Metody Numeryczne Sprawozdanie IV

Transkrypt

1 Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy Wtęp Metody Nuerycze Sprawozdae IV Metody aproyac weloaowe (wtęp teoretyczy) Teate tego prawozdaa ą populare etody aproyac fuc. Praca ta, podobe a poprzede, łada ę z dwóch częśc wtępu teoretyczego oraz pratycze pleetac oawaych zagadeń w prograe Mathcad. Stara ę oa zlutrować zagadee aproyac w poób zarówo ateatyczy a tucyy (tąd przyłady twerdzea z pogracza ateaty). Szc częśc teoretycze Przedtawee probleu Błąd średowadratowy Aproyaca weloaowa ogóla Aproyaca weloaa ortogoaly Aproyaca weloaa trygooetryczy Wo pratycze Bblografa Przedtawee probleu Aproyaca et dzedzą ateaty o zeroch zatoowaach w auach techczych eooczych. Uuąc proble ęzye auowy: ay dae wartośc ezae fuc f ( w putach x, x, 1 K, x (węzłach aproyac) pozuuey fuc F (, tóra w węzłach aproyac przyue wartośc ble fuc f (, a w pozotałych putach ożlwe dobrze ą oddae. Powyżze twerdzee oże przyweść a paęć zagadee terpolac. Iterpolaca et zczególy rodzae aproyac - fuca terpoluąca u przyować w węzłach detycze wartośc co fuca terpolowaa, podcza gdy w przypadu aproyac e taway taego wyagaa. Saą deę aproyac bardzo dobrze lutrue róweż twerdzee o trzech putach prote: Tw. 1: Przez dowole trzy puty oża przeprowadzć protą, eśl ta prota et odpowedo gruba. Zadae aproyac et ta dobór achylea prote, by ała ożlwe a aezą grubość pełała powyżze twerdzee :). Zauważy, że gdybyśy chcel zatoować w ty przypadu terpolacę, to w ogóly przypadu fuca terpolacya e opywała by prote, lecz rzywą (p. weloa drugego topa). Uwdacza ę tu zaadcza różca ędzy tr. 1/7

2 Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy terpolacą a aproyacą fuce aproyuące ogą być dużo protze od terpoluących (przypoy choćby terpolacę weloaową topeń weloau dla węzłów wyo w ogóly przypadu 1, podcza gdy weloa aproyacyy oże eć topeń dowole żzy). Przypade cągły dyrety W teace aproyac ożey eć do czyea z dwoa e rodzaa. Przypade dyrety ozacza, że day ay edye zbór węzłów aproyac, ale e wey c a teat ae fuc aproyowae. Oblczaąc błąd aproyac orzytay edye z wartośc w węzłach. Przypade cągły (aproyaca tegrala) ozacza, że przy wylczau błędu aproyac ożey orzytać z forac o fuc aproyowae w całe dzedze. W ty prawozdau rozpatruey edye przypad dyrete. Uęce pratycze Nauwa ę pytae a co a fuca, tóra e przechodz przez zae węzły? Otóż ae węzły e zawze ą warogode. Rozważy proty przypade badaa paraetrów ezaego opora przez apulacę apęce poar przepływaącego prądu. Jeśl przyey, że ożey utalć apęce z doładoścą do ±.5V (całe eźle a a waru laboratorye) a poar prądu et obarczoy błęde rzędu ±.5A, to po aeeu ta zerzoych putów a uład wpółrzędych (prąd w zależośc od apęca) ogą oe e ułożyć ę wzdłuż ede prote, choć z prawa Oha wya, że powy. Woe z tego przyładu et atępuący: e a eu zuzać fuc, by dołade przechodzła przez edołade węzły. Częto atoat tereue a bardze charater fuc ż e doładość (w powyżzy przyładze chcey wyzaczyć protą alepe oddaącą opór, patrz twerdzee 1). Błąd średowadratowy W ty prawozdau rozpatrywać będzey atępuące przyblżee aproyacye: ϕo + c1ϕ 1( + L+ cϕ c F c ϕ Ta zapaa fucę azyway obacą lową zaych a fuc bazowych ϕ (. Wpółczy c ą a ezae; zadae aproyacye polega a ch wylczeu. Moża zauważyć, że rozwązań taego zadaa et eończee wele aproyacę oża zrealzować w dowoly poób. Pożądae ą eda rozwązaa o oretych właścwoścach. Jedą z ch et alzaca ory średowadratowe. Zdefuy poęce odchylea średowadratowego fuc F ( od fuc f ( w przypadu dyrety: (1) E ( f ( x ) F( x )) () Moża powedzeć, ż et to ua wadratów różcy F ( x ) f ( x ) (odchylea F ( x ) od f ( x ) - tąd azwa). Rozpatruąc róże etody aproyac będzey dążyl do zalezea tach tr. /7

