O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH

STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 26 Krzyszof Heberlein Uniwersye Szczeciński O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH STRESZCZENIE W arykule przedsawiono sposoby opisu srukur przesrzennych, kórych konsrukcja jes uzależniona od charakeru badanych zjawisk. Zwrócono uwagę na różnorodność określeń przesrzeni, ich rodzaje i cechy. Podano sformalizowany sposób idenyfikacji srukur przesrzennych, kóra jes niezbędna do precyzyjnego inerpreowania zachodzących w nich procesów. Opracowanie zawiera porównawcze zesawienie możliwości opisu dynamiki zachowań w ekonomicznych srukurach przesrzennych przy pomocy maemaycznych modeli opisowych, w kórych główną rolę odgrywają równania różniczkowe, różnicowe i ekonomeryczne. Słowa kluczowe: ekonomiczne srukury przesrzenne, modele dynamiki. Wprowadzenie Przesrzeń jes pojęciem, kóre na ogół rozumiane jes inuicyjnie. Jednak w większości przypadków nie wysarcza o zarówno do jej opisu, jak i głębszej analizy. W wielu dyscyplinach naukowych jes pojęciem kluczowym. Dyscypliny naukowe posługują się pojęciem przesrzeni publicznej, społecznej, osobisej ec. Maemaycy definiują różne przesrzenie, na przykład: Euklidesową, Banacha, Minkowskiego. Każde zjawisko związane jes z przesrzenią. Posługiwanie się przesrzenią w naukach ekonomicznych wymaga również sprecy-

138 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII zowania ego pojęcia i o ym bardziej w sposób sformalizowany, im większe są oczekiwania co do jednoznaczności aplikacji. Celem arykułu jes próba sysemowego spojrzenia na zagadnienie idenyfikacji i opisu przesrzeni za pomocą aparau meod ilościowych oraz porównawcze zesawienie możliwości sposobów modelowania zmian ekonomicznych srukur przesrzennych w czasie. Przesrzeń, jej cechy i rodzaje Przesrzeń charakeryzuje się pewnymi cechami, właściwościami lub arybuami, kóre w lieraurze są różnie opisywane. Do cech przesrzeni zalicza się między innymi: ograniczoność, opór i zróżnicowanie 1. Ograniczoność wynika ze sałej wielkości planey i srukury jej elemenów. Nie jes ona zasępowalna, sanowi, obok czasu, maerii i energii, dobro rzadkie. Opór przesrzeni oznacza konieczność użycia odpowiedniej ilości energii, środków i czasu w celu jej udosępnienia dla realizacji określonej działalności ludzkiej. Kolejną cechą przesrzeni jes jej zróżnicowanie ze względu na właściwości nauralne i anropogeniczne. Na zróżnicowanie cech nauralnych o charakerze geograficznym nakłada się różnorodność form zagospodarowania przesrzennego worzonych przez człowieka. Przesrzeń jes również charakeryzowana przez arybuy, idenyfikowane z punku widzenia geografii. Należą do nich: wyłączność, odległość, kierunek, sąsiedzwo, wielkość i wypełnienie. Wyłączność (wynikająca z zasady koherencji lokalizacyjnej) oznacza, że w danym miejscu może znajdować się ylko jeden obiek i jeden obiek zajmuje ylko jedno miejsce. Odległość rozumiana jes w en sposób, że między obiekami w przesrzeni isnieje dysans dający się mierzyć jednoskami miary, na przykład kilomerami, godzinami porzebnymi do pokonania odległości i ym podobnych. Kierunek rozumiany jes w sensie geograficznym, na przykład północ-południe, wschód-zachód. Arybu sąsiedzwo jes pochodną odległości i kierunku i oznacza, że każdy obiek znajduje się w ooczeniu innych obieków wysępujących w różnej odległości i różnych kierunkach od niego. Każda przesrzeń i jej poszczególne części posiadają wielkość, kórą da się wyrazić za pomocą odpowiednich jednosek miary (np. w km 2 ). 1 Zob. B. Malisz, Podsawy gospodarki i poliyki przesrzennej, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław Warszawa Kraków Gdańsk Łódż 1984, s. 49 57.

