Pobrane z czasopisma Annales H - Oeconomia Data: 01/06/ :19:23

Transkrypt

1 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma DOI:0.795/h ANNALES UNIVERSITATIS MARIAE CURIE-SKŁODOWSKA LUBLIN POLONIA VOL. L, 4 SECTIO H 206 Unwersytet Łódzk. Wydzał Ekonomczno-Socjologczny szymanska@un.lodz.pl Zastosowane modelu Bühlmanna-Strauba do estymacj stawek składk netto w systemach bonus-malus ubezpeczeń odpowedzalnośc cywlnej posadaczy pojazdów mechancznych The Applcaton of Bühlmann-Straub Model to the Estmaton of Net Premum Rates n the Motor Thrd-Party Lablty Insurance of Vehcle Owners Słowa kluczowe: teora najwększej warygodnośc; model Bühlmanna-Strauba; system bonus-malus; stawk składk netto; ubezpeczene odpowedzalnośc cywlnej posadaczy pojazdów mechancznych Keywords: credblty theory; Bühlmann-Straub model; bonus-malus system; net premum rates; motor thrd-party lablty nsurance Kod JEL: G22; C; C5 Wstęp W ubezpeczenach komunkacyjnych OC proces kalkulacj składk jest złożony z dwóch etapów: taryfkacj a pror a posteror. Perwszy z nch to wyznaczene składk netto za pomocą metod aktuaralnych na podstawe znanych ubezpeczycelow czynnków ryzyka, nazywanych podstawowym zmennym taryfkacyjnym [Ostasewcz (red.), 2000]. Tak wyznaczona składka, powększana m.n. o koszty dzałalnośc ubezpeczenowej dodatek bezpeczeństwa, stanow tzw. składkę bazową. Drug etap taryfkacj polega na uwzględnenu w składce bazowej zwyżek znżek uzależnonych od ndywdualnych czynnków ryzyka ubezpeczonego. Jednym z elementów taryfkacj a posteror, powszechne stosowanym w Europe, są systemy

2 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma bonus-malus [Lemare, 995, s. 3]. Systemy te różncują składkę w zależnośc od lczby szkód zgłoszonych przez ubezpeczonego w poprzednm okrese ubezpeczena. Na polskm rynku ubezpeczycele oferują systemy bonus-malus różnące sę pod względem lczby klas, stawkam składk oraz regułam przejśca mędzy klasam systemu [Szymańska, 204, s. 43]. Oprócz wspomnanych systemów bonus-malus zakłady ubezpeczeń mogą stosować nne znżk zwyżk w składce, uzależnone od dodatkowych zmennych taryfkacyjnych, takch jak np. wek ubezpeczonego, czas posadana prawa jazdy, posadane lub ne dzec do lat 2, zawód ubezpeczonego, wek samochodu, używane samochodu do celów zarobkowych, posadane lub ne nnego ubezpeczena w tej samej frme, kontynuacj ubezpeczena td. Kraje Europy używają newelu (z reguły od jednego do czterech) podstawowych zmennych taryfkacyjnych. Najwęcej państw (wśród nch Polska) jako główny czynnk taryfkacj stosuje rejon rejestracj pojazdu oraz pojemność slnka. Najczęścej wykorzystywanym w taryfkacj w Europe zmennym dodatkowym są: wek ubezpeczonego, używane pojazdu w celach komercyjnych oraz wek samochodu. Celem pracy jest zaproponowane metody estymacj stawek składk systemu bonus-malus opartej na metodze najwększej warygodnośc oraz porównane oszacowanych zwyżek znżek składk ze stosowanym w badanym towarzystwe ubezpeczenowym. Do estymacj składk najwększej warygodnośc wykorzystano model Bühlmanna-Strauba. Przykład zastosowana metody zaprezentowano na podstawe danych uzyskanych z jednego towarzystwa ubezpeczenowego funkcjonującego na polskm rynku, które zastrzegło sobe anonmowość.. Kalkulacja składk ubezpeczenowej metodą warygodnośc Nech X j oznacza całkowtą kwotę wypłaconych odszkodowań (lub lczbę roszczeń) dla -tego ubezpeczonego (-tej podgrupy) w j-tym roku trwana ubezpeczena. Załóżmy, że ubezpeczycel posada obserwacje x j, =,...,N, j=,...,t, będące realzacjam zmennych losowych X j. Kwoty wypłat x,t+ w roku t+ ne są znane. Załóżmy, że dla każdego rozkład zmennej losowej X j zależy od parametru θ oraz że zmenne losowe X j przy danym Θ = θ są nezależne mają jednakowy rozkład. Wektor losowy X = ( X,..., X t ) oznacza ndywdualną hstorę ubezpeczena dla polsy (-tej podgrupy) w portfelu złożonym z N pols (podgrup). Celem ubezpeczycela jest określene, jaka pownna być składka netto w roku t+ dla kontraktu (-tej podgrupy), jeżel znany jest wektor x = ( x,..., xt ). Zakładając równoważność roszczeń składek, składka netto m(θ ) dla kontraktu (-tej podgrupy) jest określona wzorem: ( Θ θ ) m( θ = () ) = E X, t+

