ANALIZA WYBRANYCH METOD OCENY SYSTEMÓW BONUS-MALUS

Transkrypt

1 Anna Jędrzychowska Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Wydzał Zarządzana, Informatyk Fnansów Katedra Ubezpeczeń Ewa Poprawska Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Wydzał Zarządzana, Informatyk Fnansów Katedra Ubezpeczeń ANALIZA WYBRANYCH METOD OCENY SYSTEMÓW BONUS-MALUS Streszczene: Głównym celem wprowadzena systemu bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych było uzyskane narzędza do właścwego dopasowywana wysokośc składek ubezpeczenowych do pozomu ryzyka przyjmowanego przez zakłady ubezpeczeń. System ten jest obecne rozpowszechnony w krajach całej UE. Nestety coraz częścej pojawają sę głosy, ż jego efektywność ne zawsze kształtuje sę na zadowalającym pozome. Celem artykułu będze krótke przyblżene metod oceny systemów bonus-malus oraz wskazane kluczowych obszarów funkcjonowana systemu, które podlegają w nch ocene. Artykuł ma charakter przeglądowy. Zebrane krótke scharakteryzowane metod oceny systemów bonus-malus może pomóc osobom je analzującym w wyborze metody najwłaścwszej do konkretnego przypadku. Metody te bowem mają swoje ogranczena, założena oraz specyfczne uwarunkowana co do danych, na których sę operają. Słowa kluczowe: system bonus-malus, składka ubezpeczenowa, ubezpeczena komunkacyjne. Wprowadzene Systemy bonus-malus są systemam klasyfkacj ubezpeczonych w zależnośc od ndywdualnej hstor szkodowośc, są węc systemam a posteror 1. Ubezpeczen są przydzelan do klas o różnej wysokośc składek w zależnośc od lczby 1 Określene bonus oraz malus ne dotyczy wyłączne klas taryfkacyjnych, lecz jest równeż stosowane jako synonm zwyżk oraz znżk.

2 120 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska zgłoszonych w poprzednm okrese szkód oraz klasy, w jakej znajdowal sę w poprzednm okrese. Systemy te mają zatem dwe zasadncze funkcje: perwszą zróżncowane składek dla mało wysoko szkodowych klentów, tj. dopasowane składk do ndywdualnego ryzyka (funkcja taryfkacyjna) oraz drugą oddzaływane na szkodowość poprzez zachęcane ubezpeczonych do unkana szkód (funkcja prewencyjna). Ponadto pełną funkcję marketngową mają przycągać mało szkodowych klentów. Systemy bonus-malus są charakterystyczne dla rynku ubezpeczeń komunkacyjnych, przede wszystkm obowązkowego OC. W welu krajach, w tym także w Polsce, stosuje sę je równeż przy ubezpeczenu autocasco 2. Obecne systemy bonus-malus są stosowane w welu krajach, jednak podejśce do ch formy jest bardzo różne: od systemów kształtowanych całkowce dowolne przez ubezpeczycel, przez systemy częścowo regulowane przez ustawodawcę, aż do całkowce uregulowanych prawne 3. W Polsce jest stosowane rozwązane pośredne ustawodawca określł tylko wysokość dolnej znżk za bezszkodowość. 1. Konstrukcja systemów bonus-malus Proces ustalana składk dla każdego klenta przebega w systeme bonus- -malus następująco: 1. Klenc są wstępne klasyfkowan na podstawe czynnków a pror 4 ; jest dla nch ustalana wysokość składk podstawowej. 2. Operając sę na charakterystycznym dla danego systemu algorytme ustala sę w jakej klase taryfowej pownen znaleźć sę dany klent na podstawe klasy w jakej znajdował sę w poprzednm okrese oraz lczby szkód zgłoszonych w mnonym okrese. 3. Każdej klase jest przypsany odpowedn współczynnk (stawka, pozom składk) określający jak procent składk podstawowej pownen płacć klent; dla klas znżkowych jest to współczynnk mnejszy od 1, dla klas zwyżkowych wększy od Współczynnk ten jest wykorzystywany do korygowana ustalonej wcześnej na podstawe czynnków a pror składk podstawowej (ostateczna składka to loczyn współczynnka składk podstawowej) Nektóre zakłady ubezpeczeń podjęły równeż próbę wprowadzena systemu bonus-malus w ubezpeczenach meszkań (np. w Polsce TUR Allanz). Przykładowo system belgjsk do 2002 r. był w pełn narzucany ustawowo. W ubezpeczenach komunkacyjnych są to najczęścej czynnk, które można podzelć na: dotyczące kerowcy, dotyczące pojazdu, cel użytkowana pojazdu, osoby upoważnone do użytkowana pojazdu, pozostałe.

3 Analza wybranych metod oceny systemów bonus-malus Pojęce efektywnośc systemu bonus-malus Punktem wyjśca oceny systemów bonus-malus trzeba uczynć ocenę, na le spełnają swoją podstawową funkcje, tj. różncowane składek dla klentów o różnym proflu szkodowośc. Należy zatem ocenć, czy klenc o różnym prawdopodobeństwe wystąpena szkody płacą stotne różne składk po ustalonym czase funkcjonowana w systeme. Przy analze tego zagadnena pojawają sę kolejne pytana: jaką składkę pownno sę brać pod uwagę: średną składkę, składkę najbardzej prawdopodobną, składkę docelową, składkę najnższą dla klentów o określonym pozome ryzyka tp., co oznacza składka stotne różna czy może być to np. różnca w średnch składkach przekraczająca arbtralne przyjęty pozom, po jakm czase te składk pownny sę wyraźne różnć, czy okres np. pęcoletn jest wystarczający, czy też pownno sę analzować systemy bonus- -malus w horyzonce dłuższym, np. 20- czy 30-letnm. Kolejnym aspektem jest wrażlwość systemu na wystąpene szkód, czyl jak dotklwe system karze za pojedynczą szkodę za szkody kolejne. Owa dotklwość pownna być zwązana z różncą pomędzy składką, jaką płacłby klent, gdyby ne wystąpła u nego szkoda a składką w przypadku zgłoszena szkody. System bonus-malus pownen bowem karać za szkodę tak, aby klent, któremu przytrafła sę pojedyncza szkoda ne rezygnował z usług danego ubezpeczycela, szukając tańszej oferty u konkurencj (ne pownen odstraszać klentów, ale być atrakcyjnym dla klentów o nskm pozome ryzyka wystąpena szkody). System mus być też jednak możlwe odporny na asymetrę nformacj (zatajane szkód, fałszywe nformacje o znżkach w poprzednch zakładach), czyl pownen być tak skonstruowany, by szybko wyłapywał klentów, których faktyczna szkodowość jest znaczne wyższa od deklarowanej. Różncowane składek dla klentów, a węc konstrukcja systemu bonus- -malus, ma wpływ na wynk technczne osągane przez ubezpeczycel. Aspekt ten równeż pownen być zatem poddany ocene. System bonus-malus jest także jednym z elementów wpływających na atrakcyjność oferty ubezpeczycela, przekłada sę bowem na wysokość składek zarówno w beżącym, jak w przyszłych okresach. Warto też przyjrzeć sę tym elementom, które czyną go atrakcyjnym dla klenta. Jednym z podstawowych jest jego czytelność zrozumałość. System ne może być zatem nadmerne rozbudowany posadać zbyt złożonych reguł przejśca z klasy do klasy. Drugm z elementów jest jego atrakcyjność w momence pozyskwana nowego klenta, czyl jaką składkę oferuje sę klentom bez żadnej hstor szkodowośc oraz czy znżk wypracowa-

4 122 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska ne w nnym zakładze ubezpeczeń są uznawane, a także to, w jakej klase znajdze sę nowy klent 5. Trzec element, powązany z drugm, to atrakcyjność systemu po klku okresach ubezpeczena. Składać sę mogą na ną take elementy, jak beżąca znżka, perspektywa znalezena sę w klase o najwyższych znżkach w cągu najblższych lat lub też zagrożene znalezena sę w klasach malus. 3. Metody oceny systemów bonus-malus proponowane w lteraturze Przy analze systemów bonus-malus podstawową kwestą jest określene prawdopodobeństwa pojawena sę k szkód 6 w cągu roku dla pojedynczego ubezpeczonego. Do aproksymacj rozkładu lczby roszczeń (zmennej losowej K) często wykorzystuje sę rozkład Possona. Model ten jest równeż uzasadnony merytoryczne w odnesenu do pojedynczego ubezpeczonego. W odnesenu do portfel ubezpeczonych, przede wszystkm tam, gdze założene o homogencznośc portfel ne jest spełnone, jest stosowany model oparty na rozkładze ujemnym dwumanowym [Daykn, Pentkänen, Pesonen, 1994, s ]. W pracy przyjęto założene upraszczające, że lczba szkód ma rozkład Possona z parametrem λ. Aby scharakteryzować system bonus-malus, koneczna jest znajomość: klas taryfowych C, gdze = 1, K, s, a s oznacza lczbę klas, klasy początkowej, do której trafa nowy klent, C, 0 stawek w poszczególnych klasach b = ( b, K 1, b s ), algorytmu zmany klas uzależnonego od lczby zgłoszonych szkód Mary oparte na teor procesów Markowa W rozważanach teoretycznych do analzy systemu bonus-malus często zakłada sę, że proces przesuwana ubezpeczonego z klasy do klasy zgodne z zdefnowanym systemem jest jednorodnym łańcuchem Markowa o skończo- 5 6 W Polsce dość powszechną praktyką jest ch przejmowane od współwłaśccela pojazdu. Pozwala to osobe będącej krótko w systeme, poprzez wspólne ubezpeczene samochodu z osobą, która dłużej przebywa w systeme ma korzystnejszy pozom znżek, na szybke uzyskane znżk w składce. Systemy bonus-malus w wększośc krajów są oparte na lczbe szkód zgłoszonych w poprzednm okrese. Jedynym krajem, w którym system ten jest oparty na wartośc szkód jest Korea, gdze szkody majątkowe są podzelone na dwe klasy zależne od ch wysokośc, natomast szkody osobowe podzelono aż na 14 klas [za: Lemare, 1998], jednak wydaje sę, że analza dla tego systemu może być prowadzona w analogczny sposób, z wyjątkem zmany rozkładu na rozkład zawerający prawdopodobeństwa wystąpena szkody o wartośc z określonego przedzału.