KRZYSZTOF HEBERLEIN O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH... 139 W przesrzeni znajdują się obieky fizyczne i zamieszkują ją ludzie worzący różne insyucje, organizacje. Arybu en nosi nazwę wypełnienia. W wyniku organizowania działalności ludzkiej w przesrzeni geograficznej kszałują się inne rodzaje przesrzeni. Wyróżnia się przesrzeń przyrodniczą, ekonomiczną, społeczną i kulurową. Przesrzeń przyrodnicza wypełniona jes elemenami przyrodniczymi swarzającymi warunki niezbędne do życia. Wysępujący w przesrzeni geograficznej człowiek podporządkowuje sobie ę przesrzeń, rozwijając działalność gospodarczą. Tworzy się w en sposób przesrzeń ekonomiczna (gospodarcza) o określonej przydaności i użyeczności oraz posiadająca swoją warość ekonomiczną. Oaczająca rzeczywisość może być również posrzegana w innych kaegoriach przesrzeni. To odmienne podejście związane jes z wyróżnieniem rzech podsawowych rodzajów przesrzeni: fizycznej, geograficznej i inelekualnej 2. Przesrzeń fizyczna jes obszarem byu maerialnego. Jej wymiarami są: długość, szerokość i wysokość. Wymiary cechują się jednakową rangą współrzędne są ekwiwalenne. Przesrzeń geograficzna jes przesrzenią życia biologicznego. Współrzędne są nieekwiwalenne pod względem zmienności warunków przyrodniczych. Największą zmienność posiada długość geograficzna, warunkująca realizowanie się dobowego rymu dnia i nocy; nieco mniejszą szerokość geograficzna, kórej podlegają zmiany warunków amosferycznych o cyklu rocznym; najmniejszą zmienność ma wysokość, odznaczająca się najkrószym zasięgiem sfery biologicznej. W przesrzeni geograficznej znajduje swój wymiar energia w przesrzeni ej idenyfikowane są wszyskie procesy energeyczne: prędkość, ciśnienie, naężenie i ym podobne. Przesrzeń inelekualna jes obszarem procesów myślowych związanych z przewarzaniem informacji, kórych efekem są określone symbole, związki i znaczenia. Przesrzeń inelekualną łączy z przesrzenią fizyczną i geograficzną określony kod, czyli sposób przyporządkowania konkrenym nośnikom określonych reści absrakcyjnych. Liczba wymiarów przesrzeni inelekualnej równa się liczbie wyróżnionych charakerysyk rozparywanych obieków. Te charakerysyki podzielić można na rzy kaegorie: charakerysyki fizyczne (cechy), charakerysyki funkcjonalne (właściwości) i charakerysyki srukuralne (własności). Cechy o charakerysyki zewnęrzne obieku (wygląd, kszał 2 Por. Badania przesrzenne rynku i konsumpcji, S. Mynarski (red.), Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 1992, s. 9 i n.

140 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII ip.). Właściwości o charakerysyki funkcjonalne obieku związane z jego ruchem (kurczliwość, sprężysość ip.). Własności o charakerysyki srukuralne obieku będące jego arybuami, odróżniającymi go od innych obieków (np. koherencja, redundancja). Transformacja realnych obieków w absrakcyjne wory dokonywana jes zwykle za pomocą skalowania wielowymiarowego. Procedura a prowadzi do rozparywania każdego obieku jako punku w przesrzeni wielowymiarowej o współrzędnych odpowiadającym warościom charakerysyk ych obieków. Uogólnieniem ej ransformacji jes srukura przesrzenna, kóra jes skończonym uporządkowanym zbiorem elemenów przesrzeni cech. Idenyfikacja elemenów w ramach danej srukury może mieć miejsce ylko wówczas, gdy cechy są niezależne, a ich obszarem geomerycznym jes przesrzeń orogonalna. Do osiągnięcia akiej przesrzeni niezbędne jes zasąpienie większej liczby cech zależnych mniejszą liczbą czynników niezależnych. W przypadku cech zależnych nasępuje odkszałcenie srukury wielowymiarowej i spłaszczenie obszaru idenyfikowalności. Elemeny położone w akim obszarze charakeryzują się nadmiarem informacji, czyli przeidenyfikowaniem, naomias elemeny położone poza ym obszarem charakeryzują się niedoinformowaniem. Sosując procedurę roacji orogonalnej, można osiągnąć ekwiwalenność współrzędnych i w rezulacie lepszą oznaczoność współrzędnych przesrzeni oraz właściwszą idenyfikację obieków przesrzennych. Roacja orogonalna przemianowuje nieoznaczone czynniki główne na czynniki lepiej odpowiadające wspólnym wpływom reprezenowanych przez nich cech. Orogonalizacja i roacja orogonalna przesrzeń absrakcyjną cech upodabniają do przesrzeni fizycznej (geograficznej), w szczególności do przesrzeni rójwymiarowej. Idenyfikacja srukury przesrzennej Srukurę przesrzenną (w sensie absrakcyjnym) można zdefiniować jako skończony i uporządkowany zbiór elemenów w przesrzeni ich cech. Skończoność oznacza całościowość pewnego fragmenu rzeczywisości, uporządkowanie elemenów względem siebie. Przesrzeń cech o obszar zorienowany według współrzędnych cech.