3 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma ZASTOSOWANIE MODELU BÜHLMANNA-STRAUBA DO ESTYMACJI STAWEK SKŁADKI NETTO 499 Poneważ ne znamy wartośc parametru θ, to wartość składk netto jest neznana. Składka oblczona jako średna ważona ze składk dla całego portfela, czyl tzw. t składk kolektywnej oraz ndywdualnej składk x = x j t j= o postac: m θ ) = Z x + ( Z )µ (2) ( nazywa sę składką warygodnośc dla -tego kontraktu (-tej podgrupy), gdze Z [0,] jest współczynnkem warygodnośc [Kowalczyk, Poprawska, Ronka- -Chmelowec, 2006, s. 89]. Estymator zmennej X,t+ nazywa sę predyktorem tej zmennej, natomast wartość predyktora nazywa sę prognozą dla X,t+ na podstawe obserwacj x,..., xt. Podstawą teor warygodnośc jest bayesowska analza statystyczna z kwadratową funkcją straty [Krzyśko, 997, s. 42]. Jednym z zadań teor warygodnośc jest wyznaczene wartośc współczynnka warygodnośc Z. Mała wartość współczynnka oznacza, że składka kolektywna jest bardzej warygodna dla ubezpeczycela nż składka ndywdualna. Współczynnk Z jest w przyblżenu równy, gdy hstora szkód dla danej polsy czy grupy pols jest długa wykazuje małą zmenność w czase lub gdy kontrakty (grupy pols) są bardzo zróżncowane mędzy sobą pod względem hstor szkód. Hstoryczne perwszym modelem teor warygodnośc był model Bühlmanna [Bühlmann, 967], w którym zakłada sę, że portfel pols można podzelć na N podgrup, z których każda zawera jednakową lczbę pols, dla których dostępne są dane o szkodach z t okresów. 2. Model Bühlmanna-Strauba Model Bühlmanna-Strauba to zmodyfkowany model Bühlmanna, w którym lczba pols wchodzących w skład poszczególnych podgrup portfela ne mus być jednakowa oraz który uwzględna wag kontraktów w portfelu. Lczba pols równeż może sę zmenać okresowo [Denut n., 2007, s. 26]. Model znajduje swe zastosowane szczególne, gdy pojedyncza polsa lub mała podgrupa pols w znaczący sposób różn sę pod względem proflu ryzyka od pozostałych. Jest to model klasyfkacj jednoczynnkowej. Model uwzględna wag (tzw. wolumen ryzyka) w j zmennych losowych X j. Jeżel zmenna losowa X j oznacza średną arytmetyczną z w j zmennych losowych nezależnych o jednakowych rozkładach, to lczby w j są wagam naturalnym. Aktuarusz może jednak ustalć własne wag, które ne muszą być lczbam naturalnym. W modelu tym hstore ubezpeczena mogą być różnej długośc t dla różnych kontraktów. Strukturę danych w modelu prezentuje tab..

