Krótkookresowy model ryzyka ubezpieczeniowego w przedsiębiorstwie
|
|
- Ewa Kornelia Bednarek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krótkookresowy model ryzyka ubezpeczenowego w przedsęborstwe Agneszka Rurka Cel artykułu stanowło zaprezentowane możlwośc zastosowana krótkookresowego modelu ryzyka w przedsęborstwe. Przedstawono przy tym stotę założena modelu zamknętego oraz dokonano przeglądu wybranych metod dentyfkacj rozkładu sumy szkód ubezpeczenowych. Omawane zagadnena zostały zobrazowane na przykładze. Przy pomarze ryzyka wykorzystano algorytm De Prla oraz aproksymację sumy szkód rozkładem normalnym. Podjęto ponadto próbę przedstawena możlwośc zastosowana modelu ndywdualnego ryzyka w ocene kontraktów ubezpeczenowych. W tym celu zaprezentowano sposób ustalana wysokośc współczynnka bezpeczeństwa oraz pozomu retencj w przypadku kontraktu ubezpeczenowego typu excess of loss.. Wprowadzene do zarządzana ryzykem ubezpeczenowym w przedsęborstwe Ryzyko wąże sę nezmenne z wszelkm formam egzystencj dzałanam człoweka. Jest węc też neodłącznym atrybutem każdej dzałalnośc gospodarczej oraz podmotów uczestnczących w tej dzałalnośc (Ronka-Chmelowec 00: 9). Manem ryzyka określa sę przedsęwzęce, którego wynk jest neznany, nepewny, problematyczny (Szymczak 98: 55). Atrybuty ryzyka łączą je węc ścśle z nepewnoścą, oznaczającą powątpewane w zdolność do przewdzena skutków obecnych dzałań (Wllams nn 00: 8). Nepewność zwązana jest z nemożnoścą określena rozwoju wydarzeń w sposób pewny. U źródeł tej nemożnośc leży złożoność zjawsk, a także dostępność nformacj na temat możlwego begu wydarzeń. Rodzaj posadanych nformacj, ch lość jakość, determnują postrzegane ryzyka oraz sposób tego postrzegana. Wynkem tego jest ndywdualny stosunek człoweka do ryzyka, przejawający sę w postac skłonnośc lub nechęc do ryzyka. Pozomy nepewnośc przedstawa ponższa tabela. W przedsęborstwe najczęścej występuje ryzyko o drugm trzecm pozome nepewnośc. Nechęć do ryzyka stanow motywację do podjęca próby przenese- Pozom nepewnośc Cechy Przykłady Brak (pewność) Pozom (nepewność obektywna) Pozom (nepewność subektywna) Pozom 3 rezultaty mogą być przewdzane z bardzo dużą dokładnoścą rezultaty są przewdywalne, a prawdopodobeństwa są znane rezultaty są przewdywalne, lecz prawdopodobeństwa ne są znane rezultaty ne są w pełn przewdywalne, a prawdopodobeństwa ne są znane prawa fzyk, nauk przyrodncze gry hazardowe: karty, gra w kośc, umeralność pożar, wypadek samochodowy, welokrotna nwestycja badana kosmczne, nżynera genetyczna Tab.. Pozomy nepewnośc Źródło: na podstawe. Wllams, A.C., Smth, M. L., Young, P.C. 00. Zarządzane ryzykem a ubezpeczena, Warszawa: Wydawnctwo Naukowe PWN. /006 65
2 na ryzyka na nższy pozom, co jest możlwe np. poprzez transfer ryzyka za pomocą ubezpeczena. Ubezpeczenu może jednak podlegać jedyne ryzyko czyste, którego realzacja powoduje stratę, natomast nezrealzowane ne prowadz do uzyskana korzyśc majątkowych. Ryzyko nepewność mają stotny wpływ na organzację, gdyż wymagają ponoszena kosztów ryzyka, do których należą, mędzy nnym, koszt strat (będących następstwem realzacj ryzyka) oraz koszt własny nepewnośc (pojawający sę w forme zmartwena lub trwog) (Wllams nn 00: 4-4). Prowadzene dzałalnośc gospodarczej wymaga przyjęca postawy w stosunku do ryzyka poprzez np. gnorowane, unkane, transfer, retencję czy redukcję. Odpowedn stosunek do ryzyka stanow podstawę zarządzana nm, czyl racjonalnego sterowana elementam ryzyka, mającego na celu unknęce lub ogranczene fnansowych skutków zdarzeń losowych (Szymańska 997: 5). Zarządzane ryzykem stanow szeroko rozumane dzałana zarządcze, których zadanem jest dentyfkacja ocena ryzyka nepewnośc oraz walka z ch przyczynam wpływem na organzację (Wllams nn 00: 57). Głównym elementam zarządzana ryzykem są: określene zadań, dentyfkacja (rozpoznane) analza potencjalnych zagrożeń źródeł ryzyka, kwantyfkacja (pomar) ocena ryzyka pomar sły dzałana określonych rodzajów ryzyka wartośc strat, kontrola ryzyka podjece dzałań zmnejszających je, fnansowane ryzyka gromadzene rezerw na pokryce strat lub kosztów transferu ryzyka, admnstrowane programem. Najczęścej wykorzystywaną formą zabezpeczena przed stratam powstałym w wynku realzacj ryzyka jest jego transfer przy pomocy nstytucj ubezpeczena. Zawerając umowę ubezpeczena, przedsęborca dokonuje transferu ryzyka na ubezpeczycela, nabywając odpowedn produkt ubezpeczenowy. Wysokość składk ubezpeczenowej stanow w tym przypadku koszt ochrony ubezpeczenowej 3. Przedsęborca podejmuje węc decyzję, jake ryzyko pozostawć (jake koszty szkód może sam poneść) oraz co ubezpeczać (w jakm zakrese, na