Wytrzymałość Materiałów

Transkrypt

1 Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji dr hab. inż. Kinga Nalepka B, III p., pok knalepka@agh.edu.pl tel

2 1. Siły przekrojowe - naprężenia - rozciąganie/ściskanie d C - ścinanie - skręcanie - zginanie K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie

3 . Siły przekrojowe w belce Moment zginający:!!!!!! B Siła poprzeczna: 0 Pomijamy siłę podłużną & '. Nie ma wpływu na prowadzoną analizę. Belka pozostaje w równowadze:!!!! Wycięty element II również pozostaje w równowadze: #0, # % 0 K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 3

4 3 4 # # % C B. Siły przekrojowe w belce.1. Warunki równowagi 0 Δ Warunki równowagi: wartość średnia gęstości obciążenia na odcinku. 7 odległość środka ciężkości obciążenia od punktu B Twierdzenie Lagrange a o wartości średniej Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym (,) i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału to istnieje taki punkt,, że: * ) * ( *, )( * ) * ( + (, ).+ K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 4. * ) * ( *, )(

5 . Siły przekrojowe w belce.. Zależności różniczkowe Uwzględniając twierdzenie o wartości średniej: # # % Przyjmując, że wycięty element jest nieskończenie mały 0: Wnioski: W przedziale, w którym nie przyłożono obciążenia ciągłego 0, siła poprzeczna jest funkcją stałą, a moment funkcją liniową.. W przedziale, w którym przyłożono obciążenie równomiernie rozłożone prostopadłe do osi belki ;<=>?, siła poprzeczna ()jest funkcją liniową, a moment () funkcją kwadratową. Miejsce zerowe siły poprzecznej określa ekstremum momentu. 0 Tw. Schwedlera-Żurawskiego 8 8 K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 5

6 .3. Belki proste: podstawowe przypadki obciążenia Belka wolno podparta, równomiernie obciążona. Układ symetryczny K 3 kn G knm 8 8 LM 8 LM N 8 O 8 PQ& / LMO S J Belka wolno podparta, obciążona siłą skupioną. Układ symetryczny K K J kn K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie knm 4 W punkcie przyłożenia siły skupionej prostopadłej do osi belki następuje skok w wykresie siły poprzecznej o wartość przyłożonego obciążenia. Belka wolno podparta, obciążona momentem skupionym. K kn knm W punkcie przyłożenia momentu skupionego następuje skok w wykresie momentu o wartość przyłożonego obciążenia. K

7 3.Wyznaczanie sił przekrojowych w belkach 3.1. Przykład Zadanie 1 Wyznacz funkcje i sporządź wykresy sił przekrojowych (siły podłużnej N, poprzecznej, T i momentu M) dla belki przedstawionej poniżej. T 3 4m T 4 kn 8 knm 1 kn/m 1 kn 1 kn ^\ 1 kn 45 B C D 1 kn [ Z 1 kn [ \ 0 kn T 1.5 m m m Warunki równowagi: Z 0 N O T 8 [ \ T 8 T 8 0 [ \ 0 [ Z T [ \ 0 [ Z T [ \ [ Z 1 kn T 8 T 8 T 8 T 8 0 kn ] 0 ^\0 ^\ 1 kn Sprawdzenie: 0 % 1 _ 8 T 8 1 ` 80 T a K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 7

8 .Wyznaczanie sił przekrojowych w belkach.1. Przykład 1 kn/m 8 knm ^\ 1 kn B C D 1 / 3 K [ Z 1 kn [ \ 0 kn T 1.5 m m m 1 ' kn kn knm K 8 knm [ \ 0 kn 1 kn kn B: 0, T ' 0 [ Z [ Z N O 8 Z 0 1 kn % T 8 kn Z 0 0 % T knm de d& 0 [ Z f 0 f g h L 1 m i&j f 8 knm BC: T, T 8 ' 0 [ \, % \ 8 kn T 8 [ \ T 8 % knm, \ knm CD: T 8, T 8 ' 1 kn, \ k 1 kn T 8, \ knm, k 0 K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 8

9 J D 4. Zginanie poprzeczne, a zginanie proste C J Zginanie poprzeczne B: 0, 0 0, K Zginanie proste BC:,3 B J J 0 K Zginanie poprzeczne K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 9 l ) ( f m n o l 3 f () () Zginanie poprzeczne Obciążenie stanowią siły działające wzdłuż osi symetrii przekroju poprzecznego. Dodatkowo w płaszczyźnie tworzonej przez oś symetrii i oś pręta mogą być przyłożone momenty skupione. Zginanie proste Obciążenie stanowią wyłącznie momenty.