4 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma Grupy pols 2 Tab.. Struktura danych w modelu Bühlmanna-Strauba Lata ubezpeczena 2... t x x 2... w w 2 x 2 x w 2 w N Źródło: [Jasulewcz, 2005]. x N w N x N2 w N2... Jak już wcześnej przyjęto, nech X = ( X,..., X t ) będze wektorem obserwacj welkośc szkód (lub lczby szkód) dla -tej polsy (-tej podgrupy pols) przez t ostatnch lat, a zmenna losowa Θ, reprezentuje strukturę ryzyka w portfelu. Założena modelu Bühlmanna-Strauba [Bühlmann, Straub, 970]: dla danego oraz Θ =θ zmenne losowe X,...,X t są nezależne oraz: E(X j θ ) = m(θ ) (3) Var( X j 2 ( θ s ) θ ) = (4) w j dla =,...,N, j=,...,t, przy czym stałe w j są znane. Pary (Θ, X ),...,(Θ N, X N ) są wzajemne nezależne oraz zmenne losowe Θ,..., Θ N są nezależne mają jednakowe rozkłady. Nech będą dane: średna wysokośc szkody dla -tej podgrupy pols: x t w t x 2t w 2t x Nt w Nt (5) średna wysokość szkody dla całego portfela: (6) parametry struktury ryzyka w portfelu: gdze: μ kolektywna składka netto, która jest średną ważoną z ndywdualnych składek netto m( θ ) φ opsuje przecętną zmenność roszczeń w grupe (zmenność wewnątrz grupy) ψ opsuje zmenność roszczeń mędzy grupam (7)

5 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma ZASTOSOWANIE MODELU BÜHLMANNA-STRAUBA DO ESTYMACJI STAWEK SKŁADKI NETTO 50 Można wykazać, że jeżel spełnone są założena modelu Bühlmanna-Strauba, to [Kass n., 200, s. 44; Johansson, Ohlsson, 200]: najlepszy nejednorodny lnowy predyktor m = E( X n + X ) składk netto m Θ ) w sense najmnejszego błędu średnokwadratowego jest postac: ( gdze współczynnk zaufana wynos wψ Z =. wψ + ϕ najlepszy jednorodny lnowy predyktor m składk netto m( Θ ) w sense najmnejszego błędu średnokwadratowego jest postac: wψ gdze współczynnk zaufana wynos Z = oraz wψ + ϕ. Można wykazać, że jeżel spełnone są założena modelu Bühlmanna-Strauba, to neobcążone estymatory parametrów struktury w portfelu są postac [Kass n., 200, s. 57]: gdze: SSW = N, ϕˆ MSW, (0) = N = t j= j j 2 w ( X X ) ważona suma kwadratów odchyleń wewnątrz grup SSW MSW = średna ważona suma kwadratów odchyleń wewnątrz grup ( t ) N (8) (9) ważona suma kwadratów odchyleń mędzy grupam SSB MSB = średna ważona suma kwadratów odchyleń mędzy grupam N Jeżel spełnone są założena modelu Bühlmanna-Strauba, to błędy średnokwadratowe jednorodnego nejednorodnego predyktora zaufana składk netto m( Θ ) wynoszą odpowedno [Daykn, Pentänen, Pesonen,994, s. 86]: MSE MSE 2 = E( m( Θ ) m ) = ( Z )ψ () = E( m( Θ ) m ) dla =,..., N. 2 = ( Z Z ) ψ + (2) Z

