Analiza Matematyczna 1 MAP1043, 1142, 1143, 3045, 3057

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna MAP43, 4, 43, 345, 357 Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 5 jednostek odpowiadających kolejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać przynajmniej jeden podpunkt z każdego zadania. Wyjątkiem są zadania oznaczone literąp) oraz symbolem*). Zadania oznaczone literąp) są proste. Te zadania należy rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką*) są trudniejsze. Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów. Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowych. W Internecie można znaleźć wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy te można wykorzystać m.in. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, znajdowania pochodnych, wyznaczania całek nieoznaczonych i oznaczonych, rozwiązywania układów równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych itp. Szczególnie polecamy stronę internetową Wolfram Alpha. Można także korzystać z darmowych programów: Maima, Microsoft Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab, a także programów płatnych: Derive, Mathematica, Matlab, Maple, Scientific WorkPlace. Wiele popularnych kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji. Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych przez studentów na sprawdzianach z matematyki. skoczylas/typowe bledy studentow.pdf Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Wrocław, wrzesień 3 Lista. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: Amsterdam jest stolicą Holandii ; b) liczba 3888 jest podzielna przez 8 ; c) a +b =c ; e) 5 3 ;. Napisać zaprzeczenia zdań: jem śniadanie i słucham radia ; trójkątobokach3,4,5jestostrokątny ; f) =b 4ac. b) kwadrat nie jest pięciokątem ; c) stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław ; jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę na basen ; e) liczbajestpodzielnaprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnaprzez3.

2 3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych: nieprawda,żefunkcjaf)= jestrosnącana R ; b) ) 44 = lub8jestliczbąparzystą ; c) funkcjag)=sinjestokresowa,afunkcjaf)=3 nieparzysta ; jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ; e) liczba3579jestpodzielnaprzez9wtedyitylkowtedy,gdysuma jestpodzielna przez9. 4. Rozwiązania równań i nierówności zawierających funkcje p i q zapisać, używając spójników logicznych, jako rozwiązania równań i nierówności zawierających tylko jedną funkcję: p)q)=; b)p)q)<; c) p) q) ; p) q). 5. Czy podane funkcje zdaniowe są prawami logicznymi: p q)= [ p) q)]; b)p= [q q)= r]; c)p= q) [ p) q]; [p q)] [ p) q]? 6. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: sin= ; R y R R b) +4+3>; R y=; e) Ry R c) y ) y>); f) Ry R y R y =;! R π ),π tg=y. 7.DlapodanychparzbiorówA,B RwyznaczyćA B,A B,A\B,B\A,A c,b c,a B: A=,5), B=[,7]; b)a=,3), B=[, ); c)a={,}, B={,,3,4}. WskazaćteparyA,B,dlaktórychA B. 8P).Wyznaczyćwspółczynnikkierunkowyaorazwyrazwolnybfunkcjiliniowychy=a+bi naszkicować ich wykresy: y=; b)y =; c)y= +4; y+=; e)3+4y =; f) 5y=3. 9P). Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowejjeżeli istnieje) i naszkicować ich wykresy: f)= +; b)f)= +; c)f)= ++ 4 ; f)= + 3; e)f)= + 3 ; f)f)= Lista. Określić i narysować dziedziny funkcji: f)= ; b)f)= 3 +4 ; c)f)= 6 ; f)=.. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: f)= 4+5, R; b)f)= 3,,3]; c)f)=4,[, )..Określićfunkcjezłożonef f,f g,g f,g gorazpodaćichdziedziny,jeżeli: f)=, g)=+; b)f)=, g)= ; c)f)=, g)= 4 ; f)=, g)= +.

3 3. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: f)= 3, R; b)f)=, R\{}; c)f)=4, [, ). 4P). Korzystając z własności logarytmów obliczyć: log 6 3+log 6 ; b)log 3 8 log 3 ; c)9log ; 3log a 4+log a 4 4log a; e)3log 4 3 log 43+3log 4 log 4 6; f) log 54 log 6 log 7 log Naszkicować wykresy funkcji: y=+) 4 ; b)y= ; c)y= +3) ; ) y= + ; e)y= ; f)y=4 ; 3 g)y=5+log ; h)y= log ; i)y=log Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: f)= + ; b)f)=3 3 +; c)f)= ; e)f)=log+); f)f)=log; g)f)=log 3 +). f)=4 ; Lista 3 7P). Korzystając z wykresu funkcji y = sin naszkicować wykresy funkcji: y=sin; b)y=sin 3 ; c)y=sin + π ) ; 4 y=+sin; e)y= sin ; f)y=sin π ) Naszkicować wykresy funkcji: y=cos cos + ; b)y=+ctg π ) ; c)y=tg+ tg ; y= tg ctg Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: +tgα +ctgα =tgα; b)sin4 α+cos 4 α= sin α; c)tgα+ctgα= sinα ; tg α = cosα sinα ; e)sin4 α cos 4 α=sin α cos α; f) Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe? P). Podaj wartości wyrażeń: arcsin +arccos ; b)arcctg arctg; c) arcsin ) 3 arcsin. Określić dziedziny funkcji: f)=arcsin+); b)f)=arccos + ) ; c)f)=arctg + ; f)=arcctg. 3 cosα cosα=sinαtgα. ; arctg 3 arcctg 3.

4 *. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych: [ ] π f)=sin,,3π ; b)f)=cos, [π,π]; c)f)=tg, 3π ), π ; f)=ctg, π,π). Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych. Lista 4 3. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: a n = +cosn 3 sinn ; b)a n= n n +; c)a n = 4n n +3 ; a n = n+8 n+3; e*)a n = n +n ; f)a n= 3 n. 4. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: a n = n+ n+ ; b)a n= n n + ; c)a n= n! n; a n = n 6n+ ; e)a n= 4n n +3 n; f)a n= n + n. 5. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości: 3 n lim = ; b) lim n+4 n =; c) lim n =. 6. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: lim lim g) lim 3n n+ ; b) lim n+4 n + ; n + ) n ) n 3 +) ; e) lim n n + ) n!+ ; h) lim n+)n+)! n 3 +n + c) lim n 3n 3 ; 5 n 4 n ; f) lim n +4n+ n +n) ; i) lim 7. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: lim lim n+ ) n 3n+ n nπ ; b) lim n ; n + 3 n + n3; e) lim n + + n n +n 5 n 3 n; n+6 n+ n c) lim ) ; f) lim n 3+sinn; n 3 n + n 5 n +4 n. 8. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice: lim + 3n ) 5n+ 5n ) 3n n ) n+4 5 n ; b) lim ; c) lim ; lim. n) 5n+ 3n+ n+3 9. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n + ) lim n ; b) lim n 4 3n 3 n ) n+ n n+)! lim ; e) lim ; f) lim n n!+ ; c) lim +n 3 n ); arctgn arcctgn. ). 4

5 3.Będziemymówili,żeciągia n ),b n )ododatnichwyrazach,zbieżnedogranicywłaściwejlub niewłaściwej, są asymptotycznie równe, gdy a n lim =. b n Zbadać, czy podane ciągi są asymptotycznie równe: a n =n +, b n = n 4 +; b)a n =n 4 n 3, b n =n 4 ; c)a n = n + n +3 n, b n =3; a n = 3 n +5 n, b n= n +6 n; e)a n=n+)!, b n =n n!; f*)a n =n!, b n =a n,a>). a n Jeżeli granica lim jestliczbądodatnią,tomówimy,żeciągia n ),b n )sątegosamegorzędu.które b n z podanych par ciągów są tego samego rzędu? Lista 5 3. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: lim ) 5 =; b) lim 3 =; c) lim + =. 3. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice: lim + ; b)lim 4 ; c)lim + ; 5+4 e) lim ; f)lim ; g) lim 5) 6 6 tg + i) lim π tg +5 ; j)lim sin cos. 33. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice: lim sgn; b)lim 3 ; c)lim 4 ; lim arctg. 34. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości: lim cos + =; b)lim 3 arctg lim 3 4 ; ++) + ; h) lim 3 + ; +sin +sin =; c) lim =; lim +cos =. 35. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice: lim sin 3 ; b) lim tg tg ; c)lim arcsin arctg ; lim arctg ; e) lim π cos5 cos3 ; f)lim e 3 sin ; ln+ 3 ) ln+ ) g) lim ; h*) lim 3 ; i) lim + 4 ; j) lim+) ; k)lim[+tg)] ctg ; 36. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: f)= ; 3 b)f)= +) ; + f)= l)lim c)f)= 9 ; ; e)f)= ; f)f)=sin 3 ; g)f)= cos e + ; h)f)= arctg; i*)f)= + 5 ).