5 Analza wybranych metod oceny systemów bonus-malus 123 nej lczbe stanów (za stan przyjęta jest każda klasa, w której znajduje sę polsa) 7. Do podstawowych założeń, jake są koneczne do przyjęca, należy założene o nezmennośc macerzy prawdopodobeństw przejśca, a zatem równeż rozkładu lczby szkód. Podstawowym parametrem tego rozkładu jest średna szkodowość, która mus być stała. Warto pamętać, że jest to slne założene, nekoneczne spełnone w praktyce. Średna szkodowość danego ubezpeczonego w praktyce może sę zmenać w czase z uwag na wzrost dośwadczena kerowcy, zmanę samochodu na lepszy, bezpecznejszy, zmanę ndywdualnych cech kerującego, takch jak zmnejszane sę z wekem skłonnośc do brawury oraz czynnk, take jak stan dróg czy warunk pogodowe. W tab. 1 są zestawone charakterystyk poszczególnych mar, które zostaną szczegółowo scharakteryzowane w dalszej częśc artykułu. 7 Warto zaznaczyć, że ne wszystke systemy bonus-malus są procesam Markowa. W nektórych systemach, np. belgjskm, są wprowadzane dodatkowe reguły, które powodują, że w perwotnej forme proces przejść mędzy klasam ne zależy tylko od położena ubezpeczonego lczby szkód w poprzednm okrese [za: Lemare, 1998].

6 Tabela 1. Zestawene wybranych metod oceny efektywnośc systemów bonus-malus Metoda Formuła Ops wzoru Średna asymptotyczna składka (stacjonarny przecętny pozom B ( λ ) ( ) składk) Względny stacjonarny przecętny pozom składk RSAL ( λ ) Modyfkacja RSAL Współczynnk zmennośc składek po n okresach RSAL funkcjonowana systemu V ( n ; λ ) Mara łącznej zmennośc systemu Efektywność ogólna elastyczność średnej składk względem pozomu ryzyka Łączna elastyczność (total 2 s = a λ b = = ( ) = 1 ( B ( λ ) mn ( b ) ) ( max ( b ) mn ( b )) ( B ( λ ) mn ( b ) ) = ( b mn ( b )) λ gdze 0 0 ( b B ( n ; λ )) 2 a ( λ ) = 1 B ( n ; λ ) s n n ( TV ) = p ( λ ) ( λ ) j ( λ ) = n j a d B db 1 ( ) ( ) B ( λ ) = B ( λ ) λ λ λ λ η ( λ ) = elastcty) η = η ( λ ) g ( λ ) d Efektywność zależna od klasy startowej ( ) 0 ( ) ( λ ) λ v' λ gdze ( λ ) μ λ = λ v λ gdze b oznacza składkę w -tej klase (RSAL relatve statonary average level) b to składka początkowa gdze B ( n;λ ) jest przecętną składką po n latach funkcjonowana systemu p oznacza prawdopodobeństwo przejśca z klasy C do klasy Cj po dokładne n okresach funkcjonowana systemu v strumeń zdyskontowanych (na początek ubezpeczena) oczekwanych płatnośc ponoszonych przez ubezpeczonego j s ' j 124 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska

7 cd. tabel Stosunek oczekwanych k m b wartośc znżek zwyżek m E ( t ) = t q E ( t ) = t q w klasach taryfkacyjnych m E ( t ) E ( t ) gdze: to numer klasy taryfowej (łączne klasy malus (0,1,2,, k) bonus = 0 = (k + 1, k + 2,, s) b E ( t ) l b m 9. E ( t ) E ( t ) oczekwana wartość zwyżk w -tej klase malus = k + 1 b E ( t ) oczekwana wartość znżk w -tej klase bonus q prawdopodobeństwo równowag dla -tej klasy Wartość oczekwana czasu przejśca po raz perwszy z klasy -tej do j-tej Średn względny przyrost prawdopodobeństwa pozostana lub powrotu ubezpeczonego do strefy malus systemu t wartość zwyżk lub znżk w -tej klase taryfkacyjnej ( m ) T ( m ) = P [ T m ] p gdze: p m j prawdopodobeństw, to klasa startowa, a j docelowa, F = p ( m ) ( m ml = W p j j ) (m) zawartych w macerzach przejśca w m latach (m) gdze: p ml prawdopodobeństwo, że ubezpeczony po m latach wcąż będze w strefe malus lub do nej powróc numer -tej klasy malus j numery kolejnych klas malus, w tym j = W waga dla -tej klasy malus M Źródło: Opracowane własne na podstawe lteratury tematu., j Analza wybranych metod oceny systemów bonus-malus 125