6 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma Przykład zastosowana modelu do oszacowana stawek składk systemu bonus-malus Badane empryczne przeprowadzono na podstawe danych pochodzących z portfela ubezpeczeń odpowedzalnośc cywlnej posadaczy pojazdów mechancznych osób fzycznych z okresu kolejnych czterech lat. Do badana wylosowano ponad 00 tys. pols dla każdego z analzowanych lat (ne podano dokładnej lczebnośc próby ze względu na anonmowość danych). W dalszej częśc opracowana próbę będzemy nazywać portfelem. Dane w postac zagregowanej o średnej lczbe wartośc wypłaconych odszkodowań według klas bonus-malus prezentują tab Podzał ubezpeczonych na klasy bonus-malus jest zgodny z klasyfkacją ubezpeczycela. Wyodrębnona lczba szkód oraz podzał na klasy według wartośc wypłacanych odszkodowań jest spójny z taryfkacją ubezpeczycela. W tab. 2 przedstawono system bonus-malus badanego towarzystwa ubezpeczenowego (neznaczne zmodyfkowany w celu zachowana anonmowośc zakładu ubezpeczeń). System ten składa sę z 0 klas, w tym trzech ze zwyżką składk sześcu ze znżką składk. Ubezpeczen są przydzelan do poszczególnych klas w danym roku na podstawe lczby szkód zgłoszonych w roku poprzednm. Tab. 2. System bonus-malus badanego towarzystwa ubezpeczenowego Klasa BM Stawka składk (%) Klasa BM w zależnośc od lczby szkód w roku Źródło: opracowane własne. Na rys. przedstawono średn udzał w badanych latach ubezpeczonych w poszczególnych klasach bonus-malus. Najwększą grupę (87%) w badanym okrese stanowl ubezpeczen posadający 60-procentową znżkę składk (czyl przypsan do klasy perwszej systemu, w której stawka składk wynosła jej 40%). W klase drugej trzecej znajdowało sę odpowedno 4% 3% ubezpeczonych. W każdej z klas zwyżkowych udzał ubezpeczonych w każdym z badanych lat stanowł ponżej %. Na rys. 2 przedstawono średną lczbę szkód w klasach bonus-malus w badanych latach. W analzowanym okrese można zaobserwować zróżncowane średnej lczby szkód w poszczególnych klasach. Na ogół najwększa szkodowość jest ob-

7 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma ZASTOSOWANIE MODELU BÜHLMANNA-STRAUBA DO ESTYMACJI STAWEK SKŁADKI NETTO 503 3% %%2% 2% 0% 0% 0% 4% Rys.. Struktura ubezpeczonych średno w badanych latach według klas bonus-malus w portfelu ubezpeczeń komunkacyjnych OC (%) Źródło: opracowane własne. średna lczba szkód w klase BM 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0,080 0,060 0,040 0,020 87% , rok Rys 2. Średna lczba wypłaconych odszkodowań w portfelu ubezpeczeń komunkacyjnych OC w badanych latach według klas bonus-malus Źródło: opracowane własne. serwowana w klasach zwyżkowych oraz ze stawką równą 00% składk, natomast najnższa w perwszej klase systemu. Na rys. 3 5 przedstawono strukturę portfela pod względem wartośc wypłaconych odszkodowań w poszczególnych klasach bonus-malus. Z rys. 3 wynka, że w portfelu najwęcej jest szkód o wartośc od do 3 tys. zł (średno w badanych latach około 4%), następne szkód do tys. zł (średno około 8%), potem szkód od 3 do 5 tys. zł (średno około 7%) oraz szkód od 5 do 0 tys. zł (średno około 3%). Odszkodowana do 0 tys. zł stanową przecętne w badanych latach 89% wypłat w portfelu. Frakcja

