Rozkłady statystyk z próby

Transkrypt

1 METODY PROBABILISTYCZE I STATYSTYKA WYKŁAD 0: ROZKŁADY STATYSTYK Z PRÓBY. PRZEDZIAŁY UFOŚCI. Rozkłady tatytyk z róby Statytyką azyway zieą loową, będącą fkcją zieych loowych,,..., taowiących róbę. Statytyka jako ziea loowa oiada ewie rozkład, który azyway rozkłade tatytyki z róby. Zależy o rzede wzytki od rozkład olacji, z której ochodzi róba oraz od liczebości róby. Małgorzata Krętowka Wydział Iforatyki Politechika Białotocka Ze względ a liczebość róby rozkłady tatytyk dzieliy a dokłade - rozkłady rawdoodobieńtwa wyzaczoe dla dowolej liczby atralej, będącej liczebością róby. Są oe wykorzytywae dla ałych rób. graicze - rozkład rawdoodobieńtwa tatytyki, który otrzyje ię rzy założei ieograiczeie dżej róby,. ie a jedej, określoej wartości od której zajey róbę za dżą. W iektórych rzyadkach rozkład dokłady jż dla >30 iewiele różi ię od rozkład graiczego, w iych rzyadkach otrzebjey >00. Rozkład średiej arytetyczej z róby x x i i. Cecha w olacji geeralej a rozkład,, zae. Z olacji tej obieray róbę -eleetową,,...,. Średia arytetycza z róby a rozkład:, fx 0,,0. redia arytetycza Rozkład średiej arytetyczej z róby w raktyce wykorzytjey zieą tadaryzowaą: x która a rozkład 0,.. Cecha w olacji a rozkład,, iezae, 30 Dokojey rzekztałceia zwaego tdetyzacją: t x i ziea t a rozkład i t Stdeta z - toiai wobody. Liczba toi wobody jet araetre rozkład t-stdeta; jet oa rówa liczbie iezależych oberwacji określających tatytykę t. Ze względ a zależość: i liczba iezależych oberwacji w ty rzyadk jet rówa -. x i x 0 x

2 Rozkład średiej arytetyczej z róby 3. Cecha w olacji a rozkład dowoly, iezae, >30. Dla dżych rób zakładay, że. Korzytay ze tatytyki: x która a rozkład 0,. Rozkład wariacji z róby. Cecha a w olacji geeralej rozkład, ;, - iezae; 30 Etyatore araetr jet wariacja z róby która a rozkład chi-kwadrat z - toiai wobody. χ i x i która a rozkład chi-kwadrat z - toiai wobody.. Cecha a w olacji geeralej rozkład, ;, - iezae; > 30 Etyatore araetr jet wariacja z róby. a Korzytay z rozkład graiczego: b Korzytay z rozkład :, k k χ χ k- Statytyka a rozkład 0,, Statytyka a rozkład 0, Rozkład rocet rawdoodobieńtwa, wkaźika trktry Cecha a w olacji geeralej rozkład dwktowy, - rawdoodobieńtwo kce, > 00 Etyatore rawdoodobieńtwa jet: gdzie - liczość róby, - liczba kceów w róbie ˆ gdzie - liczo róby, - liczba kceów w róbie ˆ, ˆ Statytyka a rozkład 0, Rozkład różicy dwóch średich. Badae olacje geerale ają rozkłady orale, i, ;, - zae, róby ą iezależe. Badae olacje geerale ają rozkłady orale, i, ;, - iezae, róby ą iezależe, 30, 30, ;, - iezae, róby iezale e, 30, 30 tatytyka t a rozkład t Stdeta z - toiai wobody. 3. Badae olacje geerale ają rozkłady dowole;, - iezae, róby ą iezależe, > 30, > 30. t,

3 Rozkład iloraz wariacji Rozkład różicy dwóch wkaźików trktry Badae olacje geerale ają rozkłady orale, i, ;,,, - iezae;, - liczebości róby obraej z olacji I i II Badaa cecha a w dwóch olacjach rozkład dwktowy z rawdoodobieńtwe kce odowiedio,. ˆ F ˆ ˆ i i x i x i iech ˆ ˆ ˆ ˆ, gdzie - etyator wariacji z róby obraej z olacji I ; - etyator wariacji z róby obraej z olacji II ; Statytyka F a rozkład F Sedecora z - i - toiai wobody Etyacja rzedziałowa Wółczyik fości Etyacja rzedziałowa olega a kotrowai rzedział liczbowego, który z góry określoy - bliki jedości - rawdoodobieńtwe będzie zawierał iezaą wartość zacowaego araetr θ. Przedział te oi azwę rzedział fości: P {g θ < θ < g θ } - gdzie θ - etyator araetr θ, g θ - doly kraiec rzedział fości g θ - góry kraiec rzedział fości - - rawdoodobieńtwo tzw. wółczyik fości Utaloe z góry rawdoodobieńtwo - azyway wółczyikie fości Iterretacja wółczyika fości: rzy wielokroty obierai rób -eleetowych i wyzaczai a ich odtawie fkcji g θ oraz g θ średio w - 00% rzyadków otrzyalibyśy rzedziały okrywające iezaą wartość araetr θ,, w 00% rzyadków - rzedziały ie okrywające tej wartości. Z regły za - rzyjjey: 0.9; 0.95, 0.99 Dłgość rzedział fości: g θ - g θ > i dłgość rzedział iejza ty ozacowaie bardziej recyzyje Makyaly błąd zack: g θ - g θ /.

