[wersja z X 008] Analiza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe Konspekt wykładu dla studentów II r. fizyki Uniwersytet Jana Kochanowskiego 008/009 Wojciech Broniowski
Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Alexandra Butelka Kleina
3
Całki wielowymiarowe Uogólnienie calki Riemanna: P= [ a, b] [ a, b ]... [ a, b ] P = ( b a )... ( b a ) δ = ( b a ) +... + ( b a ) n n Dokonujemy podzialu prostokąta n m = inf{ f( x): x P}, M = sup{ f( x): x P} i i i i s = m P +... + m P, S = M P +... + M P k k * * n n n Rozważamy normalny ( δ 0) ciąg podzialów n n n s = lim s calka dolna, S = lim S calka górna funkcji f na prostokącie P S n * * Jeżeli s = to wielkosć tę nazywamy wielokrotną calka Riemanna n k k Notacja: P dxdy f ( x, y), dxdydz g( x, y, z) P 4
Całka iterowana P= [ a, b] [ a, b ] b b b b dy dx f ( x, y), dx dy f ( x, y) calki iterowane a a a a Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe calce Riemanna dxdy f ( x, y). P (analogicznie dla większej liczby wymiarów) Przyklad: P = [0,] [0, ] P xy dxdy (x y + ) = dx dy (x y + ) = dx ( + y) = dx(x + 4) = + 4 3 0 0 0 y= 0 0 3 xy y dy dx y + = dy ( + x) = ( ) 4 3 dx + = + 3 3 0 x= 0 0 = (x ) 0 0 5
Całki po dowolnym obszarze A R n f( x) dla x A F( x) = 0 dla x P\ A ϕψ, :[ ab, ] R A= {( x, y) : a x b, ϕ( x) y ψ( x)} zbiór normalny względem Ox Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz ψ ( x) dxdy f ( x, y) = dx dy f ( x, y) A a ϕ ( x) b Przyklad: A={( xy, ) : 0 x, 0 y x} trójkąt x dxdy dx dy dx x x xy = xy = ( ) = 4 A 0 0 0 6
Zastosowania całek wielokrotnych V = A dxdydz A= {( x, y, z): x, y, x 0, x+ y+ z } xy, ustalone z x y x ustalone, szukamy największego możliwego y: y x z, ponieważ najmniejsze z = 0 y x x x y x ( x) V = dx dy dz = dx dy( x y) = dx ( x) = 6 0 0 0 0 0 0 Jest to tzw. objetosć sympleksu. W n wymiarach V = n! 7
Środek ciężkości x = x dxdy y y dxdy A = A A figura -wym. x = x dxdydz, z z dxdydz bryla V = V V A V Objętosć bryly obrotowej powstalej w wyniku obrotu regularnego zbioru A wokól Ox: V = π y dxdy Reguly Guldina: V = πη A, η = y dxdy, A Dla torusa V = πa πr Podobnie dla powierzchni powstalej w wyniku obrotu luku mamy S = πξ L, ξ = ydt - odleglosc srodka ciężkosci luku od osi obrotu L Dla torusa S = πa πr β α A A 8
Pole powierzchni z = f( x, y), ( x, y) A f f S = dxdy + + x y A Wzór wynika z konstrukcji przybliżającej powierzchnię równoleglobokami Przyklad: f( x, y) = x y A= {( x, y) : x, y 0, x+ y } S = dxdy 3 = A 3 9
Zamiana zmiennych - dyfeomorfizm n n f C R U V R :, homeomorfizm rzędu n - (bijekcja, pochodna Frecheta odwracalna, f i f ciągle) ϕ ( b) Pamiętamy, że dla jednej zmiennej dy f( y) = dx f [ ϕ( x)] ϕ'( x), y = ϕ( x) n n Tw. ϕ : X R Y R klasy C ϕ ( a) J( x) = 0 jakobian przeksztalcenia ϕ Wtedy... f( y) dy.. dy =... Y ϕ x ϕn x n ϕ x n ϕn x n X f[ ϕ( x)] J( x) dx.. dx, y = ϕ ( x,..., x ) b a n i i n 0
Podstawowe układy współrzędnych Współrzędne biegunowe (osiowe) Φ: R R Φ xr (, φ) Φ (, r φ) = =, x= rcos φ, y = rsinφ Φ yr (, φ) rxy (, ) y Φ ( xy, ) =, r= x + y, φ=arctg φ( xy, ) x x x r φ cosφ r sinφ Φ '( r, φ) = = y y sinφ rcosφ r φ cosφ r sinφ J = = r (, ) ( (, ), (, )) sinφ r cosφ dxdy f x y = rdrdφ f x x φ y r φ Homeomorfizm regularny dla r 0, rząd Φ ' =. Dla r = 0 jest osobliwosć, bo w tym punkcie nie można okreslić kąta
Przyklady: dxdy x y rdrdφ r π = = dr dφ = Rπ r + 0 0 x + y R r R I = e dxdy = e rdrdφ = π rdre = π e = π πe I R = lim I = π R R x y r r r R x + y R r R R R x y x x I = dxe dye = dxe dxe = 0 π Całka Gaussa r= 0
Współrzędne eliptyczne x= arcosφ y = brsinφ x a y + = = b r, J abr Współrzędne walcowe (cylindryczne) x= rcosφ y = rsinφ z = z J = r Liniowa zmiana skali x= ax' y = by' z = cz' J = abc 3
Współrzędna sferyczne (kuliste) Φ: R R 3 3 x= rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ θ [0, π] - kąt osiowy(szerokosć geogr.), φ [0, π) - kąt biegunowy (azymutalny, dlugosć geogr.) sinθcosφ rcosθcosφ rsinθsinφ Φ ' = sinθsinφ rcosθsinφ rsinθ cosφ cosθ r sinθ 0 J = r sinθ r = 0 rz Φ ' = w srodku kuli nie można okreslić kątów θ = 0 θ = π rz Φ ' = na biegunach nie można okrelić kąta φ 4
Przyklad: Objętosć kuli π π R π 3 R 4 3 V = dxdydz = dr dθ dφr sinθ = dr d cosθ dφr = π = πr 3 3 x + y + z < R ( dcosθ = sin θdθ) R 0 0 0 0 0 Srodek ciężkosci pólkuli: η = x + y + z < R z> 0 x + y + z < R z> 0 zdxdydz dxdydz R π / π dr d d r r 3 0 0 0 = θ φ sin θ cosθ = π R 3 R π 4 3 R 3 3 πr 0 0 0 3 3 3 = dr d cos θ dφ r cosθ = π = R πr 4 8 5
Równanie prostej i płaszczyzny 6
Płaszczyzna styczna Płaszczyzna styczna do powierzchni gładkiej o równaniu f(x,y,z)=0 dana jest równaniem f( x0, y0, z0) f( x0, y0, z0) f( x0, y0, z0) ( x x0) + ( y y0) + ( z z0) = 0 x y z f( x0, y0, z0) f( x0, y0, z0) f( x0, y0, z0) Wektor,, jest prostopadly do x y z powierzchni w punkcie ( x, y, z ). Prosta prostopadla do powierzchni w tym 0 0 0 punkcie ma więc równanie parametryczne f( x, y, z ) f( x, y, z ) f( x, y, z ) t+ x, t+ y, t+ z x y z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dla sfery f = x + y + z R, więc prosta prostopadla ma równanie ( xt 0 + x0, y 0t+ y0, z0t+ z 0 ) 7
Plaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie x jest przestrzenią liniową. Niech Φ: V R R, e, e,..., e tworzą bazę w R, oraz y =Φ( x). Wtedy u i k n k k =Φ'( x) e tworzą bazę w przestrzeni stycznej. i Przyklad: 0 Dla powierzchni danej jako Φ ( xy, ) = ( xyf,, ( xy, )) mamy Φ'= 0, fx f y 0 0 0 0 u =Φ ' e = 0 = 0, v 'e 0 0 =Φ = = fx f y f x fx f y f y 8
Orientacja k Rozważmy bazy w przestrzeni R : ( v,..., v ) oraz ( w,..., w ). Bazy te powiazane są n i ij j j= k przeksztalceniem liniowym w = a v, przy czym musi zachodzić warunek a 0 aby zachować liniową niezależnosć. Jeżeli a > 0, to mówimy, że bazy są zgodnie zorintowane, a gdy a < 0, to mówimy, że są zorientowane przeciwnie. k Dla k = mamy jedną bazę jednoelementową v = i drugą w =. 0 0 Dla k = przykladowe bazy v =, v = i baza w =, w = są 0 0 0 powiązane przeksztaceniem o macierzy a =, zatem a = > 0 i bazy są 0 0 0 zorientowane zgodnie, natomiast dla bazy u =, u =, a=, a = < 0, 0 0 więc ta baza jest zorientowana przeciwnie do poprzednich. Orientację bazy kanonicznej nazywamy prawoskretną (zorientowaną dodatnio). 9
Wektor normalny 3 Niech M będzie powierzchnią dwuwymiarową w R, T x plaszczyzną styczną do M w punkcie x, a wektory ( u, v) bazą na plaszczyźnie stycznej. Wektor normalny definiujemy u v jako n =. Wektor ten wskazuje zewnętrzną (wewnętrzna) stronę powierzchni u v orientowalnej jesli baza jest prawoskrętna (lewoskrętna). c. d. przykladu: 0 uv uv u = 0, v =, u v = u v uv f x f y uv u v 3 3 3 3 fx fx = fy, n = f y f x + fy + x x y f = R x y = z f = f = n = y z z x + y + z z Dla górnej pólsfery, x, y, f = R x y = z Dla dolnej pólsfery wynik taki sam (jeż!) 0