10 5. Zginanie proste Konfiguracja początkowa włókno górne oś pręta włókno dolne Konfiguracja końcowa wydłużone włókno górne Prosty pręt pryzmatyczny o dowolnym przekroju poprzecznym i zadanych więzach (odbierających wszystkie stopnie swobody) obciążono na końcach momentami M, których wektory są równoległe do jednej z osi głównych centralnych przekroju poprzecznego. pręt jest nieważki, osie y, z stanowią osie główne centralne przekroju poprzecznego. ugięta oś pręta warstwa obojętna skrócone włókno dolne p Przekroje poprzeczne pręta pozostają płaskie i prostopadłe do ugiętej osi pręta po przyłożeniu obciążenia K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 10

11 5. Zginanie proste 5.1 Odkształcenia i naprężenia ^ v y & o ^ v Odkształcenie liniowe: q &,, lim t u v n^nv^ v^ p x p x p q &,, lim w f x p x x q &,, lim w f x p Prawo Hooke a: p y & z q & z p Równoważność układu sił przekrojowych i naprężeń '0 { y & o0 czyli { z Z p o z Z p { o z Z p m 0 m : Moment statyczny względem osi głównej centralnej m 0 K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 11

12 5. Zginanie proste 5.. Stan odkształceń i naprężeń Równoważność układu sił przekrojowych i naprężeń: { y & o Z Zgodnie z zależnością y & z otrzymujemy: } { z 8 p o Z z p { 8 o Z z p - główny centralny moment bezwładności. y & o y & PQ& Ostatecznie krzywizna warstwy obojętnej: 1 p z Naprężenie normalne: y &,, y & P Odkształcenia liniowe: q &,, z q q ~q & q,, q,, ~ z ƒ! ƒ rozciąganie K! K ściskanie K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 1

13 5. Zginanie proste 5.3. Warunek bezpieczeństwa Materiały kruche ƒ! ƒ ( Š Š Œ Š K! K ˆ Materiały sprężysto plastyczne ( Š Ž, gdzie Ž! ƒ - Wskaźnik wytrzymałości przekroju przy zginaniu Š - Dopuszczalne naprężenie przy zginaniu Rozkład naprężeń w przekroju prostokątnym Oś obojętna Przy zginaniu prostym pokrywa się z wektorem momentu. Dzieli bryłę naprężeń na rozciągające i ściskające. W punktach najdalej od niej położonych występują największe (dodatnie lub ujemne) naprężenia. K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 13 y & PQ& y & P oś obojętna

14 5.4.Wskaźnik wytrzymałości przekroju przy zginaniu przekrój kołowy a 4 a 4 PQ& _ 3 przekrój pierścieniowy a 4 a 4 a a 4 a a 3 ^ ^ przekrój prostokątny ^_ 1 K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 14 PQ& ^8 Wskaźniki wytrzymałości przekroju nie są addytywne l ) ^_ 1 )l_ 1 ^ ^ ^_)l _ ^

15 5.5 Projektowanie elementów poddanych zginaniu: przykład 1 kn/m 8 knm ^\ 1 kn B C D 1 [ Z 1 kn [ \ 0 kn T 1.5 m m m ' kn kn knm kn 1 1 Ž Dane: Š 10 MPa 45 PQ& 8 knm 1 kn Warunek bezpieczeństwa š Š 8 knm š _kn m 8 š.7 cm _ Dwuteownik normalny I 140: 81.9 cm _ W. Bogucki, M. Żyburtowicz, Tablice do projektowania konstrukcji metalowych, rkady, Warszawa 199 K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Zginanie 15 h