8 126 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska 3.2. Mary oparte na rozkładze stacjonarnym Klka mar efektywnośc systemów bonus-malus opera sę na rozkładze stacjonarnym procesu. Wśród ch wad można wymenć to, że są oparte na modelach, których założena ne zawsze są spełnone w rzeczywstośc, m.n. ne uwzględnają zmany częstośc szkód (parametru λ) w czase. Ponadto dla nektórych systemów bonus-malus stan stacjonarny ne jest osągany albo okres dochodzena do rozkładu wystarczająco zblżonego do rozkładu stacjonarnego jest bardzo dług. Zalety to natomast przede wszystkm prosta zrozumała konstrukcja. Dla rozkładu stacjonarnego można oblczyć wektor zawerający prawdopodobeństwa znalezena sę w każdej z klas taryfowych w długm horyzonce a λ = a λ,, a λ 8. czasowym (po osągnęcu stanu stacjonarnego) ( ) [ ( ) ( )] 1 K Metoda 1 średna asymptotyczna składka B ( λ) przecętna składka, jaką w długm horyzonce czasowym (po osągnęcu przez system stacjonarnośc) płac klent o ustalonym pozome szkodowośc. Jest to średna ważona przecętnych ndywdualnych składek stacjonarnych. Mara ta może służyć zarówno do analzy pojedynczego systemu (jeżel B ( λ ) = λ system składek uważa sę za uczcwy, jeżel B ( λ ) > λ, składk są zawyżone, gdy B ( λ ) < λ zanżone), jak porównywana systemów mędzy sobą (system z wyższym pozomem B ( λ) będze przynosł wyższy oczekwany zysk z pojedynczej polsy, będze jednak droższy dla klenta). Mara ta, jeżel ma służyć porównywanu systemów, pownna być analzowana z uwzględnenem tego, że wartość składk podstawowej w różnych systemach może sę różnć, zatem wyznaczene średnej stacjonarnej składk jako procent składk podstawowej ne określa jeszcze, który system jest tańszy, a który droższy. Ponadto należy pamętać, że za 100% składk podstawowej może być przyjęty dowolny pozom, nekoneczne składka płacona przez ubezpeczonych w klase wstępu (klent na wejścu do systemu może płacć np. składkę podwyższoną). Na dodatek w zwązku z honorowanem znżek wypracowanych przez ubezpeczonych u nnych ubezpeczycel, klasa wstępu dotyczy tylko ubezpeczonych bez żadnej hstor szkodowośc. Metoda 2 względny stacjonarny przecętny pozom składk (RSAL relatve statonary average level). Mara ta przyjmuje wartośc z przedzału [0;1], gdze najnższej możlwej składce przyporządkowuje sę wartość 0, a najwyższej 1. s 8 Elementy wektora ( λ) a można nterpretować jako prawdopodobeństwa znalezena sę w długm horyzonce czasowym w danej klase bądź też jako frakcję czasu pozostawana klenta w danej klase taryfowej.

9 Analza wybranych metod oceny systemów bonus-malus 127 Wskaźnk ten określa pozycję przecętnego ubezpeczonego o pozome szkodowośc λ w długm okrese (po osągnęcu przez system stanu stacjonarnego). Określa zatem ne tyle jak procent składk podstawowej płac przecętny klent, ale gdze na skal rozpętośc całego systemu sę on znajduje. Jedną z wad mernka jest to, że na wysokość RSAL bardzo duży wpływ ma wysokość maksymalnej zwyżk w systeme ustalanej w dużej merze w tak sposób, aby była dotklwą dla bardzo szkodowych klentów 9, ponadto w nektórych systemach (np. norwesk) w ogóle ne określa sę maksymalnej zwyżk, co powoduje, że RSAL ne może być wyznaczony. Ze względu na ostatną uwagę wprowadza sę modyfkację RSAL (Metoda 3), która powoduje, że mara jest nemożlwa do oblczena tylko dla systemów, w których klasą startową jest klasa najnższa 10. Metoda 4 współczynnk zmennośc składek płaconych przez ubezpeczonego. Może być mernkem soldarnośc mędzy ubezpeczonym 11. Pomocna może być analza zarówno zman jego wartośc w czase dla zadanego pozomu λ 12, jak jego zależność od pozomu parametru λ, co może służyć jako narzędze porównywana systemów mędzy sobą. 9 W Polsce według Ustawy o ubezpeczenach obowązkowych UFG PBUK art. 5 zakład ubezpeczeń ne może odmówć zawarca umowy ubezpeczena obowązkowego, jeżel w ramach swojej dzałalnośc prowadz dzałalność obejmującą te ubezpeczena jedynym sposobem pozbyca sę bardzo szkodowego klenta jest znechęcene go bardzo wysoką składką. Przed wejścem w życe tej ustawy Rozporządzene Mnstra Fnansów z dna 9 grudna 1992 r. w sprawe ogólnych warunków obowązkowego ubezpeczena odpowedzalnośc cywlnej posadaczy pojazdów mechancznych za szkody powstałe w zwązku z ruchem tych pojazdów (Dz.U nr 96 poz. 475, uchylone) określało maksymalną wysokość zwyżek składk na 160% składk podstawowej, co skutkowało ustalanem składek podstawowych na wysokm pozome konstruowanem systemów bonus-malus tak, aby klenc o nskej szkodowośc szybko trafal do klas o wysokch znżkach po to, by w ten sposób pozostawć możlwość ukarana szkodowych klentów wysoką składką, a jednocześne dla nsko szkodowych klentów meć możlwość ustalena składk na konkurencyjnym pozome. W przypadku welu ubezpeczycel taka konstrukcja systemów bonus-malus funkcjonuje równeż obecne. W nektórych krajach UE ubezpeczycele ne posadają pełnej swobody taryfkacj składek. Przykładowo we Francj osoba, która jest zobowązana wykupć ubezpeczene OC, a której zakład ubezpeczeń odmawa zawarca umowy ubezpeczena (np. z powodu wysokej szkodowośc), może zwrócć sę do odpowednej nstytucj (burean centrale de tarfcaton), aby skalkulowała ona składkę adekwatną do ryzyka. Wtedy ubezpeczycel jest zobowązany sprzedać ubezpeczene w cene wyznaczonej przez tę nstytucję. 10 Take systemy w praktyce ne występują. 11 Przy braku ubezpeczena współczynnk zmennośc strat, na jake jest narażony ubezpeczony równy jest współczynnkow zmennośc szkód, jake mogą wystąpć; w przypadku ubezpeczena braku zróżncowana składek współczynnk zmennośc płatnośc dokonywanych przez ubezpeczonego wynos 0. W przypadku systemów bonus-malus jest to wartość pomędzy tym skrajnoścam. 12 Zwykle współczynnk zmennośc w perwszym roku wynos zero, wzrasta do momentu osągnęca maksymalnej znżk, a następne spada do momentu osągnęca stacjonarnośc.

