Transkrypt

1 Analiza matematyczna (28/29) Elektronika MAT 637, Mechaniczny MAT 644 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania. Wyjątkiem są zadania oznaczone literą(p) oraz symbolem(*). Zadania oznaczone literą są proste i należy je rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką są trudniejsze. Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów. Na końcu listy zadań umieszczono zestawy zadań z I i II kolokwium oraz z egzaminuu podstawowego i poprawkowego, a także z egzaminu na ocenę celującą. Ambitnych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej Lista pierwsza. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: (a) Wrocław był stolicą Polski ; (b) liczba jest podzielna przez 9 ; (c) a 2 +b 2 =c 2 ; (e) ; 2. Napisać zaprzeczenia zdań: (a) pijępiwoioglądammeczwtvn; (b) kwadrat nie jest pięciokątem ; (d) trójkątobokach5,7,3jestostrokątny ; (f) =b 2 4ac. (c) przez Poznań przepływa Odra lub Warta ; (d) jeślifunkcjafjestrosnąca,tofunkcja fjestmalejąca ; (e) liczbajestpodzielnaprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnaprzez2orazprzez3. 3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych: (a) nieprawda,żefunkcjaf()= 2 jestrosnącana R ; (b) ( ) 44 = lub28jestliczbąparzystą ; (c) funkcjag()=sin+cos(π/2)jestokresowa,afunkcjaf()=3 3 nieparzysta ; (d) jeżeli Piotr jest ojcem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ; (e) liczba 26 jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona z końcowych trzech cyfr jest podzielna przez 8. Zadaniazaczerpniętozksiążek:Analizamatematyczna(Definicje,twierdzenia,wzory;Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy), Wstęp do analizy i algebry oraz Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą.

2 4. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: (a) =27; (b) >; (c) 2 +y 3 =; R (d) y R R R y=; (e) R R (y ) (y>); (f) y R 5. Określić i narysować dziedziny naturalne funkcji: (a)f()= ; (b)f()= R y R y R sin+cos(+y)= ; (c)f()= 8 4 ; (d)f()= Korzystając z definicji zbadać, czy podane funkcje są parzyste lub nieparzyste: (a)f()= 6 +; (b)f()= ; (c)f()= 4 + ; (d)f()=+. 7. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych przedziałach: (a)f()=+3,(, ); (b)f()= 2,(,]. Lista druga 8.Podaćwzoryfunkcjizłożonychf f,f g,g f,g gorazokreślićichdziedzinynaturalne: (a)f()=, g()=3+2; (b)f()=, g()=2 ; (c)f()=, g()= 4 ; (d)f()=, g()= Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji y = f(). y 2 y=f() Narysować wykresy funkcji: (a)y=f()+5; (b)y=f(+2); (c)y= f(); (d)y=f( ); (e)y=f()/2; (f)y=f(3); (g)y= f() ; (h)y=f( ).. Rozwiązać równania: (a) =; (b) =; (c). Rozwiązać nierówności: (a) = 5 ; (d)2 3 = ( ) 2 (2+5) ; (b) ; (c) >; +5 (d)2 3 >; 2. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych przedziałach: (a)f()=+ 3, (, ); (b)f()=, (, ). 2