6 Lista 6 37.Dobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: a + dla<, sin dla π f)= b)f)=, a +dla<, b dla ; a+bdla < π c)f)= dla, ; 3 +bdla>. Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji ciągłych. 38P). Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie ajeżeli istnieją) dla funkcji o wykresach: y b) y c) y y=f) y=f) y=f) a a a y e) y f) y y=f) y=f) y=f) a a a 39. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj: + f)= ++ dla, arctg dla=, b)f)= dla, dla=; dla=; dla,), ), + c)f)= f)= dla, 3 dla=; dla=; cos e)f)=sgn[ )]; f)f)= dla, dla=. 4. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: [ 3 +6 =,[,]; b)sin=7, π, 5π ] ; c)= sin [ +,, π ] ; [ ] + =,, ; e)3 +=3,[,]; f) =,[,]. Wyznaczyć rozwiązania równania.5. 4*. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania: wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość; b) wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy obwód; c) wśród prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku a istnieje ten, który ma największe polezałożyć, że dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta). 6

7 Lista 7 4. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: f)= 3,gdzie R; b)f)= +,gdzie ; c)f)=,gdzie>; f)=tg,gdzie π +kπdlak Z. 43. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: f)=, =; b)f)=sin sgn), =. Naszkicować wykresy tych funkcji. 44.Zbadaćzdefinicji,czypodanefunkcjemająpochodneniewłaściwewpunkcie =: f)=3 5 ; c)f)= sin. 45. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne funkcji: y=f)cosg); b)y= f ) g ); c)y=arctgf)g); y=ln f) g) ; ey=tgf) g) ; f)y=f)g ). 46. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: y= + ; b)y=3cos+tg; c)y=e+ sin ; y= 3 + ) e ; e)y= + 4 ) tg ) ; f)y=e arctg; g)y=ln sin + ); h)y= 3 arcsin ); i)y=e e ; j)y= sin 3 cos ; k*)y=tg ; l*)y=. 47*.Korzystającztwierdzeniaopochodnejfunkcjiodwrotnejobliczyćf y ),jeżeli: f)=+ln, y =e+; b)f)=cos 3, y =; c)f)= , y =3; f)= 3 +3, y =4. 48P). Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: f)=arcsin ) π π,,f)); b)f)=ln +e,,f)); c)f)=e tg, 4 4)),f ; f)= +,3,f3)); e)f)= +,,f )) ; f*)f)=,e,fe)). 49.Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= 4 +5,którajestrównoległado prostejy=+3. b)wyznaczyćstycznądowykresufunkcjif)=,któratworzykąt π 4 zdodatniączęściąosio. c)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=ln,którajestprostopadładoprostej +6y =. Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=arctg,wpunkciejegoprzecięciazprostą π=4y. 7