KRZYSZTOF HEBERLEIN O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH... 141 Idenyfikacja polega na isnieniu rójki uporządkowanej: x i, v j, rk, gdzie: x i, i = 1,..., n nazwa (desygna) i-ego elemenu, v j, j = 1,..., m deskrypor opisujący j-ą cechę elemenu, r k, k = 1,..., s kwanyfikaor wyrażający pomiar danej cechy w odpowiedniej skali liczbowej. Idenyfikacja na poziomie desygnau umożliwia rozróżnienie elemenu w sensie nominalnym, na poziomie deskryporów w sensie porządkowym, na poziomie kwanyfikaorów w sensie warościowym. Rozróżnialność, orienowalność i różnorodność składają się na pełny opis elemenów w ramach danej srukury. Odpowiednikiem w aspekcie przesrzennym na poziomie desygnau jes punk, na poziomie deskryporów przesrzeń, a na poziomie kwanyfikaorów skale współrzędnych. Isnienie ych rzech idenyfikaorów swarza warunki określenia punków w przesrzeni. Srukura przesrzenna może przyjmować różną posać zależną od liczby wymiarów przyjęych skal warości. Najprosszą srukurą jes srukura jednowymiarowa dwuwarościowa (jedna cecha i dwie warości), bogaszą dwuwymiarowa wielowarościowa i wreszcie wysępują srukury przesrzenne czeroi więcej wymiarowe, gdzie obraz fizycznej przesrzeni zanika i w grę wchodzi wyłącznie inerpreacja analiyczna opara na formie języka absrakcyjnego. Każdą wielkość zależną od pewnej liczby zmiennych można rakować jako obiek wielowymiarowy o odpowiedniej liczbie cech, kórych zaobserwowane warości są współrzędnymi ego obieku w przesrzeni wielowymiarowej. Rozmieszczone obieky można nasępnie analizować pod względem wpływów wewnęrznych i zewnęrznych. Taka srukura funkcjonuje jako efek oddziaływań wewnęrznych (inraakcji) i oddziaływań zewnęrznych (inerakcji). Wskuek zaniku działań upada srukura poprzez uraę niejednorodności. Srukura jednorodna o srukura nieprzedsawiająca żadnej warości z punku widzenia informacji 3. Jes o srukura o maksymalnej enropii i nie można w niej idenyfikować relacji czynników zewnęrznych i elemenów wewnęrznych. Sąd zdecydowanie bardziej pożądane są srukury niejednorodne, uporządkowane pod względem enropijnym. Pożądany san różnorodności srukury można osiągnąć po uprzednim zidenyfikowaniu srukury pod względem ilościowym (elemeny) i jakościowym (relacje). 3 W srukurze jednorodnej nie zachodzą żadne procesy porządkowania. Wszyskie procesy dososowawcze usają, jes o zw. san równowagi ermodynamicznej o maksymalnym nieuporządkowaniu.

142 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Opisy przesrzeni Opisy i rozwiązania problemów spoykane w analizie przesrzennej zależą ściśle od pojęcia przesrzeni. Różnorodność sposobów wprowadzania przesrzeni i wykorzysywane opisy zależą w dużym sopniu od rodzaju rozparywanych problemów. Definiowane są one za pomocą aksjomaów przedsawiających przesrzeń jako zbiór miejsc wraz z przyporządkowaną im odległością, o pewnej posaci, pewnej mierze powierzchni i miarach arybuów. Każda z nich pozwala analizować w specyficzny sposób srukurę i ekonomiczną rolę przesrzeni. Będąc pomocniczą względem opisu układów ekonomicznych, określa ich konfigurację: posać, wymiar, pozycję i odległość. Warunkuje ona w dużym sopniu sposób analizy zachowań podmioów gospodarujących w cenrum ych układów, w podobny sposób jak rzeczywisy zakres przesrzenny 4. Najczęściej rozparywane układy ekonomiczne mają posaci heksagonalne lub kołowe wraz z pewnym rozszerzeniem. Opisy mogą mieć charaker deerminisyczny, probabilisyczny czy eż być niedokładnie określone, co wiąże się z rodzajem zachowań przydzielonych podmioom gospodarującym. Z każdym z opisów związana jes szczególna srukura maemayczna przesrzeni absrakcyjnej. Definiuje ona w sposób ścisły założenia charakeryzujące przesrzeń ekonomiczną. Do najbardziej popularnych rodzajów opisów przesrzeni należą: meryczne i niemeryczne opisy przesrzeni oraz opisy dokładnie i niedokładnie określone. Skądinąd jednak liczba opisów przesrzeni jes niczym nieograniczona. Odległość srukuralizuje przesrzeń ekonomiczną. Własności przemieszczeń w przesrzeni warunkowane są formalnymi pomiarami odległości. Najprosszą jes meryka euklidesowa. Zbiór związanych z nią założeń jes jednak ograniczony ponieważ implikuje ona przemieszczenia w linii prosej wzdłuż odcinka łączącego dwa dowolne punky przesrzeni (przez długi czas była jedyną używaną w modelach lokalizacji). W niekórych przypadkach wykorzysywana jes prosokąnoliniowa przesrzeń Hoellinga. Służy ona między innymi do badania mechanizmów konkurencyjnych podziału rynku. Wiele jednak ograniczeń powoduje konieczność szukania innych meryk, pozwalających lepiej uwzględniać kierunki przemieszczeń. 4 Zob. Ekonomiczna analiza przesrzenna, C. Ponsard (red.), Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 1992, s. 316 i n.

KRZYSZTOF HEBERLEIN O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH... 143 Najbardziej użyeczne subsyuy meryki euklidesowej o meryki prosokąnoliniowe i nieprosokąnoliniowe, kóre wraz z meryką circum-radialną cechują się dużo słabszymi założeniami ekonomicznymi. Przesrzeń z ymi merykami przesaje być izoropowa względem koszów ransporu, nie musi być wypukła. Podobnie meryka circum-radialna prowadzi do osłabień założeń o ciągłości i izoropiczności przesrzennych. Ze względu na dużo większą ograniczoność opisów merycznych niż by się o wydawało, ekonomisa musi sięgać do niemerycznych opisów. Odległość między punkami zmienia się w zależności od kierunku przemieszczenia lub różnym punkom może odpowiadać zerowa odległość, również może być odrzucony warunek rójkąa. Przesrzeń nie jes zredukowana do zbioru sieci, ma również zasięg, powierzchnię i własności wykraczające poza możliwości ich zmierzenia. Formalizacja relacji odległości między punkami przesrzeni wprowadza do opisu przesrzeni jej zasięg. Zasięg jes obok odległości zasadniczym składnikiem modeli ekonomicznych. Meryki euklidesowe i prosokąnoliniowe opisują posaci i własności meryczne bardzo zróżnicowane, zachowując przy ym ę samą opologię. Innego opologicznego opisu przesrzeni ekonomicznej dosarcza eoria grafów. Graf opisuje bardziej szczegółowo srukurę aniżeli opisywana przez przesrzeń meryczną; przesrzeń nie musi być ciągła ani izoropowa. Tradycyjne przesrzenie ekonomiczne (rynki, miasa, regiony) są dokładnie zdefiniowane poprzez swoje charakerysyki. Układy ekonomiczne mają określone granice, usalone poprzez podziały przesrzeni; przebiegające przez nie sieci są również zdefiniowane przez miary odległości między każdą parą punków. Jednak rudno aki sposób opisu uważać za w pełni zgodny z nauralną złożonością przesrzeni. Uproszczenia, jakimi się w nim operuje, mogą być jedynie szczególnym przypadkiem bardziej ogólnych sposobów opisu. Układy ekonomiczne i zachowania realizujące się w przesrzeniach ekonomicznych są niedokładnie określone. Takimi zachowaniami zajmuje się eoria zbiorów rozmyych 5. 5 Zob. W. Osasiewicz, Zasosowanie zbiorów rozmyych w ekonomii, PWN, Warszawa 1986, podsawowe pojęcia doyczące opisu przesrzeni merycznych zawiera praca Ekonomiczna analiza przesrzenna, op.ci., s. 286 i n.; zob. eż K. Jajuga, Saysyczna eoria rozpoznawania obrazów, PWN, Warszawa 1990, s. 157 178.

144 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Opis przesrzeni z uwzględnieniem czynnika czasu Opis srukur przesrzennych wymaga podejścia modelowego. W szczególności wykorzysuje się modele maemayczne ypu opisowego. Jednym z elemenów opisowych relacji modeli jes czas, reprezenowany przez zmienną czasową (bądź jej funkcje) w sposób jawny lub poprzez różne formy opóźnień czasowych. Rola czasu w procesach poznania poprzez worzenie (odkrywanie) empirycznych praw nauki wydaje się oczywisa, niemniej jednak wymaga bardziej precyzyjnego określenia. Czas wiązany jes z zasadami przyczynowości, współisnienia i celowości 6. W sferze zjawisk ekonomiczno-społecznych działanie ludzi sprawia, że wysępują rzy rodzaje sprzężeń: przyczynowe, celowe i koegzynencjalne. J. Hozer, poprzez odwołanie się do ak zwanego warunku INUS 7, z kórego wynika, że określony czynnik X może wysępować względem skuku Y, jako konieczny, ale niewysarczający składnik warunku wysarczającego, kóry nie jes konieczny, uznaje, że w sferze zjawisk społeczno-ekonomicznych: ma miejsce zarówno Hume owska zasada przyczynowości, Machowska zasada koegzysencji oraz Weberowska celowość, w kórej A zachodzi po o, by zaszło B; yp związku zależy od okoliczności, wysępuje wielość celów i środków, co wiąże się z porzebą sosowania warunku INUS, związki przyczynowe mają charaker indeerminisyczny, a więc probabilisyczny, isnieje porzeba bezpośredniego uwzględniania czasu, kóry jes czynnikiem koegzysencjalnym o charakerze INUS. Czas rozparywany jes jako okres, w kórym odbywa się działalność gospodarcza człowieka, saje się z kaegorii filozoficznej i maemayczno- -fizycznej kaegorią ekonomiczną. Ekonomiczny charaker czasu przekszałca go w czynnik komplemenarny wszelkiej produkcji; bez czynnika czasu niemożliwa jes jakakolwiek działalność gospodarcza. Czas saje się zmienną niezależną funkcji przemieszczania, funkcji wszelkiej działalności i wszelkiej 6 Zagadnienie o w poglądowy sposób przedsawia J. Hozer w pracy Czas i przesrzeń w modelowaniu ekonomerycznym, czyli: empus, locus, homo, casus e foruna regi acum, Recors Lecures, Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Kraków 1998. 7 Insufficien, bu no-redundan par of unnecessary bu sufficien condiion.

KRZYSZTOF HEBERLEIN O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH... 145 dynamiki. Czas z kryerium porządkowania zmienia się w zmienną wpływającą na przebieg zjawisk. Jednym ze sposobów opisu przesrzeni jes modelowanie maemayczne za pomocą równań opisowych. Wśród modeli równań opisowych można wyróżnić równania różniczkowe i różnicowe oraz równania ekonomeryczne. Sposoby e wykazują wiele cech wspólnych, głównie ze względu na cele ich budowy, ale eż różnią się właściwościami, konsrukcją, rozwiązywaniem i inerpreacją. Naomias czynnik czasu ujmowany jes w sposób zbliżony we wszyskich przypadkach. Układy równań różniczkowych pierwszego rzędu Układ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu worzą równania: ' ' Ф (, xyx,,, y) 0 1 ' ' Ф (, xyx,,, y) 0 2 gdzie jes zmienną niezależną. Całką układu nazywany jes aki układ dwóch funkcji x x, y y (2) określonych, ciągłych i różniczkowalnych w pewnym zbiorze, kóre wsawione do układu (1) zamieniają równania układu na ożsamości. Układ (1) daje się niekiedy rozwiązać względem pochodnych x i y ; przybiera on wedy nasępującą prosszą posać, zwaną normalną posacią Cauchy ego: dx dy f1, x, y, f2, x, y (3) d d R. Domański 8 podjął próbę skonsruowania modeli odwzorowujących dynamikę wybranych układów przesrzennego zagospodarowania Polski. Celem ej próby było wniknięcie w mechanizm zmian układów dynamicznych. (1) 8 Zob. R. Domański R., Przesrzenna ransformacja gospodarki, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, s. 117.

146 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Ogólną posać modelu worzą nieliniowe równania dynamiczne: dx f xy f1 d dy g xy g1 dx,, Równania e opisują zmiany układów w czasie. Funkcjom f xy, i gx, y nadano posać wielomianu dwóch zmiennych zależnych od czasu, w kórych czas nie wysępuje explicie, naomias f1 oraz g1 są wyłącznie funkcjami czasu. Aproksymując za pomocą wielomianów szeregi saysyczne x oraz y, uzyskano równania wyrażające zależność ych zmien- nych od czasu. Na podsawie aproksymacji wielomianowej można skonsruować wykres współzależności w przesrzeni fazowej 0xy. Podobny wykres można uzyskać z rozwiązań równań dynamicznych opisujących badane zagadnienia. Opis zachowania się sysemu dążącego do sanu równowagi w konwencji równań różniczkowych przedsawia J. Siedlecki 9. Układ równań różniczkowych definiowany jes w nasępujący sposób: X 1 X 2 X 3 1 1 2 2 1 2,,..., f X X X 3 1 2,,..., f X X X,,..., f X X X Zachowanie się sysemu dążącego do równowagi obrazują u rajekorie sanu, kóre odpowiadają rozwiązaniom zbieżnym ze sanem niezależnym od czasu. Sprowadzając funkcje f X, X,..., X do funkcji jednej zmiennej (i-ej 1 1 2 n zmiennej), układ równań różniczkowych można zapisać jako: n n n (4) (5) dx d i F X, i 1, 2,, n (6) i i 9 Zob. J. Siedlecki, Równowaga a wzros gospodarczy, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa Wrocław 2000, s. 21 i n.

KRZYSZTOF HEBERLEIN O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH... 147 Po rozwinięciu funkcji Fi X w szereg Taylora orzymuje się rozwiązanie każdego równania, zależnie od przyjęego sopnia rozwinięcia. i Jeśli przyjmie się na przykład, że: o rozwiązanie jes w posaci: F( X ) a X a X (7) 2 i 1 i 2 i X i a 1 ace (8) a 1 1 ae 2 Funkcja przedsawia znaną w ekonomii krzywą logisyczną i jes maemaycznym wyrazem prawa malejących relaywnie efekywności nakładów. Teoria sysemów owarych jes eorią dynamiczną. Począkowy san rozwoju nie jes sanem równowagi sacjonarnej. Rozwój sysemów może przebiegać w różnych warunkach zewnęrznych z różnym empem. Procesy opisywane za pomocą funkcji logisycznej charakeryzuje równowaga dynamiczna, kórą można nazwać równowagą logisyczną. Funkcja a jes jedynym rozwiązaniem równania (równanie o przedsawia prawo Robersona): przy warunku począkowym y dy c y a y (9) d a 0 a 1 e b Równania różnicowe Przy formalnym przedsawieniu modelu isnieje możliwość wyboru, gdyż można go sformułować w kaegoriach ciągłych lub okresowych, jeśli idzie zarówno o jego reść ekonomiczną, jak i formę maemayczną. W dużej mierze decyduje o wyborze wygoda manewrowania elemenami modelu z ekonomicznego i maemaycznego punku widzenia. W analizie okresowej srumień czasu jes podzielony na kolejne okresy o sałej długości przyjęej jako jednoskę czasu. Jeżeli model jes dynamiczny w ym sensie, że zmienne wysępują w różnych momenach, o warunki modelu redukują się do równania różnicowego.

148 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Równanie różnicowe zdefiniować można jako równanie funkcyjne łączące 2 jedną albo więcej różnic y, y i ak dalej. dla nieznanej funkcji czasu. Można je zapisać w posaci: 2 n, y, y, y,..., y 0 (10) y f y, y, y y, 0,1,... (11) lub 1 1 2,..., n Rzędem równania jes rząd najwyższej wysępującej w nim różnicy. Równanie rzędu pierwszego zawiera y, ale nie zawiera żadnych różnic wyższego 2 rzędu, równanie rzędu drugiego zawiera y, ale nie zawiera żadnych wyższych różnic i ak dalej. Równania różnicowe pierwszego rzędu mają posać:, y f y y f y (12) 1 1 Jeżeli funkcja f przyjmować będzie posać liniową, o równania (12) są liniowymi równaniami różnicowymi rzędu pierwszego, w przypadku nieliniowej funkcji f są o równania różnicowe nieliniowe. Rozwiązanie równania różnicowego o aka funkcja zmiennej, kóra jes zgodna z danym równaniem różnicowym i jego warunkami począkowymi. Nie może zawierać żadnych wyrażeń różnicowych. Dla liniowych równań różnicowych pierwszego rzędu meoda rozwiązywania jes analogiczna jak dla równań różniczkowych. Przykładowo dla równania: rozwiązanie jes nasępujące: y ay c (13) 1 c y A a, dla a 1, 1 a y A a c dla a ( ), 1 (14)

KRZYSZTOF HEBERLEIN O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH... 149 Model ekonomeryczny jako narzędzie idenyfikacji i dynamiki relacji w przesrzeniach ekonomicznych Czynnikami modelowania są: eoria, rzeczywisość i echniki esymacji paramerów. Aby zbudować model empiryczny, należy przedsawić eorię w posaci modelu eoreycznego. Rzeczywisość związana jes z badanymi zjawiskami i wysępuje w posaci zbiorów danych (obserwacji) doyczących ych zjawisk. Model eoreyczny przedsawia w sformalizowanej posaci eorie sanowiące podsawę jego konsrukcji. Teorie e będą później weryfikowane i wykorzysane w modelu operacyjnym. Teoria w posaci modelu eoreycznego i rzeczywisość odwzorowana poprzez odpowiednio przygoowane dane w połączeniu z echnikami esymacji umożliwiają oszacowanie nieznanych paramerów modelu. W rezulacie orzymuje się model empiryczny (operacyjny), o znaczy przeesowany, goowy do użycia (analizy srukury, symulacji i serowania). Jego osaeczna posać jes kompromisem pomiędzy eorią (w posaci modelu eoreycznego) i prakyką (w posaci dosępnych danych, meod esymacji i możliwości obliczeniowych kompuerów). Model w sensie algebraicznym o jedno równanie algebraiczne (model jednorównaniowy) lub układ równań algebraicznych (model wielorównaniowy). Spośród zmiennych modelu można wydzielić zmienne endogeniczne, kórych wielkości są wyznaczane przez model, i zmienne egzogeniczne, wyznaczane poza modelem, a wpływające na warości zmiennych endogenicznych. Opóźnione zmienne modelu wielorównaniowego (endogeniczne i egzogeniczne) wraz z bieżącymi zmiennymi egzogenicznymi zaliczane są do grupy zmiennych o warościach z góry usalonych. Jeśli model nie zawiera żadnej zmiennej egzogenicznej, o nazywany jes modelem zamknięym. W prakyce nie buduje się modeli w pełni zamknięych, ponieważ oznaczałoby o brak wpływu ooczenia na zachowanie modelowanego układu. Modele maemayczne zawierają paramery, o jes współczynniki związane ze zmiennymi modelu. Paramery są na ogół szacowane na podsawie danych saysycznych, przy użyciu odpowiednich echnik esymacji. Mogą być również szacowane na podsawie opinii eksperów lub usalone w oparciu o normy i relacje echniczne. Zdarza się, że paramery znane są dzięki założeniom eoreycznym, leżącym u posaw konsrukcji modelu. Model sochasyczny o szczególny rodzaj modelu maemaycznego, zawierającego przynajmniej jedną zmienną losową. Model deerminisyczny (ożsamościowy) odzwierciedla związki ypu funkcyjnego.

