odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Metody poszukiwaia ekstreu fukcji jedej zieej etoda dzieleia przedziału a połowę etoda złotego Wykład r 9 (09.05.007) odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo załóŝy, Ŝe chcey obliczyć pole koła wpisaego w kwadrat o boku rówy r, gdzie r - proień koła pola koła i kwadratu opisują wzory: po porówaiu powyŝszych wzorów otrzyay: czyli: koło = π r kwadrat = ( r) = 4 r koło r = r = π 4 kwadrat koło = kwadrat π 4 koło π = 4 () kwadrat ając zate obliczoe wcześiej w pewie sposób pole kwadratu i pole koła wpisaego w te kwadrat, oŝa w prosty sposób obliczyć wartość liczby π podstawowe pytaie: jak obliczyć pole koła? Stosujey etodę Mote Carlo: wyzaczay wewątrz kwadratu bardzo duŝo losowych puktów zliczay te pukty, które wpadają do wętrza koła stosuek liczby puktów zawierających się w kole do wszystkich wylosowaych puktów będzie dąŝył w ieskończoości do stosuku pola koła do pola kwadratu: gdzie: koło - liczba puktów w kole kwadrat - liczba wszystkich puktów koło koło π = 4 4 () kwadrat kwadrat pierwsze zastosowaie: Marquis ierre-sio de Laplace (886)
ą odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo - progra w C (/) Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo - progra w C (/) /* Nae: w09_0_pi_motecarlo.c Copyright: olitechika Białostocka, Wydział Elektryczy Author: Jarosław Forec (jarekf@pb.edu.pl) Date: 06-05-007 Descriptio: Obliczaie liczby i etod Mote Carlo */ #iclude <stdio.h> #iclude <tie.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <ath.h> it ai(it argc, char *argv[]) it pkt_kwadrat = 000; /* pukty w kwadracie */ it pkt_kolo = 0; /* pukty w kole */ float x, y; /* wspolrzede puktu */ float pi; /* obliczoa wartosc liczby pi */ it i; srad(tie(null)); for (i=0; i<pkt_kwadrat; i++) x =.0 * (rad()/(float)rand_max); y =.0 * (rad()/(float)rand_max); if ((x-)*(x-)+(y-)*(y-) <= ) pkt_kolo++; pi = 4.0 * (float) pkt_kolo / pkt_kwadrat; pritf("ukty w kwadracie: %d\",pkt_kwadrat); pritf("ukty w kole: %d\",pkt_kolo); pritf("obliczoa wartosc I: %f\",pi); pritf("blad: %f\",fabs(m_i-pi)); syste("pause"); retur 0; ukty w kwadracie: 000 ukty w kole: 79 Obliczoa wartosc I: 3.64000 Blad: 0.0407 odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo ZaleŜość dokładości wyzaczaia liczby π od liczby losowych puktów: w kaŝdy przypadku wyzaczao liczbę π 0 000 razy wartości przedstawioe w tabeli są średią arytetyczą otrzyaych wyików prostokat 0 00 000 0 000 00 000 koło 7,8459 78,4887 785,388 7853,08 7853,6 Średia wartość liczby π 3,3898 3,39505 3,4543 3,434 3,499 Średi błąd bezwzględy 0,47763 0,4593 0,04095 0,03 0,00456 Średi błąd względy 3,9847 % 4,6055 %,303554 % 0,40880 % 0,375 % dokładość wyiku jest zaleŝa od liczby sprawdzeń i w iejszy stopiu, jakości uŝytego geeratora liczb pseudolosowych Metoda Mote Carlo jako etodę Mote Carlo (MC) określa się dowolą techikę uŝywającą liczb losowych do rozwiązaia probleu Defiicja Haltoa (970): etoda Mote Carlo jest to etoda reprezetująca rozwiązaie probleu w postaci paraetru pewej hipotetyczej populacji i uŝywająca losowych sekwecji liczb do skostruowaia próby losowej daej populacji, z której ogą być otrzyae oszacowaia statystycze tego paraetru etoda Mote Carlo jest stosowaa do odelowaia ateatyczego procesów zbyt złoŝoych, aby oŝa było przewidzieć ich wyiki za poocą podejścia aalityczego istotą rolę w etodzie MC odgrywa losowaie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces zastosowaia etody MC: obliczaie całek łańcuchy procesów statystyczych optyalizacja
odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 0/44 Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo obliczay przybliŝoą wartość całki ozaczoej: dla fukcji f(x), której całkę chcey obliczyć w przedziale [x p,x k ] wyzaczay prostokąt obejujący pole pod wykrese tej fukcji o wysokości h i długości podstawy (x k -x p ) losujey puktów i zliczay te pukty w, które wpadają w pole pod wykrese fukcji wartość całki obliczaa jest a podstawie wzoru przybliŝoego: x xk I = ) dx (3) x p k w I = ) dx h( xk x p ) (4) x p powyŝsza etoda azywaa jest: chybił-trafił, orzeł-reszka, sukces-poraŝka Wady etody: w ogóly przypadku ogą pojawić się probley z wyzaczeie wysokości h algoryt etody usi być dodatkowo zodyfikoway, gdy fukcja zieia zak w przedziale całkowaia Ia wersja algorytu: a podstawie serii losowo wybraych współrzędych x wyzaczay średią z wartości fukcji w przedziale całkowaia otrzyaa średia jest oŝoa przez długość przedziału całkowaia: I losowe ) i= ) dx ( xk x p ) (4) xk = x p gdzie x losowe jest wartością pseudolosową z przedziału całkowaia [x p,x k ] odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : Krok 3: dla i = 0,,,-: Krok 4: s = 0 d k x p x p, xk, geeruj x losowe w przedziale [x p,x k ] s = s + losowe s s = dx Krok 5: isz s - wartość całki ) Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo float MetodaMoteCarlo(float xp, float xk, it ) it i; float s=0, dx, x_los; srad(tie(null)); dk-xp; for (i=0; i<; i++) x_los=xp+(float)rad()/(rand_max+)*dx; s = s + f(x_los); s = dx * s / ; retur s;
odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Metoda Mote Carlo - progra w C (/) Metoda Mote Carlo - progra w C (/) #iclude <stdio.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <ath.h> #iclude <tie.h> float f(float x) retur (x*x); float MetodaMoteCarlo(float xp, float xk, it ) it i; float s=0, dx, x_losowe; srad(tie(null)); dk-xp; for (i=0; i<; i++) x_losowe = xp + (float)rad()/(rand_max+)*dx; s = s + f(x_losowe); s = dx * s / ; retur s; Wartosc doklada:.6666666667 it ai() Metoda Mote Carlo: float xp = 0.0, xk =.0, = w0, 0 w, calka w, w3, = 4.5893448 w4; rozica =.55863e+000 pritf("wartosc doklada: = %.0f\\",8.0/3.0); 00 calka = 3.33504749 rozica = 4.665838e-00 = 000 calka =.7036 rozica = 3.446945e-00 pritf("\metoda Mote Carlo:\"); = 0000 calka =.69684955 rozica = 3.0759e-00 w0 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,0); = 00000 calka =.685064548 rozica =.839479e-00 w = MetodaMoteCarlo(xp,xk,00); w = MetodaMoteCarlo(xp,xk,000); w3 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,0000); w4 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,00000); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",0,w0,fabs(w0-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",00,w,fabs(w-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",000,w,fabs(w-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",0000,w3,fabs(w3-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",00000,w4,fabs(w4-8.0/3.0)); syste("ause"); retur (0); odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Ekstreu