 2 c n lub nieskończony okresowy c 0, c 1 c 2 c n (o 1 o 2 o m ) c 0 liczba całkowita, c 1, c 2, cyfry części dziesiętnej, setnej itd. (o 1 o 2 o m ) okres złożony z cyfr o 1, o 2,, o m.

4 Zbiory liczbowe Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci rozwinięcia (skończonego lub nie) na ułamek dziesiętny. c 0 liczba całkowita c 0, c 1 c 2 c 3 c 1, c 2, cyfry części dziesiętnej, setnej itd.

5 Zbiory liczbowe e R 1 234,025 Z Q N π 1,2,3, 0 0,5 2

6 Działania na liczbach rzeczywistych a + (b + c) = (a + b) + c, a + b = b + a, 0 + a = a, a (b c) = (a b) c, a b = b a, 1 a = a, a (b + c) = a b + a c.

7 Porządek W zbiorze liczb rzeczywistych określona jest relacja < zwana relacją mniejszości (lub porządkiem) spełniająca warunki: dla pary różnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi relacja a < b albo relacja b < a, z prawdziwości dwóch relacji a < b i b < c wynika relacja a < c, jeśli relacja a < b jest prawdziwa, to relacja b < a jest fałszywa.

8 Porządek Relacja > zwana jest relacją większości. Para liczb a, b jest w relacji a > b, gdy b < a. Relacja a b oznacza, że a < b lub a = b. Podobnie relacja a b oznacza, że a > b lub a = b. Jeśli a > 0, to mówimy, że a jest liczbą dodatnią. Jeśli a < 0, to mówimy, że a jest liczbą ujemną. Jeśli a 0, to mówimy, że a jest liczbą nieujemną. Jeśli a 0, to mówimy, że a jest liczbą niedodatnią.

9 Związek mniejszości z działaniami Dla liczb rzeczywistych a, b, c i liczby dodatniej d: jeśli zachodzi a < b, to zachodzi również a + c < b + c, jeśli zachodzi a < b, to zachodzi również a d < b d, Jeśli zachodzi a < b, to zachodzi również - b < - a, suma liczb dodatnich jest dodatnia; suma liczb ujemnych jest ujemna, iloczyn liczb jednakowego znaku jest dodatni; iloczyn liczb różnych znaków jest ujemny.

10 Odejmowanie Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b równanie x + b = a ma dokładnie jedno rozwiązanie zwane różnicą a i b, które oznaczamy symbolem a - b. Funkcję, która każdej parze liczb przyporządkowuje ich różnicę nazywamy odejmowaniem.

11 Dzielenie Dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej b równanie x b = a ma dokładnie jedno rozwiązanie zwane ilorazem a i b, które oznaczamy symbolem a : b albo a / b. Funkcję, która każdej parze liczb (dla której istnieje iloraz) przyporządkowuje ich iloraz nazywamy dzieleniem.

12 Ułamki Iloraz a : b oznaczamy zwykle jako a b i nazywamy ułamkiem o liczniku a i mianowniku b. a b + c d = ad + bc bd, a b c d = ac bd, a b c d = ad bc bd, a b c d = ad bc.

13 Ułamki Każdą liczbę wymierną (reprezentowaną w postaci rozwinięcia dziesiętnego) można przedstawić w postaci ułamka gdzie p i q są liczbami całkowitymi, przy czym q nie jest zerem. p q Z własności ułamków wynika, że liczby p i q można dobrać tak, by: liczba q była dodatnia, obie liczby p i q nie miały wspólnego dzielnika całkowitego.

14 Procenty Procent to sposób wyrażenia liczby jako ułamka o mianowniku 100. Procent oznaczmy symbolem %. Jeden procent to setna część jedności: Sto procent to jedność: 1 % = % = = 1.

15 Zamiana procentu na ułamek Procenty możemy zamieniać na ułamki zwykłe lub dziesiętne. W tym celu liczbę procentową należy podzielić przez 100. p % = p 100 Na przykład, 3 % = = 0,03 87 % = = 0,87

16 Zamiana procentu na ułamek Warto zapamiętać, że: 10 % = % = % = ,5 % = % = % = 3 4

17 Zamiana ułamka na procent Ponieważ dla dodatnich a i b to na przykład 100 b a b = a b 100 b = a b , a b = a b 100 %, 2 5 = % = 200 % 5 = 40 %.

