Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO.. ZLEśNOŚCI PODSTWOWE... Podtawy teorii kręcania wobodnego prętów pręŝytych RozwaŜmy jednorodny, izotropowy, liniowo-pręŝyty pręt pryzmatyczny poddany czytemu kręcaniu (ry..). Problem kręcania rozwiąŝemy w poób wkazany w 855 roku przez de Saint- Venanta. Przyjmujemy mianowicie, Ŝe przekroje pręta nie ulegają odkztałceniom potaciowym, tzn. w proceie deformacji zachowują wój pierwotny kztałt. Zgodnie z powyŝzą hipotezą kinematyczną dwa przekroje oddalone od iebie o x obracają ię względem iebie wokół podłuŝnej oi pręta o kąt kręcenia ψ. Uwzględnimy jednak moŝliwość deplanacji (paczenia) przekrojów, które przed odkztałceniem były płakie. Dopuzczamy więc moŝliwość wytąpienia przemiezczeń u wzdłuŝ oi pręta x. Okazuje ię, Ŝe przy powyŝzych załoŝeniach uzykuje ię ściłe rozwiązanie problemu kręcania na gruncie teorii pręŝytości. Ry.. Zaadnicze rozwaŝania przeprowadzimy w zapiie wkaźnikowym. Z podanych wyŝej załoŝeń kinematycznych dla bardzo małych wartości kąta kręcenia wynikają natępujące związki: ( ) u = θ t x, x,, (.) u = ψ x = θ x x u = ψ x = θ x x. gdzie t(x, x ) jet tzw. funkcją deplanacji, kąt θ = dψ / dx i nazywa ię jednotkowym kątem kręcenia. PoniewaŜ pręt jet jednorodny i pryzmatyczny, więc podcza czytego kręcania (M = cont) jednotkowy kat kręcenia ma wartość tałą θ = ψ( l) / l, gdzie l jet długością pręta. RozwaŜany problem noi nazwę kręcania wobodnego. Określenie to wiąŝe ię z załoŝeniem, Ŝe wzytkie przekroje pręta mają wobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak formułowanego zagadnienia ma charakter przybliŝony. W praktyce itnieje wiele takich przypadków, w których kręcanie wobodne nie wytępuje. Mamy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój mui ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO pozotać płaki, tzn. u = 0. Podobna ytuacja wytępuje w środkowym przekroju pręta, który jet obciąŝony kupionym momentem kręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno ię toować teorię kręcania niewobodnego. W praktyce efekty kręcania niewobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych. Problematykę tę omówimy w rozdziale. (por. równieŝ p...6). Wzory (.) pozwalają obliczyć odkztałcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (.6)): Stan odkztałcenia obrazuje macierz: ε = ε = ε = ε = 0, ε = θ ( t, x), (.) ε = θ ( t, + x ). 0 e = ε ε ε ε 0 0. (.a) 0 0 Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4)) otrzymujemy napręŝenia: σ = σ = σ = σ = 0, σ = Gθ ( t, x), σ = Gθ ( t, x ), (.) a macierz napręŝeń przyjmuje potać: 0 = σ σ σ σ 0 0. (.a) 0 0 Wykorzytamy jezcze równania róŝniczkowe równowagi napręŝeń (wzór (.9)) dla pręta niewa- Ŝkiego (G i = 0): σ, + σ, + σ, = 0, σ ji, j = 0: σ, + σ, + σ, = 0, σ, + σ, + σ, = 0, które po uwzględnieniu równań (.) prowadzą do zaleŝności: σ, + σ, = 0, σ, = 0, (.4) σ, = 0. Równania (.4) i (.4) ą pełnione toŝamościowo. Pozotaje więc tylko równanie (.4). Po podtawieniu wzoru (.) do (.4) otrzymujemy równanie róŝniczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji: lub t, + t, = 0 = t 0, gdzie = +. x x Funkcja deplanacji t(x, x ) jet więc funkcją harmoniczną. (.5) ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO by wyznaczyć napręŝenia, wygodnie jet wprowadzić pewną funkcję F(x, x ), zwaną funkcją napręŝeń. JeŜeli przyjmiemy, Ŝe σ = F,, (.6) σ = F,. to funkcja napręŝeń F(x, x ) pełnia toŝamościowo równanie równowagi (.4). Równanie problemu kręcania otrzymujemy na podtawie wzorów (.6). Po zróŝniczkowaniu równania (.6) względem x, a równania (.6) względem x mamy: σ = F, = Gθ t, σ,, ( ) ( ) = F, = Gθ t +.,, Jeśli funkcja deplanacji t(x, x ) jet ciągła wraz z drugimi pochodnymi, to t, = t, i po dodaniu tronami uzykujemy pozukiwane równanie kręcania, wyraŝone przez funkcję napręŝeń: F = Gθ. (.7) Jet to równanie róŝniczkowe Poiona. NaleŜy jezcze przeanalizować warunki brzegowe odpowiadające temu równaniu. Warunki te ą określone przez warunki na powierzchniach bocznych ograniczających pręt (wzór (.7b)): ( pi n ) = σ jin j. ( n) ( n) ( n) 0 ( n) ( n) ( n) Pobocznica pręta jet wolna od napręŝeń, więc p = p = p =. Zatem p = σ n + σ n + σ n = 0, p = σ n + σ n + σ n = 0, p = σ n + σ n + σ n = 0. PoniewaŜ w pręcie pryzmatycznym n = 0, a n = x / c i n = x / c (por. ry..), pozotaje tylko pierwze z równań: σ + σ n =. (.8) n 0 Ry.. Z zaleŝności (.8) wynika, Ŝe napręŝenia σ i σ muzą przybierać takie wartości, by wypadkowe napręŝenie τ było tyczne do konturu przekroju. Warto przypomnieć, Ŝe w identyczny poób utaliliśmy kierunek wypadkowego napręŝenia t = t x *) w punktach konturu przekroju przy omawianiu działania iły poprzecznej (por. wzór (.7)). Po wprowadzeniu funkcji napręŝeń do warunku (.8) mamy: *) t x t = t xy + t xz. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 4 lub F n + F n =,, 0 F x F x + = 0. x c x c Lewa trona powyŝzego równania jet pochodną funkcji F = F[ x c x c ] mierzonej wzdłuŝ linii tworzącej kontur przekroju: df dc F x F x = + x c x c Warunek ten moŝna zapiać krócej: df c = 0, dc gdzie F c oznacza wartości funkcji F na konturze przekroju pręta. Wynika tąd, Ŝe F c = cont.. ( ), ( ) względem zmiennej c, Funkcja napręŝeń mui na konturze przekroju przyjmować jednakową wartość. Najwygodniej jet przyjąć, Ŝe brzegowa wartość funkcji F c jet równa zeru: F c = 0. (.9) Ry.. Warunek (.9) jet pozukiwanym warunkiem brzegowym funkcji napręŝeń, pełniającej równanie róŝniczkowe kręcania (.7). Przebieg funkcji napręŝeń obrazuje ry..a. Na ryunku.b przedtawiono plan wartwicowy powierzchni F(x, x ). RozwaŜmy jezcze pewien punkt wartwicy F(x, x ) = cont. Na krzywej tej przyrot funkcji F jet równy zeru, tzn. ale df dc = F x F x x c + x c = 0, F x F = σ, = σ, x ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 5 kąd σ = dx σ dx. Z otatniej zaleŝności (por. ry..c) wynikają natępujące wnioki: wektor napręŝenia t = σ e + σ e jet w kaŝdym punkcie tyczny do wartwicy F(x,x ) = cont; wartwice funkcji F ą więc trajektoriami napręŝeń tycznych, wartość wypadkowego napręŝenia tycznego obliczona z zaleