CRITERIA OF THE FORMATION OF THE MOST CONVENIENT LOAD-BEARING STRUCTURE IN THE BASIC LOAD STATE: TENSION AND BENDING
|
|
- Zdzisław Wróbel
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 4 Seria: TRANSPORT. 83 Nr ko. 94 Marek FLIGIEL KRYTERIA KSZTAŁTOWANIA NAJWYGODNIEJSZEJ KONSTRUKCJI NOŚNEJ W PODSTAWOWYM STANIE OBCIĄŻENIA ROZCIĄGANIA I ZGINANIA Strescenie. W artkue ropatruje się krteria optmanego kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej da prpadku prostego rociągania i ginania. Jako wiekości krteriane prjmuje się minimaną wartość potencjanej energii deformacji i możiwie równą wgędną objętościową wartość potencjanej energii deformacji w całej objętości eementu konstrukcjnego ora długość diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej. Jako krterium iościowe długości diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej prjęto całkę funkcji bewgędnch naprężeń okreśoną da stałej objętości konstrukcji. Słowa kucowe: wiekości krteriane, najwgodniejsa konstrukcja nośna, długość diałania sił CRITERIA OF THE FORMATION OF THE MOST CONENIENT LOAD-BEARING STRUCTURE IN THE BASIC LOAD STATE: TENSION AND BENDING Summar. In this stud, the criteria of an optima formation of the most convenient oadbearing structure for the case of simpe tension and bending are considered. As the criteria quantities, the foowing are accepted: the minimum vaue of the potentia energ of deformation and a possib equa reative voumetric vaue of the potentia energ of deformation in the entire voume of a structura eement and the activit duration of the interna forces of the oad-bearing structure. The integra of the function of absoute stresses, which is determined for the constant voume of the structure, was accepted as a quantitative criterion of the activit duration of the interna forces of the oad-bearing structure. Kewords: criteria quantities, the most convenient oad-bearing structure, duration of the activit of forces. WPROWADZENIE Jednm krteriów okreśającch jakość konstrukcji jest jej materiałochłonność i stwność. Ma to scegóne nacenie w konstrukcjach, w którch reacja masa stwność ma asadnic wpłw na wtrmałość i dnamikę konstrukcji, np. w robototechnice, Department of Mechanica Engineering Kosain Universit of Technoog, Kosain, Poand, e-mai: marek.figie@tu.kosain.p
2 74 M. Figie w konstrukcjach atającch, w układach drgającch itp. Najwgodniejsą konstrukcją nośną jest najbardiej stwna konstrukcja wkonana adanej iości materiału o okreśonch własnościach funkcjonanch ora prekaująca obciążenia ewnętrne cnne i bierne po możiwie krótkich wewnętrnch drogach ich płnięcia [-3]. Pojęcie najwgodniejsej konstrukcji nośnej odnosi się arówno do pojedncego eementu konstrukcjnego, jak i do całej łożonej konstrukcji nośnej. W prac ropatruje się krteria optmanego kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej da prpadków obciążeń statcnch w akresie stosowaności prawa Hooke a da rociągania i ginania. Jako krterium najwięksej stwności prjęto minimaną wartość potencjanej energii deformacji i możiwie równą wgędną objętościową wartość potencjanej energii deformacji w całej objętości eementu konstrukcjnego [4]. Następnm krterium jest długość diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej. Długość diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej Q jest roumiana jako płnięcie sił wewnętrnch po możiwie krótkich wewnętrnch drogach. Jako krterium iościowe długości diałania sił wewnętrnch konstrukcji nośnej prjmiem całkę funkcji bewgędnch naprężeń p, okreśoną da objętości =const całej konstrukcji []: Q = p d = min () Jeżei stan naprężeń wewnętrnch jest stanem łożonm, to całka () prjmie postać: Q = σ red d = min () gdie: red jest naprężeniem redukowanm wnaconm na podstawie jednej hipote wtężeniowch.. NAJWYGODNIEJSZA KONSTRUKCJA PRZY ROZCIĄGANIU LUB ŚCISKANIU.. Pręt o stałm prekroju poprecnm Ropatrm jednowmiarow eement konstrukcjn pokaan na rsunku, jakim jest pręt o długości ==const, pou prekroju A =A =const, objętości =A =const, rociągan statcną siłą F=const. F A d = Rs.. Długość diałania sił wewnętrnch Q, całkowita energia odkstałcenia sprężstego U, energia wgędna w jednostce objętości u Fig.. Duration of the activit of interna forces Q, tota energ of eastic deformation U, reative energ in voume unit u F Q =F=const F U = E A F u = E A