3 Lista trzecia 3. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: (a)f()= + ; (b)f()=3 4 2,( 2 ); (c)f()=2 ; (d)f()=log(+2); (e)f()= 4,( ); (d)f()= 2 4,( 2). 4. Rozwiązać równania i nierówności wykładnicze: (a)2 2 3 =32; (b) =; (c)2+3 cos2 =3 sin2 ; + (d).25 <.625; (e) < ; (f) 5.(P) Korzystając z własności logarytmów obliczyć: 2 < 4. (a)log 6 3+log 6 2; (b)log 3 8 log 3 2; (c)9log ; (d)3log 2 3 log 3 4; (e)3log log 43+3log 4 2 log 4 6; (f) log 254 log 2 6 log 2 27 log Rozwiązać równania i nierówności logarytmiczne: ) (a)4log 2 =log 2 8; (b)log 4 (+4) log 4 ( )=2; (c)log 2 ( 2 6 =3+log 2 ( ); (d)log 5 (5 3)>; (e)log(3 ) log( )>log2; (f)log 2 ( 2)+log(2 3)> Rozwiązać równania lub nierówności: (a)2 +2 =3 2+ ; (b) ; (c)2 2 >5. Lista czwarta 8. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: (a) +tgα +ctgα =tgα; (b)sin4 α+cos 4 α= 2 sin2 2α; (c)tgα+ctgα= 2 sin2α ; (d)sin= 2tg(/2) +tg 2 (/2) ; Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe? (e)cos= tg2 (/2) +tg 2 (/2) ; 9. Podane funkcje wyrazić za pomocą sinusa i cosinusa wielokrotności kąta α: (a)sin 2 α; (b)cos 2 α; (c)sin 4 α; (d)cos 4 α. (f)cos4 α sin 4 α=cos2α. 2.(P) Podaj wartości wyrażeń: ( 2 (a)arcsin 2 +arccos ) 3/2 ; (b)arcctg arctg; (c)arcsin ; (d)arctg 3 arcctg 3. 2 arcsin 2.* Obliczyć: (a)sin(arccos(/3)); (b)arcctg(tg5); (c)tg(arccos(3/5)); (d)sin(arctg2). 3

4 22. Wyznaczyć dziedziny funkcji: ( ) (a)f()=arcsin(2+); (b)f()=arccos 2 +3/4 ; (c)f()=arctg + ; (d)f()=arcctg Rozwiązać równania i nierówności trygonometryczne: (a)sin+sin2=; (b)cos4=sin 2 ; (c)tg+tg2=tg3; ( ) π (d)2sin 3 3 3; (e)cos+sin 2 ; (f)ctg ctg <. Lista piąta 24. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: (a)a n = 2+sinn 3 2cosn ; (b)a n= n 3 n ; (c)a n =2 n; (d)a n = n+8 n+3; (e*)a n = n +n. 25. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: (a)a n =3 n+ 2 n ; (d)a n = n 2 6n+; 2 n (a) lim n+5 = ; (b) lim (b)a n = n2 n 2 + ; (c)a n= 7n n! ; (e)a n = 4n 2 n +3 n; (f)a n= n 2 + n. 26. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości: =; n (c) lim 3n =. 27. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: (a) lim (d) lim (g) lim 3n ; (b) lim n+4 (2n+) 3 (3n+) 5 (6n 2 +2n+) 4 ; (e) lim ( n 2 + ) n!+ ; (h) lim (2n+)(n+)! n+3 2n 2 ; n 3 +2n 2 + (c) lim n 2n 3 ; (2n ) 5 n+ 4 n ; (f) lim n 5 n 4 n+2; ( n 2 +4n+ n +2n) 2 2n n+ ; (i) lim n Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: 4n+( ) n n 2 (a) lim ; (b) lim 5n+2 n ; (c) lim n 3+cos2n; 3 n (d) lim n n 2+ n4 n3; (e) lim n +3 n ( 5 n +3n; (f) lim n n ) n 2. +n 29. Obliczyć granice z liczbą e: (a) lim (d) lim (g) lim ( + n) 3n 2 ; (b) lim ( ) 2n+ n ( 5n+ 5n ( +lnn lnn 2n ) n ; (e) lim ( 5n+2 5n+ ( 3n+ 3n ) 5n ; (c) lim ) n ; (f) lim ) lnn 2 (n+) n (n+2) n ; (h) lim (n+2) n (n+3) n. 4 ( ) n+4 5 2n ; n+3 ( ) 3n n ; 3n+

