METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA

METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA Zakład Modelowaia i Grafiki Komputerowej, Istytut Iformatyki, Uiwersytet Śląski e-mail: {kotarski, kgdawiec, alisow}@u.math.us.edu.pl Streszczeie W pracy przedstawioo wybrae metody geerowaia estetyczych wzorów za pomocą komputera. Do prezetacji wybrao trzy metody oparte a różych podejściach: systemach dyamiczych, biomorfach oraz wielomiaografii, które geerują szerokie spektrum wzorów o dużych potecjalych możliwościach ich praktyczego zastosowaia. Wzory geerowae automatyczie, a podstawie wybraych metod, mogą staowić ispirację dla grafików komputerowych. Poadto, metody te wzbogacoe dodatkowo o formale kryteria oceiające miarę estetyki geerowaych wzorów takie jak: złożoość, symetrie, zwartość, spójość, wymiar fraktaly, mogą tworzyć podstawę systemu geerującego automatyczie wzory o zadaych przez użytkowika parametrach estetyczych.. Wstęp Wzory o walorach estetyczych używae są w wielu dziedziach, p. w architekturze, zdobieiu tkai, jako motywy dekoracyje a tapetach, kafelkach czy przy projektowaiu biżuterii. Najczęściej te iepowtarzale wzory są dziełem artysty malarza, czy grafika. Jego gust i smak artystyczy zapewiają zazwyczaj wysoką jakość estetyczą wykoaych wzorów i pozytywy odbiór ich przez użytkowików. Proces tworzeia takich wzorów ręczie jest długotrwały. Istieje więc aturala potrzeba przyśpieszeia tego procesu przez wykorzystaie możliwości jakie dają komputery w połączeiu z matematyką. Niepowtarzale wzory estetycze mogą być geerowae za pomocą fraktali [], superfraktali [], metod podziału [7], L-systemów [6], automatów komórkowych, systemów dyamiczych [], iteracji fukcji zmieej zespoloej, w szczególości prowadzących do zbioru Madelbrota [], zbiorów Julii [], biomorfów [5], wielomiaografii [9]. Niektóre z wymieioych metod moża dodatkowo wyposażyć w mechaizm ewolucyjy przez zastosowaie algorytmów geetyczych do modyfikacji wzorów [7]. Spośród wielu metod do automatyczego geerowaia wzorów autorzy artykułu do dokładiejszej aalizy wybrali tylko trzy metody: oparte a systemach dyamiczych, biomorfach i wielomiaografii. Każda z ich geeruje iepowtarzale charakterystycze wzory, które są istotie wizualie róże przy zastosowaiu różych metod. Wygeerowae wzory często moża uzać za estetycze czyli w potoczym zaczeiu tego słowa za łade. W tym miejscu ależy podkreślić, że pojęcie estetyki jest pojęciem subiektywym. To co dla iektórych jest łade, iym się ie podoba i odwrotie. Wartości estetycze zależą od gustu i smaku artystyczego, które ie są łatwe do zdefiiowaia. Pomimo tych trudości Birkhoff w 9 roku podjął pierwszą próbę sformalizowaia estetyki []. Późiejsze prace, p. [, 7] opierają miary estetyki a złotym podziale, symetrii (spiralej, zwierciadlaej), złożoości, zwartości, spójości, wymiarze fraktalym. Uwzględiają też rolę barwy i dobór palety. Miara estetyki budowaa jest statystyczie dla daego zbioru wzorów i ich oce uzyskaych od ekspertów oceiających te wzory. Dzięki takiemu statystyczemu podejściu udaje się uzyskać a podstawie

aalizy regresji ieliiowy model wartości estetyczej, który może być użyty do ocey wartości estetyczych wzorów geerowaych automatyczie. Podejście to ma oczywiste wady. Jedą z ich jest zależość modelu miary estetyki od metody wybraej do geerowaia wzorów. Przy tych rozważaiach ależy też wspomieć, że estetyka muzyki dzięki jej formalizacji za pomocą zapisu utowego jest zaczie łatwiejsza w oceie w porówaiu z estetyką obrazów. Układ pracy jest astępujący: w podrozdziale omówioo systemy dyamicze i przedstawioo przykładowe wzory wygeerowae za ich pomocą. Podrozdział poświecoy jest biomorfom i ich przykładowym obrazom. W podrozdziale zaprezetowao mało rozpowszechioą w Polsce wielomiaografię, metodę geerowaia wzorów o przewidywalej postaci opatetowaą w USA w 5 roku. Zamieszczoo też kilka przykładowych wielomiaografów. Podrozdział 5 jest podsumowaiem, w którym wskazao kieruek dalszych badań autorów artykułu.. Systemy dyamicze Przez system dyamiczy rozumiemy przekształceie f metryczej ( X, d), zaś orbitą puktu X azywamy ciąg wzorem: { } = : X X a przestrzei, utworzoy zgodie ze =, () o o( ) = f ( ) = f ( f ( )) = f ( ), >. Wzór określa tzw. iterację Picarda. W literaturze [,,] moża zaleźć wiele różych systemów dyamiczych, których trajektorie tworzą wzory geometrycze o walorach estetyczych. Przykładami takich systemów są: trasformacja Gumowskiego-Miry, trasformacja Zaslavsky iego, trasformacje Martia czy Petersa. Do dalszych rozważań zostaą wybrae dwa systemy dyamicze określoe a płaszczyźie:. Trasformacja Gumowskiego-Miry: y = y = + α(.5y + g( ), ) y + g( ), () gdzie odwzorowaie g : R R dae jest wzorem: ( ) g( ) = + () + oraz α, R.. Trasformacja Zaslavsky iego: y = ( + K si y ) cosα + y siα, ( + K si y ) siα + y cosα, = () π gdzie K R, α =, q N, q. q

Przy ustaloym pukcie początkowym [, y ] T R dla różych wartości parametrów w trasformacjach Gumowskiego-Miry czy Zaslavsky iego otrzymuje się róże orbity, które tworzą iteresujące wzory geometrycze jak te pokazae a rys i rys.. T T [, y ] [,.5] α =., =., α =, =. 759, =, =. 5 =, 5 =. 6 =, 6 = Rys.. Przykłady orbit trasformacji Gumowskiego-Miry dla ustaloego puktu = i różych wartości parametrów α,. Góra (od lewej): α =, =.. Dół (od lewej): α 5, α,. α. Rys.. Przykłady orbit trasformacji Zaslavsky iego dla ustaloego puktu wartości parametrów T T [, y ] [,.5] = 5, q = K = 8, q = K 6 = 5, q 6 =. = i różych K, q. Góra (od lewej): K =.5, q, K 6, lewej): =, q 5 = K =, K 5 =, q 5 =, 5. Dół (od Obrazy orbit moża geerować a podstawie jedego systemu dyamiczego zmieiając pukty startowe i/lub jego parametry. Moża rówież wprowadzić pewą modyfikację do procesu

geerowaia orbit polegającą a losowym mieszaiu kilku używaych trasformacji (tych samych z różymi parametrami, bądź różych) w poszczególych krokach iteracyjych. Zmiaa trasformacji, ich parametrów oraz prawdopodobieństw wyboru ie zakłóca często zbieżości procesu geerowaia trajektorii i prowadzi do zwiększeia bogactwa otrzymywaych wzorów. Przykładowe orbity powstałe w opisay sposób przedstawia rys.. Surowa geometria otrzymaych wzorów może być dodatkowo wzbogacoa przez zastosowaie różych palet barwych, jak to pokazao przykładowo w [5, 6]. Rys.. Przykłady orbit otrzymaych podczas losowego mieszaia trasformacji Gumowskiego-Miry i trasformacji Zaslavsky iego.. Biomorfy Biomorfy zostały odkryte przez Pickovera w 986 roku [5]. Termi biomorf pochodzi od agielskiego słowa biomorph, które jest skrótem od termiu biological morphologies co ozacza formy biologicze przypomiające orgaizmy żywe. Dokładiej biomorfy, które powstają w wyiku iteracji pewych fukcji zmieej zespoloej przypomiają bezkręgowe orgaizmy żywe z widoczymi orgaami wewętrzymi tzw. orgaelami. Związek między biomorfami i tworzącymi je fukcjami był tak zaskakujący, że Pickover był przekoay o odkryciu Praw Natury, które determiują wygląd orgaizmów żywych. Wystarczyło więc tylko pozać fukcję, by w wyiku iteracji otrzymać orgaizm żywy. W podejściu tym było więcej mistyki iż auki. Mimo tego biomorfy są z pewością obiektami graficzymi o iezwykle ciekawych kształtach. Przedstawimy w jaki sposób powstają biomorfy. Niech f : C C będzie pewą fukcją zespoloą z parametrem C. Przyjmując z C jako waruek początkowy moża zdefiiować astępujący ciąg: z z = z, = f o ( z ) = f ( f ( z )) = K = f ( z) >,. (5)

Ciąg { z } może być zbieży lub rozbieży w zależości od z i parametru. Poieważ = ie jesteśmy w staie wykoać ieskończeie wielu iteracji, więc Pickover ustalił maksymalą liczbę iteracji K i przyjął, że ciąg z dla daych z i jest zbieży jeśli dla pewego k K zachodzi waruek: Re z < r lub Im z r, (6) k k < gdzie r R jest dae. Jeśli zaś po K iteracjach żade z elemetów ciągu z ie spełiał tego waruku, to wówczas przyjął, że ciąg jest rozbieży. Jeśli dla puktu z ciąg okazywał się zbieży, to jego kolor ustalao a podstawie umeru iteracji, dla której został spełioy waruek. Zaś jeśli ciąg okazywał się rozbieży, to przyjmowao pewie z góry ustaloy kolor. Na rys. przedstawioo przykładowe biomorfy otrzymae za pomocą iteracji różych fukcji z różymi wartościami parametrów. Orygiale barwy a rysuku zostały zamieioe a poziomy szarości tracąc przy tym iezwykłe pięko biomorfów. Rys.. Przykłady biomorfów. W przykładach użyto K = 5 oraz fukcji f ( z) = z +, 5 f ( z) = z + si z +, f ( z) = z + z +, f ( z) = e + si z +. Góra (od lewej): fukcja f z = i oraz r =, fukcja f z = oraz r =, fukcja f z =.5 +.5i oraz r =. Dół (od lewej): fukcja f z = oraz r =, fukcja f z = i oraz r =, fukcja f z = i oraz r =.. Wielomiaografia Wielomiay odgrywają ważą rolę w wielu działach matematyki. Są oe iteresujące ie tylko z teoretyczego, ale rówież z praktyczego puku widzeia. Sumerowie lat p..e., a także późiej starożyti Grecy atkęli się a problemy praktycze, które we współczesym języku matematyki są reprezetowae jako problemy zajdowaia pierwiastków wielomiaów. Newto zapropoował metodę przybliżoego zajdowaia pierwiastków wielomiaów defiiującą ciąg przybliżeń. Caley w 879 roku, aalizując zachowaie metody Newtoa do rozwiązywaia