10 128 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska Metoda 5 mara łącznej zmennośc systemu [Bonsdorff, 1992; Lemare, 1998, s ]. Jest to suma odchyleń od wektora stacjonarnego po n okresach funkcjonowana systemu. Merzy jak szybko system staje sę zblżony do stacjonarnego oraz na le sę od swego docelowego stanu różn po n latach funkcjonowana. Może być to mara wrażlwośc systemu na występujące szkody przesunęca z klasy do klasy. Pozostaje dyskusyjne jake są pożądane wartośc tej mary. Z jednej strony system pownen mocno reagować na wystąpene szkód, z drugej przy zbyt dużej wrażlwośc system umeszcza ubezpeczonych w odpowednch dla nch klasach dopero po bardzo długm czase, co wydaje sę sprzeczne z deą systemu 13. Przeważne systemy mało rozbudowane, o newelu klasach, stablzują sę szybko, te bardzej złożone znaczne wolnej 14. Wskaźnk ten może być wykorzystywany do analzy wpływu modyfkacj dokonywanych w konstrukcj systemu 15 na tempo jego stablzowana sę. Metoda 6 elastyczność systemu mar reakcj systemu na zmanę częstośc szkód. Pozwala określć w jakm stopnu kerowcy o różnym pozome ryzyka są ocenan przez system. W dobrze skonstruowanym systeme bonus-malus wysokość składk pownna być rosnącą funkcją szkodowośc, w dealnym przypadku pownna być to funkcja lnowa, czyl η ( λ) = 1. Oznacza to, że ze wzrostem względnego ryzyka wystąpena szkody o jedną jednostkę (np. jeden punkt procentowy), względny przyrost składk pownen być tak sam, np. jeżel jeden klent charakteryzuje sę wskaźnkem częstośc szkód równym 0,1, natomast nny 0,11, to drug z klentów pownen płacć składkę wyższą o 10%. W wększośc funkcjonujących na śwece systemów bonus-malus elastyczność jest jednak mnejsza nż jeden [Szymańska, 2008, s ]. W lteraturze można znaleźć badana wskazujące na to, że na marę efektywnośc systemu bardzo duży wpływ ma wysokość maksymalnych zwyżek. Wśród wad tej mary najważnejszą jest brak uwzględnena struktury portfela. Z tego względu wprowadzana bywa mara opsana nżej. 13 Jeżel system dopero po 30 latach umeszcza ubezpeczonych o danym pozome szkodowośc w odpowednch dla nch klasach, to oznacza, że przez ponad połowę przecętnego czasu byca kerowcą ubezpeczony ne jest dobrze klasyfkowany, ponadto żaden z systemów bonus- -malus ne funkcjonuje w nezmenonej forme aż tak długo, zatem zbyt wrażlwe systemy ne mogą w realach rynkowych dobrze spełnać swej funkcj taryfkacyjnej. 14 W lteraturze [np. Lemare, 1995] można znaleźć wynk oblczeń dokonanych dla systemów dzałających w różnych krajach. Dla systemów prostych TV przyjmuje małe wartośc już po klku latach funkcjonowana systemu (np. system funkcjonujący na Tajwane już po 3 latach osąga bardzo nske wartośc TV dla λ = 0,1), dla systemów bardzej złożonych, z weloma klasam oraz złożonym regułam przejśca, wskaźnk ten przyjmuje wysoke wartośc nawet po 30 latach funkcjonowana systemu (dla przykładu system belgjsk dla λ = 0,1 po 30 latach ma wartośc na pozome 20% wartośc początkowych nawet po 60 latach ne stablzuje sę). 15 Np. zmany takch elementów, jak lczba klas, klasa startowa, zasady przejśca (np. czy uzależnać zmanę klasy od jednej szkody, czy rozwjać system do zależnośc od 5 szkód).

11 Analza wybranych metod oceny systemów bonus-malus 129 Metoda 7 łączna elastyczność. Możlwa do wyznaczena, gdy znana jest funk- g λ ). Jest ona cja struktury portfela funkcja gęstośc parametru λ (funkcja ( ) łączną wartoścą elastycznośc systemu przy zadanej strukturze portfela, zależy węc ona od tego, jak welu dobrych złych klentów ma ubezpeczycel. Interpretacja zastosowane mary jest zatem podobne do mary poprzednej. Metoda 8 efektywność zależna od klasy startowej [Szymańska, 2008, s ]. Pozwala ocenć jak szybko kerowcy trafają do klas odpowadających pozomow ryzyka, jak reprezentują. Ich wysokość jest zależna od klasy startowej. W lteraturze proponuje sę też mernk, które uwzględnają ne tylko samą analzę rozkładu prawdopodobeństwa równowag. Wszystke one operają sę na prawdopodobeństwe stanu równowag q, które można nterpretować w następujący sposób: z jakm prawdopodobeństwem ( q ) przy dostateczne długm funkcjonowanu systemu bonus-malus wylosowany klent znajduje sę w klase. Ponżej zostaną zaprezentowane trzy z cząstkowych wskaźnków opartych na prawdopodobeństwe stanu równowag: Metoda 9 stosunek oczekwanych wartośc znżek zwyżek w klasach taryfkacyjnych [Gwzdała, 2011, s ]. Mernk ten pozwala uwzględnać dwe dodatkowe kweste, tj. fakt, że systemy różną sę mędzy sobą lczbą klas taryfowych wartoścam przyznawanych bonusów malusów. Mernk ten jest lorazem oczekwanej wartośc zwyżek dla klas malus oczekwanej wartośc znżek dla klas bonus oblczonych dla stanu równowag systemu. Interpretacja tego wskaźnka jest następująca: m wartość wskaźnka bardzej przekracza wartość 1 (czyl zwyżk stawk znacząco pokrywają znżk), tym system uchodz za bardzej rygorystyczny. Warto zwrócć uwagę, że rzeczywśce tak skonstruowany mernk ujmuje dwa aspekty, którym mogą sę różnć systemy bonus-malus: lczbę klas wartość zwyżek/znżek stawk podstawowej. Przykładowo: podnesene zwyżek, przy pozostałych warunkach nezmenonych, zwększy wartość mernka, podobne jak, równeż przy nezmenonych pozostałych warunkach, lkwdacja nektórych klas bonusowych. Mernk ten jest łatwy w nterpretacj, uwzględna też strukturę portfela. Wśród wad wymena sę wysok pozom ogólnośc mernka (jest to mocno zagregowana mara). Ponadto wskaźnk ten trac na znaczenu dla systemów funkcjonujących dostateczne długo, aby klenc bezszkodow zagneźdzl sę w klase o najwyższym pozome składk; taka sytuacja zanża mocno wartość wskaźnka.