5 3. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n 2 + ( ) (a) lim n ; (b) lim n 4 3n 3 2n 2 ; (c) lim (+2n 3 n ); ( (d) lim n 2 (n+)! arctgn + n) ; (e) lim ; (f) lim n!+2 arcctgn. Lista szósta 3. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: (a) lim( ) 3 2 =8; (b) lim 3 =; (c) lim =. 32. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć: 2 2 (a) lim ; (b) lim 2 2 ; (c) lim ; ( ) (e) lim (+) 9 (2 2 +) 6;(f) lim ;(g) lim 2 +2 tg 2 + (i) lim π tg 2 +5 ; (j)lim sin 2 ; (k) lim cos Obliczając granice jednostronne obliczyć, czy istnieją granice: 2 (a) lim sgn;(b)lim ;(c)lim ;(d)lim arctg. 34.* Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości: (a) lim sin + 2=;(b)lim 2 arctg 2+cos 2 =;(c) lim 2 =. ( 2 2+) ;(h) lim 35. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć: (a) lim sin ; (d) lim 2 arctg ; ln(+ 3 ) (g) lim sin( 4) (b)lim ; 4 2 (e) lim π 2 ; (h) lim 2 cos5 cos3 ; ln ( 2 3 ) +2 (c)lim arcsin3 arctg2 ; (f)lim e 2 sin3 ; ; (i)lim π e ; (j) lim(+2) ; (k)lim[+tg(2)] ctg ; (l)lim 36. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: (a)f()= ; (b)f()= + ( ) ; (d)lim ; ; ( ; (l)lim ; 3 (c)f()= 2 9 ; (d)f()= sin ; (e)f()= ; (f)f()=22 ; (g)f()= cos e ; sin2 (h)f()= arctg; (i)f()= sin. ). 5

6 Lista siódma 37.Dobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: dla<, a + dla<, a 2 +dla<, (a)f()= a+bsindla π/2, (b)f()= (c)f()= 2 dla, b 2dla ; dla>π/2; 3 +bdla>. Naszkicować wykres funkcji z przykładu(a). 38. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj: (a)f()= dla,2 arctg dla=, (b)f()= dla, dla=; /4 dla=2; (c)f()= ln( 2 ) ln( 2 +) dla, cos (d)f()= dla, dla=; dla=. 39. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: [ (a) =,[,]; (b)sin=7, 2π, 5π ] ; (c)ln(+2)+=,[,]; 2 (d) ( + ) 7 =2,[,]; (e)3 +=3,[,]; (f)2 +8 =,[,2]. Wyznaczyć rozwiązania równania(a).25. (*)Dlaczegojedynymrozwiązaniemrównania+log 2 +3 =jest=2? Lista ósma 4. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: (a)f()= 4 ( R); (b)f()= ( );(c)f()= (>); (d)f()=sin2( R). 4. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: (a)3sin+ctg; (b)e ( 2 + ); (c) ; (d)e (3+) 2 ; ( ) (e)ln 2 + tg ( ) ; (f)e / arctg(3 );(g)ln cos 2 + ;(h) arccos( 2 ); 5 ( 3; (i) ( 2 +) 3; (j)3sin2 2 cos2 ; (k) e +) 2 (l)(sin) (<<π); (m)(arcsin+arccos) 2 ;(n)ln(2)+ln 3 ; (o)ln ; (p)e5 sin2+ πcos3. 42.(P) Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: ( ) ( ( π π (a)f()=arctg,(,f()); (b)f()=ln 2 +e,(,f()); (c)f()=tg 2, 4 4)),f ; (d)f()= 2 +,(3,f(3));(e)f()= 2 + 2, ( 2,f ( 2 )) ;(f)f()=e +(/),(,). 6

7 43.(a)Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= 4 2+5,którajestrównoległado prostejy=2+3. (b)wyznaczyćstycznądowykresufunkcjif()=,któratworzykątπ/4zosiąo. (c)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=ln,którajestprostopadładoprostej 2+6y =. (d)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=arctg,wpunkciejegoprzecięciazprostą π=4y. (e)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=sin2 cos3wpunkciejegoprzecięciaz osią Oy. 44.(a) Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 2 m. Kąt przy wierzchołku tego trójkata, zmierzony z dokładnością. rad wynosi π/3. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole tego terenu? (b) Średnica kulki metalowej, wyznaczona z dokładnością. mm, wynosi 6 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnośścią można obliczyć objętość tej kuli? (c) Do szybu puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością. s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli czas spadania kamienia wyniósł4.s?przyjąćg=9.8m/s 2. (d)wbiegunamczasmierzysięzdokładnością.s.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożna obliczyć średnią prędkość zawodniczki, jeśli uzyskała ona czas 2.5 s? Lista dziewiąta 45. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: π ln(2 +) lnsin (a) lim ; (b)lim 2 ln +9 (d) lim ; (e)lim lncos lncos3 ; (g) lim +ln; (j) lim ( ctg ) ; (k)lim (h) lim π (π )tg 2 ; ( ln + ; (c)lim arctg 2 ; (f) lim ( (i) lim + arcctg; cos 2 ) ; (l) lim +( ln) ; ) ; (m) lim ( 2 π arctg ) ; (n) lim +(+)ln ; (o) lim ( π 2) (tg)cos. 46. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: (a)f()= ; (b)f()=sin cos( 2π); (c)f()=4+ ; (d)f()= 3 3 2; (g)f()=ln 2 ; (e)f()= ; (f)f()=e 3 ; (h)f()= ln ; (i)f()=