4 Przedziały fości dla wartości oczekiwaej średiej Bdowa rzedział fości dla wartości średiej oczekiwaej µe rozkład olacji zależy od: ty rozkład cechy w olacji geeralej zajoości wariacji odchyleia tadardowego wielkości róby PU dla wartości średiej - Model Założeia: róba loowa obraa z olacji o rozkładzie, ; jet zae; Cel: bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości -. Bdowa rzedział fości: Etyatore araetr jet średia arytetycza z róby : śr, która a rozkład,. Stadaryzjąc otrzyjey tatytykę U: U która a rozkład 0,. PU dla wartości średiej - Model - / / - 0 Rozklad tatytyki U - 0, P { < U < } P < < Przedział fości dla wartości średiej: P < < PU dla wartości średiej - Model Założeia: róba loowa obraa z olacji o rozkładzie, ; jet iezae; liczość róby ała 30 Cel: bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości -. Bdowa rzedział fości: Przy iezay araetrze odtawą bdowy tet itotości dla wartości średiej jet tatytyka t o rozkładzie t-stdeta z - toiai wobody: t gdzie i x i

5 PU dla wartości średiej - Model Rozklad t-stdeta - / / -t 0 t P { t < t < t } P t < < t Przedział fości dla wartości średiej: P t < < t PU dla wartości średiej - Model 3 Założeia: róba loowa obraa z olacji o dowoly rozkładzie; jet iezae; liczość róby dża > 30 Cel: : bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości -. Bdowa rzedział fości: Dla dżych rób rozkład t-stdeta oża rzybliżyć rozkłade oraly oraz. Wówcza rzedział fości jet aalogiczy jak w Model : P < < PU dla wariacji - Model PU dla wariacji - Model Założeia: olacja geerala a rozkład,, - iezae; liczość róby 30 Cel: bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości - Bdowa rzedział fości: Etyatore araetr jet wariacja z róby. Bdowę rzedział fości orzey a tatytyce: χ która a rozkład chi-kwadrat z - toiai wobody. Rozklad chi-kwadrat / / - 0 c c Przedział fości dla wariacji: P c { < χ < } P c c P c < < c < < c

6 PU dla wariacji - Model PU dla rawdoodobieńtwa Założeia: olacja geerala a rozkład,, - iezae; liczość róby >30 Cel: bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości - Bdowa rzedział fości: Gdy dyojey dżą róbą rzedział fości dla odchyleie tadardowego bdjey a odtawie graiczego rozkład tatytyki. Odchyleie tadardowe a wówcza rozkład, Stadaryzjąc otrzyjey tatytykę U: U która a rozkład 0,. PU dla rawdoodobieńtwa PU dla wkaźika trktry PU dla rocet PU dla frakcji Założeia: Liczba eleetów w róbie >00 Cel: bdowa rzedział fości dla frakcji rocet eleetów oiadających wyróżioą cechę w olacji geeralej Bdowa rzedział fości: Etyatore rawdoodobieńtwa w olacji geeralej jet wkaźik trktry w róbie W/, gdzie jet liczbą jedotek w róbie oiadających wyróżioą cechę, atoiat jet liczebością róby. Dla dżych rób wkaźik W a rozkład, PU dla rawdoodobieńtwa PU dla rawdoodobieńtwa 3 Dokojąc tadaryzacji etyatora W otrzyjey tatytykę: W U która a rozkład 0,. - / / Rozklad tatytyki U - 0, P { < U < } P < < Po rzekztałceiach otrzyjey: P < < Dla dżych rób ożey założyć, że /, tąd rzedział fości dla rawdoodobieńtwa rzyjje otać: P < < - 0

7 Zagadieie iialej liczebości róby Z regły z olacji geeralej obiera ię tylko jedą -eleetową róbę zbyt dża róba > zbyt dże kozty, oóźieia cza aalizy wyików zbyt ała róba > ie zaewia żądaej dokładości i wiarygodości wiokowaia Aby wyzaczyć iialą liczebości róby ależy talić: ozio wółczyika fości taleie akyalego błęd zack dłgości rzedział fości iezbęda liczebość róby rzy zacowai średiej w olacji Przykład Model I - zae odchyleie tadardowe olacji < < Dłgość rzedział > akyaly błąd zack Zakładając wartość akyalego błęd zack d oraz ozio wółczyika itotości - otrzyjey iialą liczebość róby: dł d d iezbęda liczebość róby rzy zacowai rawdoodobieńtwa < < Dłgość rzedział > akyaly błąd zack dł d Zakładając wartość akyalego błęd zack d oraz ozio wółczyika itotości - otrzyjey iialą liczebość róby: d