3 Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy wpółczyów c, tóre zalzuą to odchylee. Uład rówań oralych Łącząc ze obą rówaa (1) () otrzyuey rówae (3): E f ( x ) cϕ ( x ) (3) Chcey odaleźć wpółczy c alzuące tę wartość, węc tereue a, edy wzyte E pochode czątowe, 1,, L,. Kolee pochode czątowe opue wzór: c E c f ( x ) cϕ ( x ) (4) Przyrówuąc rówaa a pochode czątowe do zera wtawaąc węzły x uzyay tzw. uład rówań oralych. Jet to uład adoreśloy ay + 1 rówań a + 1 ewadoych, przy. Doładeze oówee tego zagadea oża zaleźć w [1] []. Wpółczy będące rozwązaa powyżzego uładu rówań alzuą odchylee średowadratowe. Aproyaca weloaowa ogóla Przyuąc ao fuce bazowe ϕ ( x ) x ożey uład rówań oralych przeztałcć (dołade oówee tego przeztałcea w [1]) do potac: c g ρ g,, ρ, gdze : x + f ( x ) x Moża wyazać, że eśl węzły aproyac x Lx ą róże oraz gdy, to wyzacz powyżzego uładu rówań et róży od zera, a węc uład te poada edozacze rozwązae (w zczególośc dla otrzyuey weloa terpolacyy). W te poób fuca aproyuąca uzyue potać: F x c + c x + c x ( ) + L+ c x 1 - tąd azwa 'aproyaca weloaowa'. W zwązu z powyżzy rozważaa auwaą ę dwa pytaa: Czy ażdą fucę oża ożlwe dołade aproyować weloae? Ja doberać topeń weloau aproyacyego? (5) tr. 3/7

4 Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy Na perwze z ch odpowada a twerdzee Weertraa: Tw. (Weertraa): Jeśl ( dae et ε >, to wówcza tee weloa ( f et fucą oreśloą cągłą w przedzale [ b] W, oreśloy w [ b] f W < ε dla ażdego x [ a, b]. a, a, ta, że ry. 1. Twerdzee Weertraa Zgode z ty twerdzee dla ażde fuc eteśy w tae odaleźć weloa aproyuący ą z dowolą doładoścą. Druge pytae a doberać topeń weloau aproyacyego wyaga eco dłużzego oówea. W ogóly przypadu zależy a, by weloa ał a aezy topeń, gdyż wraz z ego wzrote zwęzaą ę też błędy zwązae z etodą (uład oraly et źle uwaruoway) a oblczea zeopozycyy. Z druge eda troy zależy a, by weloa dobrze przyblżał aproyowaą fucę wygładzał ewetuale błędy poarów węzłów aproyac. Poże zaezcza la wytyczych: Jeśl zay potać fuc aproyowae, ożey dopaować topeń weloau aproyacyego do te fuc. W zczególośc eśl aa fuca et weloae, to ożey przyąć ta a topeń, a topeń fuc. Stopeń weloau aproyacyego oże wyać z zczególych wyagań dotyczących probleu; przyładowo ożey potrzebować weloau topa perwzego lub drugego (tae potrzeby częto zachodzą p. w tatytyce), te zapotrzebowaa arzucaą a topeń. Możey zwęzać topeń weloau badać błąd aproyac. Poeważ rozwązae uładu oralego et operacą oztową, eowe et ograczee żądae doładośc a przyład eśl błąd ędzy tope + 1 e zalał zacząco (ladzeąt procet), ależy zatrzyać ę a topu -ty. W przypadu, gdy topeń weloau et o ede ezy od lczby węzłów, uzyay weloa terpolacyy. tr. 4/7

5 Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy Aproyaca weloaa ortogoaly Weloay ortogoale (łowo ortogoale oża w duży uprozczeu odczytywać ao wzaee protopadłe) to zczególy rodza weloaów. Dwa weloay W( Q( ą wzaee ortogoale, eśl ch loczy alary et rówy : W Q( (6) Iloczy alary dla fuc w potac dyrete ożey zdefować aalogcze a dla wetorów: f g( f ( x ) g( x przy założeu, że e wzyte puty x ą eca zerowy dla fuc f g (warto zauważyć, że dwa ezerowe wetory ą protopadłe wtedy tylo wtedy, gdy ch loczy alary rówy et dlatego ter ortogoaly oża rozueć ao protopadły). W aproyac orzytay ze pecale grupy weloaów ortogoalych, zwaych weloaa ortogoaly Graa dla rówo odległych węzłów aproyacyych. Użyce weloaów ortogoalych zapewa a, że acerz wpółczyów w uładze oraly et acerzą dagoalą, dzę czeu e uy prowadzć oplowaych oblczeń w celu uzyaa wpółczyów weloau (zapewa to też dobre uwaruowae uładu oralego, dzę czeu alzuey wpływ błędów poaru węzłów aproyac). Po toowych oblczeach opaych w [1] uzyuey atępuącą potać rodzy weloaów Graa: We wzorze ty () G [ ] ( ) ( q) ( 1) [ ] ) + q (7) (8) G ozacza weloa Graa topa a + 1 węzłach rówo odległych,! ybol to dwua Newtoa, a ybol!( )! Odpowed wzoru (1) dla weloaów Graa a potać: F x x q h c ( ) [ G ( q) ] q ( ) f G c G ( ) ( q) f ( x ) G c ( ) G ( x ) ( [ ] x ) x h x! x ( x 1) K ( x + 1). ( x )! x,gdze : Gdze F to weloa aproyacyy topa, a h x +1 x to odległość ędzy ąaduący węzła (tała, bo węzły z założea ą rówo odległe). Zaady doboru topa (9) tr. 5/7