8 Lista dziesiąta 47. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: (a)f()= ; (b)f()=+ ; (c)f()=2 ; (d)f()=(+)e ; (e)f()= ; (g)f()=ln; (f)f()= ; (h)f()= ( 3 3 ; (i)f()=2arctg ln + 2). 48. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach lub w ich dziedzinach naturalnych: (a)f()= ,[,5];(b)f()= 2 2+2,[ 2,2]; (c)f()= + 9 ; (d)f()=( 3) 2 e,[,4]; (e)f()= 9 2 [,[ 5,]; (f)f()=sin 3 6sin, π ] 2,π ; 2 (g)f()= ; (h)f()=arcsin+arccos( ). 49.(a) Jakie wymiary powinna mieć prostokątna działka podzielona na trzy parcele o powierzchniach 6m 2,4m 2 i2m 2 (rys.)tak,abyłącznadługośćogrodzeniatychparcelbyłanajmniejsza? 6m 2 4m 2 2m 2 (b) Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu km od prostoliniowego brzegu. Ropa z platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia km rurociągu na dnie morza wynosi 2 euro, a na lądzie euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Platforma wiertnicza km 6km Rafineria (c)prostopadłościennykontenermamiećpojemność22.5m 3 ikwadratowąpodłogę.kosztm 2 blachypotrzebnejdowykonaniapodłogiipokrywywynosi2zł,aścianbocznych 3zł.Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? (d) Jaki powinien być kąt α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy? α r 8

9 (e)wparabolęorównaniuy=4 2 wpisanoprostokąt,wsposóbprzedstawionynarysunku.znaleźć wymiary prostokąta, który ma największe pole. y y=4 2 Lista jedenasta 5. Obliczyć podane całki nieoznaczone: ( (a) ) 3 d; (b) (d) cos2d cos sin ; ( )d + ; (c) 4 d 2 + ; (e) d; 5.* Znaleźć wielomian najniższego stopnia, który: (f) e 3 2 d. (a)wpunkcie=maminimumlokalnewłaściwe,awpunkcie=3maksimumlokalne,aponadto wpunkcie=przyjmujewartość2; (b)dla=2mapunktprzegięciawykresu,przyczymwartośćwielomianuijegopochodnasąwtym punkcie równe odpowiednio i Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: arctg (a) e 3 d; (b) (+) 2 e d d; (c) d; (d) cos 2 ; arccosd (e) 2 sind; (f) ; (g) ln(+)d; (h) arccosd; + (i) e 2 sind; (j) sinsin3d; (k) sin3cosd; (m) sin 2 d; (n) cos 4 d; (o) 53. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: (a) (e) (i) cos +4 d; (b) d; (c) d ch ; ln d; (j) ( ln + 2) d; (p*) cosd ; (d) +sin (f) (5 3) d; (g) d; (h) e d 5sind e 2 + ; (k) 3 2cos ; (l) (l) coscos5d; ( ) sin 2 +4 d; d 2+ ; 3 e 2 d. sine d. 9