fukcji Ekstreu lokale a pochoda fukcji ekstreu globale fukcji to taki pukt, w który wartość fukcji jest większa (aksiu globale) lub iejsza (iiu globale) iŝ we wszystkich iych puktach ekstreu lokale (ekstreu) to taki pukt x, w który fukcja a wartość większą (aksiu lokale) lub odpowiedio iejszą (iiu lokale), od wszystkich iych puktów w pewy otoczeiu x rzykład: 3 ) = x + x x aksiu lokale 0 - - 0 - - iiu lokale fukcja a rysuku a jedo aksiu lokale i jedo iiu lokale, ie a atoiast ekstreu globalego kaŝde ekstreu globale jest jedocześie ekstreu lokaly daa fukcja oŝe ieć tylko jedo iiu globale i tylko jedo aksiu globale (lub ie ieć Ŝadego), atoiast dowolie wiele ekstreów lokalych źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/ekstreu jeśli fukcja f(x) a w pukcie x 0 lokale ekstreu oraz obustroą pochodą, to jej pochoda w ty pukcie jest rówa zeru powyŝsze stwierdzeie jest warukie koieczy istieia ekstreu fukcji róŝiczkowalej w day pukcie, ie jest to jedak waruek wystarczający aby w pukcie x 0 występowało lokale aksiu dodatkowo: w lewy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być większa od zera w prawy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być iejsza od zera aby w pukcie x 0 występowało lokale iiu dodatkowo: w lewy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być iejsza od zera w prawy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być większa od zera
odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Ekstreu lokale a pochoda fukcji Optyalizacja jeśli pochoda fukcji f(x) w pukcie x 0 wyosi zero: f (x 0 ) = 0, to jeśli druga pochoda f (x 0 ) = (f (x 0 )) jest: poszukiwaie ekstreu fukcji jedej zieej jest jedy z eleetów szerszego działu auki azywaego optyalizacją większa od zera, to f(x) w pukcie x 0 a iiu lokale iejsza od zera, to f(x) w pukcie x 0 a aksiu lokale rówa zeru, to f(x) w pukcie x 0 a pukt przegięcia optyalizacja jest to etoda wyzaczaia ajlepszego rozwiązaia (poszukiwaia ekstreu fukcji) z puktu widzeia określoego kryteriu (wskaźika) jakości (p. kosztu, drogi, wydajości) w ateatyce teri optyalizacja odosi się do astępującego probleu: daa jest fukcja f: A R, gdzie eleety zbioru A są eleetai rzeczywistyi, poszukiway jest eleet x 0 A taki Ŝe, f(x 0 ) f(x) dla wszystkich x A (aksyalizacja) lub f(x 0 ) f(x) dla wszystkich x A (iializacja) w etodach optyalizacji fukcja f(x) ozaczaa jest jako C(x) i azywaa fukcją celu (wskaźikie jakości, kryteriu jakości, kryteriu optyalizacyjy) etody poszukiwaia ekstreu lokalego fukcji jedowyiarowych dzielą się a trzy grupy: ) etody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów ) etody wykorzystujące aproksyacje fukcji celu 3) etody wykorzystujące wartości pochodych fukcji celu odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 0/44 Fukcja uiodala Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Defiicja: fukcja f(x) jest uiodala w przedziale a x b gdy jest ootoicza po obu stroach puktu iialego x * w rozpatryway przedziale jeśli x * - jedyy pukt iiu f(x) zawiera się w przedziale a x b, to f(x) jest uiodala w day przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy dla puktów x i x rzykład: z x * x x wyika, Ŝe f(x * ) f(x ) f(x ) i z x * x x wyika, Ŝe f(x * ) f(x ) f(x ) fukcja ootoiczie wzrasta przy x 0 i ootoiczie wzrasta przy x 