8 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma pozostałych wypłat wynos średno %. Należy jednak podkreślć, że przecętna suma wypłat z wymenonych 89% pols wynos około 246 tys. roczne, a z pozostałych % pols to ponad 300 tys. zł roczne. Analzując rys. 4, można stwerdzć, że struktura wypłat w perwszej klase systemu (około 87% pols portfela) jest bardzo zblżona do struktury wypłat w portfelu. Około 33% szkód portfela w każdym z badanych lat to szkody od do 3 tys. zł, zgłaszane w klase perwszej, czyl klase z maksymalną znżką. Średna wartość wypłaconego odszkodowana w każdej z klas znżkowych to około 5,6 tys. zł. Klasa ze stawką składk równą 00% składk bazowej oraz klasy zwyżkowe są w wększym stopnu zróżncowane pod względem średnej wartośc wypłat (por. rys. 5). Na rys. 4 przedstawono średną wartość wypłaconych odszkodowań w wyodrębnonych klasach bonus-malus. średn udzał pols w prtfelu [%] Rys. 3. Struktura pols w portfelu według wartośc wypłaconych odszkodowań (średno w badanych latach) (%) Źródło: opracowane własne. udzał pols w klase BM[%] Rys. 4. Struktura wypłaconych odszkodowań w klase bonus-malus w portfelu ubezpeczeń komunkacyjnych OC w badanych latach Źródło: opracowane własne ,64 (0,] (0,] (,3] 40,62 (,3] (3,5] 6,47 (5,0] 3,2 (0,20] 6,43 (20,30] (30,40] wartość odszkodowana [tys.zł] 2,20 0,90 0,45 0,97 0,20 (3,5] (5,0] (0,20] (20,30] (30,40] wartość odszkodowana [tys.zł] (40,50] (40,50] (50,00] (50,00] (00,200] (00,200] 2 3 4

9 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma ZASTOSOWANIE MODELU BÜHLMANNA-STRAUBA DO ESTYMACJI STAWEK SKŁADKI NETTO 505 Rys. 5. Średna wartość wypłaconych odszkodowań w portfelu ubezpeczeń komunkacyjnych OC w badanych latach według klas bonus-malus Źródło: opracowane własne. W ubezpeczenach komunkacyjnych ndywdualna składka netto w okrese t+ jest wyznaczana na podstawe równana [Szymańska, 204]: gdze: Π ( X, K) ndywdualna składka netto w okrese t+ EX wartość oczekwana pojedynczej szkody w portfelu EK wartość oczekwana lczby szkód dla pojedynczej polsy w portfelu b stawka składk w okrese t + t+ średna wartość odszkodowana [tys.zł] W lteraturze aktuaralnej zakłada sę nezależność mędzy zmennym losowym lczby wartośc szkód. Celem pracy jest wyznaczene współczynnka b t+ stanowącego zwyżkę lub znżkę składk zależną od klasy bonus-malus. Składk netto oszacowano za pomocą modelu Bühlmanna-Strauba. Modele oparte na teor warygodnośc ne wymagają założeń co do postac rozkładu zmennej losowej opsującej welkość ndywdualnej szkody w portfelu oraz wartośc parametrów tego rozkładu. Składkę warygodnośc wyznaczono jako loczyn oczekwanej wartośc wypłat oszacowanej za pomocą modelu Bühlmanna-Strauba w poszczególnych klasach bonus-malus (na podstawe danych z tab. 3) oraz oczekwanej lczby szkód oszacowanej równeż na podstawe modelu Bühlmanna-Strauba (tab. 5). Rozważono dwa przypadk: gdy składka warygodnośc jest jednorodnym predykatorem oraz gdy jest nejednorodnym predykatorem składk netto. W tab. 4 6 przedstawono wynk estymacj. Stawk składk w poszczególnych klasach bonus-malus oblczono jako loraz składk netto w danej klase bonus-malus składk netto w portfelu: K m m bt + = (4) K m portf m portf * K * * m m bt + = * K * (5) m m portf klasa BM portf (3)