12 130 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska Metoda 10 wartość oczekwana czasu przejśca po raz perwszy z klasy -tej do j-tej [Gwzdała, 2011, s ]. Ocenę dzałana efektywnośc systemu można też przeprowadzć pod kątem tego, jak szybko od wejśca do systemu klent dostane sę do upatrzonej przez sebe klasy docelowej. Wybór klasy docelowej może być dowolny, nemnej najczęścej klenc pożądają najwyższych możlwych znżek. Zadane zatem sprowadza sę przede wszystkm do wyznaczena rozkładu tej zmennej. Jej zaletą jest to, że pozwala dokonać analzy systemu dla zarówno pojedynczego klenta, jak w ujęcu całoścowym w zakładze ubezpeczeń. Jej wadą jest fakt, że merzy tylko perwsze przejśce klenta po systeme. Ne jest zatem użyteczna do pomaru efektywnośc dla klenta, który dokonał zmany ubezpeczycela, a po pewnym czase powrócł do dotychczasowego. Metoda 11 średn względny przyrost prawdopodobeństwa pozostana lub powrotu ubezpeczonego do strefy malus systemu [Gwzdała, 2011, s ]. Klent może też badać efektywność systemu, zadając sobe pytane o to, z jakm prawdopodobeństwem pozostanę lub trafę do klasy zwyżkowej, jeśl jeszcze rok pozostanę w tym systeme. W tym celu należy wylczyć prawdopodobeństwo pozostana danego ubezpeczonego w beżącej klase bądź przejśca do klas o wyższych pozomach składk w cągu m lat. W efekce dla kolejnych coraz dłuższych okresów otrzymuje sę wartośc prawdopodobeństwa dla każdej klasy malus. Nech będą one oznaczone przez: ( m) p = p j gdze: p prawdopodobeństwo, że polsa z -tej klasy malus w nej pozostane lub (m) przejdze do nnej klasy malus w cągu m lat, numer rozważanej klasy malus, j kolejne numery stnejących klas malus, w tym j =. Z punktu wdzena postawonego problemu, bardzej nteresujące jest jednak prawdopodobeństwo łączne dla wszystkch klas malus. Wartość ta może posłużyć do wylczena prawdopodobeństwa, że ubezpeczony po m latach wcąż będze w strefe malus lub do nej powróc. Używa sę do tego systemu ( m) j

13 Analza wybranych metod oceny systemów bonus-malus 131 wag 16, polczonego z uwzględnenem prawdopodobeństwa równowag, według formuły: q W = q j j gdze: W waga dla -tej klasy malus. Ostateczne prawdopodobeństwo, że ubezpeczony po m latach wcąż będze w strefe malus lub do nej powróc będze wyrażone przez: p ( m) ml = j (m) gdze p ml prawdopodobeństwo, że ubezpeczony po m latach wcąż będze w strefe malus lub do nej powróc. W przypadku wększośc systemów bonus-malus mowa będze o przecętnym zmnejszanu sę wartośc prawdopodobeństwa. System można określć jako bardzej rygorystyczny, m wększy będze średn przyrost względny dla oszacowanej funkcj regresj. Uogólnając, mernk ten pozwala ustalć w jakm stopnu klasy malus systemu są zdolne do utrzymywana do przycągana ubezpeczonych, a ścślej w jakm tempe tę zdolność tracą [Gwzdała, 2011, s ]. Jest on zatem użyteczny dla dentyfkacj tych klentów, którzy mogą zostać łatwo przejęc przez konkurujące zakłady ubezpeczeń, gdyż mogą ocenać on za coraz mnej pewne utrzymane swoch znżek w systeme tego zakładu, w którym są obecne. Jest to oczywstą zaletą tego mernka. Jego wadą jest natomast fakt oparca go na danych agregowanych. W p ( m) j 3.3. Inne mary modele Wele model opartych na nch mar jest wyznaczanych w oparcu o oblczena dokonywane na podstawe symulacj, zatem trudno podać ch wzory, przedstawona będze tylko dea ch konstrukcj. Wynk technczny z dzałalnośc ubezpeczenowej [Szymańska, 2008, s ] Metoda polega na przeprowadzenu symulacj przy różnych założenach co do rozkładu lczby szkód (najczęścej ujemny dwumanowy), welkośc szkód 16 Jeśl ubezpeczen rozkładalby sę równomerne pomędzy klasy malusowe, wówczas wystarczyłoby zsumowane prawdopodobeństw p po, a następne podzelene otrzymanej wartośc (m) przez lczbę klas malus.