rówaia z = a płaszczyźie zespoloej zauważył, że zalezioy pierwiastek zależy od puktu startowego z, a poadto ciąg przybliżeń { z } ie zawsze jest zbieży. Rozwiązaie = problemu Caley a w 99 roku przez Julie doprowadziło do odkrycia zbiorów Julii, a astępie w latach 7-tych XX wieku do odkrycia przez Madelbrota fraktali, w tym słyego zbioru azwaego jego azwiskiem. Ostatim odkryciem w historii zajdowaia pierwiastków wielomiaów było wprowadzeie do auki przez Kalatariego [8, 9] tzw. wielomiaografii (ag. polyomiography). Wielomiaografia ozacza wizualizację procesu zajdowaia pierwiastków wielomiaów zmieej zespoloej za pomocą metody Newtoa, Halley a, bądź iych metod wyższego rzędu, w szczególości metod ależących do tzw. Rodziy Podstawowej (ag. Basic Family) [9]. Pojedyczy obraz, który powstaje za pomocą wielomiaografii Kalatarii azwał wielomiaografem (ag. polyomiograph). Wielomiaografia, łącząca matematykę ze sztuką, tworząca grafiki o walorach estetyczych została opatetowaa w USA w 5 roku. Zarówo fraktale, jak i wielomiaografy geerowae są za pomocą iteracji. Kształty fraktali zdetermiowae są przez iewielką liczbę współczyików, p. przez współczyiki układu IFS (ag. Iterated Fuctio System). Kształt fraktali trudo zmieiać w sposób przewidywaly. Fraktale są obiektami samopodobymi, mają złożoą strukturę i są iezależe od rozdzielczości. Wielomiaografy są ie pod tym względem. Ich kształt może być zmieiay w sposób bardziej przewidywaly w przeciwieństwie do typowych fraktali. Większa elastyczość wielomiaografii przy geerowaiu obrazów wyika z astępujących faktów. Wielomia p stopia : p( z) = a a z + a z + K + az + (7) a podstawie Zasadiczego Twierdzeia Algebry ma pierwiastków. Wielomia p jest dobrze zdefiioway przez zbiór współczyików { a, a, K, a, a }, bądź za pomocą swoich pierwiastków. Zatem stopień wielomiau wyzacza liczbę baseów przyciągaia do jego pierwiastków. Base przyciągaia dla daego pierwiastka z utworzoy jest przez zbiór puktów startowych z, z których ciąg przybliżeń zbiega do z. Zmiaa położeia pierwiastków a płaszczyźie zespoloej prowadzi do zmiay kształtów ich baseów przyciągaia, co w rezultacie zmieia kształt wielomiaografu przedstawiającego proces wizualizacji przybliżoego rozwiązaia rówaia p ( z) =. Zazwyczaj wielomiaografy są kolorowae w zależości od liczby iteracji potrzebych do osiągięcia zadaej dokładości wyzaczeia pierwiastka wielomiau p oraz wybraej metody iteracyjej. Szczegółowy opis podstaw teoretyczych wielomiaografii oraz jej zastosowań praktyczych przedstawioo w [8, 9]. Podsumowując, a wielomiaografię moża patrzeć jako a teorię i zarazem arzędzie wizualizacji procesu zajdowaia pierwiastków wielomiaów o współczyikach zespoloych. Wielomiaografia ma wiele zastosowań w edukacji, matematyce, auce i sztuce. Przypomijmy, że metoda Newtoa dla daego wielomiau p jest opisaa astępującą zależością: gdzie z jest puktem startowym a płaszczyźie zespoloej. p( z) z + = z, =,,, K, (8) p ( z )

Ciąg { } = z może być zbieży do pierwiastka wielomiau p, bądź ie. Zbieżość ozacza, że po pewej liczbie iteracji k zajduje się przybliżeie pierwiastka z z zadaą dokładością ε. Pukty startowe z przyjmują barwę związaą z liczbą wykoaych iteracji. Przykładowe wielomiaografy przedstawioo a rys. 5. Rys. 5. Przykładowe wielomiaografy. Okazuje się, że w bardzo prosty sposób moża wizualizować wybrae klasy macierzy za pomocą wielomiaografii, w szczególości a przykład macierze permutacyje tz. takie, które w Π = każdym wierszu i każdej kolumie mają tylko po jedym elemecie rówym. Niech ( ) będzie macierzą permutacyją o wymiarach. Z każdą macierzą permutacyją moża powiązać jedozaczie wielomia o współczyikach zespoloych w astępujący sposób. i, macierzy Π przypisujemy Θ = i ji, gdzie i =. Następie, używając Elemetowi ( j) macierzy Π kostruujemy macierz = ( π ij ) ij + Π, taką że π ij = π j( + i ). Macierz Π przypomia macierz traspoowaą do Π. Różi się jedak od iej tym, że i-ty wiersz macierzy Π odpowiada i-tej kolumie macierzy traspoowaej o elemetach ułożoych wspak, tz. od dołu do góry. Wielomia zespoloy stowarzyszoy z macierzą Π ma postać []: p Π ( z) = π ij = Przykładowo, dla macierzy permutacyjych mamy: π ij ( z Θ ).. (9) ij p Π Π =, Π =, Π =,, Π = ( ). ( z) = ( z ( + i ))( z ( + i) ), p ( z) = ( z ( + i) ) z ( + i) Π ()