18 Obliczanie procentu danej liczby Aby obliczyć p% danej liczby a, należy procent przedstawić w postaci ułamka i przemnożyć go przez daną liczbę a. Przykład Oblicz 30% liczby 20. 0,3 20 = 6. Oblicz 75% liczby 60. 0,75 60 = = 45.

19 Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba Aby obliczyć, jakim procentem pierwszej liczby a jest druga liczba b, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej liczby jest druga liczba, czyli obliczyć a / b i ułamek ten przedstawić w postaci procentu. Przykład Jakim procentem liczby 12 jest liczba = % = 25 %.

20 Obliczanie liczby, gdy znany jest jej procent Aby obliczyć liczbę x, gdy znanych jest p% tej liczby, powiedzmy b, należy rozwiązać równanie p % x = b, czyli równanie p x 100 = b. Rozwiązaniem tego równania jest x = b p 100.

21 Procenty w finansach

22 Rodzaje stóp procentowych Nominalna stopa procentowa, r n stopa podawana przez banki lub inne instytucje finansowe. Realna stopa procentowa rreal stopa uwzględniająca inflację. Jeśli i oznacza stopę inflacji, to r real = r n i 1 + i. Faktyczna stopa procentowa, rf stopa uwzględniająca podatek dochodowy od zysków z inwestycji kapitałowych. Jest to rzeczywiste oprocentowanie, wg którego zostaną naliczone odsetki już po zapłaceniu od nich należnego podatku dochodowego. Jeśli T oznacza stopę podatku dochodowego, to r f = r n (1 T).

23 Przykłady Załóżmy, że stopa nominalna banku centralnego wynosi 2,5%, a roczna stopa inflacji (dane z 2018 roku) jest równa 1,6%. Wówczas realna stopa procentowa wynosi r real = r n i 1 + i = 2,5% 1,6 % 1 + 1,6 % = 0,025 0, ,016 = 0,009 1,016 = 0,89 %. Obliczmy faktyczne oprocentowanie lokaty bankowej o oprocentowaniu nominalnym równym 3,5% rocznie. Przypomnijmy, że stopa podatku dochodowego od zysków z inwestycji kapitałowych w Polsce to T = 19%. r f = r n (1 T) = 3,5 % (1 19%) = 3,5% 0,81 = 2,835 %.

24 Procent a punkt procentowy, czyli porównywanie stóp procentowych Procent jest setną częścią całości. Mówi o ile procent początkowa stopa procentowa w p zmieniła w stosunku do końcowej wartości stopy procentowej w k : Δ w = w k w p w p 100 % = Δ b w p 100 %. Punkt procentowy (w skrócie pp.) jest zaś bezwzględną różnicą między wielkościami wyrażonymi w procentach. Δ b = w k w p.

25 Przykłady Zakładając, że stopa bezrobocia wynosi dziś 7% a w roku 2013 wynosiła aż 14% można od razu powiedzieć, że obniżyła się o połowę, czyli o 50%. Można również powiedzieć, że obniżyła się o 7 punktów procentowych. Załóżmy, że rok temu bank centralny podawał wartość stopy procentowej na poziomie 3%. Jeśli powiedziano, że bank centralny podniósł stopę procentową o 10%, to znaczy, że dzisiejsza stopa procentowa wynosi 3% + 3% 10 % = 0,03 + 0,03 0,1 = 0,033 = 3,3 %.

26 Potęgowanie

27 Potęga o wykładniku naturalnym a n = a a a n czynników a 1 = a, a 2 = a a, a m a n = a m+n, a m a n = am n, (a m ) n = a m n, a podstawa potęgi n wykładnik potęgi 0 n = 0, 1 n = 1, ( 1) 2n 1 = 1, ( 1) 2n = 1.

28 Przykłady W dobie komputerów warto zapamiętać niektóre potęgi = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16, 2 5 = 32, 2 6 = 64, 2 7 = 128, 2 8 = 256, 2 9 = 512, 2 10 = 1024.

29 Potęga o wykładniku naturalnym Niech a i b będą liczbami dodatnimi. Wówczas: jeśli a > 1, to a n > 1; jeśli a < 1, to a n < 1; jeśli a < b, to a n < b n. Niech a > 1. Wówczas: jeśli m < n, to a m < a n. Niech 0 < a < 1. Wówczas: jeśli m < n, to a m > a n.