10 Lista dwunasta 54. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki: 2( ) + (a) d; (b) (d) 2 ( + 3) d; (e) 2 9 d; (c) + ( 2 ) d; (f) π/3 d 2 + ; tg 2 d. 55.* Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić równości: n 3 (a) lim n 4 = [ ( ; (b) lim cos π )] 4 n 2n +cos2π 2n +...+cosnπ = 2 2n π ; [ (c) lim n +n+ 2+n+...+ n+n n( )] = 2 ( 2 ) Metodą całkowania przez części obliczyć całki oznaczone: (a) (d) π 4 e d; (b) sin2d; (e) π 2 e 2 d; (c) (+cos)d; (f) e e ln 2 d; arcsind. 57. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień: (a) (c) (e) π 4 sine cos d,cos=t; (b) +d, +=t; (d) d ( ),=t 2 ; (f) 3 e 3 d +,+=t; lnd,ln=t; 58. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: 9 2 d,=3sint; (g) 2 ln3 e d +e 2,e =t. (a)y=2 2,+y=; (b)y= 2,y= 2 2,y=3; (c)y= 2,y=,y=4; (d)y=,y= ; (e)y=2,y=2,=; (f)ysin,y=/2,( π); (g)y=2,y= 5,y=; (h)y 4 =,y=,y=6; (i)ln,y=ln(6 ),y=; (j) + y=,=,y=; (k)4y= 2,y= ; (l)y=ln,=e,y= ; (m)y= 9 2,y=,y=2; (n)y=2,y=4,y=6; (o)y=tg,y=ctg(<<π/2).

11 Lista trzynasta 59. Obliczyć długości krzywych: (a)y=ln e + e, 2 3; (b)y=2, ; (c)y=2 3, ; (e)y=e, 2 ln2 ln3; (g)y= , 2; (h)y= lncos, π Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi: (a)t: 2, y 2 2,O; (b)t: 2 5, y 2 +4,Oy; (c)t: π 4, y tg,o; (d)t:,2 y,oy; (e)t:, y 3,Oy; (f)t: 3, y,oy; 4 (g)t: 4, y 5,O; (h)t: π 2, y sin+cos,o; (i)t: π, y sin,y=2; (j)t:, y 2,=2. 6. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów funkcji f wokół wskazanych osi: (a)f()=cos, π 2,O; (b)f()= 4+, 4 2,O; (c)f()=ln, 3,Oy; (d)f()= +, 2,Oy; (e)f()= 4 2,,O; (f)f()= ( ), 3,O; 3 (g)f()=,,oy; (h)f()= 2 9 2, 3,Oy. 62.(a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużenia(współczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L. (b)zbiornikmakształtwalcaoosipoziomej.średnicawalcad=2m,adługośćl=6m.obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do opróżnieniazbiornikaznajdujesięwjegogórnejczęści.masawłaściwawodyγ=kg/m (a)Punktmaterialnyzacząłporuszaćsięprostoliniowozprędkościąpoczątkowąv =m/s iprzyspieszeniema =2m/s 2.Poczasiet =spunkttenzacząłporuszaćsięzopóźnieniem a = m/s 2.Znaleźćpołożeniepunktupoczasiet 2 =2sodchwilirozpoczęciaruchu. (b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiedniov (t)=t+t 3,v 2 (t)=6t,gdziet.pojakimczasienastąpizderzenietych cząstek? Lista czternasta 64.(P) Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju: d (a) ( 3) 7; (b) d +5 ; (c) 5d (2 7) 3; (d) 8d 9+2.

12 65. Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: d (6+3)d (a) ; (b) ; (c) (4+2)d ; (d) 66. Obliczyć całki z funkcji wymiernych: (+2)d 2 (a) ( 2) ; (b) d + ; (c) d (4+)d (e) ( 2 +)( 2 +4) ; (f) ; (g) (5 4)d (i) ; (j) 2 d ; (k) ( )d d 4 ( ) 2; (d) d 2 9 ; 2d ; (h) d ( 2 +4) ; (l) 67. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: (a) sin 3 d; (b) sin 4 cos 3 d; (c) cos 4 d; d ( 2 4) ; d 4. (d) sin 3 cos 6 d; (e) cos 2 cos2d; (f*) sin 2 2sin 2 d. 68. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: (g) (e) d +tg sin 2 cos ; (b) cos d; (c) d +cos ; (d) d sin 5 tg ; (f) d cos 3 ; (g) d sin+tg ; (h) d +2cos 2 ; d sin+cos ;(i) d 3sin+4cos+5. Lista piętnasta* 69. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji: (a)f()=( )( 3); (b)f()=e ; (c)f()= ; (d)f()=ln (+ 2) ; (e)f()= 2; (f)f()= ln ; (g)f()=sin+ 8 sin2; (h)f()=earctg ; (i)f()= ln. 7.NapisaćwzoryTaylorazresztąLagrange adlapodanychfunkcjif,punktów orazn: (a)f()= 3, =,n=4; (b)f()= 2, =,n=2; (c)f()=sin2, =π,n=3; (d)f()=e, =,n=5. 7. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: (a)f()=sin 3 ; (b)f()=cosh; (c)f()=cos; (d)f()= e. 72. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach: (a)tg, π 2 ; (b)cos2 2,.; (c) ,.25; (d)ln( ) , <.. 2