3 Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej 75 Długość diałania sił wewnętrnch Q da sił N =F jest okreśona na podstawie całki (): skąd po scałkowaniu otrmam: = N σ d = A d A (3) Q Q == F (4) Całkowita energia odkstałcenia sprężstego U i wgędna u w jednostce objętości pręta odpowiednio wnosi: F F U =, E A E A u =. (5) Załóżm, że pręt jest wkonan materiału o modue Younga E i jest rociągan siłą F= [kn] ora ma prekrój prostokątn o wmiarach: serokość b =, [m], wsokość h =, [m], długość =, [m]. Da powżsch danch mam: - objętość: =8,4-3 [m 3 ], - długość diałania sił: Q = [Nm], - całkowitą energię odkstałcenia sprężstego: U =8,3 3 /E [MJ], - energię wgędną w jednostce objętości: u =94,5 3 /E [MJ/m 3 ], - wdłużenie sprężste: =,() /E [m], - naprężenia normane: =,39 [MPa]. Z aeżności (4) i (5) wnika, że wgędna energia u w całej objętości jest równomiernie rołożona ora długość diałania sił wewnętrnch Q jest funkcją iocnu sił rociągającej (ściskającej) i długości pręta. Pręt rociągan (ściskan) o stałm prekroju poprecnm jest eementem konstrukcjnm najbardiej stwnm o równomiernie rołożonej wgędnej objętościowo potencjanej energii deformacji... Pręt o miennm iniowo prekroju Ropatrm długość diałania sił i energię sprężstą w pręcie o miennm iniowm prekroju, pokaanm na rsunku. Pręt o długości ==const ma kstałt stożka ściętego o prekroju prostokątnm wbraniem w środku. Prostokąt w dowonm prekroju ma następujące wmiar: ewnętrną serokość b =const i wewnętrną b w =const, ewnętrną wsokość H (), a wewnętrną (). Posukiwana jest funkcja mian wsokości =(), pr której pręt będie najwgodniejsą konstrukcją, tj. spełniającą krterium najmniejsej długości diałania sił wewnętrnch i najwięksej stwności. Wmiar ewej podstaw są następujące: ewnętrne b H =const i wewnętrne b w (); prawej: ewnętrne b H =const i wewnętrne b w ( ).
4 7 M. Figie H A F H H F H b w b = d Rs.. Pręt rociągan o iniowo miennej wsokości prekroju poprecnego Fig.. Bar being stretched with a inear changeabe height of the cross section Infinitemana objętość pręta jest równa d=a d. Z geometrii prekroju pręta o współrędnej wnika, że poe prekroju poprecnego jest okreśone aeżnością: skąd: [( H - H ) + H ]b -(b - bw ) A = () [(H - H ) + H ]b -(b - bw ) d = d (7) Naprężenia normane w prekroju o współrędnej wnosą: a długość diałania sił wewnętrnch jest równa: Q σ F = (8) {[(H - H ) + H ]b -(b - b ) } F {[(H - H ) + H ]b -(b - bw ) } = σ d = d = F {[(H - H ) + H ]b -(b - b ) } (9) Da danej sił rociągającej (ściskającej) F długość diałania sił wewnętrnch Q nie aeż od poa prekroju poprecnego A i funkcji wsokości (), tj. od wsokości prostokątnego prekroju poprecnego pręta, aeż natomiast od długości pręta. W ceu uproscenia prekstałceń do dasej anai ałóżm, że pręt jest rociągan taką samą siłą F= [kn], ma taką samą długość ==, [m] i objętość = = =8,4-3 [m 3 ] ora jest wkonan tego samego materiału co w poprednim prkładie. Poostałe wmiar są następujące: serokość b =,8 [m], b w =,4 [m] wsokość H =,8 [m] i H =, [m]. Podstawiając powżse dane, dostaniem: w w σ =,53 + [Pa] (),8 -,9,53+,8-,9 d = d= (,8+,( )-,8)d (), Potencjana energia deformacji U i wgędna u w jednostce objętości awarta w pręcie jest odpowiednio równa: U, 44 = σ d d E = E [J] () (,53+,8 -,9)
5 Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej 77 u σ 44 = = E [J/m 3 ] (3) E (,53+,8 -,9) Z aeżności () wnika, że rokład potencjanej energii deformacji w objętości jest funkcją wsokości (). Ponieważ długość diałania sił wewnętrnch Q nie aeż od =(), więc do naeienia funkcji =() dającej ekstremum energii odkstałcenia sprężstego ograniceniem równościowm na objętość pręta = = =8,4-3 [m 3 ] wkorstam funkcjonał Lagrange a. Ogranicenie apisem w postaci równościowej, skąd otrmam funkcję:, Φ () = (,8+,( ) -,8) d- = (4) Zakładając funkcjonał Lagrange a da wnacenia ekstremum warunkowego potencjanej energii deformacji ograniceniem (4), dostaniem:,, L = d λ [,8,( ) -,8]d- E + (,53,8 -,9) + (5) + Z ekstremum warunkowego funkcjonału (5) mam: =,53+,8 -,9-8,4 λ L - 3 skąd po prekstałceniach otrmam funkcję: = () = ( ) =, 7+, 3(3) (7) Da powżsch danch i funkcji (7) mam: - objętość: =8,4-3 [m 3 ], - długość diałania sił: Q = [Nm], - całkowitą energię odkstałcenia sprężstego: U =8,3 3 /E [MJ], - energię wgędną w jednostce objętości: u =94,5 3 [MJ/m 3 ], - wdłużenie sprężste: =,() /E [m], - naprężenia normane: =,39 [MPa]. Z powżsch obiceń wnika, że wartości krteriane najwgodniejsej konstrukcji da prekroju prostokątnego iniowo miennego są takie same jak da pręta o stałm prekroju..3. Pręt o nieiniowości geometrcnej prekroju Jako następn prkład prjmiem pręt jak na rsunku, o miennej paraboicnie wsokości =,7+a. Da objętości pręta 3 = =8,4-3 [m 3 ] współcnnik kierunkow a=,(), skąd funkcja =,7+,(). Da danch i funkcji =,7+,() mam: - objętość: =8,4-3 [m 3 ], - długość diałania sił: Q 3 = [Nm].