0 fukcja osiąga iiu w pukcie * i jest ootoicza po obu stroach od puktu iiu etody te pozwalają określić ekstreu fukcji jedej zieej drogą kolejego wyboru przedziałów i kolejo drogę ziejszaia przedziału poszukiwań w etodach tych zakłada się, Ŝe badaa fukcja w dopuszczaly przedziale posiada właściwość uiodalości dzięki powyŝszej właściwości, porówując wartość fukcji f(x) w dwóch róŝych puktach przedziału poszukiwań, oŝa określić, w który z wyzaczoych tyi puktai przedziałów zajduje się ekstreu fukcja f(x) jest uiodala
odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Twierdzeie: iech f(x) będzie fukcją uiodalą w przedziale a x b oraz iech iiu fukcji f(x) zajduje się w pukcie x * jeśli pukty x i x spełiają waruek a < x < x < b, to porówując wartości fukcji w puktach x i x oŝa określić: jeśli f(x ) > f(x ), to pukt iiu ie leŝy w przedziale (a,x ), czyli x * (x,b) jeśli f(x ) < f(x ), to pukt iiu ie leŝy w przedziale (x,b), czyli x * (a,x ) przedstawioe twierdzeie pozwala stosować procedurę poszukiwań ekstreu fukcji polegającą a wykluczaiu części wejściowego przedziału poszukiwaia ekstreu są kończoe, gdy przedział ziejszy się do dostateczie ałych roziarów w opisyway procesie poszukiwaia ekstreu wyróŝiae są dwa etapy: ) etap określaia graicy przedziału ) etap ziejszaia przedziału etoda połowieia etoda złotego etoda Fiboacciego Etap określaia graicy przedziału: ajczęściej poszukiwaia graiczych puktów przedziału zawierającego ekstreu wykouje się etodai heurystyczyi (ituicyjie) wybieray jest pukt a podstawie którego buduje się odpowiedio szeroki przedział zawierający ekstreu odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa): zakładay: x 0 - dowoly pukt początkowy, zakładay: - dobieraa pewy sposobe wielkość kroku koleje pukty określa się według wzoru rekurecyjego: k xk + = xk ±, k = 0,,,... (5) zak określa się drogą porówań wartości fukcji f(x 0 - ), f(x 0 ), f(x 0 + ) jeśli f(x 0 - ) f(x 0 + ) to z załoŝeie uiodalości pukt iiu powiie leŝeć w prawo od puktu x 0 i wielkość wybieraa jest jako dodatia jeśli f(x 0 - ) < f(x 0 + ) to wielkość wybieraa jest jako ujea jeśli f(x 0 - ) f(x 0 ) f(x 0 + ) to pukt iiu leŝy iędzy puktai x 0 - i x 0 + i poszukiwaie puktów graiczych zostaje zakończoe Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: zaleźć graicze pukty przedziału zawierającego iiu fukcji przy pukcie początkowy x 0 = 30 i kroku = 5 zak określa się porówując wartości w puktach: 0 ) 0 0 poiewaŝ: ) = + ) = f (5) = f (35) 565 = f (30) = 4900 ) 0 ) 0 + 45 to wielkość powia być dodatia = 0 sprawdzeie zaku związae było takŝe z wyzaczeie puktu x : x 0 = x0 + = 30 + 5 = 35 ) ) = (00 x)
odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: dla k = : x = x + = 35+ 5 = 45 x = 35 ) = 45 * ) < ) więc x > 35 x = 45 ) = 305 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: dla k = 3: x 3 4 = x3 + = 65 + 8 5 = 65+ 40 = 05 x3 = 65 3) = 5 * 4) < 3) więc x > 65 x = 05 ) = 5 4 4 dla k = : x 3 = x + = 45+ 4 5 = 65 x = 35 ) = 305 * 3) < ) więc x > 45 x = 45 ) = 5 3 3 dla k = 4: x 4 5 = x4 + = 05+ 6 5 = 05+ 80 = 85 x4 = 05 4) = 5 * 5) > 4 ) więc x < 85 x = 85 ) = 75 5 5 stąd przedział poszukiwań ekstreu to: (65,85) odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów owę Etap ziejszaia przedziału: po ustaleiu graic przedziału zawierającego