jaką sumę), przed czym ubezpeczać (przed jakm zdarzenam losowym), gdze ubezpeczać (jakego ubezpeczycela wybrać), na jakch warunkach (jake są ogólne warunk ubezpeczeń), jak koszt jest skłonny w zwązku z tym poneść td. Badane analza ryzyka należą węc do podstawowych dzałań przed przystąpenem do ubezpeczena, zarówno dla ubezpeczycela, jak ubezpeczającego (Ronka-Chmelowec 997: 9). Nepewność jest kategorą subektywną, a w zwązku z tym nemerzalną. Zwązane z nepewnoścą ryzyko jest natomast zjawskem obektywnym jako take może być przedmotem oceny lub pomaru. Oceny ryzyka dokonuje sę w sytuacj, gdy ne jest możlwy jego pomar, np. w przypadku nowego rodzaju ryzyka lub ryzyka katastrofcznego. Ryzyko ubezpeczenowe, mogące stanowć przedmot transferu, może być traktowane jako zmenna losowa lub proces losowy (Ronka-Chmelowec 997: 6). W celu dokonana pomaru tego ryzyka mogą być wykorzystane szeroko omawane w lteraturze ubezpeczenowej modele ryzyka (np. ndywdualny model ryzyka kolektywny model ryzyka). Odpowednego aparatu narzędzowego do pomaru ryzyka ubezpeczenowego dostarcza statystyka ubezpeczenowa. Maram ryzyka zmennej losowej lub procesu stochastycznego są np. dystrybuanta, funkcja gęstośc prawdopodobeństwa, funkcja tworząca, momenty statystyczne tp.. Model ryzyka ndywdualnego W określonych przypadkach analza szkód, będących rezultatem zdarzeń losowych, może być oparta na krótkookresowym modelu ryzyka ndywdualnego (analzując wysokośc wypłat, pomja sę czynnk czasu, wobec czego model ma zastosowane do analz krótkookresowych zazwyczaj jednego roku) (Rolsk nn 999: ). Model ten znajduje zastosowane, mędzy nnym, w przypadku ubezpeczeń zdrowotnych, ubezpeczeń na życe (por. Kowalczyk nn 006: 4; Ronka-Chmelowec 997: 59; Ostasewcz 00: 06), a także nnych np. komunkacyjnych, ognowych, co do których spełnone są określone ponżej założena (por. Bowers 986: 33). Przyjmuje sę, że: 66 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
3 badany portfel składa sę z ustalonej lczby n jednorodnych lub nejednorodnyc jednostek ryzyka, w wynku zastnena szkody może zostać dokonana co najwyżej jedna wypłata (ewentualne, różne wypłaty można potraktować jako wypłatę zagregowaną), wypłaty X generowane przez szkody losowe zwązane z poszczególnym ryzykam w portfelu są statystyczne nezależnym zmennym losowym (Feller 968: 5), to znaczy realzacja jednego z ryzyk w portfelu ne wpływa na pozostałe ryzyko (Ronka-Chmelowec 997: 59). Przy powyższych założenach całkowta wypłata dla n-elementowego portfela może być określona jako (Bowers nn 986: 7): S X + X X n X, n gdze X oznacza -tą nezależną wypłatę. Rozkład S dentyfkuje sę, stosując różne metody, a manowce: podając wartośc podstawowych parametrów (mędzy nnym takch jak: wartość oczekwana warancja) lub postać funkcj tworzącej prawdopodobeństwa (lub momenty), określając analtyczną postać dystrybuanty (lub funkcj gęstośc), korzystając ze splotów dystrybuant (lub funkcj gęstośc) (por. Bowers nn 986: 35; Kaas nn 00: 8; Feller 968: 67) stosując metodę rekurencyjną (por. Ostasewcz 00: ), w przypadku określonych portfel wyznaczając funkcję gęstośc prawdopodobeństwa za pomocą wzoru rekurencyjnego (stosując algorytm De Prla), określając rozkład przyblżony, stosując aproksymację rozkładem normalnym lub trójparametrycznym rozkładem gamma. Ponżej zostaną zaprezentowane wybrane zagadnena zwązane z dentyfkacją rozkładu S, które posłużyły w opracowanu przykładu praktycznego zastosowana prezentowanego modelu krótkookresowego. Rozkład sumy wypłat dentyfkuje sę określając wartośc wybranych momentów lub podając postać funkcj tworzącej momenty (Por. Jakubowsk, Sztencel 00: 97, 5). Wartość oczekwaną warancję rozkładu S uzyskuje sę korzystając z własnośc momentów dla sumy nezależnych zmennych losowych jako (Feller 968:, 30): E(X X n )EX EX oraz ( X X ) D X +... D X D n + Wypłata X generowana przez -te ryzyko jest przy tym neujemna, to znaczy P ( X 0). Prawdopodobeństwo, że ne ma wypłaty ne wystąp szkoda jest dodatne P ( X 0) > 0. Wysokość -tej wypłaty o le do nej dojdze wynos B co oznacza, że jej rozkład jest tak, jak warunkowy rozkład zmennej X (tj. dla X > 0 ). Wypłata X może być określona jako (Ostasewcz 00: 06): X I B, gdze: I, gdy wystąpła wypłata w wynku -tej szkody, I 0, gdy ne wystąpła wypłata w wynku -tej szkody przy czym (Bowers nn 986: 8): q P( X > 0) P( I ) oznacza prawdopodobeństwo wypłaty oraz p P( X 0) P( I 0) q oznacza prawdopodobeństwo, że ne nastąp wypłata. Wartość oczekwaną (perwszy moment zwykły) wyznacza sę jako (Feller 968:, 30): μ gdze μ EB oznacza wartość oczekwaną zmennej. Warancja oraz dwa kolejne momenty centralne wynoszą (Ostasewcz 00: 0; Jóźwak, Podgórsk 006: 09-0): ( μ ( ) + σ ). /006 67
4 μ + μ ( + ) ( + ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) < gdze σ D B oznacza warancję zmennej B. Transformatę Laplace a rozkładu całkowtej wypłaty otrzymuje sę korzystając z własnośc funkcj tworzących momenty dla zmennych nezależnych (Jakubowsk, Sztencel 00: 05, 7; Feller 968: 67): a zatem: M S () n () () t M X () t p + qm B () t n ( ) gdze M B jest funkcją tworzącą momenty zmennej B. W modelu ryzyka ndywdualnego całkowta wypłata w portfelu S jest sumą n nezależnych zmennych losowych X (,,..., n) o dystrybuantach F (x), skończonych wartoścach oczekwanych EX μ < skończonych warancjach D X σ <. Korzystając z nezależnośc elementów cągu zmennych {X,,,..., n}, znając wartośc elementów cągów {μ <,,,..., n}, {σ <,,,..., n}, dla sumy S n X można wyznaczyć wartość oczekwaną warancję (Feller 968: 53): μ μ σ σ, Dokonując normalzacj zmennej losowej S według formuły (Jóźwak, Podgórsk 006: 80): μ σ otrzymuje sę zmenną zestandaryzowaną Z. Cąg dystrybuant {F(z)} zmennych losowych Z spełna wówczas (Lusznewcz, Słaby 00: 46-47): π ( ) wtedy tylko wtedy, gdy dla dowolnego z<0 spełnony jest warunek Lndeberga (Feller 968: 53): σ ( ) ( ) > σ co oznacza, że dla dowolnego ε>0 wszystkch dostateczne dużych n zachodz: σ < ε σ dla,,..., n. Oznacza to, że w przypadku dużej lczebnośc portfela n spełnenu warunków centralnego twerdzena grancznego Lndeberga-Levy ego rozkład Z jest zbeżny do standardowego rozkładu normalnego Przykład zastosowana modelu krótkookresowego w analze ryzyka Praktyczne wykorzystane modelu ryzyka krótkookresowego zostane przedstawone na przykładze przedsęborstwa zatrudnającego 60 pracownków (w tym samych mężczyzn w weku 30, lat). Każdy z pracownków traktowany jest jako pojedyncze ryzyko, z którym zwązane są dwe charakterystyk prawdopodobeństwo zgonu w cągu roku oraz wysokość należnego odszkodowana z tego tytułu (wypłacanego rodzne). Portfel ryzyka przedsę- 68 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
5 borstwa jest zatem portfelem zamknętym, składającym sę z n60 ryzyk. Zakłada sę przy tym, że może on być przy tym podzelony na grupy jednorodne pod względem welkośc wypłat oraz prawdopodobeństwa wypłaty 5. Welkość -tej wypłaty w portfelu, o le do nej dojdze, wynos b : P(B b ) P(X b I ), przy czym stanow welokrotność pewnej jednostk penężnej c: b c dla,,..., r. Wysokość -tej wypłaty uzależnona jest od lczby lat pracy w danym przedsęborstwe, zgodne z wartoścam podanym w ponższej tabel. x 0 < x x b (w zł.) Tab.. Wysokość wypłat Źródło: opracowane własne. Wypłaty b stanową welokrotnośc złotych (c). Wyznaczone grupy mają węc take same warunkowe rozkłady wypłaty oraz take samo prawdopodobeństwo wypłaty, co przedstawa tabela 3. q q q 3 n n j Tab. 3. Klasyfkacja ryzyka w przykładowym portfelu przedsęborstwa Źródło: opracowane własne. Lczbę wypłat z prawdopodobeństwem q j wyznacza sę jako sumę: r n n n, j 5 j j wobec czego całkowta lczba wypłat wynos: m 3 n n j n j 60. j j Przy stawanych założenach, do określena rozkładu prawdopodobeństwa całkowtej wypłaty w portfelu może być wykorzystany algorytm De Prla 6. Maksymalna możlwa welkość zagregowanej wypłaty M w portfelu wynos (De Prl 986: 09): gdze: n j oznacza lczbę wypłat (,,..., r) jednostek penężnych z prawdopodobeństwem q j p j (j,,..., m). Maksymalna wypłata w omawanym portfelu wynos zatem: Przedsęborstwo może węc być obcążone maksymalną wypłatą na pozome 4,63 mln. zł. Wartość oczekwaną warancję sumy wypłat w portfelu wyznacza sę jako (Cahn, Sharma 983: 85): oraz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gdze N j oznacza oczekwaną lczbę wypłat -jednostek z j-tym prawdopodobeństwem (powstałą na baze n j ). Analzowany portfel ryzyka charakteryzuje duża zmenność, o czym śwadczy klasyczny współczynnk zmennośc na pozome ok. 3%. Rozkład prawdopodobeństwa całkowtej wypłaty S w portfelu, to znaczy p S (s)p(ss), określa sę zgodne z wzorem rekurencyjnym (De Prl 986: 0): /006 69