6 78 M. Figie a) b) Rs. 3. Pręt o nieiniowości geometrcnej: a) miana naprężeń wdłuż pręta, b) miana wgędnej objętościowej potencjanej energii deformacji wdłuż pręta Fig. 3. Bar with geometrica non-inearit: a) change of stresses aong the bar, b) change of reative voumetric potentia energ of deformation aong the bar Całkowitą energię odkstałcenia sprężstego wnacam aeżności: U 3, = σ d ( ) d E = E -3 [J] (8) 8,4 +,8 -, Po podstawieniu danch do (8) i scałkowaniu całkowita energia odkstałcenia sprężstego wnosi U 3 =,7 /E [MJ] i jest więksa od energii prętów ropatrwanch w rodiałach. i.. Naprężenia i jednostkowa potencjana energia deformacji u są okreśone aeżnościami: σ = -3 [Pa] (9) 8,4 +,8 -, u σ 44 = = -3 [J/m 3 ] () E E (8,4 +,8 -, ) Na wkresach rsunku 3a i 3b pokaano mianę naprężeń () wdłuż pręta i wgędnej objętościowej potencjanej energii deformacji u (). Rokład wgędnej objętościowej potencjanej energii deformacji w pręcie o nieiniowm prekroju poprecnm nie jest stał, mienia się wdłuż długości pręta. Pręt nie spełnia krterium równej wgędnej potencjanej energii deformacji w objętości, a więc nie spełnia jednego krteriów najwgodniejsej konstrukcji nośnej. Wdłużenie bewgędne wnosi:, Δ3 = d E -3 [Pa] () 8,4 +,8 -, Po podstawieniu danch i scałkowaniu otrmam 3 =4,7 /E [m]. Wdłużenie całkowite również jest więkse od wdłużenia prętów ropatrwanch w rodiałach. i..
7 d Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej NAJWYGODNIEJSZA KONSTRUKCJA PRZY ZGINANIU 3.. Beka o niemiennm prekroju prostokątnm ginana stałm momentem Ropatrm eement konstrukcjn pokaan na rsunku 4, jakim jest beka o prekroju prostokątnm, długości ==const, pou prekroju A =A =b h, objętości = =A = b h =const, ginana stałm momentem M=const. M M da =b 4 d d d = b h Rs. 4. Beka o niemiennm prostokątnm prekroju ginana stałm momentem Fig. 4. Beam with an invariabe rectanguar cross section of bending with constant moment Da prekroju prostokątnego i momentu gnącego M g =M pokaanego na rsunku 4 długość diałania sił wewnętrnch Q jest okreśona na podstawie całki (): M g Q = σ d = d J. () Dwójka pred nakiem całki wnika e naków naprężeń, górne inie sił są ściskane, done rociągane. Całka () da takiego rokładu naprężeń i smetrii prekroju wgędem głównch centranch osi bewładności jest równa eru, stąd obicenia po wartości bewgędnej da jednej stron ściskanego ub rociąganego prekroju. Da górnej i donej warstw inii sił infinitemana objętość pręta jest równa d=da d=b d d, a moment bewładności prekroju J =b h 3 /, stąd: h 4 M Q = 3 d d (3) h 3M 3M b Q = = (4) h Na podstawie (4) możem stwierdić, że długość diałania sił wewnętrnch Q da momentu gnącego M g =M=const aeż od wsokości h prekroju prostokątnego i długości beki ub, pr spełnieniu warunku = =b h =const, od serokości b i długości beki. Wgędna objętościowa energia odkstałcenia sprężstego jest równa: h 4 h σ 77M 77M u = = = (5) E Eb E Na wartość energii u w najwięksm stopniu wpłwa wsokość prekroju. Akumuacja jednostkowej objętościowej energii wdłuż wsokości jest funkcją hiperboicną. Również da stałej objętości i da =const akumuacja jednostkowej energii najbardiej się mienia wra e mianą wsokości prekroju.