Na rys.6 przedstawioo wielomiaografy dla macierzy permutacyjych Π, Π. Wyraźie widocza jest występująca symetria w macierzach permutacyjych i odpowiadającym im wielomiaografom. Więcej wielomiaografów o walorach estetyczych moża zaleźć w [8, 9] oraz w galerii prezetowaej a stroie http://www.polyomiography.com/. Rys. 6. Wielomiaografy odpowiadające macierzom Π,Π. 5. Wioski i dalsze badaia W pracy przedstawioo przykładowe wzory uzyskiwae za pomocą iteracji wykorzystując trzy wybrae metody: systemy dyamicze, biomorfy oraz wielomiaografię. Każda z wymieioych metod geeruje różiące się od siebie wzory, ale takie że po wygeerowaych wzorach moża rozpozać użytą metodę do ich wytworzeia. Wygeerowae wzory odzaczają się walorami estetyczymi. Tak więc mogą staowić ispirację dla grafików komputerowych przy realizacji projektów związaych z automatyczym tworzeiem estetyczych wzorów użytkowych o różych zastosowaiach. Autorzy pracy plaują dalsze badaia ad możliwością wprowadzeia miar oceiających estetykę tworzoych wzorów w sposób automatyczy. W przyszłości mógłby więc powstać system, który zwracałby wzory o żądaych przez użytkowika parametrach estetyczych takich jak symetria, złożoość, wymiar fraktaly. Iteresującym kierukiem badań jest zastąpieie iteracji Picarda przez iterację Maa lub Ishikawy []. W przypadku metody opartej a systemach dyamiczych autorzy w pracy [6] stosując iterację Krasosielskiego (szczególy przypadek iteracji Maa) uzyskali istote rozszerzeie zbioru geerowaych wzorów, szczególie w przypadku mieszaych systemów dyamiczych. Iteracje Maa i Ishikawy zastosowae do metody Newtoa, jak pokazują wstępe eksperymety, tworzą zaczie różiące się wielomiaografy w porówaia z tymi, które powstawały w oparciu o iterację Picarda. Podobe efekty związae ze zmiaą typu iteracji powio się uzyskać rówież w przypadku biomorfów. Bibliografia [] Barsley, M.: Superfractals. Cambridge Uiversity Press, New York, Melboure (6) [] Beride, V.: Iterative Approimatio of Fied Poits, d Editio. Spriger-Verlag, Berli Heidelberg (7) [] Birkhoff, G.: Aesthetic Measure. Harvard Uiversity Press, UK (9) [] Gumowski, I., Mira, C.: Recurreces ad Discrete Dyamic Systems. Spriger-Verlag, New York (98) [5] Gdawiec, K., Kotarski, W., Lisowska, A.: Automatycze Geerowaie Estetyczych Wzorów za Pomocą Trasformacji Gumowskiego-Miry. Systemy Wspomagaia Decyzji, Katowice, pp. 9-6 ()

[6] Gdawiec, K., Kotarski, W., Lisowska, A.: Automatic Geeratio of Aesthetic Patters with the Use of Dyamical Systems, LNCS, vol. 699, pp. 69-7 () [7] Goldma, R.: Computer Graphics, A Itegrated Itroductio to Computer Graphics ad Geometric Modelig, Chapma & Hall/CRC (9) [8] Kalatari, B.: Polyomiography: From Fudametal Theorem of Algebra to Art. Leoardo 8(), pp. -9 (5) [9] Kalatari, B.: Polyomial Root-Fidig ad Polyomiography. World Scietific, Sigapore (9) [] Kalatari, B.: Alteratig Sig Matrices ad Polyomiography. The Electroic Joural of Combiatorics 8(), pp. - () [] Maallem, H.B., Richard, P., Ferrier, J.-L., Labib, A.: Usig Gumowski-Mira Maps for Artistic Creatio. Proceedigs th Geerative Art Coferece, pp. 8-5 (9) [] Madelbrot, B.: The Fractal Geometry of Nature. Freema ad Compay, Sa Fracisco (98) [] Morozov, A.D., Draguov, T.N., Boykova, S.A., Malysheva, O.V.: Ivariat Sets for Widows. World Scietific (999) [] Naud, M., Richard, P., Chapeau-Blodeau, F., Ferrier, J.L.: Automatic Geeratio of Aesthetic Images for Computer-assisted Virtual Fashio Desig. Proceedigs th Geerative Art Coferece, Mila, Italy (7) [5] Pickover, C.A.: Biomorphs: Computer Displays of Biological Forms Geerated from Mathematical Feedback Loops. Computer Graphics Forum 5(), pp. -6 (986) [6] Prusikiewicz, P., Lidemayer A.: The Algorithmic Beauty of Plats. Spriger, New York (99) [7] Waarumo, S., Bohem, E.L.J.: A New Aesthetic Evolutioary Approach for Jewelry Desig. Computer-Aided Desig & Applicatios, (-), pp. 85-9 (6)