8 5*. Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić podane nierówności: arctg arctgy y dla,y R; b)ln y <y dla <y; c) arcsin dla <; e >e dla >. 5. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: π ln +) lnsin lim ; b)lim ln +9 lim ; e)lim lncos lncos3 ; g) lim +ln; j) limcos) Lista 8 ; h) lim π π )tg ; k) lim 5. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: ; c)lim arctg ; f) lim arcctg; i) lim ctg ) ; π arctg ) ; l) lim ++)ln. f)= ; b)f)= ; c)f)=4+ ; f)= 3 3 ; e)f)= 33 ; f)f)=e 3 ; g)f)=ln ; 53. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji: h)f)= ln ; i)f)= ln. f)= 3 4 ; b)f)=+ ; c)f)= ; f)=+)e ; e)f)= + + ; f)f)= 5 6 ; g)f)=ln; h)f)= 3 3 ; i)f)=arctg ln + ). 54. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach: f)= ,[,5]; b)f)=arctg +,[,]; c)f)= 3) e,[,4]; f)= 9 [,[ 5,]; f)f)=sin+sin,, 3 ]. π 55P).Obliczyćf,f,f funkcji: f)= ; b)f)= 3 ; c)f)=e ; f)=arctg; e)f)=sin 3 +cos 3 ; f)f)= 3 ln. 56. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji: f)= ) 3); b)f)=e ; c)f)= 3 + ; f)=ln + ) ; e)f)= ; f)f)= 3 3 4ln ; g)f)=sin+ 8 sin; h)f)=earctg ; i)f)= ln. 8

9 Lista Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: f)= ) +); b)f)= 3 ; c)f)= ; f)=3 4 4 ; e)f)= ; f)f)= ln ; g)f)=e ; h*)f)=sin+sin3; i)f)= ln. 58. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu kmodbrzegu.ropaztejplatformybędziedostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższego platformie.kosztułożeniakmrurociągunadniemorza wynosieuro,analądzie euro.do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? km Platforma wiertnicza 6km Rafineria 59. Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy? α 6. Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność.5m 3 ikwadratowąpodłogę.kosztm blachypotrzebnej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi zł,aścianbocznych 3zł.Jakiepowinnybyć wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? r 6. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki? 6.Odcinekodługościlpodzielićnadwieczęścitak, aby suma pól kwadratów zbudowanych na tych częściach była najmniejsza. rzeka S a b Lista 63.NapisaćwzoryTaylorazresztąLagrange adlapodanychfunkcjif,punktów orazn: f)= 3, =,n=4; b)f)=, =,n=; c)f)=sin, =π,n=3; f)=e, =,n=5; e)f)=arctg, =,n=3; f)f)=ln, =e,n= Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: f)=sin 3 ; b)f)=cosh; c)f)=cos; f)= e. 65. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach: tg, π ; b)cos,.; 9

10 c) + +,.5; ln ) 8 3 3, < Stosując wzór Maclaurina obliczyć: e zdokładnością 3 ; b) 3.997zdokładnością 3 ; c)ln.zdokładnością 4 ; sin.zdokładnością 5. Lista 67. Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć: )d; b) 3 d; Wskazówka. Ad.a,c). Zastosować odpowiednio wzory n= nn+), + + +n = nn+)n+) ; 6 Ad.c). Zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego e h oraz wykorzystać równość lim =. h h c) e d. a+aq+...+aq n =a qn q 68P).Uzasadnić,żefunkcjeF if sąfunkcjamipierwotnymidlawskazanychfunkcjif: a)f )=+arcsin,f )=5 arccos,f)= ; b)f )=3 cos,f )= cos,f)=sin; c)f )=tg,f )= cos +5,f)=tg. 69. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki: ) + d; b) + 3) d; e) 9 d; c) + ) d; f) π π d + ; sin+cos )d. 7. Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić równości: [ lim n +n+ +n+...+ n+n n )] = ) ; n 3 b) lim n 4 Lista = ; c) lim 4 7. Obliczyć podane całki nieoznaczone: ) 3 d; b) cosd cos sin ; [ n cos π n +cosπ n +...+cosnπ n )] = π. )d + ; c) 4 d + ; e) d; f) 5 d.