30 Potęga o wykładniku naturalnym Z definicji potęgi i własności mnożenia wynika, że potęga liczby ujemnej jest dodatnia dla wykładników parzystych, a ujemna dla wykładników nieparzystych. Potęga liczby dodatniej o dowolnym wykładniku jest dodatnia. Z powyższego wynika, że dla liczby ujemnej a równanie x n = a ma rozwiązanie tylko w przypadku, gdy n jest liczbą nieparzystą.

31 Pierwiastek Niech a będzie liczbą rzeczywistą dodatnią, a n niech będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem stopnia n z liczby a nazywamy jedyne dodatnie rozwiązanie równania x n = a. Pierwiastek stopnia n z liczby a oznaczamy n a. Wprost z definicji pierwiastka wynika, że ( n a) n = a. Oczywiście x n = 0 tylko dla x = 0, więc n 0 = 0.

32 Przykłady 16 = 4, gdyż 4 2 = 16; = 2, gdyż 2 3 = 8; 125 = 5, gdyż 5 3 = 125; 225 = 25 9 = 25 9 = 5 3 = 15; 4 nie istnieje. Istotnie, x 2 0 dla wszystkich liczb x, więc nie istnieje x takie, że x 2 = 4.

33 Pierwiastek Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, a m i n niech liczbami naturalnymi. n a n = a, n a m = ( n a) m, n a n b = n ab, n m a = mn a. n n a b = n a b, Ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej a: a 2 = a.

34 Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim Niech x będzie dodatnią liczbą wymierną postaci x = p q, gdzie p i q są liczbami naturalnymi. Potęgą o podstawie a i wykładniku x nazywamy a x = q a p.

35 Potęga o wykładniku wymiernym dowolnego znaku Niech x będzie liczbą wymierną (dowolnego znaku). Każdą taką liczbę można przedstawić w postaci różnicy x = x 1 x 2, gdzie x 1 i x 2 są dodatnimi liczbami wymiernymi. Potęgą o podstawie a i wykładniku x nazywamy a x = ax 1 a x 2.

36 Własności potęgi o wykładniku wymiernym a x a y = a x+y, Dla x > 0 : jeśli a > 1, to a x > 1; jeśli a < 1, to a x < 1; a x a = y ax y, (a x ) y = a x y. Dla x < 0 : jeśli a > 1, to a x < 1; jeśli a < 1, to a x > 1; jeśli a < b, to a x < b x. jeśli a < b, to a x > b x.

37 Własności potęgi o wykładniku wymiernym a 0 = 1, a x = 1 a x. Dla a > 1 : jeśli x > y, to a x > a y. Dla 0 < a < 1 : jeśli x > y, to a x < a y.

38 Potęga o wykładniku rzeczywistym Niech x będzie liczbą rzeczywistą i a > 0 a x = lim n a x n, gdzie (x n ) jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do x. Występujące tu pojęcia granicy i zbieżności wyjaśnimy później.

39 Własności potęgi a x a y = a x+y, a x a y = ax y, (a x ) y = a x y, Niech x będzie liczbą rzeczywistą dodatnią. Wtedy: jeśli a > 1, to a x > 1; jeśli a < 1, to a x < 1; jeśli a < b, to a x < b x.

40 Logarytm

41 Logarytm Niech a będzie liczbą rzeczywistą dodatnią różną od 1, i niech b będzie liczbą rzeczywistą dodatnią. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy rozwiązanie równania a x = b. Logarytm ten oznaczamy symbolem log a b. Wprost z definicji logarytmu wynika, że a log a b = b, log a (a b ) = b.

42 Przykłady log 2 8 = 3, gdyż 2 3 = 8; log 3 81 = 4, gdyż 3 4 = 81; log = 4, gdyż ( ) = 16. Inaczej: log 2 8 = log 2 (2 3 ) = 3; log 3 81 = log 3 (3 4 ) = 4. log = log 1 2 ( ) = 4.

43 Własności logarytmu log a (b 1 b 2 ) = log a b 1 + log a b 2, log a (b n ) = n log a b, log a ( b 1 b 2 ) = log a b 1 log a b 2, log a b = log c b log c a, log a 1 = 0.

44 Własności logarytmu Dla logarytmów o podstawie a > 1 : jeśli b 1 < b 2, to log a b 1 < log a b 2, Dla logarytmów o podstawie a (0,1) : jeśli b 1 < b 2, to log a b 1 > log a b 2.