6 Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy weloau aproyacyego ą detycze a przy aproyac weloaa ogóly. Aproyaca weloaa trygooetryczy Gdy doouey aproyac fuc oreowe częto lepze (doładeze, ezy ozte) rezultaty uzyay z poocą rodzy weloaów trygooetryczych. W przypadu weloaów algebraczych ogólych za olee fuce bazowe ϕ ( z wzoru (1) przyowalśy edoay x. Dla weloaów trygooetryczych taa baza (cąg fuc bazowych) to: ( ) 1,, co, (, co(, K,, co ϕ (1) Moża poazać, że gdy przyey + 1 rówo odległych węzłów aproyac opaych wzore π x, to olee eleety te bazy będą do ebe ortogoale, t.: ϕ ϕ + 1(,,1, K, (11) Dae a to te ae orzyśc co w przypadu ortogoalych weloaów algebraczych uład oraly et dobrze uwaruoway a ego polczee et zadae trywaly, gdyż edye ezerowe eleety zaduą ę a dagoal acerzy wpółczyów. Otatecze wzory przyblżaące zuaą fucę weloae trygooetryczy (a podtawe [1]): 1 F a + a b 1 1 ( a co( + b ( ) 1 f ( x ) co( x ) f ( x ) ( x ) Weloaa trygooetryczy oża aproyować dowolą fucę oreową, co wya pośredo z twerdzea Weertraa dla fuc oreowych: Tw. 3 (Weertraa): Jeśl ( oraz oreową o oree rówy π dae et ε > weloa trygooetryczy ( x a, b. ażdego [ ] (1) f et fucą oreśloą cągłą w przedzale [ a,b] W, oreśloy w [ ] Twerdzee to oża zlutrować w ta a poób a twerdzee., to wówcza tee a, b ta, że f W < ε dla Zaady doboru 'topa' weloau aproyacyego różą ę od tych podaych przy oaz weloaów algebraczych. W przypadu weloaów trygooetryczych ożey od razu przyąć awyżzy dopuzczaly topeń, rówy 1 (ybol ozacza awęzą lczbę całowtą ezą lub rówą ). Próba przyęca wyżzego topa prawa, że proble tae ę tr. 6/7

7 Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy źle uwaruoway. Wo pratycze Odchylee średowadratowe w przypadu aproyac trygooetrycze et zacze lepze od pozotałych rodzaów aproyac, dlatego warto ą toować ta, gdze to tylo ożlwe. W przecweńtwe do pozotałych oówoych etod, w aproyac weloaa trygooetryczy wzrot lczby węzłów aproyac oraz topa weloau aproyacyego e powodue zwęzea ę błędów oblczeowych. Aproyaca weloaa ogóly oże być źle uwaruowaa, co zawęża e zatoowae. Proble te e wytępue w przypadu pozotałych oówoych etod. Z twerdzeń 3 (twerdzea Weertraa) wya, że ażdą fucę cągłą a day przedzale ożey aproyować weloaa z dowolą żądaą doładoścą a ty przedzale. Ze względów wydaośc doładośc oblczeń ależy tarać ę alzować topeń weloau aproyacyego. Przed wybrae poobu aproyac dae fuc warto pośwęcć cza a uzyae a awęze lośc forac a teat całego probleu oraz ae fuc aproyowae pooże to dobrać optyalą etodę doładość aproyac (pewe probley ogą arzucać pecyfczą potać lub zadaą doładość fuc aproyuące). Bblografa 1. Z. Fortua, B. Macuow, J. Wąow, Metody Nuerycze, wydae III, wyd. WNT, Warzawa 198, Åe Börc, Gerud Dahlqut, Metody Nuerycze, wydae II, wyd. PWN, Warzawa 1987 tr. 7/7