Ćw. 4. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia

Transkrypt

1 KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw.. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia Wprowadzenie Ze wzgędu na budowę struktury cząsteczkowej, ciała stałe możemy podzieić na amorficzne oraz krystaiczne. Ciała amorficzne zwane bezpostaciowymi (np. szkła czy żywice) posiadają atomy rozmieszczone w sposób nieuporządkowany (przypadkowy), natomiast ciała krystaiczne charakteryzują się uporządkowaną strukturą tworzącą reguarną sieć atomów ub cząsteczek. Ciała stałe są w większości ciałami poikrystaicznymi tzn. stanowią zbiór połączonych ze sobą krystaitów czyi małych ziaren o budowie krystaicznej zorientowanych wzgędem siebie przypadkowo i mających różne kształty. Atomy tworzące sieć krystaiczną pozostają w równowadze w wyniku wzajemnej kompensacji sił przyciągania i odpychania. Pod wpływem działania zewnętrznej siły odkształcającej następuje zmiana położenia atomów. Prowadzi to do naruszenia równowagi pomiędzy siłami wzajemnego oddziaływania i w związku z tym w strukturze sieci pojawiają się wewnętrzne siły sprężystości przeciwdziałające siłom zewnętrznym. Jeżei po ustaniu zewnętrznej siły odkształcającej sieć krystaiczna powraca do pierwotnego kształtu, to odkształcenie takie nazywamy sprężystym (eastycznym). Jeżei siła odkształcająca przekroczy pewną wartość krytyczną, następuje trwałe odkształcenie kryształu. Deformacja sieci krystaicznej jest wówczas tak duża, że atomy zajmują nowe trwałe położenia, w których następuje ponowna równowaga sił odpychania i przyciągania. Odkształcenie materiału poddanego takim dużym, krytycznym siłom nazywamy odkształceniem trwałym (pastycznym). Dasze zwiększanie wartości oraz czasu trwania siły może spowodować nieodwracane zerwanie wiązań między moekułami czyi rozerwanie (zniszczenie) materiału. Z punktu widzenia właściwości mechanicznych możemy podzieić materiały na kruche i pastyczne. Materiały kruche uegają zniszczeniu przy bardzo niewiekich odkształceniach. Materiały pastyczne uegają zniszczeniu przy znacznych odkształceniach. Do pierwszej kategorii materiałów można zaiczyć przykładowo: żeiwo, kamień, szkło, gips. Do drugiej kategorii zaiczamy np. miedź, złoto, sta niskowęgową. Podział na ciała kruche i pastyczne jest wzgędny, gdyż istnieją materiały, które w wysokiej temperaturze i przy wono działającej sie są pastyczne, a stają się kruche w miarę obniżania temperatury i przy szybko działającej sie. Ze wzgędu na zmianę geometrii ciał wprowadzamy pojęcia odkształcenia postaciowego, w którego trakcie zmienia się jedynie kształt ciała i odkształcenia objętościowego, kiedy to zmienia się objętość ciała bez zmiany kształtu. W rzeczywistych procesach zachodzą na ogół obydwa odkształcenia jednocześnie. W końcu XVII w. angieski fizyk Robert Hooke na drodze doświadczeń, odkrył prawo opisujące zjawisko występujące w ciee odkształcanym sprężyście. Hooke stwierdził, że siła oporu sprężystego rośnie iniowo wraz z odkształceniem. Iościowo tę zaeżność wyraża się równaniem: ε x = k σ, () gdzie: ε x odkształcenie wzgędne da okreśonego kierunku, k współczynnik proporcjonaności zaeżny od sposobu odkształcania i rodzaju ciała stałego, σ - ciśnienie zwane inaczej naprężeniem wewnętrznym.