14 132 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska (zwykle rozkład gamma), długośc funkcjonowana systemu. Wynk technczny jest lczony jako różnca pomędzy wysokoścą zebranych składek a wysokoścą wypłaconych odszkodowań śwadczeń. Tak slne lczne założena koneczne przy jej stosowanu są jej dużą wadą, choć na pewno ułatwają operacje matematyczne. Często też przyjmuje sę założene dotyczące struktury szkodowośc w portfelu, ale ne uwzględna sę zman częstotlwośc szkód w czase dla poszczególnych ubezpeczonych, co wpływa przeceż na strukturę szkodowośc w portfelu. Za wadę uznaje sę też założene zamknętego portfela pols, czyl założene braku możlwośc uceczk z systemu do nnego zakładu ubezpeczeń. Przecętny pozom retencj (zatrzymana) Jest to wysokość szkody, ponżej której ubezpeczony ne jest skłonny do jej zgłaszana ze względu na utratę znżek wskaźnk ten najwygodnej jest wyznaczać ne kwotowo, lecz jako procent składk podstawowej. Efektem ubocznym funkcjonowana systemu bonus-malus jest zjawsko nazywane w lteraturze łaknenem znżek (hunger of bonus). Wąże sę ono z oparcem systemów bonus-malus na lczbe, a ne wartośc szkód. Ubezpeczen rezygnują ze zgłaszana drobnych szkód po to, by unknąć przenesena do wyższych klas taryfowych utraty znżek w kolejnych latach. Zjawsko to jest dla ubezpeczycel korzystne, gdyż w ten sposób unkają on kosztów zwązanych z lkwdacją drobnych szkód 17. Konstrukcja systemu pownna być jednak wyważona tak, aby ne skłanała do pokrywana z własnej keszen zbyt wysokch szkód (ne może być to sposób na wprowadzane ukrytego udzału własnego w szkodze), gdyż może to skłanać do unkana odpowedzalnośc za szkody, np. poprzez uceczkę z mejsca wypadku. Wartość optymalnego pozomu retencj wyznacza sę na podstawe symulacj, przyrównując zdyskontowaną oczekwaną wartość przyszłych płatnośc bez oraz ze zgłoszenem szkody 18. W symulacjach można założyć neskończony horyzont czasowy lub też ogranczyć rozważana do skończonej lczby lat. Trzeba też założyć określoną wartość czynnka dyskontującego. Wysokość optymalnego pozomu retencj zależy od klasy, w której znajduje sę ubezpeczony, częstośc szkód, momentu wystąpena szkody w cągu roku (zwykle zakłada sę, że 17 Podobne zadane spełna franszyza ntegralna, która jednak mus być ścśle określona w ogólnych warunkach ubezpeczena; ubezpeczony może także z nej zrezygnować płacąc w zaman zazwyczaj neco wyższą składkę. W przypadku efektu łaknena znżk, efekt ten pozostaje właścwe poza kontrolą ubezpeczycela, a jest wplecony w konstrukcję systemu. 18 Zdyskontowana oczekwana wartość przyszłych płatnośc bez zgłoszena szkody równa jest wysokośc szkody oraz zdyskontowanych oczekwanych przyszłych składek bez utraty znżk za zgłoszene szkody, natomast zdyskontowana oczekwana wartość przyszłych płatnośc po zgłoszenu szkody równa jest zdyskontowanym oczekwanym przyszłym składkom z utratą znżk za zgłoszene szkody.

15 Analza wybranych metod oceny systemów bonus-malus 133 szkody występują np. w połowe roku) oraz dotychczas zgłoszonych w cągu roku szkód. Z oblczeń, jake można znaleźć w lteraturze [por. Lemare, 1998, s ], wynka, że pozom retencj jest najnższy dla klas z wysokm znżkam, najwyższy dla klasy podstawowej, następne maleje dla klas zwyżkowych, co jest zgodne z ntucją 19. Mernk ten w pewnym sense pokazuje to czego ne wemy czyl pozwala oszacować szkody nezgłoszone ubezpeczycelow, ponadto pozwala zmerzyć efekt uboczny systemu oszczędnośc na kosztach admnstracyjnych. Ma natomast jedną zasadnczą wadę ne berze pod uwagę możlwośc uceczk z systemu do nnego ubezpeczycela. Podsumowane Na podstawe przeglądu wybranych klkunastu metod oceny efektywnośc systemu bonus-malus, należy podkreślć, że każda z tych mar jest fragmentaryczna, ponadto ne uwzględnają one elementów jakoścowych zwązanych z procesem ubezpeczena. Główne są to mary efektywnośc taryfkacyjnej, ocenające w jakm stopnu system bonus-malus dostosowuje składkę do ndywdualnego ryzyka. Nektóre metody (np. 5) badają też pozom nerównowag systemu (m wększa nerównowaga, tym gorsze dopasowane składk do ndywdualnego ryzyka). Tylko nektóre (np. 7) uwzględnają strukturę portfela ubezpeczycel przepływu klentów mędzy systemam. Ponadto operają sę one na slnych założenach, które ne przystają w pełn do praktyk rynkowej (nezależność szkód, stałość częstośc szkód w czase tp.). W analze należy też uwzględnć specyfkę polskego rynku ubezpeczeń komunkacyjnych. Można wskazać trzy podstawowe ogranczena obcążene polskego rynku. Perwszym jest slne obcążene hstoryczne, zwązane z weloletnm monopolem jednego ubezpeczycela wcąż jeszcze slną jego pozycją 20, 19 Ubezpeczonym, którzy znajdują sę w klase o najwyższej znżce zgłoszene szkody groz podnesenem składk tylko na jeden okres ubezpeczena, o le późnej ne spowodują już szkód. Ubezpeczen z klas o wysokch znżkach będą zatem raczej skłonn do zgłaszana szkód, gdyż dla nch konsekwencje są newelke. W przypadku ubezpeczonego znajdującego sę w klase podstawowej zgłoszene szkody wąże sę z przejścem do klasy zwyżkowej, co w wększośc systemów bonus- -malus skutkuje wększym wzrostem składk w kolejnym okrese (w wększośc systemów znżk w kolejnych klasach różną sę od sebe o 10 p.p., natomast zwyżk są zdecydowane wększe, np. 50 p.p.). Dla ubezpeczonych znajdujących sę w maksymalnych klasach zwyżkowych, zgłoszene szkody już ne będze skutkowało płacenem dużo wyższej składk nż dotychczas, gdyż, poza systemem norweskm, systemy bonus-malus mają skończoną lczbę klas zwyżkowych. 20 W 2003 r. udzał PZU w przypse składk dzału II wynosł aż 60,6%. Pommo corocznego obnżana sę jego pozomom, PZU wcąż zbera najwęcej składk w całym dzale, w 2013 r. było to 32,5%. Po perwszym pół roku 2013 r. PZU wcąż poberało samodzelne około 1/3 wartośc przypsu składk w ubezpeczenach komunkacyjnych w Polsce.