8 8 M. Figie Całkowitą energię odkstałcenia sprężstego wnacam aeżności: 3 M M U = Mgd E J = = () Eb h E h Wartość energii U mienia się hiperboicnie wra e wrostem wsokość prekroju. Średnia wartość wgędnej objętościowej potencjanej energii deformacji jest równa: h M U sr = (7) E i mienia się również według hiperboi drugiego stopnia. Zaeżność, da =const, międ całkowitą potencjaną energią deformacji U i długością diałania sił Q jest następującą: a pomięd Q i U : M Q U = (8) Eh Eh M Q = U. (9) Z aeżności (9) wnika, że wra e więksaniem się długości pręta długość diałania sił Q maeje pr poostałch niemiennch wiekościach, natomiast mniejsając wsokość h, również możem osiągnąć mniejsenie wartości Q. Da energii odkstałcenia sprężstego U, opisanej aeżnością (8), powżse mian powodują wrost wartości energii. Pr konstruowaniu beki o stałej objętości bardiej ceowe jest jej wdłużenie niż mniejsanie wsokości, ponieważ prrost całkowitej energii odkstałcenia sprężstego U i długość diałania sił Q będą sbciej się mieniać, a tm samm taka beka kasfikowana według krteriów podanch w rodiae będie awse wgodniejsą konstrukcją. Zmiana wsokości beki ma odwrotn wpłw na energię U. Powżse mian h i prowadą do preciwstawnch mian krteriów najwgodniejsej konstrukcji. W ceu uproscenia prekstałceń prjmiem następujące dane: b =,8 [m], h =,9 [m], =, [m], =8,4-3 [m 3 ]. Da powżsch danch mam: - aeżności (4), długość diałania sił wewnętrnch: Q =4 M [Nm], - aeżności (), potencjaną energia deformacji: U =3,457 M /E [kj], - aeżności (5), wgędną objętościową energią deformacji: u =,4 M /E [MJ/m 3 ]. 3.. Beka o miennm prekroju prostokątnm ginana stałm momentem W procesie konstruowania w więksości prpadków długość beki wnika własności funkcjonanch konstrukcji, datego jako mienną można prjąć wsokość beki ub jej serokość. Jako mienną prjmiem wsokość beki. Ropatrm bekę pokaaną na rsunku 5. Beka ma prekrój prostokątn o miennej wsokości h, długości ==const, infinitemanm pou prekroju da =b d i objętości d=a d = b d d ora całkowitej objętości =const, jest ginana stałm momentem M=const.
9 Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej 8 h h H H() d d da =b d b M = d M Rs. 5. Beka o miennm prekroju prostokątnm ginana stałm momentem Fig. 5. Beam with a variabe rectanguar cross section of bending with constant moment Da prekroju prostokątnego o miennej wsokości h i momentu gnącego M g =M=const pokaanego na rsunku 5 długość diałania sił wewnętrnch Q wnacm aeżności: Q Mg 4M = σ d = d = d J b 3 (3) (h ) skąd po wstawieniu infinitemanch wiekości otrmam: Q = 3M d 3d h Da danego prekroju o współrędnej wsokość h jest stała i równa h =H +a. Współcnnik kierunkow a funkcji połow wsokości całkowitego prekroju jest współcnnikiem posukiwanm, pr którm wartość długości diałania sił wewnętrnch Q i potencjana energia deformacji U pr stałej objętości będą ekstremane. Wstawiając h =H +a do całki (3), otrmam: h H + d Q = 3M 3d h Po scałkowaniu i prekstałceniach otrmam aeżność na okreśenie długości diałania sił wewnętrnch: Potencjaną energię deformacji wnacm całki: a (3) (3) 3M H + a Q = n (33) a H = M = M U d 3 d (34) E J ( ) E b (h ) Po podstawieniu h i scałkowaniu wrażenia (34) dostaniem aeżność: U 3M a = [ - ] (35) 8Eb H ( H + a) Wgędna objętościowa potencjana energia deformacji jest okreśona aeżnością: σ 9M u = = E (3) 8Eb ( H + a)
10 8 M. Figie 3M gdie naprężenia w dowonm prekroju są równe σ = 3. b( H + a) Objętość jest równa: a = b d + d = b ( H + ) (37) H a W ceu okreśenia wartości współcnnika a i uproscenia prekstałceń do dasej anai ałóżm następujące dane: objętość = =8,4-3 [m 3 ]=const, serokość b =,8 [m], wsokość H =,8 [m] i =, [m]. Podstawiając powżse dane na podstawie (33-37), dostaniem: 3M Q = n(+,5a ) (38) a U M = 75, 78 (4) (,8+ a) E u =, 53+, 7a. (4) Funkcja równościowa ogranicenia na objętość =const jest równa: -3 Φ( ) = - =, 7, 7a (4) + Zestawiając funkcjonał Lagrange a, otrmam: M a = 4,875 [5,5- ] (39) E (,8+,a ) 3M M a -3 L = n(+,5a ) + 4,875 [5,5- ] λ(, 7, 7a ) a E + + (43) (,8+,a ) i okreśając ekstremum warunkowe, aeżności L - =, 7 3 +, 7a = wnacm λ posukiwan współcnnik kierunkow a, któr jest równ a=-,5833. Ujemn współcnnik a onaca, że beka węża się w kierunku dodatniej osi. Na podstawie współcnnika a=-,5833 odpowiednio wnacam: - aeżności (38), długość diałania sił wewnętrnch: Q =53,47 M [Nm], - aeżności (39), potencjaną energię deformacji: U =9,5 M /E [J], - aeżności (4), wgędną objętościową energię deformacji u da: =, u ()=7,5 M /E [MJ/m 3 ], =,, u (,)=75,3 M /E [MJ/m 3 ]; - aeżności (4), długość diałania sił wewnętrnch:q =4 M [Nm], - aeżności (), potencjaną energię deformacji: U =3,457 M /E [kj], - aeżności (5), wgędną objętościową energię deformacji: u =,4 M /E [MJ/m 3 ]. Z powżsch danch wnika, że pr stałej objętości beek wartości krteriane, długość diałania sił wewnętrnch Q i potencjana energia odkstałcenia U da prekroju iniowo miennego są więkse niż da beki o stałm prekroju. Beki o stałm prekroju ginane stałm momentem są najwgodniejsmi eementami konstrukcjnmi.