150 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Ze względu na posać funkcyjną równań modelu wyróżnia się modele liniowe jeśli wszyskie równania modelu są liniowe względem paramerów, oraz modele nieliniowe jeśli wysępują w nich równania nieliniowe względem paramerów. Ze względu na ujęcie czynnika czasu rozróżnia się modele sayczne i dynamiczne. Model sayczny nie jes zależny w żaden sposób od czasu. Model dynamiczny o aki, w kórym wprowadzono czas do równań modelu (może on być wprowadzony bezpośrednio w posaci zmiennej czasowej, lub pośrednio przez zmienne opóźnione, przyrosy zmiennych, ich empa ec.). Zasosowanie modeli saycznych ogranicza się do opisania sanu sacjonarnego bądź do analizowania różnic między akimi sanami (sayka porównawcza). Modele dynamiczne naomias mogą być używane nie ylko do opisywania sanu sacjonarnego i różnic między alernaywnymi sanami (czyli ak jak modele sacjonarne), ale również do opisywania ścieżek czasowych zmiennych ekonomicznych i do analizowania różnic pomiędzy alernaywnymi ścieżkami (dynamika porównawcza), do czego modele sayczne się nie nadają. Modele sayczne można jednak rakować jako szczególny przypadek modeli dynamicznych, a w związku z ym wyniki analizy saycznej zawsze można uznać za endencje jakiegoś modelu dynamicznego dla dłuższego okresu. Symbolicznie model o M równaniach zapisać można nasępująco: y g Y, Y,..., Y, Z,, u ) ( 1,..., T )( i 1,..., M (15) i i ( 1 k i i ) gdzie: Y y1... y M, z1 Z... z N subskryp czasu, k maksymalne opóźnienie zmiennych endogenicznych, y i i-a zmienna endogeniczna, z j j-a zmienna egzogeniczna, u i składnik losowy w i-ym równaniu modelu, Z wekor zmiennych egzogenicznych (bieżących i opóźnionych), Y wekor zmiennych endogenicznych, Θ i zbiór paramerów i-ego równania.

KRZYSZTOF HEBERLEIN O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH... 151 Powyższy układ równań można zapisać również w posaci macierzowej: Y G Y, Y,..., Z,, U ) (16) ( 1 u1 gdzie U..., naomias Θ oznacza zbiór wszyskich paramerów modelu. u M Ważne informacje o srukurze powiązań modelu wielorównaniowego zaware są w ak zwanej macierzy powiązań modelu. Jes o kwadraowa macierz R sopnia M, o nasępująco zdefiniowanych elemenach: r ij = 1, gdy zmienna y j wysępuje w równaniu objaśniającym zmienną y i (w i-ym równaniu), zaś r ij = 0 w przeciwnym razie (dla i, j = 1,..., M). W przypadku, gdy macierz powiązań jes diagonalna, model nazywamy modelem prosym. Cechą wyróżniającą modele rekurencyjne jes możliwość przekszałcenia macierzy R (poprzez zmianę uporządkowania równań lub zmiennych) do posaci macierzy rójkąnej. Jeśli akie przekszałcenie jes niemożliwe, mamy do czynienia z modelem współzależnym, o jes modelem z jednoczesnymi sprzężeniami zwronymi między zmiennymi endogenicznymi. Niezmiernie isony jes wpływ jednosek czasu, używanych w danych będących podsawą do esymacji równań modelu, na specyfikację modelu i yp powiązań między zmiennymi endogenicznymi im krósza jednoska czasu, ym mniej równań współzależnych, a więc prossza srukura ze względu na sprzężenia jednoczesne. Z drugiej jednak srony, bardziej złożona saje się wówczas srukura powiązań dynamicznych (wyrażających procesy adapacyjne), uwzględnianych w specyfikacji równań przez wprowadzanie zmiennych z opóźnieniami czasowymi. Ten sam model może być przedsawiony w rzech posaciach: srukuralnej, zredukowanej i końcowej. Posać srukuralna jes ważna z punku widzenia formułowania modelu i szacowania jego paramerów. Składa się ona z równań wyspecyfikowanych w procesie budowy modelu. Jej równania reprezenują wybrane hipoezy doyczące praw działania analizowanego sysemu. Model w posaci srukuralnej można zapisać w nasępującej formie: G( Y, Y 1 U (17),..., Yk, Z, ) Posaci zredukowana i końcowa podobnie jak posać srukuralna, przedsawiają równania modelu w formie jawnej, o jes rozwikłanej wzglę-