13 73. Stosując wzór Maclaurina obliczyć: (a) e zdokładnością 3 ; (b) 3.997zdokładnością 3 ; (c)ln.zdokładnością 4 ; (d)sin.zdokładnością 5. Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane. Ikolokwium Zestaw A.Wyznaczyćwszystkieasymptotywykresufunkcjif()= n 2. Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i następnie obliczyć granicę lim 3 n+ +2 2n+. 3.Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= arctg wpunkcie = 3. ( 2 4 ) 4. Obliczyć granicę lim Zestaw B 2 sin (. Obliczyć granicę lim n 4 +n 3 + n 2). 2. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji f() = e 2 2. Następnie obliczyć jej pochodną. 3.SformułowaćtwierdzenieBolzanoiuzasadnić,żerównanie2 +=5matylkojednorozwiązanie. 4. Obliczyć granicę lim [(ln(+) ln)]. Zestaw C +a dla,.dobraćparametrya,b Rtak,abyfunkcjaf()= e dla<, byłaciągłana R. b 2 2dla< ( ) 3n+2 2n 5 2. Obliczyć granicę lim. 3n+ 3.Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=e,którajestrównoległadoprostejy=e 2. ( ln 2 8 ) 4. Obliczyć granicę lim. 3 3 Zestaw D.Znaleźćdziedzinęnaturalnąfunkcjif()=arcsin ( 2 3 ) iobliczyćf (). n 2. Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i zastosować je do obliczenia granicy lim n 3 +2n Znaleźćwszystkieasymptotyfunkcjif()= Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=e 3 wpunkcie (,e 7). 3

14 II kolokwium Zestaw A arctg. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f() = 2 + naprzedziale[,2]. 3. Całkując przez części obliczyć całkę oznaczoną 2π cos 2 d. 4.ObliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosiOfiguryograniczonejkrzywąy=sini prostąy=2/π( π/2). Zestaw B. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f() = / + ln. 2. Podać wymiary prostokątnej działki wytyczonej z obszaru w kształcie półkola o promieniu R tak, aby miała ona największe pole. 3.Przezpodstawienie=t (t )obliczyćcałkę d.następniewyznaczyćfunkcjępier- + wotną F funkcji podcałkowej spełniającą warunek F() = 2/3. 4.Obliczyćcałkęnieoznaczonąfunkcjif()=sin 4. Zestaw C.Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjig()=arctg 3 /3. 2. Oszacować dokładność wzoru przybliżonego dla.. 3.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymiy=,y=2 2 iprostą=.sporządzić rysunek. ( ) 4. Obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji f() = / Sprawdzić otrzymany wynik. Zestaw D.Wyznaczyćprzedziaływypukłościorazpunktyprzegięciawykresufunkcjif()= ln. e 3 +e Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim 2. 3.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y 2 =,+y=2.sporządzićrysunek. 4. Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arcctgd. Egzamin podstawowy Zestaw A.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y=ln, =e 2, y=.sporządzić rysunek. d 2. Metodą podstawiania obliczyć całkę Obliczyć granicę lim n 2 +9 n n 2 +4 n. 4.Wprzedziale[ 3,4]wyznaczyćwartośćnajmniejsząinajwiększąfunkcjif()=