10 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma Wartośc składek netto oraz stawek składk netto przedstawono w tab. 7. Tab. 3. Średna wartość wypłaconego odszkodowana [tys. zł] w portfelu według klas bonus-malus w badanych latach j (rok) (klasa X BM) j [tys. zł] w j [%] X j [tys. zł] w j [%] X j [tys. zł] w j [%] X j [tys. zł] w j [%] 5,67 80,76 5,68 84,00 5,57 8,39 4,85 82,8 2 6,85 6,32 6,3 5,60 5,73 3,6 4,45 5,77 3 6,3 2,90 5,34 2,5 7,3 4,48 5,52 3,43 4 4,94,84 5,42,53 5,40 2, 5,87,65 5 5,5,34 5,2,39 5,79,62 4,79,83 6 5,76 2,60 5,2,6 6,8 2,03 5,84 2,5 7 7,08 4,08 6,63 3,65 6,32 4,67 5,8 2,52 8 8,60 0,06 3,83 0,05 3,06 0,05 3,2 0,05 9 2,00 0,08 7,50 0,0,20 0,03 5,06 0, ,00 0,0 0,50 0,0 3,50 0,0 7,75 0,0 X j średna wartość wypłaconego odszkodowana w -tej grupe w okrese j w tys. zł; w j udzał pols w -tej grupe portfela w okrese j w (%) Źródło: opracowane własne. Tab. 4. Współczynnk warygodnośc, oczekwana wartość szkód wyznaczona metodą warygodnośc (tys. zł) oraz błąd estymacj dla klas bonus-malus Z m [tys. zł] m [tys. zł] MSE [tys. zł] MSE [tys. zł] 0,7856 5,46 5,43 0, , ,845 5,63 5,52 0, , ,326 5,72 5,60 0, , ,0748 5,62 5,49 0, , ,066 5,6 5,48 0, , ,0878 5,65 5,52 0, , ,434 5,75 5,63 0, , ,0022 5,63 5,49 0, , ,007 5,63 5,50 0, , ,0004 5,64 5,50 0, , Źródło: opracowane własne. (klasa BM) Tab. 5. Średna lczba szkód w portfelu według klas bonus-malus w badanych latach j (rok) K j w j [%] K j w j [%] K j w j [%] K j w j [%] 0,04 84,97 0,042 88,20 0,043 86,55 0,036 86,72 2 0,052 5,37 0,054 4,49 0,059 2,79 0,050 4,5 3 0,055 2,36 0,053,80 0,059 3,50 0,047 2,78 4 0,052,54 0,054,9 0,06,59 0,044,49 5 0,055,3 0,054,0 0,055,3 0,052,37

11 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma ZASTOSOWANIE MODELU BÜHLMANNA-STRAUBA DO ESTYMACJI STAWEK SKŁADKI NETTO 507 j (rok) (klasa BM) ,056 2,06 0,064, 0,069,36 0,060,63 7 0,075 2,50 0,079 2,07 0,077 2,85 0,07,43 8 0,047 0,04 0,05 0,02 0,093 0,02 0,056 0,03 9 0,67 0,02 0,037 0,0 0,063 0,02 0,066 0,03 0 0,07 0,0 0,000 0,0 0,000 0,0 0,07 0,0 K j średna lczba szkód w -tej grupe w okrese j; w j udzał pols w -tej grupe portfela w okrese j (%) Źródło: opracowane własne. Tab. 6. Współczynnk warygodnośc, oszacowana metodą warygodnośc lczba szkód oraz błąd estymacj dla klas bonus-malus Z K m K m MSE MSE 0,9980 0,0404 0,0404 0, , ,9592 0,0534 0,0529 0, , ,9404 0,0540 0,0532 0, , ,8940 0,0532 0,057 0, , ,8788 0,0542 0,0525 0, , ,8959 0,069 0,0605 0, , ,9265 0,0743 0,0733 0, , ,430 0,0584 0,0467 0, , ,050 0,0587 0,0464 0, , ,0476 0,0558 0,0428 0, , Źródło: opracowane własne. Uwzględnając równana (3) oraz (8) (9), wartość składk netto (składk warygodnośc) wyznaczono odpowedno z wzorów: Π X (6) K (, K) = m m bt + X (7) K Π (, K) = m m bt + Wartośc składek warygodnośc oraz stawek składk netto przedstawono w tab. 7. Klasa BM Tabela 7. Składk warygodnośc oraz stawk składk netto według klas bonus-malus Składka warygodnośc [tys. zł] K m m m m K Stawka składk b t+ b t+ 0, ,2894 0,69 0,93 2 0,3003 0,2985 0,95,24 3 0, , ,97,27 4 0, , ,94,2 5 0, , ,96,23 6 0,3500 0,33432,0,42 7 0, ,4228,34,76