11 Krteria kstałtowania najwgodniejsej konstrukcji nośnej WNIOSKI Na podstawie preprowadonch anai prostego rociągania i ginania prętów prostch można stwierdić, że:. da rociąganego (ściskanego) pręta o dowonm prekroju prostokątnm wartość krteriana najmniejsej długości diałania sił jest stała,. eement rociągan (ściskan) o stałm prekroju spełnia dwa krteria najwgodniejsej konstrukcji, 3. pręt rociągan o nieiniowości geometrcnej spełnia krterium najmniejsej długości diałania sił, ae nie spełnia krterium najwięksej stwności i nie jest eementem e wgędów konstrukcjnch najwgodniejsm, 4. da ginania prostego beki o stałm prekroju wartości krteriane są minimane, a więc taki eement e wgędów konstrukcjnch jest najwgodniejs, 5. ginane beki o miennm iniowo prekroju nie spełniają krteriów najwgodniejsej konstrukcji nośnej. Bibiografia. Figie M.: Optmane kstałtowanie struktur eementów konstrukcjnch tpu tarca. Acta Mechanica et Automatica, vo. 3, No., 9, s Figie M.: Formation of the most optima supporting construction in a two-dimensiona state of oad. Internationa Journa of Appied Mechanics and Engineering, vo. 7, No. 3,, Universit Press, Zieona Góra, Poand, p Bendsøe M.P.: Optima Materia Distribution Optima shape design as a materia distribution probem Struct. Optimiation, 989, p Zaewski W., Kuś S.: Wtrmałościowe kstałtowanie konstrukcji na minimum ciężaru. Inżnieria i Budownictwo, nr 9, 995, s
Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a
Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W
Bardziej szczegółowoCzęść 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp
Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa:
Bardziej szczegółowoZginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Katedra Wtrmałości Materiałów i Metod Komputerowch Mechaniki Wdiał Mechanicn Technologicn Politechnika Śląska LABORATORUM WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Zginanie ukośne ZGNANE UKOŚNE 2 1. CEL ĆWCZENA Ćwicenie
Bardziej szczegółowoProjekt: Data: Pozycja: A ch = 0,5 20, ,40 = 5091,1 cm 4
Pręt nr 4 Wniki wmiarowania stali wg P-E 993 (Stal993_3d v..4) Zadanie: Hala stalowa suwnicą - P-E.rm3 Prekrój:,9 Z Y 50 Wmiar prekroju: h00,0 s76,0 g5, t9, r9,5 e0,7 Charakterstka geometrcna prekroju:
Bardziej szczegółowoKONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA
ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania
Bardziej szczegółowoANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY
Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd
Bardziej szczegółowo4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła
Bardziej szczegółowoPręt nr 2 N 3,1416² ,1. Wyniki wymiarowania stali wg PN-EN 1993 (Stal1993_2d v. 1.3 licencja) Zadanie: P_OFFER Przekrój: 8 - Złożony
Pręt nr Wniki wmiarowania stali wg P-E 993 (Stal993_d v..3 licencja) Zadanie: P_OER Prekrój: 8 - Złożon Z Y 39 83 Wmiar prekroju: h6,0 s438,7 Charakterstka geometrcna prekroju: Ig4490, Ig34953,6 83,00
Bardziej szczegółowoFale skrętne w pręcie
ae skrętne w ręcie + -(+) eement ręta r π ) ( 4 Lokane skręcenie o () moment skręcając moduł stwności r romień ręta r 4 ) ( π Pod włwem wadkowego momentu eement ręta uskuje rsiesenie kątowe i sełnion jest
Bardziej szczegółowoZłożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych
Złożone diałanie sił wewnętrnch w rętach rostch Jeżeli sił wewnętrne nie redukują się włącnie do sił odłużnej N, orecnej T i momentu gnącego Mg c momentu skręcającego Ms, to radki takie nawa się łożonmi
Bardziej szczegółowo2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9, 11, 13, 34, 51])
P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie ELEENTY TEOII PĘTÓW SILNIE ZKZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9,, 3, 34, 5]) Premiescenia i odkstałcenia osiowe Pre pręty sinie akrywione romie się
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego
Bardziej szczegółowoBelki zespolone 1. z E 1, A 1
Belki espolone. DEFINIC Belki espolone to belki, którch prekrój poprecn składa się co najmniej dwóch materiałów o różnch własnościach ficnch (różne moduł Younga i współcnniki Poissona), pr cm apewnione
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrmałości materiałów IMiR IMT - Wkład Nr 0 Złożon stan naprężeń - wtężenie materiału stan krtcn materiału pojęcie wtężenia cel stosowania hipote wtężeniowch naprężenie redukowane pregląd hipote