6 ( ) ( ) [ ] () ( ) ( ) dla s0,,..., M, gdze: ( ) + ( ) ( ) ( ) oraz [s/]oznacza całkowtą część lczby, będącej wynkem lorazu s/7. Dla q j blskego zeru wyrażene: k q j p j jest małe, wec A(, k) szybko maleje, gdy k rośne, co przedstawa tabela 4. Przy znajdowanu prawdopodobeństwa p S (s) dokonywane sumowane może być ogranczone do małej lczby K składnków (Ostasewcz 00: 7): ( [ ] ) Rezultat ogranczena sumowana, przykładowo do K7 składnków, podaje tabela 5. Jeżel q j <0,5 (dla j,,..., m) co ma mejsce w analzowanym przypadku to suma bezwzględnych błędów tej aproksymacj jest następująco oszacowana z góry (De Prl 988: 6 68): < δ gdze + δ +. Oznacza to, że suma bezwzględnych błędów oszacowana dla omawanego przykładu ne przekracza wartośc: e 3,3566E 6. Przy spełnenu warunków centralnego twerdzena grancznego Lndeberga- Levy ego (por. Feller 968: 53; Lusznewcz, Słaby 00: 46 47), wykorzystując aproksymację normalną rozkładu zestandaryzowanej sumy wypłat, można oszacować wartość tzw. względnego ładunku bezpeczeństwa (względnego współczynnka narzutu na bezpeczeństwo) (Bowers nn 986: 4): θ, A(, k) k 0, , , , , ,0007 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tab. 4. Wartośc A(, k) Źródło: opracowane własne. s p (7) S (s) 0,4833 0,0849 0, , ,6043 0, s p (7) S (s) 0, , , ,049 0, Tab. 5. Wartośc p S (7) (s) Źródło: opracowane własne. 70 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
7 gdze z p jest kwantylem rzędu p rozkładu normalnego standaryzowanego N(0, ) (Jóźwak, Podgórsk 006: ). Ładunek bezpeczeństwa postac θes określa wysokość środków ponad wartość oczekwaną szkody, zapewnającą z zadanym prawdopodobeństwem pokryce sumy szkód. Innym słowy, dla zadanego pozomu ufnośc stneje możlwość oszacowana wartośc środków (+θ)es, jake przedsęborstwo pownno zgromadzć, aby pokryć wypłaty zwązane z realzacją ryzyka. Przykładowe wartośc ładunku bezpeczeństwa oraz względnego ładunku bezpeczeństwa zawera tabela 6. Tak węc przedsęborstwo pownno dysponować środkam na pozome 53,0 tys. zł, aby z prawdopodobeństwem 0,8 pokryć wypłaty. Przy prawdopodobeństwe równym 0,9 zgromadzona kwota pownna wynosć 67,354 tys. zł, zaś dla prawdopodobeństwa 0,98 9,95 tys. zł, co stanow aż ok. 353% wartośc oczekwanej sumy wypłat. Φ(z p ) z p θ θes 0,80 0,846,0366, ,8 0,9537,706, ,84 0,99446,444 3,998 0,86,0803,3306 3, ,88,7499,4467 3, ,90,855, ,695 0,9,40507,7300 4, ,94,55477,9434 5, ,96,75069,5556 5, ,98,05375,587 6,6068 Tab. 6. Wartośc ładunku bezpeczeństwa Źródło: opracowane własne. d p F 5 3 0, ,0000 0, , , ,0743 0, , ,000 0, ,0500 0, , , , , , ,8699 0, , , ,000 0, , ,0500 0,000 0, , , ,0005 0, , , ,000 0, , , ,0050 0, , , ,000 0,0653 0,560 0, ,0500 0,000 0,0908 0, ,6040 0,0005 0, ,309 0, ,000 0, ,370 0, ,0050 0,7597 0, , ,000 0,7657 0, , ,0500 0, ,938 0, dowolne 0,906 0, ,6996 Tab. 7. Prawdopodobeństwa P(F re>s) Źródło: opracowane własne. /006 7
8 Przyjmując, że przedsęborstwo rozpatruje możlwość utrzymywana środków fnansowych F na pozome 50 tys. zł (30 tys. zł, 0 tys. zł), rozważane jest ubezpeczene częśc lub całośc posadanego ryzyka. W wynku zajśca szkody o wartośc x, zostane dokonana przez ubezpeczycela wypłata I(x). Zakłada sę przy tym dostępność kontraktów ubezpeczenowych, takch, że 0 I(x) x, przy czym wszystke wykonalne kontrakty o wartośc oczekwanej wypłaty E(I(X))β dostępne są za tę samą cenę P (Bowers nn 986: 6 7). Opłata za ubezpeczene jednostk ryzyka wynos przy tym p. Rozpatrywany jest zakup ubezpeczena typu excess of loss, zgodne z którym wypłata ubezpeczycela następuje wówczas, gdy welkość szkody przekracza określoną wartość d (Bowers nn 986: 7, Montalbett 970: 9): 0, x < d, I d () x x d, x d. Celem jest określene wysokośc retencj przedsęborstwa d mnmalzującej: P(F re>s), gdze re oznacza płatność za kontrakty ubezpeczenowe. Oczywste jest, że przy takej samej wysokośc retencj oraz dentycznej wysokośc opłaty ubezpeczenowej wartośc prawdopodobeństwa wzrastają, kedy maleje pozom środków własnych (najwyższe wartośc prawdopodobeństwa w kolumne dla F). Ponadto, przy zadanym pozome F p, prawdopodobeństwo P(F re>s) wzrasta wraz ze wzrostem pozomu retencj d. Przy zadanym pozome środków własnych F, przedsęborstwo wyberze nższy pozom retencj d (nższa wartość prawdopodobeństwa). Prawdopodobeństwo P(F re>s) jest tym nższe m nższa wartość p. Przy środkach fnansowych na pozome 0 tys. zł. nskej opłace ubezpeczenowej p0,000 przedsęborstwo dokona transferu ryzyka, wyberając pozom retencj d. Dla wyższej opłaty ubezpeczenowej np. p0,0, wyberany będze wyższy pozom retencj ryzyka. W skrajnym przypadku przedsęborstwo ne zakup kontraktu ubezpeczenowego (pozom retencj d5), gdyż opłata ubezpeczenowa będze przekraczała jego możlwośc. W zwązku z tym można sę spodzewać, że przewdywane wypłaty (wartość szkód) przekroczą wysokość posadanych środków z prawdopodobeństwem ok. 0, Wnosk Funkcjonowanu przedsęborstwa neodłączne towarzyszy ryzyko zwązane zarówno z podejmowanem określonych dzałań realzacją zamerzeń, jak z zanechanem dzałań zachowanem stnejącego stanu rzeczy. Unkane ryzyka ne zawsze jest możlwe, a przedsęborstwo nastawone na gnorowane ryzyka ponos najwększy najmnej uzasadnony jego koszt koszt bezczynnośc trwog. Wydaje sę, że zwłaszcza w przypadku małych