pukt iiu stosujey bardziej złoŝoą procedurę zawęŝaia przedziału poszukiwań w celu otrzyaia rozwiązaia (iiu) z załoŝoą dokładością stosując odpowiedi algoryt iteracyjy, ziejszay w kaŝdy kroku wielkość przedziału stopień ziejszeia przedziału zaleŝy jest od połoŝeia próbych puktów etoda ta pozwala a eliiację połowy przedziału w kaŝdej iteracji w przedziale poszukiwań ekstreu [a,b] wybieray trzy pukty próbe (x, x, x ), dzielące przedział a cztery rówe części: x = a + L / 4, x = ( a + b) /, x = b L / 4, L = b a (6) jeśli wartość fukcji w pukcie x jest iejsza od wartości fukcji w pukcie x (f(x )<f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray lewy podprzedział [a,x ]: a = a x = x (7)
odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 30/44 owę owę jeśli wartość fukcji w pukcie x jest iejsza od wartości fukcji w pukcie x (f(x )<f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray prawy podprzedział [x,b]: a = x x = x (8) b = b ziejszaie długości przedziału kończyy, gdy jego długość jest iejsza od załoŝoej dokładości: b a ε jako wartość ekstreu przyjujey środek przedziału: a + b L x = lub x = a + (0) () jeśli Ŝade z powyŝszych waruków ie jest prawdziwy, to pukt środkowy, x, ie zieia się, zaś do dalszych obliczeń wybieray podprzedział [x,x ]: Uwagi: w kaŝdej iteracji są potrzebe ie więcej iŝ dwa obliczeia wartości fukcji a = x x = x (9) odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 owę Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : Krok 3: x a,b,ε = ( a + b) /, Krok 4: jeśli f(x ) < f(x ), to: przejdź do: Krok 7 Krok 5: jeśli f(x ) < f(x ), to: przejdź do: Krok 7 L = b a x = a + L / 4, x = b L / 4, L = b a, x x = a = x, L = b a, x x = Krok 6: x pozostaje, zawęŝay przedział a = x,, L = b a Krok 7: jeśli b a > ε to przejdź do: Krok Krok 8: isz: x = ( a + b) / - wartość iiu owę float MetodaDwudzielosci(float a, float b, float eps) float x, x, x, fx, fx, fx, L; x = (a+b)/; fx = f(x); L = b-a; do x = a+l/4; fx = f(x); x = b-l/4; fx = f(x); if (fx < fx) ; L = b-a; ; fx = fx; else if (fx < fx) a = x; L = b-a; ; fx = fx; else a = x; ; L = b-a; while (fabs(b-a)>*eps); retur (a+l/);
odstawy iforatyki Wykład r 9 33/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 34/44 owę - przykład (/3) owę - przykład (/3) wyzaczyć iiu fukcji: ) = (00 x) w przedziale: [60,50] druga iteracja: obliczeia wstępe: a = 60, b = 50, L = b a = 50 60 = 90 x pierwsza iteracja: x = a + L / 4 = 60 + 90 / 4 = 8.5 x = b L / 4 = 50 90 / 4 = 7.5 = ( a + b) / = (60 + 50) / = 05, ) = f (8.5) = 306.5 ) = f (7.5) = 756.5 > > ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 x = a + L / 4 = 8.5 + 45/ 4 = 93.75 x = b L / 4 = 7.5 45/ 4 = 6.5 ) = f (93.75) = 39.06 ) = f (6.5) = 64.06 > > ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 wybieray środkowy przedział: a = x = 93.75, x = x = 05, = 6.5 L = b a = 6.5 93.75 =.5 wybieray środkowy przedział: a = x = 8.5, x = x = 05, = 7.5 L = b a = 7.5 8.5 = 45 odstawy iforatyki Wykład r 9 35/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 36/44 owę - przykład (3/3)... trzecia iteracja: x = a + L / 4 = 93.75 +.5/ 4 = 99.375 x = b L / 4 = 6.5.5/ 4 = 0.65 ) = f (99.375) = 0.39 ) = f (0.65) =.89 wybieray lewy przedział: a = a = 93.75, x = x = 99.375, L = b a = 05 93.75 =.5 ) = f (05) = 5 obliczeia