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE
. UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego
Bardziej szczegółowo2.1. ZGINANIE POPRZECZNE
.1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrmałości materiałów IMiR -IA- Wkład Nr 9 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie
J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 5 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja
Bardziej szczegółowo1. Zestawienie obciążeń
1. Zestawienie obciążeń Lp Opis obciążenia Obc. char. kn/m γ f k d Obc. obl. kn/m 1. Pokrcie ser.1,75 m [0,400kN/m2 1,75m] 0,70 1,35 -- 0,95 2. Obciążenie wiatrem połaci nawietrnej dachu - -0,86 1,50 0,00-1,29
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowocz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoPodstawy Konstrukcji Maszyn
Podsta Konstrukcji Masn kład Podsta oliceń elementó masn Dr inŝ. acek Carnigoski OciąŜenia elementu OciąŜeniem elementu (cęści lu całej masn) są oddiałania innc elementó, środoiska ora ociąŝeń enętrnc
Bardziej szczegółowoZginanie Proste Równomierne Belki
Zginanie Proste Równomierne Belki Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Bardziej szczegółowoSił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł
echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego
Prkład.1. Projektowane prekroju gnanego Na belkę wkonaną materału o wtrmałośc różnej na ścskane rocągane dałają dwe sł P 1 P. Znając wartośc tch sł, schemat statcn belk, wartośc dopuscalnego naprężena
Bardziej szczegółowoFale skrętne w pręcie
ae skrętne w ręcie + -(+) eement ręta R π 4 R π 4 d r π ) ( 4 Lokane skręcenie o () moment skręcając moduł stwności r romień ręta r 4 ) ( π Pod włwem wadkowego momentu eement ręta uskuje rsiesenie kątowe
Bardziej szczegółowoWyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla
Ćwicenie 13 Wnacanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprewodnikach metodą efektu alla Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest aponanie się e jawiskiem alla, stałoprądową metodą badania efektu alla,
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowopionowe od kół suwnic, zgodnie z warunków równowagi statecznej (rys. 6.4) dla
6.7. Prkład oblicania słupa pełnościennego esakad podsuwnicowej Pełnościenne słup esakad podsuwnicowej podpierają or podsuwnicowe na kórch pracują suwnice pomosowe naorowe o udźwigach i paramerach echnicnch
Bardziej szczegółowoTEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1
ĆWICZENIE NR 1 TEMAT: Próba statycna rociągania metali. Obowiąująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 Podać nacenie następujących symboli: d o -.....................................................................
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch - Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs... s.. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowo11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ
11. WŁANOŚCI PRĘŻYTE CIAŁ Efektem działania siły może być przyspieszanie ciała, ae może być także jego deformacja. Przykładami tego ostatniego są np.: rozciąganie gumy a także zginanie ub rozciąganie pręta.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych
Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoWYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA
TRAŁOŚĆ ŁOŻONA rpadki wtrmałości łożonej praktce inżnierskiej najcęściej spotka się łożone prpadki ociążeń konstrukcji. Do prawidłowego rowiąwania tc agadnień koniecna jest najomość wceśniej omówionc prostc
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe.
HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE Wtężenie i jego miara Wkres rociągania stali miękkiej pokauje że punkt materialn najdując się w jednoosiowm stanie naprężenia prechodi w trakcie więksania naprężenia pre kolejne stan
Bardziej szczegółowoP R O J E K T N R 1 WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Zawiera: Wyznaczenie wymiarów przekroju poprzecznego belki zginanej poprzecznie
atedra Wtrzmałości Materiałów Rok akad. 005/06 Wdział Inżnierii Lądowej emestr zimow Politechniki rakowskiej P R O J E T N R 1 Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Zawiera: Wznaczenie wmiarów przekroju poprzecznego
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 2 a Wyznaczanie siły krytycznej pręta o przekroju prostokątnym posiadającego krzywiznę początkową.
Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grua nr: Ocena:
Bardziej szczegółowonapór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )
5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka
Bardziej szczegółowo- 1 - OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE - DREWNO
Użtkownik: Biuro Inżnierskie SPECBUD Autor: mg inż. Jan Kowalski Ttuł: Konstrukcje drewniane wg PN-EN Belka - 1 - Kalkulator Konstrukcji Drewnianch EN v.1.0 OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE - DREWNO 2013 SPECBUD
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA
Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ. Instrukcja do ćwiczenia
LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ Instrukcja do ćwicenia 3 Ruch precesjn giroskopu Cel ćwicenia Obserwacja jawiska precesji regularnej. Badanie ależności prędkości kątowej precesji od momentu sił
Bardziej szczegółowoPraca siły wewnętrznej - normalnej
Praca siły wewnętrznej - normanej Uzyskujemy ostatecznie: L L 1 1 1 N N s N EA N EA Gzie ostatni wzór pokazuje pracę sił normanych w całym pręcie (przypomnienie z poprzeniego wykłau) Ważna ygresja Współczynnik
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.1. Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia
Prkład Pretrenn tan naprężenia i odktałcenia Stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie jet określon a pomocą diewięciu kładowch, które onacam literą odpowiednimi indekami Pierw indek onaca normalną ewnętrną
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI. Architektura sem. II letni Wykład VII. dr inż. Marek BARTOSZEK. KTKB p.126 WB
MECHANIKA BUDOWLI Arcitektura sem. II letni Wkład VII dr inż. Marek BARTOSZEK KTKB p.16 WB marek.bartosek@polsl.pl ttp://kateko.rb.polsl.pl/ 11-3- Za wsstkie uwagi odnośnie poniżsc wkładów gór diękuję.
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoODKSZTAŁCENIE PLASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROPOWYCH. Opis dla ośrodka ciągłego
ODKSZTAŁCENIE LASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROOWYCH. Opis dla ośrodka ciągłego (opracowano na podstawie: C.N. Reid, deformation geometr for Materials Scientists, ergamon ress, Oford, 97) Wstęp Omówim tera sposób
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7
ozwiązwanie ram płaskich wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 7 Obciążenie ram płaskiej, podobnie jak w przpadku beek rozdział 6, mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe
Bardziej szczegółowoσ x σ y σ z σ z, Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. 7. RÓWNANIA FIZCZN 7.. Zwiąki ięd stane odkstałcenia i naprężenia. I i II postać równań Hooke a Zależność deforacji brł od obciążeń ewnętrnch naruca istnienie
Bardziej szczegółowoPROJEKT KONSTRUKCYJNO-BUDOWLANY CZĘŚĆ OPISOWA
PROJEKT KONSTRUKCYJNO-BUDOWLANY CZĘŚĆ OPISOWA 1.Ogólna charakterstka obiektu. Budnek apleca socjalnego wkonan w technologii tradcjne murowanej. Fundament żelbetowe. Układ konstrukcjn dachu wkonan jako
Bardziej szczegółowoLaboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
Bardziej szczegółowoPrzykład: Belka swobodnie podparta bez stęŝeń bocznych
Dokument Ref: SX001a-EN-EU Strona 1 8 Dot. Eurokodu EN Wkonał Alain Bureau Data grudień 004 Sprawdił Yvan Galéa Data grudień 004 Prkład: Belka swobodnie podparta be stęŝeń bocnch Prkład ilustruje asad
Bardziej szczegółowoNOŚNOŚĆ GRANICZNA
4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:
PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci
Bardziej szczegółowoUTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.
Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY Rok skoln 08/09 ETAP REJONOWY 0 grudnia 08 roku PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA adanie odpowiedź punkt B 3 C 3 3 A 3 4 B 3 5 E 3 6 B 3 7 E 3 8 C 3 9 D 3 0 A 3 7 adania
Bardziej szczegółowoPrzykład: Nośność na wyboczenie słupa przegubowego z stęŝeniami pośrednimi
3,0 ARKUSZ OBLICZEIOWY Dokument Ref: SX00a-E-EU Strona 1 4 Ttuł Prkład: ośność na wbocenie słupa pregubowego e Dot. Eurokodu E 1993-1-1 Wkonał Matthias Oppe Data cerwiec 00 Sprawdił Christian Müller Data
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.
Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.