16 134 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska co powoduje, że systemy bonus-malus nektórych, zwłaszcza małych ubezpeczycel, są wzorowane na rozwązanach stosowanych przez zakład ubezpeczeń o domnującej pozycj na rynku. Ponadto występujące jeszcze nedawno problemy z przepływem nformacj pomędzy ubezpeczycelam o hstor szkodowośc klentów oraz brak uznawana znżek wypracowanych u nnego ubezpeczycela były powodem slnego przywązana klentów do danego zakładu ubezpeczeń ogranczało przepływ klentów mędzy ubezpeczycelam. Po druge oferowane w Polsce produkty ubezpeczenowe sprzedawane przez ubezpeczycel wchodzących w mędzynarodowe grupy kaptałowe to często kope produktów z wększych rynków, przez co produkty są nedostosowane do polskch warunków. Po trzece w Polsce zasady funkcjonowana ubezpeczena OC kerowców, przez to, że jest to ubezpeczene obowązkowe, reguluje Ustawa o ubezpeczenach obowązkowych, UFG PBUK, która jest zbeżna z rozwązanam Dyrektyw KE. Najwększym ogranczenem w funkcjonowanu systemu bonus-malus jest brak możlwośc odmówena klentow zawarca ubezpeczena obowązkowego przez zakład ubezpeczeń, który prowadz sprzedaż pols w tym obszarze (art. 5, par. 2 Ustawy). Powoduje to, że jedyne pozomem składk zakład może takego klenta znechęcć do zakupena polsy, co skutkuje rozbudowywanem klas zwyżkowych w systemach bonus-malus oraz ustalanem składk podstawowej na wysokm pozome. Taka sytuacja slne rzutuje na to, jak funkcjonuje system bonus-malus dla ubezpeczeń OC. Lteratura Bonsdorff H. (1992), On the Convergence Rate of Bonus-malus Systems, ASTIN Bulletn, Vol. 22, No. 2, s Daykn C.D., Pentkänen T., Pesonen H. (1994), Practcal Rsk Theory for Actuares, Chapman & Hall, London. Gwzdała Ł. (2011), Możlwośc analzy systemów bonus-malus w śwetle procesów Markowa [w:] Ronka-Chmelowec W. (red.), Ubezpeczena wobec wyzwań XXI weku, Wydawnctwo Naukowe UE, Wrocław. Lemare J. (1995), Bonus-malus Systems n Automoble Insurance, Kluwer, Boston. Lemare J. (1998), Bonus-malus Systems: The European And Asan Approach to Mert Ratng, North Amercan Actuaral Journal Socety of Acutares, Vol. 2, No. 1, s , _2.pdf.

17 Analza wybranych metod oceny systemów bonus-malus 135 Szymańska A. (2008), Wybrane mary efektywnośc systemów bonus-malus ubezpeczeń komunkacyjnych OC [w:] Ubezpeczena wobec wyzwań XXI weku, Prace Naukowe Akadem Ekonomcznej we Wrocławu, nr 1127, Wydawnctwo Naukowe AE, Wrocław, s ANALYSIS OF SELECTED METHODS OF ASSESSMENT OF BONUS-MALUS SYSTEMS Summary: The man objectve of the bonus-malus n motor nsurance was to obtan tools for adjustng the amount of nsurance premums to the level of rsk transfered to nsurance companes. Ths system s currently wdespread n countres across the EU. Unfortunately, more often there are opnons that ts effectveness not always remans at a satsfactory level. The am of the artcle wll be bref dscusson of methods of assessment bonus-malus systems and dentfy key areas of the system, whch are subject to ther evaluaton. Thus, the artcle s a revew. Assembly and bref characterzaton of methods of assessment the bonusmalus systems may be used can people analyzng them n choosng the most approprate method for a partcular case. Indeed, these methods have ther lmtatons, assumptons and specfc condtons regardng the data on whch they are based. Keywords: bonus-malus systems, nsurance premum, motor nsurance.