152 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII dem zmiennych objaśnianych przez e równania. Różnica między nimi kwi w zesawie zmiennych objaśniających (zapisanych po sronie prawej). W przypadku posaci srukuralnej po prawej sronie mogą wysępować wszyskie zmienne modelu, o znaczy bieżące zmienne endogeniczne i zmienne z góry usalone. W posaci zredukowanej wysępują am jedynie zmienne z góry usalone, a w końcowej wyłącznie zmienne egzogeniczne. Posać zredukowana modelu powsaje z posaci srukuralnej przez wyeliminowanie sprzężeń jednoczesnych między zmiennymi endogenicznymi. Równanie wekorowe (15) zosaje więc przekszałcone do posaci: Y H Y,..., Y, Z P, V ) (18) ( 1 k gdzie: P macierz paramerów posaci zredukowanej, V wekor składników losowych posaci zredukowanej. Posać zredukowana ma znaczenie głównie z punku widzenia szacowania paramerów i prognozowania na podsawie modelu. Posać końcową orzymuje się z posaci zredukowanej przez wyeliminowanie z niej opóźnionych sprzężeń między zmiennymi endogenicznymi: Y ( Z, F, W ) (19) gdzie: F macierz paramerów posaci końcowej, W wekor składników losowych posaci końcowej. W wyniku akiego przekszałcenia po prawej sronie (powyższego) równania zosają jedynie bieżące i opóźnione warości zmiennych egzogenicznych oraz wekor składników losowych. Posać końcowa ma znaczenie przede wszyskim z punku widzenia wykorzysania modelu, a więc analizy srukury i symulacji. W przypadku modeli liniowych można za pomocą przekszałceń algebraicznych wyprowadzić wzory dla wszyskich paramerów posaci zredukowanej i końcowej zawarych w macierzach P i F. Paramery e są w ym przypadku sałe (nie zależą od czasu). Paramery posaci końcowej, czyli elemeny macierzy F, o mnożniki obliczone względem zmiennych egzogenicznych.

KRZYSZTOF HEBERLEIN O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH... 153 Podsumowanie Modele dynamiczne opisują w sposób jednoznaczny dynamikę zachowań w przesrzeni. Przedsawiają one funkcjonowanie sysemu za pomocą układu równań różniczkowych lub różnicowych. Równania e są deerminisycznym i funkcyjnym wyrażeniem różnego rodzaju sanów, kóre zmieniają się w sopniu konrolowanym przez funkcje decyzyjne. Formuły ego aparau maemaycznego są na yle elasyczne, że pozwalają na modelowanie ze znaczną swobodą z uwzględnianiem założeń, ograniczeń i nieliniowych reakcji i sprzężeń, charakerysycznych dla różnych sysemów. Modele dynamiczne są dobrym narzędziem odzwierciedlania lub naśladowania zachowań sysemów i pozwalają wnikać głębiej w e zachowania poprzez różnicowanie paramerów i zmiennych ruchu. Do ego rodzaju sposobów opisu należą wielorównaniowe dynamiczne modele ekonomeryczne. Ich sochasyczny charaker nadaje jeszcze większą użyeczność w modelowaniu srukur przesrzenno-czasowych. Modele budowane są na bazie określonej eorii, kóra w wielu przypadkach nie jes wysarczająca. Doyczy o w szczególności budowy równań różniczkowych czy różnicowych (bądź różniczkowo-różnicowych), kóre bezpośrednio wymagają konkrenych założeń i zwięzłej, jednoznacznej eorii. Równania akie można przeransformować na układy dynamicznych równań ekonomerycznych. Lieraura Badania przesrzenne rynku i konsumpcji, S. Mynarski S. (red.), Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 1992. Domański R., Przesrzenna ransformacja gospodarki, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 1997. Domański R., Geografia ekonomiczna. Ujęcie dynamiczne, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 2004. Ekonomiczna analiza przesrzenna, C. Ponsard (red.), Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 1992. Hozer J., Czas i przesrzeń w modelowaniu ekonomerycznym, czyli: empus, locus, homo, casus e foruna regi acum, Recors Lecures, Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Kraków 1998. Jajuga K., Saysyczna eoria rozpoznawania obrazów, PWN, Warszawa 1990.

154 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Malisz B., Podsawy gospodarki i poliyki przesrzennej, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław Warszawa Kraków Gdańsk Łódź 1984. Osasiewicz W., Zasosowanie zbiorów rozmyych w ekonomii, PWN, Warszawa 1986. Siedlecki J., Równowaga a wzros gospodarczy, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa Wrocław 2000. ON SELECTED FORMS OF DESCRIBING THE DYNAMICS OF ECONOMIC SPATIAL STRUCTURES Summary Space is a noion which is usually undersood inuiively. In mos cases, however, such an undersanding is insufficien o describe or carefully examine his concep. Space is a key noion in many scienific disciplines hey use erms such as public, social and privae space. Mahemaicians define various ypes of spaces, for insance he Euclidean space, he Banach space, or he Minkowski space. In fac, each phenomenon is relaed o space. The use of space in economics also requires a precise definiion of his erm. The higher he expecaions abou a specific applicaion of his erm, he more precise definiion is required. In he paper an aemp is made o boh approach, in a sysemaic way, he issues of idenificaion and descripion of space by means of quaniaive mehods, and o compare and conras several mehods of modelling he changes in economic spaial srucures over ime. Keywords: economic spaial srucures, dynamic models. Translaed by Krzyszof Heberlein