kończyy, gdy spełioy jest waruek: < = 05 b a ε w etodzie złotego stosowae są dwa pukty próbe, które dzielą przedział w sposób pokazay a rysuku wartość stałej τ wyosi: τ = ( 5 ) / = 0.6803... () Dlaczego taki podział? podział przedstawioy a rysuku spełia trzy waruki: ) pukty próbe są rozieszczoe w jedakowych odległościach od środka przedziału ) pukty próbe są rozieszczoe syetryczie w taki sposób, ze stosuek długości eliiowaego podprzedziału do wielkości całego podprzedziału jest stały 3) w kaŝdej iteracji obliczaa jest tylko jeda wartość fukcji
odstawy iforatyki Wykład r 9 37/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 38/44 Dlaczego etoda złotego? Algoryt etody złotego : w geoetrii złoty podziałe azywa się taki podział odcika a dwie części, przy który stosuek całego odcika do jego większej części jest rówy stosukowi większej części do iejszej a b = b c jeśli wartość fukcji w pukcie x jest większa od wartości fukcji w pukcie x (f(x )>f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray prawy podprzedział [x,b]: a = x + a b = b (4) Algoryt etody złotego : w przedziale poszukiwań ekstreu [a,b] wybieray dwa pukty próbe (x, x ), dzielące przedział a trzy części: gdzie: x = ( b a) τ ) + b x = ( b a) + a (3) τ = ( 5 ) / = 0.6803... w przeciwy przypadku jako owy przedział poszukiwań wybieray lewy podprzedział [a,x ]: a = a τ ) + b (5) odstawy iforatyki Wykład r 9 39/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 40/44 Algoryt etody złotego : ziejszaie długości przedziału kończyy, gdy jego długość jest iejsza od załoŝoej dokładości: b a ε jako wartość ekstreu przyjujey środek przedziału: a + b x = (6) (7) Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : a,b,ε τ ) + b + a Krok 3: jeśli f > f, to: Krok 4: jeśli f f, to: a = x f = ) Krok 7: jeśli b a > ε to przejdź do: Krok 3 Krok 8: isz: x = ( a + b) / - wartość iiu f = f f = ) x = ( b a) + a f = ) przejdź do: Krok 5 x = ( b a) τ ) + b f = ) przejdź do: Krok 5 f = f
odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 - przykład (/3) float Zlotyodzial(float a, float b, float eps) float x, x, fx, fx, t; t = (sqrt(5)-)/; x = (b-a)*(-t)+b; fx = f(x); x = (b-a)*t+a; fx = f(x); do if (fx > fx) a = x; ; fx = fx; x = (b-a)*t+a; fx = f(x); else ; ; fx = fx; x = (b-a)*(-t)+b; fx = f(x); while (fabs(b-a)>*eps); retur (a+b)/; wyzaczyć iiu fukcji: ) = (00 x) w przedziale: [60,50] obliczeia wstępe: a = 60, pierwsza iteracja: b = 50, τ = 0.68 τ ) + b = (50 60) 0.68) + 50 = 94.38 + a = (50 60) 0.68 + 60 = 5.6 ) = f (94.38) = 3.58, ) < ) a = a = 60 = 5.6 = 94.38 ) = 3.58 ) = f (8.4) = 35.93 ) = f (5.6) = 43.98 τ ) + b = (5.6 60) 0.68) + 5.6 = 8.4 wybieray lewy podprzedział: [60,5.6] ) = f (94.38) = 3.58 ) = f (5.6) = 43.98 odstawy iforatyki Wykład r 9 43/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 44/44 - przykład (/3) - przykład (3/3) druga iteracja: druga iteracja: ) = f (8.4) = 35.93, ) = f (94.38) = 3.58 ) = f (94.38) = 3.58, ) = f (0.48) = 6.8 ) > ) = 8.4 b = b = 5.6 a = x = 94.38 ) = 3.58 ) = f (0.48) = 6.8 wybieray prawy podprzedział: [8.4,5.6] + a = (5.6 8.4) 0.68 + 8.4 = 0.48 ) > ) = 94.38 b = b = 5.6 a = x = 0.48 ) = 6.8 ) = f (07.5) = 56.5 wybieray prawy podprzedział: [94.38,5.6] + a = (5.6 94.38) 0.68 + 94.38 = 07.5... obliczeia kończyy, gdy spełioy jest waruek: b a ε