przedsęborstw, których możlwośc fnansowe organzacyjne bywają newystarczające na zapewnene efektywnej retencj czy dywersyfkacj ryzyka, korzystne jest dokonane transferu ryzyka przy pomocy ubezpeczena. W celu zapewnena odpowednej ochrony ubezpeczenowej należy dokonać, mędzy nnym, oszacowana ryzyka ubezpeczenowego. Wydaje sę, że odpowednm modelem ryzyka jest zmenna losowa (lub proces losowy). Podczas dokonywana analzy pomaru ryzyka zasadnym okazuje sę sęgnęce do model aktuaralnych, a w określonych przypadkach do krótkookresowego modelu ryzyka ndywdualnego. Wykorzystane metod dentyfkowana rozkładu sumy szkód (wypłat) pozwala przy tym na blższe scharakteryzowane ryzyka w przedsęborstwe, a co sę z tym wąże na wybór odpowednego kontraktu ubezpeczenowego. W praktyce często stosuje sę tzw. ubezpeczena szyte na marę. Efektywność tego narzędza będze tym wększa, m lepej będze zdjęta mara. Podsumowując, zaprezentowany przykład choć uproszczony oparty na pewnych założenach wydaje sę dobrze obrazować możlwość wykorzystana zamknętego modelu ryzyka w przedsęborstwe. Umożlwa on, dzęk zastosowanu algorytmu De Prla, określene wartośc oczekwanej, warancj funkcj prawdopodobeństwa rozkładu sumy wypłat. Posłużene sę aproksymacją normalną pozwala ponadto na wylczene współczynnka bezpeczeństwa oraz pozomu retencj przy rozpatrywanym type ubezpeczena. 7 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
9 Informacje o autorce Mgr Agneszka Rurka Zakład Badań Operacyjnych Zarządzana, Wydzał Zarządzana Unwersytetu Warszawskego. E-mal: agarurka@mal.wz.uw.edu.pl. Przypsy Oprócz ryzyka czystego (ang. pure rsk) wyróżna sę ryzyko spekulatywne (ang. speculatve rsk), które wąże sę zarówno ze stratą, brakem straty lub zysku oraz z uzyskanem korzyśc (zysku). Przegląd klasyfkacj ryzyka ubezpeczenowego można znaleźć w: Ronka- Chmelowec, W Ryzyko w ubezpeczenach metody oceny, Wrocław: Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wrocławu, s Przegląd produktów ubezpeczenowych dla przedsęborców można znaleźć np. w: Próchnak, E. 00. Ubezpeczena majątkowe dla przedsęborców, Bydgoszcz: Ofcyna Wydawncza OPO. 3 Koszty nabywana ubezpeczeń, jak równeż koszty podejmowanych w przedsęborstwe dzałań prewencyjnych czy wartość wydatków zwązanych z pokrycem strat, które ne będą pokryte przez nne podmoty, stanową tzw. koszt ryzyka. Por. Sangowsk T. (red.) 999. Vademecum ubezpeczeń gospodarczych (pośrednka ubezpeczenowego), Poznań: Saga Prntng, s W lteraturze statystycznej przyjmuje sę, że lczebność zapewnająca dostateczną zbeżność dystrybuant pozwalająca zastosować aproksymację to n30. Por. Bowers N.L., Gerber H.U., Hckman J.C., Jones D.A., Nesbtt C.J. (986), Actuaral Mathematcs, Socety of Actuares, Schaumburg, s Prawdopodobeństwo wypłaty oznacza prawdopodobeństwo zajśca zdarzena losowego, polegającego na śmerc pracownka. W celu określena wartośc odpowednch prawdopodobeństw można w tym przypadku skorzystać z tablc trwana życa mężczyzn (dla roku 003). 6 Metoda rekursywna podana przez De Prla stanow uogólnene metody, którą Whte Grevlle zaproponowal dla rozkładu lczby szkód (por. Whte, R.P., Grevlle, T.N.E 959. On computng the probablty that exactly k of n ndependent events wll occur, Transactons of the Socety of Actuares, nr, s , 96 99) oraz metody aproksymacj zagregowanego rozkładu szkód przedstawonej przez Kornya (por. Kornya P.S Dstrbuton of aggregate clams n the ndvdual rsk theory model, Transactons of the Socety of Actuares, nr 35, s , (dyskusja) ). Metoda rekurencyjna dla modelu ndywdualnego stanow odpowednk metody rekurencyjnej Panjera dla modelu kolektywnego (por. Panjer H.H. 98. Recursve evaluaton of a famly of compound dstrbutons, ASTIN Bulletn, vol., nr, s. 6). 7 Dowód np. w: De Prl N On the exact computaton of the aggregate clams dstrbuton n the ndvdual lfe model, ASTIN Bulletn, vol. 6, nr, s. 0; Ostasewcz W. (red.) 00. Wrocław: Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wrocławu, s. 6. Bblografa Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hckman, J.C., Jones, D.A., Nesbtt, C.J Actuaral Mathematcs, Schaumburg: Socety of Actuares. Cahn B., Sharma P.K Dscusson: Dstrbuton of aggregate clams n the ndvdual rsk theory model. Transactons of the Socety of Actuares, nr 35, s De Prl, N On the exact computaton of the aggregate clams dstrbuton n the ndvdual lfe model. ASTIN Bulletn, vol. 6, nr, s. 09. De Prl, N Improved approxmatons for the aggregate clams dstrbutons of a lfe nsurance portfolo. Scandnavan Actuaral Journal, s Feller, W An Introducton to Probablty Theory and Its Applcatons, vol. I, New York London Sydney: John Wley & Sons. Jakubowsk, J., Sztencel, R. 00. Rachunek prawdopodobeństwa dla (prawe) każdego, Warszawa: SCRIPT. Jóźwak, J., Podgórsk, J Statystyka od podstaw, Warszawa: PWE. Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., Denut, M. 00. Modern actuaral rsk theory, Dordrecht: Kluwer Academc Publshers. Kornya, P.S Dstrbuton of aggregate clams n the ndvdual rsk theory model. Transactons of the Socety of Actuares, nr 35, s , (dyskusja) Kowalczyk, P., Poprawska, E., Ronka-Chmelowec, W Metody aktuaralne zastosowana matematyk w ubezpeczenach, Warszawa: Wydawnctwo Naukowe PWN. Lusznewcz, A., Słaby, T. 00. Statystyka z paketem komputerowym STATISTICA PL - Teora zastosowana, Warszawa: Wydawnctwo C.H.Beck. Montalbett, E Reasekuracja, Warszawa: PWN. Ostasewcz, W. (red.) 00. Wrocław: Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wrocławu. Próchnak, E. 00. Ubezpeczena majątkowe dla przedsęborców, Bydgoszcz: Ofcyna Wydawncza OPO. /006 73
10 Rolsk, T., Schmdl, H., Schmdt, V., Teugles, J Stochastc processes for nsurance and fnance, New York: John Wley & Sons. Ronka-Chmelowec, W. (red.) 00. Ubezpeczena rynek ryzyko, Warszawa: PWE. Ronka-Chmelowec, W Ryzyko w ubezpeczenach metody oceny, Wrocław: Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wrocławu. Sangowsk, T. (red.) 999. Vademecum ubezpeczeń gospodarczych (pośrednka ubezpeczenowego), Poznań: Saga Prntng. Szymańska, K Jak gdze ubezpeczyć majątek frmy, Gdańsk. Szymczak, M. (red.) 98. Słownk języka polskego, tom III, Warszawa: PWN, s. 55. Whte, R.P., Grevlle, T.N.E 959. On computng the probablty that exactly k of n ndependent events wll occur. Transactons of the Socety of Actuares, nr, s , Wllams, A.C., Smth, M.L., Young, P.C. 00. Zarządzane ryzykem a ubezpeczena, Warszawa: Wydawnctwo Naukowe PWN. 74 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A
Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoFunkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Bardziej szczegółowoModele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Bardziej szczegółowoProcedura normalizacji
Metody Badań w Geograf Społeczno Ekonomcznej Procedura normalzacj Budowane macerzy danych geografcznych mgr Marcn Semczuk Zakład Przedsęborczośc Gospodark Przestrzennej Instytut Geograf Unwersytet Pedagogczny
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 3
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a
Bardziej szczegółowo0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4
Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI
Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Wprowadzene
Bardziej szczegółowoProces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Bardziej szczegółowoAnaliza ryzyka jako instrument zarządzania środowiskiem
WARSZTATY 2003 z cyklu Zagrożena naturalne w górnctwe Mat. Symp. str. 461 466 Elżbeta PILECKA, Małgorzata SZCZEPAŃSKA Instytut Gospodark Surowcam Mneralnym Energą PAN, Kraków Analza ryzyka jako nstrument
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowoAnaliza modyfikacji systemów bonus-malus w ubezpieczeniach komunikacyjnych AC na przykładzie wybranego zakładu ubezpieczeń
Analza modyfkacj systemów bonus-malus Ewa Łazuka Klauda Stępkowska Analza modyfkacj systemów bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych AC na przykładze wybranego zakładu ubezpeczeń Tematyka przedstawonego
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Bardziej szczegółowoKształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu
PRACE KOMISJI GEOGRAFII PRZEMY SŁU Nr 7 WARSZAWA KRAKÓW 2004 Akadema Pedagogczna, Kraków Kształtowane sę frm nformatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu Postępujący proces rozwoju
Bardziej szczegółowoPobrane z czasopisma Annales H - Oeconomia Data: 01/06/ :19:23
Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma http://oeconoma.annales.umcs.pl DOI:0.795/h.206.50.4.497 ANNALES UNIVERSITATIS MARIAE CURIE-SKŁODOWSKA LUBLIN POLONIA VOL. L, 4 SECTIO H 206 Unwersytet Łódzk. Wydzał
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
Bardziej szczegółowo65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
Bardziej szczegółowoZapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Bardziej szczegółowoRozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy x i p i 0 1-p 1 p suma 1
Rozkład dwupunktowy Zmenna losowa przyjmuje tylko dwe wartośc: wartość 1 z prawdopodobeństwem p wartość 0 z prawdopodobeństwem 1- p x p 0 1-p 1 p suma 1 Rozkład dwupunktowy Funkcja rozkładu prawdopodobeństwa
Bardziej szczegółowoRyzyko inwestycji. Ryzyko jest to niebezpieczeństwo niezrealizowania celu, założonego przy podejmowaniu określonej decyzji. 3.
PZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFOMTYCZNYCH 3. 3. Istota, defncje rodzaje ryzyka Elementem towarzyszącym każdej decyzj, w tym decyzj nwestycyjnej, jest ryzyko. Wynka to z faktu, że decyzje operają
Bardziej szczegółowoPattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych
Bardziej szczegółowo± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości
Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Bardziej szczegółowoModel oceny ryzyka w działalności firmy logistycznej - uwagi metodyczne
Magdalena OSIŃSKA Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Model oceny ryzyka w dzałalnośc frmy logstycznej - uwag metodyczne WSTĘP Logstyka w cągu ostatnch 2. lat stała sę bardzo rozbudowaną dzedzną dzałalnośc
Bardziej szczegółowoPortfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego
Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA
. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,
Bardziej szczegółowo6. ROŻNICE MIĘDZY OBSERWACJAMI STATYSTYCZNYMI RUCHU KOLEJOWEGO A SAMOCHODOWEGO
Różnce mędzy obserwacjam statystycznym ruchu kolejowego a samochodowego 7. ROŻNICE MIĘDZY OBSERWACJAMI STATYSTYCZNYMI RUCHU KOLEJOWEGO A SAMOCHODOWEGO.. Obserwacje odstępów mędzy kolejnym wjazdam na stację
Bardziej szczegółowoSprawozdanie powinno zawierać:
Sprawozdane pownno zawerać: 1. wypełnoną stronę tytułową (gotowa do ćw. nr 0 na strone drugej, do pozostałych ćwczeń zameszczona na strone 3), 2. krótk ops celu dośwadczena, 3. krótk ops metody pomaru,
Bardziej szczegółowo1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:
.. Uprość ops zdarzeń: a) A B, A \ B b) ( A B) ( A' B).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A b) A B, ( A B) ( B C).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A B b) A B C ( A B) ( B C).4. Uproścć ops zdarzeń: a) A B, A B
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Smusz Politechnika Rzeszowska im. I. Łukasiewicza Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa Katedra Termodynamiki
Dr nż. Robert Smusz Poltechnka Rzeszowska m. I. Łukasewcza Wydzał Budowy Maszyn Lotnctwa Katedra Termodynamk Projekt jest współfnansowany w ramach programu polskej pomocy zagrancznej Mnsterstwa Spraw Zagrancznych
Bardziej szczegółowoBadanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoProblemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA
Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji 14 wiosna
promocja_14_wosna strona 1/5 Regulamn promocj 14 wosna 1. Organzatorem promocj 14 wosna, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 lutego 2014 do 30
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoPODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH
PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających
Bardziej szczegółowoZarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych
dr nż Andrze Chylńsk Katedra Bankowośc Fnansów Wyższa Szkoła Menedżerska w Warszawe Zarządzane ryzykem w rzedsęborstwe ego wływ na analzę ołacalnośc rzedsęwzęć nwestycynych w w w e - f n a n s e c o m
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoKRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA
KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoZadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010
EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 13. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 13 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Symulacje Analogczne jak w przypadku cągłej zmennej zależnej można wykorzystać metody Monte Carlo do analzy różnego rodzaju problemów w modelach gdze zmenna
Bardziej szczegółowoRozmyta efektywność portfela
Krzysztof PIASECKI Akadema Ekonomczna w Poznanu Problem badawczy Rozmyta ektywność portfela Buckley [] Calz [] zaproponowal reprezentowane wartośc przyszłych nwestycj fnansowych przy pomocy lczb rozmytych.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowody dx stąd w przybliżeniu: y
Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowoWYBRANE METODY TWORZENIA STRATEGII ZRÓWNOWAŻONEGO TRANSPORTU MIEJSKIEGO SELECTED METHODS FOR DEVELOPING SUSTAINABLE URBAN TRANS- PORT STRATEGIES
Zbgnew SKROBACKI WYBRANE METODY TWORZENIA STRATEGII ZRÓWNOWAŻONEGO TRANSPORTU MIEJSKIEGO SELECTED METHODS FOR DEVELOPING SUSTAINABLE URBAN TRANS- PORT STRATEGIES W artykule przedstawone systemowe podejśce
Bardziej szczegółowoMETODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów.
Opracowane: Dorota Mszczyńska METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównane obektów przy ocene welokryteralnej. Rankng obektów. Porównane wybranych obektów (warantów decyzyjnych) ze względu na różne cechy (krytera)
Bardziej szczegółowoA O n RZECZPOSPOLITA POLSKA. Gospodarki Narodowej. Warszawa, dnia2/stycznia 2014
Warszawa, dna2/styczna 2014 r, RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTERSTWO ADMINISTRACJI I CYFRYZACJI PODSEKRETARZ STANU Małgorzata Olsze wska BM-WP 005.6. 20 14 Pan Marek Zółkowsk Przewodnczący Komsj Gospodark
Bardziej szczegółowoOKRESOWA EMERYTURA KAPITAŁOWA ZE ŚRODKÓW ZGROMADZONYCH W OFE
OKRESOWA EMERYTURA KAPITAŁOWA ZE ŚRODKÓW ZGROMADZONYCH W OFE Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Warunk nabywana prawa do okresowej emerytury kaptałowej ze środków zgromadzonych w otwartym
Bardziej szczegółowoSemestr zimowy Brak Nie
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angelskm Obowązuje od roku akademckego 2015/2016 Z-ID-702 Semnarum praca dyplomowa Semnar and Dplom Thess A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoDobór zmiennych objaśniających
Dobór zmennych objaśnających Metoda grafowa: Należy tak rozpąć graf na werzchołkach opsujących poszczególne zmenne, aby występowały w nm wyłączne łuk symbolzujące stotne korelacje pomędzy zmennym opsującym.
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw
MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt nr 86 Analza dyskrymnacyjna regresja logstyczna w procese oceny zdolnośc kredytowej przedsęborstw Robert Jagełło Warszawa, 0 r. Wstęp Robert Jagełło Narodowy Bank Polsk. Składam
Bardziej szczegółowoPomiar efektywności systemu bonus-malus. Analiza wybranych metod oceny
Pomar efektywnośc systemu bonus-malus Anna Jędrzychowska Ewa Poprawska Pomar efektywnośc systemu bonus-malus. Analza wybranych metod oceny Artykuł stanow rozwnęce kontynuację zaprezentowanej na kartach
Bardziej szczegółowoParametry zmiennej losowej
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru
Bardziej szczegółowoZjawiska masowe takie, które mogą wystąpid nieograniczoną ilośd razy. Wyrazów Obcych)
Statystyka - nauka zajmująca sę metodam badana przedmotów zjawsk w ch masowych przejawach ch loścową lub jakoścową analzą z punktu wdzena nauk, do której zakresu należą.
Bardziej szczegółowoMODEL NADWYŻKI FINANSOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA DEWELOPERSKIEGO. SYMULACYJNE STUDIUM PRZYPADKU
Tadeusz Czernk Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wydzał Fnansów Ubezpeczeń Katedra Matematyk Stosowanej tadeusz.czernk@ue.katowce.pl Danel Iskra Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wydzał Fnansów Ubezpeczeń
Bardziej szczegółowo8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.