Powierzchnie orientowalne (mają stronę wewnętrzną i zewnętrzną) i nieorientowalne (nie można wyznaczyć strony) Wstęga Möbiusa Butelka Kleina
t t t x= ( R+ scos )cos t, y = ( R+ scos )sin t, z = ssin t [0, π ), s [ w, w] (M.C Escher)
Całka krzywoliniowa zorientowana F = ( F, F,..., Fk ), C - krzywa gladka I = F dx + F dx +... + F dx = F dx C k k C I = I + I, I = I C + C C C C C Tw. Calka IC nie zależy od parametryzacji krzywej b dy D: y( t) = x( ϕ( t)) F( y) dy = F( y( t)) dt = dt C a b β dx( ϕ) dϕ dx( ϕ) = F( x( ϕ( t))) dt = F( x( ϕ)) dϕ = F( x) dx dϕ dt dϕ a α C (w konkretnej parametryzacji staje się zwyklą calką Riemanna) Przyklad: C: x( φ) = cos φ, y( φ) = sin φ, φ [0, π] (pólokrąg o promieniu jednostkowym) C π xdx x ydy d d d + ( ) = [cos φ (cos φ) + cos φ φ sin φ (sin φ)] = φ = 0 3 π π cos sin φ π φ π = + = + 3 3 3 0 0 C 3
Całka krzywoliniowa niezorientowana b dx dxk JC = f ds = f( x( t)) +... + dt dt dt C a J C C Tw. Związek z calką zorientowaną: Fdx = Fds, F= F +... + F cos α, α kąt miedzy dxi F C = J C s s k Zastosowanie (fizyka): praca W = Fds = F dx+ F dy + F dz π C: x= acos φ, y = bsin φ, φ [0, ] ćwiartka elipsy kx F = sprężyna zamocowana w srodku ky C dx = a φdφ dy = b φdφ F dx + F dy = k a b φ φdφ sin, cos, x y ( )sin cos π / k W = k( a b ) cos φd(cos φ) = ( a b ) 0 s C x y z 4
Tw. Greena Krzywą zamkniętą nazywamy konturem. Nich kontur C będzie brzegiem zbioru D. Kontur jest zorientowany dodatnio jeśli okala zbiór D w taki sposób, że D znajduje się po lewej stronie. Zbiór normalny D względem osi Ox to zbiór dający się zapisać jako D= {( x, y): f ( x) y f ( x), x [ a, b]}, f, f :[ a, b] R Zbiór normalny D względem osi Oy to zbiór dający się zapisać jako D= {( x, y) : g ( y) x g Tw. Greena ( y), x [ cd, ]}, g, g :[ cd, ] R D- zbiór normalny ze względu na Ox i Oy, C = D jego brzeg zorientowany dodatnio Q P Wtedy Pdx + Qdy = dxdy. x y D D b f ( x) P P D: dxdy = dx dy = dx[ P( x, f ( )) (, ( ))] y y D a f ( x) a C C = Pdx Pdx = Pdx C C D d g ( y) d b x P x f x = Pdx Pdx= Q Q dxdy = dy dx = dt[ Q( g ( y), y) Q( g ( y), y)] = Qdy Qdy = Qdy x x D c g ( y) c K K D 5
Pole potencjalne (fiz.) V( x, y) potencjal F x V V V V F F x =, Fy =, = = x y x y y x y x Fy F x Fxdx + Fydy = dxdy = 0 Fxdx + Fydy = Fxdx + Fydy (rys.) x y C D K K (Praca w polu potencjalnym nie zależy od drogi - można wprowadzić energię potencjalną. W poprzednim przykladzie z pracą na ćwiartce elipsy wynik jest wtedy natychmiastowy: W = V - V ) ( V ) (w powyższym wzorze zauważamy rot grad = 0) z y 6
Całka powierzchniowa niezorientowana (wspólrzędne kartezjańskie) Plat regularny S= {( xyz,, ) : z= f( xy, ),( xy, ) D} Element powierzchni : ds = + f + f dxdy x y Pole powierzchni plata regularnego: S = + f + f dxdy Calka powierzchniowa niezorientowana: S S g( x, y, z) ds = g( x, y, f ( x, y) + f + f dxdy D D x y (wspólrzędne krzywoliniowe) x= xuv (, ), y= yuv (, ), z= zuv (, ), ( uv, ) D x y g( x, y, zds ) = g( xuv (, ), y( u, v), z( u, v)) J + J + J dudv D ( yz, ) ( xz, ) ( xy, ) J =, J =, J3 = ( uv, ) ( uv, ) ( uv, ) 3 7