Bardziej szczegółowoZginanie ze ściskaniem
Zginanie ze ściskaniem sformułoanie probemu przkład roziązań przkład obiczenioe Sformułoanie probemu W probemach tego tpu nie można stosoać zasad zesztnienia - konstrukcję naeż rozpatrać konfiguracji odkształconej
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 2 b
Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowoBADANIE CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCI MANIPULATORA SZEREGOWEGO Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW LINKOWYCH
MARTA GÓRA, RYSZARD TRELA BADANIE CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCI MANIPULATORA SZEREGOWEGO Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW LINKOWYCH DETERMINATION OF STIFFNESS CHARACTERISTICS OF SERIAL TYPE MANIPULATOR BY USING
Bardziej szczegółowo3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych
3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania
Bardziej szczegółowoWykresy momentów gnących: belki i proste ramy płaskie Praca domowa
ODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (OWYM) Wykresy momentów gnących: beki i proste ramy płaskie raca domowa Automatyka i Robotyka, sem. 3. Dr inŝ.. Anna Dąbrowska-Tkaczyk LITERATURA 1. Lewiński J., Wiczyński
Bardziej szczegółowo3. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOREKCYJNY)
Cęść 1. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOEKCYJNY) 1.. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOEKCYJNY).1. Wstęp Współcynnik κ naywany współcynnikiem ścinania jest wielkością ewymiarową, ależną od kstałtu prekroju. Występuje
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych
Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane
Bardziej szczegółowoĆw. 4. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia
KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw.. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia Wprowadzenie Ze wzgędu na budowę struktury cząsteczkowej, ciała stałe możemy podzieić na amorficzne oraz
Bardziej szczegółowoBelki złożone i zespolone
Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA. ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A) 200 B) 100 C) 3,2 D) 32
PRÓBNA MATURA ZADANIE ( PKT) Wskaż liczbę, której % jest równe 8. A) B) C), D) ZADANIE ( PKT) Odległość liczb od liczb -8 na osi liczbowej jest równa A) 8 B) + 8 C) + 8 D) 8 ZADANIE ( PKT) Wskaż rsunek,
Bardziej szczegółowo1.8. PROSTE ŚCINANIE
.8. PROSTE ŚCINNIE.8.. Wprowadeie Proste ściaie wstępuje wówcas, gd obciążeie ewętre redukuje się do wektora sił poprecej T, której kieruek pokrwa się główą, cetralą osią prekroju O. Prostm ściaie praktcie
Bardziej szczegółowoNaprężenia i odkształcenia Stress & strain. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkstałcenia Stress & strain Naprężenia i odkstałcenia Simplifing assumptions:. Soil is continuous. Soil is homogeneous. Soil is isotropic A continuous bod subjected to a sstem of eternal
Bardziej szczegółowoBadania zginanych belek
Mechanika i wtrzmałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratorjneo: Badania zinanch belek oprac. dr inż. Ludomir J. JNKOWSKI, dr inż. nna NIKODM. Wprowadzenie W wtrzmałości materiałów stan obciążenia
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoSiła ciężkości. Siła ciężkości jest to siła grawitacyjna wynikająca z oddziaływania na siebie dwóch ciał. Jej wartość obliczamy z zależności
Sła cężkośc Sła cężkośc jest to sła grawtacja wkająca oddałwaa a sebe dwóch cał. Jej wartość obcam aeżośc G gde: G 6,674 10-11 Nm /kg M m r stała grawtacja, M, m mas cał, r odegłość pomęd masam. Jeże mam
Bardziej szczegółowoRozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2
Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład
Bardziej szczegółowoWyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8
Wnacanie reakcji dnaicnch ora wważanie ciała w ruchu oroow wokół sałej osi 8 Wprowadenie Jeśli dowolne ciało swne o asie jes w ruchu oroow wokół osi, o na podporach powsają reakcje A i B. Składowe ch reakcji
Bardziej szczegółowoZginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym naprężenia normalne i styczne, projektowanie 8
Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8 Na rs. 8.1 przedstawiono belkę obciążoną momentami zinającmi w płaszczźnie x. oment nąceo dla tak obciążonej
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 1
kademia Górniczo Hutnicza Wdział nżnierii echanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia ateriałów i Konstrukcji azwisko i mię: azwisko i mię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena: Podpis:
Bardziej szczegółowoTEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10
W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,
Bardziej szczegółowo2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego
Przykład 10.. Obiczenie wartości obciażenia granicznego układu bekowo-słupowego Obiczyć wartość obciążenia granicznego gr działającego na poniższy układ. 1 1 σ p = 00 MPa = m 1-1 - - 1 8 1 [cm] Do obiczeń
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoGaz doskonały model idealnego układu bardzo wielu cząsteczek, które: i. mają masę w najprostszym przypadku wszystkie taką samą
Terodynaika 16-1 16 Terodynaika Założenia teorii kinetycno oekuarnej Ga doskonały ode ideanego układu bardo wieu cąstecek, które: i ają asę w najprostsy prypadku wsystkie taką saą, ii nie ają objętości
Bardziej szczegółowoPRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.
CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o
Bardziej szczegółowoWstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy
Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi
Bardziej szczegółowoElementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Element smetrii makroskopowej w ujęciu macierowm. 2 god. Cel ćwicenia: tworenie macier smetrii elementów smetrii makroskopowej
Bardziej szczegółowo