Bardziej szczegółowoANALIZA WYBRANYCH METOD OCENY SYSTEMÓW BONUS-MALUS
Anna Jędrzychowska Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Wydzał Zarządzana, Informatyk Fnansów Katedra Ubezpeczeń anna.jedrzychowska@ue.wroc.pl Ewa Poprawska Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Wydzał Zarządzana,
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji zimowa piętnastka
zmowa pętnastka strona 1/5 Regulamn promocj zmowa pętnastka 1. Organzatorem promocj zmowa pętnastka, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 grudna
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Maemayka ubezpeczeń mająkowych 7.05.00 r. Zadane. Pewne ryzyko generuje jedną szkodę z prawdopodobeńswem q, zaś zero szkód z prawdopodobeńswem ( q). Ubezpeczycel pokrywa nadwyżkę szkody ponad udzał własny
Bardziej szczegółowo= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału
5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowoAnaliza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)
Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji upalne lato 2014 2.0
upalne lato 2014 2.0 strona 1/5 Regulamn promocj upalne lato 2014 2.0 1. Organzatorem promocj upalne lato 2014 2.0, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Ryzyko w ubezpieczeniach Risk in insurances Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia
Bardziej szczegółowoTEORIA PORTFELA MARKOWITZA
TEORIA PORTFELA MARKOWITZA Izabela Balwerz 28 maj 2008 1 Wstęp Teora portfela została stworzona w 1952 roku przez amerykańskego ekonomstę Harry go Markowtza Opera sę ona na mnmalzacj ryzyka nwestycyjnego
Bardziej szczegółowoHipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ
WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego
Bardziej szczegółowoANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI PRACY
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36, T. 1 Barbara Batóg *, Jacek Batóg ** Unwersytet Szczecńsk ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI
Bardziej szczegółowoMinister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r.
Mnster Edukacj arodowej Pan Katarzyna HALL Mnsterstwo Edukacj arodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 arszawa Dna 03 czerwca 2009 r. TEMAT: Propozycja zmany art. 30a ustawy Karta auczycela w forme lstu otwartego
Bardziej szczegółowoOKRESOWA EMERYTURA KAPITAŁOWA ZE ŚRODKÓW ZGROMADZONYCH W OFE
OKRESOWA EMERYTURA KAPITAŁOWA ZE ŚRODKÓW ZGROMADZONYCH W OFE Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Warunk nabywana prawa do okresowej emerytury kaptałowej ze środków zgromadzonych w otwartym
Bardziej szczegółowoZapytanie ofertowe nr 4/2016/Młodzi (dotyczy zamówienia na usługę ochrony)
Fundacja na Rzecz Rozwoju Młodzeży Młodz Młodym ul. Katedralna 4 50-328 Wrocław tel. 882 021 007 mlodzmlodym@archdecezja.wroc.pl, www.sdm2016.wroclaw.pl Wrocław, 24 maja 2016 r. Zapytane ofertowe nr 4/2016/Młodz
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład
STATYSTYKA Wnosowane statystyczne to proces myślowy polegający na formułowanu sądów o całośc przy dysponowanu o nej ogranczoną lczbą nformacj Zmenna losowa soowa jej rozład Zmenną losową jest welość, tóra
Bardziej szczegółowoAnaliza struktury zbiorowości statystycznej
Analza struktury zborowośc statystycznej.analza tendencj centralnej. Średne klasyczne Średna arytmetyczna jest parametrem abstrakcyjnym. Wyraża przecętny pozom badanej zmennej (cechy) w populacj generalnej:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoPRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE WYBRANYCH WSKAŹNIKÓW POZIOMU ŻYCIA MIESZKAŃCÓW MIAST ŚREDNIEJ WIELKOŚCI A SYSTEM LOGISTYCZNY MIASTA 1
METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XI/2, 2010, str. 102 111 PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE WYBRANYCH WSKAŹNIKÓW POZIOMU ŻYCIA MIESZKAŃCÓW MIAST ŚREDNIEJ WIELKOŚCI A SYSTEM LOGISTYCZNY MIASTA 1
Bardziej szczegółowoNowe ujęcie ryzyka na rynku kapitałowym
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO nr 80 Fnanse, Rynk Fnansowe, Ubezpeczena nr 65 (014) s. 745 753 Nowe ujęce ryzyka na rynku kaptałowym Jerzy Tymńsk * Streszczene: Artykuł przedstawa nowe ujęce
Bardziej szczegółowoPodstawy statystyczne i uniwersalna funkcjonalność scoringu
Podstawy statystyczne unwersalna funkcjonalność scorngu Leszek Boguszewsk Barbara Gelńska Przy Katedrze Statystyk Unwersytetu Gdańskego II edycja Konferencj Naukowej Interdyscyplnarne wykorzystane metod
Bardziej szczegółowoKlasyczne miary efektywności systemu bonus-malus
Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Anna Jędrzychowska Ewa Poprawska Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Głównym celem wprowadzena systemu bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych
Bardziej szczegółowoBADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20
Darusz Letkowsk Unwersytet Łódzk BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG0 Wprowadzene Teora wyboru efektywnego portfela nwestycyjnego zaproponowana przez H. Markowtza oraz jej rozwnęca
Bardziej szczegółowo35-105 Rzeszów, Tel +48 17 740 00 38 fax +48 17 740 00 18. www.bmm.com.pl
2015,,Zdolność uczena sę szybcej od swojej konkurencj może być długotrwałą przewagą, BMM Sp. z o.o. 35-105 Rzeszów, jaką nad nm posadasz. Are de Gaus ul. Przemysłowa 4a Tel +48 17 740 00 38 fax +48 17
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH
Metrologa Wspomagana Komputerowo - Zegrze, 9-22 05.997 WSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH dr nż. Jan Ryszard Jask, dr nż. Elgusz Pawłowsk POLITECHNIKA lubelska
Bardziej szczegółowoZestaw przezbrojeniowy na inne rodzaje gazu. 1 Dysza 2 Podkładka 3 Uszczelka
Zestaw przezbrojenowy na nne rodzaje gazu 8 719 002 262 0 1 Dysza 2 Podkładka 3 Uszczelka PL (06.04) SM Sps treśc Sps treśc Wskazówk dotyczące bezpeczeństwa 3 Objaśnene symbol 3 1 Ustawena nstalacj gazowej
Bardziej szczegółowo