2 Odkształcenia osiągamy przez: rozciąganie, ściskanie, zginanie, skręcanie i ścinanie. W odkształconym ciee stałym powstają siły wewnętrzne przeciwdziałające siłom zewnętrznym powodującym odkształcenie. Przy ściskaniu ujawniają się siły wzajemnego odpychania cząsteczek, a przy rozciąganiu siły przyciągania. Te siły wewnętrzne F w, przypadające na jednostkę powierzchni S poa przekroju prostopadłego do ich kierunku działania są naprężeniem wewnętrznym σ. F w N σ = S m. () Da dobrego zobrazowania prawa Hooke a rozważymy najprostszy przypadek, czyi rozciąganie ciała stałego (np. pręta) z rysunku. Rys.. Wydłużenie pręta pod wpływem siły rozciągającej. Jeżei 0 jest długością początkową pręta, - przyrostem długości pręta, F - siłą powodującą wydłużenie a S - poem przekroju poprzecznego pręta oraz wiedząc, że zgodnie z prawem akcji i reakcji F w = F to na podstawie zaeżności () oraz (), prawo Hooke a możemy zapisać 0 = k gdzie k jest współczynnikiem proporcjonaności da danego materiału a F S, () 0 stanowi wzgędny przyrost długości, zwany także wydłużeniem wzgędnym ε. Da rozważanego przypadku możemy napisać prawo Hooke a w postaci wzoru na naprężenie wewnętrzne σ. Jeżei przyjmiemy, że σ = () k 0 E =, to ostatecznie możemy zapisać: k σ = E, (5) gdzie E jest współczynnikem proporcjonaności, zwanym modułem Younga, Sens fizyczny modułu Younga okreśimy łatwo na podstawie wzoru (5), z którego wynika, że jeżei = 0, to E = σ. Stąd wynika sformułowanie, że Moduł Younga jest wiekością charakterystyczną da danej substancji i jest równy naprężeniu, przy którym następuje podwojenie długości ciała. Na ogół podwojenie długości ciał nie udaje się, ponieważ zwyke zanim to nastąpi, ciało uega rozerwaniu. N Wymiarem modułu Younga, zwanym także modułem sprężystości, jest. Moduł Younga m używany jest do okreśenia właściwości sprężystych ciał, a jego wiekość okreśa wytrzymałość materiału na różne czynniki mechaniczne. Podczas rozciągania ciała zmniejsza się jego poe przekroju poprzecznego (nie uwzgędnione na rysunku ), mierzone w kierunku prostopadłym do kierunku działania siły; mówimy, że następuje 0

3 przewężenie ciała. Stosunek wzgędnego przewężenia do wzgędnego wydłużenia nosi nazwę współczynnika Poissona i jest wiekością charakterystyczną da danego materiału. Np. da pręta o przekroju kołowym o promieniu r i długości współczynnik Poissona µ wyrażamy: r r µ = : =, (6) r r gdzie jest bezwzgędnym przyrostem długości a r bezwzgędnym zmniejszeniem promienia. Rys.. Naprężenie wewnętrzne jako funkcja wzgędnego przyrostu długości rozciąganego ciała. Wykres naprężenia wewnętrznego jako funkcji wydłużenia wzgędnego rozciąganego drutu ub pręta przedstawia rys.. Przedział 0 A na wykresie jest zakresem sprężystości, w którym ze wzgędu na iniowy charakter stosuje się prawo Hooke a. Punkt B oznacza koniec zakresu sprężystości. Przedział B C jest zakresem pastyczności materiału. Punkt D stanowi granicę wytrzymałości materiału, której przekroczenie powoduje rozerwanie drutu czy pręta. Materiały o stosunkowo dużym przedziae 0 B nazywamy materiałami sprężystymi (np. sta, guma). Da niektórych materiałów najdłuższa część wykresu zawiera się pomiędzy punktami B C. Takie materiały nazywamy pastycznymi (np. ołów, cyna). Materiały mające bardzo mały zakres sprężystości i pastyczności nazywamy kruchymi (np. żeiwo, beton). Metoda pomiaru Do pomiaru modułu Younga prętów grubych można posłużyć się metodą ugięcia pręta podpartego z obydwu stron (rys. ). Ugięcie powstaje pod wpływem siły P prostopadłej do pręta i przyłożonej w środkowej części pręta tj. w odegłości / od punktu podparcia. Rys.. Ugięcie siłą P pręta obustronnie podpartego.

4 Zachodzi wówczas zjawisko równoczesnego ściskania górnej i rozciągania donej, czyi przeciwegłych powierzchni ciała. Środkowa warstwa (znajdująca się pomiędzy górną a doną powierzchnią) jest neutrana i nie podega ani ściskaniu ani rozciąganiu. Zarówno ściskanie jak i rozciąganie zachodzi w granicy odkształceń sprężystych, da których ma zastosowanie prawo Hooke a. Miarą odkształcenia jest strzałka ugięcia λ. Tą metodą moduł Younga E możemy wyznaczyć stosując zaeżności (7) gdzie da prętów o przekroju prostokątnym stosujemy wzór (a), natomiast da prętów o przekroju okrągłym stosujemy wzór (b). P E = λ a b (a) P E = π λ d, (b) Oznaczenia występujące we wzorach: P siła uginająca pręt (ciężar szaki z obciążnikami), długość pręta, czyi odegłość między podporami (pryzmatami) R, λ - strzałka ugięcia, a i b odpowiednio szerokość i wysokość prostokąta będącego przekrojem pręta, d średnica pręta o przekroju okrągłym. Wykonanie ćwiczenia. Dokonać pomiarów wymiarów poprzecznych śrubą mikrometryczną badanej próbki (pręta): a) Da pręta o przekroju prostokątnym boków a i b np. co 5 cm wzdłuż boku a i wzdłuż boku b. b) Da pręta o przekroju kołowym np. 5 0 pomiarów średnicy w różnych miejscach da kierunków wzajemnie prostopadłych. Jako wyniki końcowe przyjąć średnie arytmetyczne ( a śr., b śr., r śr. ). (7) R R M S Rys.. Fotografia przedstawiająca stanowisko pomiarowe. Oznaczenia: M mikromierz, S szaka, R staowy pryzmat, R staowy pryzmat o reguowanym położeniu.. Położyć pręt na staowych pryzmatach R i R (rys. ) umieszczonych na iniae z podziałką miimetrową. Odegłość między pryzmatami, będąca długością, podaje prowadzący ćwiczenia.. W środkowej części między pryzmatami umieścić na iniae mikromierz M tak by ekko dotykał pręta.. Na środku pręta zawiesić szakę S o ciężarze P Nakładając na szakę odważniki o ciężarze P i (iość i wartość obciążeń ustaa prowadzący ćwiczenia) odczytywać wskazania mikromierza. Przy odczycie strzałki ugięcia λ uwzgędniać ciężar szaki P 0. przyjmując P i = P 0 + m i g, gdzie m i g jest ciężarem odważników. Przyspieszenie ziemskie g = 9,8 m/s. Odczytów dokonywać także przy zmniejszanym obciążeniu. 6. Sporządzić wykres ciężaru P w funkcji strzałki ugięcia λ tj. P = f(λ). 7. Obiczenia końcowej wartość modułu sprężystości E dokonać jedną z dwu metod (wyboru dokonuje prowadzący ćwiczenia):

