Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 6, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 6, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS 2008) 6 Badanie funkcji Zadanie 1. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje mają ekstrema lokalne we wskazanych punktach: { x dla x 0 a) u(x) = x 0 = 1, b) v(x) = ch x, x 0 = 0; 1 dla x = 0, c) w(x) = x 1 + x + 1, x 0 = 1; d) z(x) = sin x, x 0 = π, e) f(x) = 2{ 2 x + 5, x 0 = 5; f) g(x) = x 20 3, x 0 = 0; x + 2 dla x 1, g) h(x) = x 0 = 1; h) p(x) = 5 x 2, x 0 = 0; 2 dla x = 1, i) q(x) = x 3 (x + 2) 8 x 0 = 2; j) r(x) = e x cos 4 x, x 0 = π 2 ; Zadanie 2. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji: a) u(x) = 2x2 1 x 4, b) v(x) = x ln x, c) w(x) = x x, d) z(x) = x 2 5x 6, e) f(x) = 1 x 2 x, f) g(x) = x3 4x 2, g) h(x) = 2 sin x + cos 2x, h) p(x) = (x 5)e x, i) q(x) = (x+3)3 (x+1), 2 j) r(x) = x 2 e 1 x, k) k(x) = e x sin x, l) l(x) = x + 1 x, m) m(x) = 2arc tg x ln(1 + x 2 ), n) n(x) = 3x x 2, Zadanie 3. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na 1

2 wskazanych przedziałach: a) u(x) = 2x 3 15x x, [1, 5], b) v(x) = arc tg 1 x 1+x, [0, 1], c) w(x) = (x 3) 2 e x, [ 1, 4], d) z(x) = 1 9 x 2, [ 5, 1], e) g(x) = x 2 x, [0, 5], f) f(x) = 2x 3 3x 2 36x 8, [ 3, 6], g) h(x) = 2 sin x + sin 2x, [ { 0, 3 2 π] 2x 2 + 2, h) p(x) = x dla x 0, 2 [ 2, 2]. 1 dla x = 0, Zadanie 4. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji: a) u(x) = xe x, b) v(x) = ln(1 + x 2 ), c) w(x) = x 2 3 x3 4 ln x, d) z(x) = sin x sin 2x, e) f(x) = 1 1 x, 2 f) g(x) = cos x, g) h(x) = tg x, h) p(x) = e arc tg x, i) q(x) = x3 x 2 +12, ln x j) r(x) = x. Zadanie 5. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: a) u(x) = x ln x, b) v(x) = x x 1, c) z(x) = e 2 x 2 x 2 1, d) w(x) = arc sin 1 x 2 1+x, 2 e) r(x) = 3 4 x 4 x, 2 f) s(x) = x2 1 x, g) g(x) = x3 x 1, h) f(x) = (x 1)2 (x + 2), i) h(x) = x ln x, j) p(x) = x 1 x 2, k) q(x) = x 2 e x, l) p(x) = sin x sin 2 x. Zadanie 6. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy bedzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższeego platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociagu na dnie morza wynosi euro, a na lądzie euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?

3 Zadanie 7. Kropla deszczu spada pod wpływem siły ciężkości (pomijamy opór powietrza). W czasie spadku kropla paruje w ten sposób, że jej masa zmniejsza się proporcjanalnie do upływu czasu. Wiadomo, że po 5 sekundach wyparowała połowa jej masy. Po ilu sekundach energia kinetyczna kropli bedzie największa? Zadanie 8. Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku trójkąta równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy? Zadanie 9. Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność m 3 i kwadratową podłogę. Koszt 1 m 2 blachy potrzebnej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych - 30 zł. Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Zadanie 10. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?

4 Zadanie 11. Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak, aby suma pól kwadratów zbudowanych na tych częściach była najmniejsza. Zadanie 12. a) W parabolę o równaniu y = 16 x 2 wpisano prostokąt, w sposób przedstawiony na rysunku. Znaleźć wymiary prostokąta, który ma największe pole. b) Na paraboli y = x 2 wyznaczyć punkt A tak, aby pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkt A oraz punkty B, C przecięcia paraboli z prostą y = x + 2, było największe. Zadanie 13. Wytrzymałość deski o ustalonej długości jest wprost proporcjonalna do jej szerokości s oraz do kwadratu grubości h. Jakie wymiary powinna mieć deska wycięta z okrągłego pniaka o promieniu r = 9 cm, aby jej wytrzymałość była największa?

5 Zadanie 14. Drogi łączące miasta A i B oraz B i C tworzą kąt π 3. Samochód osobowy wyruszył z miasta A do B i poruszał się z prędkością v 1 = 80 km/h. Jednocześnie z miasta B do C wyruszył samochód ciężarowy i jechał z prędkością v 2 = 50 km/h. Po jakim czasie samochody te będą najbliżej siebie, jeżeli odległość między miastami A i B wynosi 200 km? Zadanie 15 a). Z prostokątnego kawałka blachy o szerokości a należy wygiąć rynnę o przekroju prostokątnym w ten sposób, aby mogło nią spływać możliwie najwięcej wody. Znaleźć wymiary przekroju takiej rynny. Zadanie 15 b). Jakie powinny być długości prostokątnych p i q deltoidu o bokach a, b, aby jego pole było największe? Zadanie 15 c). Pocisk wylatuje z działa z prędkością v 0. Pod jakim kątem powinna być nachylona od lufy, aby zasięg pocisku był największy? Nie uwzględniać oporu powietrza.

6 Zadanie 15 d). Ekran w kinie ma szerokość a = 8 m i jest zawieszony na wysokości h = 12 m. W jakiej odległości od ekranu powinien siedzieć widz, aby oglądać film pod największym kątem? Założyć, że widz siedzi w środku rzędu, a jego oczy znajdują się na wysokości b = 1.5 m nad podłogą. Zadanie 15 e). Współczynnik tarcia skrzyni o masie m = 100 kg o podłogę wynosi µ = 0.7. Pod jakim kątem α należy ciągnąć skrzynię, aby siła F = F potrzebna do jej ruszenia była najmniejsza? Zadanie 15 f). Pole siłowe chroniące stacje badawcze na Marsie mają kształt półsfery o promieniu R = 50 m. Znaleźć wymiary stacji w kształcie walca o największej objętości, którą można chronić tym polem.

7 Zadanie 15 g). Prostopadłościenny pokój ma wymiary: długość a = 6 m, szerokość b = 4 m, wysokość h = 3 m. W jakiej odległości od środka sufitu należy zawiesić lampę, aby oświetlenie pokoju w najciemniejszym miejscu (tj. w rogu przy podłodze) było największe? Uwaga. Natężenie światła w punkcie położonym w odległości r od źródła światła wyraża się wzorem I = k cos α r, 2 gdzie α oznacza kąt padania promieni, a k jest współczynnikiem zależnym od źródła światła. Zadanie 15 h). Do kotła w kształcie półsfery o promieniu R włożono jednorodny pręt o długości l = 3R. Określić położenie równowagi pręta (nie uwzględniać tarcia pręta o kocioł). Wsk. Pręt będzie w położeniu równowagi, gdy jego środek masy C zajmie najniższe położenie.