15 5. Obliczyć granicę lim ( )sinπ. 6.Dobraćparametryp,qtak,abyfunkcjaf()= =.Narysowaćwykresotrzymanejfunkcji. Zestaw B.Znaleźćasymptotywykresufunkcjif()= ( 2) Obliczyć całkę (4+6)d { e + dla, 2 +p+qdla< miałapochodnąwpunkcie 3. Wyznaczyć granicę lim sin(2 2 )sin(3 3 ). 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji f() = sin ( π)wokółosio. sin ( 5 5 ) 5.Znaleźćprzedziałymonotonicznościfunkcjif()= 3 ln. (3n+2)(n+)! 6. Wyznaczyć granicę lim n 2. (n!+4) Zestaw C. Obliczyć całkę 2 sind. 2.Znaleźćekstremafunkcjif()=( 3)e. 3.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezkrzywe:y=3 2 6,y= Sporządzić rysunek. 4.Wyznaczyćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= 3 + 2,którajestprostopadładoprostej +2y 3=. 5.Obliczyćgranicęciągu n = n 2 +5n+2 n 2 +3n+. 6. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim +( ln). Zestaw D.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezwykresfunkcjiy=sin( π)orazprostąy=/2. Sporządzić rysunek. 2.Wyznaczyćprzedziaływypukłościipunktyprzegięciawykresufunkcjif()=(2 )e 2. 2 d 3. Obliczyć całkę Pokazać,żerównanie+ln 2=matylkojednorozwiązanie. (2 n +) ( 3 n+ +2 ) 5. Obliczyć granicę lim 6 n Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f() = 3. 5

16 Egzamin poprawkowy Zestaw A.Obliczyćgranicęciągua n =n ( n ) n 2. 2.Wyznaczyćdziedzinęnaturalną,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif()= ( ) 2. ( ) 3. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f() = 2 +2 e jestjednocześnierosnącai wypukła. 4.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoosiamiukładuwspółrzędnych,wykresemparaboliy= 2 +3 istycznądoniejwpunkcieoodciętej =3.Sporządzićrysunek. 5. Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu? ln(2arctg)d 6. Podstawiając arc tg = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę + 2. Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku. Zestaw B.Obliczyćcałkęzfunkcjiwymiernej Sprawdzićotrzymanywynik. 2.Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjif()= oraz starannie go 2 naszkicować. 3.Wyznaczyćprzedział(jeżeliistnieje),naktórymfunkcjaf()= lnjestjednocześnierosnącai wypukła. 4.Obliczyćgranicęciągu n = ( ). 2 n 2 2n + 2 n 5. Obliczyć granicę lim +tg2ln. 6.Obliczyćpoleobszaruograniczonegowykresamifunkcji:y=,y=ln,y=ln( ). Zestaw C.Wyznaczyćdziedzinęnaturalną,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif()= (+) Obliczyćgranicęciągua n = n(n+) n. ( ) 3. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f() = e jestjednocześniemalejącai wklęsła. 4.NarysowaćiobliczyćpoleobszaruograniczonegoosiąO,wykresemfunkcjiy= 3 istycznądo niegowpunkcieoodciętej =3. 5. Z kawałków blachy w kształcie koła o promieniu R wycinamy prostokątne podkładki. Wyznaczyć ich wymiary tak, aby odpady były najmniejsze. 6. Podstawiając sin = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę sincosarctgsind. Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku. 6

17 Zestaw D. Obliczyć granicę lim +ln(tg). 2.Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjig()= naszkicować. ) 3.Obliczyćgranicęciąguy n =3n( 4n 2 2n. oraz starannie go 4.Wyznaczyćprzedział(jeżeliistnieje),naktórymfunkcjag()= 3 3 +arcctg jestjednocześnie rosnąca i wklęsła. 5.Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywymi:y=ln,y=ln Obliczyć całkę z funkcji wymiernej Sprawdzićotrzymanywynik. Egzamin na ocenę celującą(luty 26 r.).pokazać,żedlapewnejliczbynaturalnejnrozwinięciedziesiętne nzaczynasięukłademcyfr26, a bezpośrednio po przecinku ma 7 siódemek. Pozostałe cyfry rozwinięcia mogą być dowolne. f ( 2) 2. Jakie wartości może przyjąć granica lim + f(),gdyfjestfunkcjąciągłąnaprzedziale[,)i dodatnią na(, )? 3. Znaleźć wielomian, który tylko w i 2 ma ekstrema lokalne właściwe(odpowiednio minimum i maksimum), a ponadto tylko w ma punkt przegięcia. 4.Niechfunkcjafbędzieciągłainieujemnanaprzedziale[a,b](a ).Wyprowadzićwzórnaobjętość bryłypowstałejzobrotuobszaru{(,y):a b, y f()}wokółosioy.korzystajączniego obliczyć objętość torusa, tj. bryły powstałej z obrotu koła o promieniu r wokół osi oddalonej o R (R>r)odjegośrodka. R r 7