5 a. Opierając się na sporządzonym wykresie poprzez zastosowanie metody najmniejszych kwadratów otrzymujemy prostą P = A λ. Da prostoiniowego odcinka zaeżności P = f(λ) ze wzorów (8) (będących przekształceniem wzorów (7) : (a) a b π d P = E λ, (b) = E λ P, (8) wyiczamy współczynnik kierunkowy prostej A. Współczynnik A we wzorach (8) wynosi odpowiednio: a b π d A = E (a) A = E, (b), (9) Przekształcając wzory (9) wyiczamy moduł Younga E, który wyiczamy stosując wzór (0a) da pręta o przekroju prostokątnym oraz wzór (0b) da pręta o przekroju okrągłym. A a b A E = π d (a) E =, (b). (0) b. Obiczając moduły Younga da poszczegónych obciążeń i jako wynik końcowy przyjmując średnie arytmetyczne wyiczone da pomiarów przy zwiększanym obciążeniu oraz da pomiarów przy zmniejszanym obciążeniu. Poszczegónych obiczeń dokonujemy na podstawie wzorów (7ab) odpowiednio: (a) da pręta o przekroju prostokątnym ub (b) da pręta o przekroju kołowym. 8. Maksymaną niepewność pomiaru modułu sprężystości E można obiczyć: W metodzie a) za pomocą różniczkowania wzoru (0a) ub (0b) obiczając A z metody najmniejszych kwadratów. W metodzie b) przy zastosowaniu różniczkowania wzorów (7a) ub (7b) da wybranego pomiaru eżącego najbiżej prostej. Do wyznaczenia niepewności pomiarowych mierzonych bezpośrednio przyjmujemy: a, b i d - największe odchyenia od wartości średniej pus niepewność odczytu na skai śruby mikrometrycznej, λ - podwójna wartość niepewności odczytu z podziałki mikromierza, - niepewność odczytu długości pręta (odegłości między pryzmatami R). Wartości podana ciężar szaki: P 0 =,588 N. Tabea pomiarowa. Pomiary szerokości a i wysokości b da prętów o przekroju prostokątnym. nr pomiaru... wartości średnie a b a śr b śr 5

6 Tabea pomiarowa. Wyznaczanie modułu Younga E da prętów o przekroju prostokątnym. seria zwiększanie nr pom. P i =P 0 +m i g [N] λ [m] a śr b śr E [N/m ] E śred [N/m ] zmniejszanie Tabea pomiarowa. Pomiary średnicy da prętów okrągłych. nr pomiaru... wartość średnia d d śr. Tabea pomiarowa. Wyznaczanie modułu Younga E da prętów o przekroju okrągłym. seria zwiększanie nr pom. P i =P 0 +m i g [N] λ [m] r śr. E [N/m ] E śr. [N/m ] zmniejszanie Zagadnienia do kookwium:. Rodzaje ciał stałych.. Rodzaje odkształceń.. Pojęcie odkształcenia wzgędnego i naprężenia.. Prawo Hooke a. 5. Zaeżność odkształcenia wzgędnego w funkcji naprężenia. 6. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia. Bibiografia:. Massaski J., Massaska M., Fizyka da inżynierów. WN-T, Warszawa, 008, tom.. Haiday D., Resnick R., Waker J., Podstawy fizyki, PWN, Warszawa 00, tom.. Szydłowski H., Pracownia fizyczna. PWN, Warszawa, 99. 6