12 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma Klasa BM Składka warygodnośc [tys. zł] K m m m m K Stawka składk b t+ b t+ 8 0, ,25629,03,09 9 0, ,25497,04,09 0 0,3459 0, ,99,00 portfel 0,3794 0,23473,00,00 Źródło: opracowane własne. Podsumowane Wyznaczone metodą warygodnośc stawk składk w poszczególnych klasach bonus-malus różną sę znaczne od stosowanych w analzowanym towarzystwe ubezpeczenowym. Oszacowane stawk są wyższe nż stosowane przez ubezpeczycela w klasach znżkowych, natomast nższe w klasach zwyżkowych. Z analz wynka, że maksymalna znżka pownna wynosć 30%. Klasa sódma, która w badanym towarzystwe ubezpeczenowym jest klasą ze stawką 00% składk, w przeprowadzonych analzach pownna być klasą ze zwyżką składk, wynoszącą co najmnej 30% składk. Należy jednak zwrócć uwagę na małe wartośc współczynnków warygodnośc przy estymacj wartośc szkód we wszystkch klasach bonus-malus oprócz perwszej. Bblografa Bühlmann H., Experence Ratng and Credblty, ASTIN Bulletn 967, No. 4 (3). Bühlmann H., Straub E., Glaubwürdgket für Schadensätze, Mttelungen der Verenngung schezerscher Vescherungsmathematker 970. Daykn C.D., Pentänen T., Pesonen M., Practcal Rsk Theory for Actuares, Chapman & Hall, London 994. Denut M., Marechal X., Ptrebos S., Walhn J.F., Actuaral Modellng of Clam Counts. Rsk Classfcaton, Credablty and Bonus-Malus Systems, Wley & Sons, England 2007, DOI: Jasulewcz H., Teora zaufana. Modele aktuaralne, Wydawnctwo AE m. Oskara Langego we Wrocławu, Wrocław Johansson B., Ohlsson E., Non-lfe Insuranse Prcng wth Generalzed Lneał Models, Spnger-Verlag, Berln 200. Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denut M., Modern Actuaral Rsk Theory, Kluwer, Boston 200. Kowalczyk P., Poprawska E., Ronka-Chmelowec W., Metody aktuaralne, PWN, Warszawa Krzyśko M., Statystyka matematyczna, cz. 2, Wydawnctwo Naukowe UAM, Poznań 997. Lemare J., Bonus-malus Systems n Automoble Insurance, Kluwer, Boston 995, DOI: Ostasewcz W. (red.), Modele aktuaralne, Wydawnctwo AE m. O. Langego we Wrocławu, Wrocław Szymańska A., Statystyczna analza systemów bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych, Wydawnctwo UŁ, Łódź 204.

13 Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma ZASTOSOWANIE MODELU BÜHLMANNA-STRAUBA DO ESTYMACJI STAWEK SKŁADKI NETTO 509 The Applcaton of Bühlmann-Straub Model to the Estmaton of Net Premum Rates n the Motor Thrd-Party Lablty Insurance of Vehcle Owners One of the elements used n the process of tarff calculaton of premums n motor lablty nsurance s a bonus-malus system. Ths systems takes nto account the clams rato by means of ncreases and dscounts of the base premum called net premum rates. The am of ths work s to propose an estmaton method of the net premum rates n the groups of the motor thrd-party lablty nsurance portfolo of ndvduals. One of the maxmum lkelhood models, called the Bühlmann-Straub model was used for the premum estmaton. Zastosowane modelu Bühlmanna-Strauba do estymacj stawek składk netto w systemach bonus-malus ubezpeczeń odpowedzalnośc cywlnej posadaczy pojazdów mechancznych Jednym z elementów procesu taryfkacj w ubezpeczenach odpowedzalnośc cywlnej posadaczy pojazdów mechancznych jest system bonus-malus. Uwzględna on w składce szkodowość ubezpeczonego przez zwyżk znżk składk bazowej, nazywane stawkam składk netto. Celem pracy jest zaproponowane metody estymacj stawek składk netto w klasach bonus-malus portfela ubezpeczeń komunkacyjnych OC osób fzycznych. Do szacowana składk wykorzystano jeden z model teor najwększej warygodnośc tzw. model Bühlmanna-Strauba. Powered by TCPDF (