Przyklad (wspólrzędne kuliste) x= rsinθcos φ, y = rsinθsin φ, z = rcosθ J J J 3 rcosθsinφ rsinθcosφ = = r r sinθ 0 sin rcosθcosφ rsinθsinφ = = r r sinθ 0 rcosθcosφ rsinθsinφ = = r rcosθsinφ rsinθcosφ J + J + J3 = r sinθ θ cosφ sin θ sinφ sinθ cosθ 8
Całka powierzchniowa zorientowana 3 : - pole wektorowe F S S plat regularny n zewnętrzny wektor normalny Calka powierzchniowa zorientowana pola F lub strumień pola F: I= Fxyz (,, ) nxyzds (,, ) strumień S R Niech F = ( F, F, F ). Wtedy oznaczamy I = S 3 x y D 3 Jeżeli S dana jest równaniem z = f( x, y), to n= ( fx, fy,) + f + f Ff x Ff y + F3 I = ds = ( Ff x Ff y + F3) dxdy + f + f S F dydz + F dxdz + F dxdy x y 9
V Tw. Gaussa (Ostrogradskiego-Gaussa) div Fdxdydz = F nds S Slownie: calka po objętosci V z dywergencji z pola F równa się strumieniowi wyplywającemu przez powierzchnie S ograniczającą V F F F3 + + dxdydz = Fdydz + Fdxd dx dy dz z + F3 dxdy V S D: Niech V będzie obszarem normalnym względem plaszczyzny Oxy, ograniczonym funkcjami gxy (, ) i dxy (, ). Wtedy g( x, y) F 3 F 3 I3 = dxdydz = dz dxdy F3( x, y, g( x, y)) F3( x, y, d( x dz = dz (, y)) ) dxdy V D d( x, y) D Oznaczmy S = S + S, gdzie S dana jest przez z = g( x, y) a S przez z = d( x, y). I ' = F dxdy = F dxdy ( ) F dxdy = F ( x, y, g( x, y)) dxdy F ( x, y, d( x, y)) dxdy 3 3 3 3 3 3 S S S D D Znak (-) wynika z przeciwnej orientacji S. Zatem I = I '. Podobnie pokazujemy, że I = I ' oraz I = I 3 3 '. Jeżeli V nie jest normalny, to dzielimy go na podzbiory normalne. 30
Tw. Stokesa Tw. Niech K będzie regularnym konturem bedącym brzegiem plata regularnego S. Orientacje K i S są zgodne. Niech Fi mają ciągle pochodne. Wtedy F dl = rot F n ds K S Cyrkulacja pola F po krzywej zamkniętej K jest równa calce zorientowanej z rotacji pola F po placie S. Inna notacja: F F F F F F 3 3 Fdx + Fdy + Fdz 3 = dydz + dzdx + dxdy y z z x x y K S 3
Formy różniczkowe (fiz. *) Różniczka zewnętrzna stopnia p : ax (,..., x) dx dx... dx, p n, wszystkie i różne i... i n i i i k dx dx = dx dx dx dx = 0 i j j i i i Suma różniczek tego samego stopnia: forma różniczkowa zewnętrzna α = i... i p a p ( x,..., x ) dx dx... dx n i i i i... ip j... j p Przyklady: Pdx + Qdy, Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy, A dx dy dz Dodawanie analogiczne do dodawania wielomianów. p+ q Mnożenie: α β= a b dx... dx dx... dx = ( ) β α q i... i j... j i i j p q p p p Różniczkowanie: α...... P Q Q P d( Pdx+ Qdy) = dy dx+ dx dy = dx dy y x x y d( Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy) = ( P + Q + R ) dx dy dz p ai... i ai... i d = dx + + dx dx dx i... i x p x n x y z j q n i i p 3
ai... i a p i... ip = dda ( ) = 0 x x x x k l l k α jest formą zupelną, jeżeli γ : α = dγ, α jest formą zamknietą, jeżeli dα = 0 Zamiana zmiennych x t: ( xi,..., xi ) a= a x x dt dt V p (,..., )... p i... i n p i... i ( t,..., tp ) p Calkowanie po hiperpowierzchni V: a= Atdt ( )... dt = Atdt ( )... dt (zwykla calka Riemanna) D p D Ogólne Tw. Stokesa: V hiperpowierzchnia zorientowana, V jej brzeg Jeżeli wspólczynniki formy a= to V a = V da i... i p a p i... i ( x) dxi... dxi są klasy C na V + V, p p Przyklady: Tw. Greena, Gaussa, Stokesa, także f( x) dx= F( b) - F( a), bo df( x) df( x) = dx = f ( x) dx, V = { a, b} dx [ ab, ] 33