11 7. Obliczyć pola trapezów krzywoliniowych: y y= y=3 b) y y= c) y y=3 6+ y=4 8 y= =y y y =3 e) y f) =8 y =y y= y =y 73. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y=,+y=; b)y=,y=,y=3; c)y=,y=,y=4; y=,y= 4 + ; e)y=,y=,=; f)y=+sin,y=, π); g)y=π,=πy ; Lista 3 h)y 4 =,y=,y=6; i)y =,y= 6,y=,y= Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: arctg e 3 d; b) d; c) d; e) sind; f) arccosd + ; g) ln+)d; h) d cos ; arccosd; i) e sind; j) sinsin3d; k) sin3cosd; l) coscos5d. 75. Metodą całkowania przez części obliczyć oznaczone: π 4 e d; b) sind; e) π e d; c) +cos)d; f) e e ln d; arcsind. 76. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: e) cos +4 ) d; b) d; c) +) sin ++ d; d ch ; f) 5 3) d; g) d; h) cosd +sin ; d + ;

12 ln i) d; j) e d 5sind e + ; k) 3 cos ; l) 3 e d. 77. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień: π 6 sine cos d,cos=t; b) 3 d e + 3,3 =t ; e) d,+=t; c) + lnd,ln=t; f) 4 +d, +=t; d ),=t ; g) 3 9 d,=3sint; g) Lista 4 ln3 e d +e,e =t; i) e e 3 3 d 4,= t. 78P). Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju: d 3) 7; b) d +5 ; c) 5d 7) 3; 8d Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: d 6+3)d +4+9 ; b) ++4 ; c) 4+)d +9 ; 8. Obliczyć całki z funkcji wymiernych: +)d ) ; b) d + ; c) d 4+)d +) +4) ; e) ++ ; f) 5 4)d g) 4+ ; h) d ++5 ; i) d ) ; d +6+8 ; d +4). 8. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: sin 3 d; b) sin 4 cos 3 d; c) cos 4 d; sin 3 cos 6 d; e) cos cosd; f*) sin sin d. 8. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: d +tg sin+tg ; b) cos d; sin d +cos ; e) d tg ; d g) cos ; h) c) d sin+cos ; i) d +cos ; f) sin 5 d cos 3 ; d 3sin+4cos+5. )d

13 Lista Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: + y=,=,y=; b)4y=,y= 8 +4 ; c)y=ln,=e,y= ; y=tg,y=ctg, << π ). 84. Obliczyć długości krzywych: y=ln e + e, gdzie 3; b)y=, gdzie ; c)y= 3, gdzie ; y=cosh, gdzie ; e)y=e, gdzie ln ln3; f)4y=y4 +48, gdzie y 4; g)y= , gdzie ; h)y= lncos, gdzie π Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi: T:, y,o; b)t: 5, y +4,Oy; c)t: π 4, y tg,o; T:, y,oy; e)t:, y 3,Oy; f)t: 3, y,oy; 4 g)t: 4, y 5,O; h)t: π, y sin+cos,o; i)t: π, y sin,y=; j)t:, y,=. 86. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych osi: f)=cos, π,o; b)f)= 4+, 4,O; c)f)=ln, 3,Oy; f)= +,,Oy; e)f)= 4,,O; f)f)= ), 3,O; 3 g)f)=,,oy; h)f)= 9, 3,Oy. 87. Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużeniawspółczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L. b)zbiornikmakształtwalcaoosipoziomej.średnicawalcad=m,adługośćl=6m.obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do opróżnieniazbiornikaznajdujesięwjegogórnejczęści.masawłaściwawodyγ=kg/m Punktmaterialnyzacząłporuszaćsięprostoliniowozprędkościąpoczątkowąv =m/s iprzyspieszeniema =m/s.poczasiet =spunkttenzacząłporuszaćsięzopóźnieniem a = m/s.znaleźćpołożeniepunktupoczasiet =sodchwilirozpoczęciaruchu. b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiedniov t)=t+t 3,v t)=6t,gdziet.pojakimczasienastąpizderzenietych cząstek? 3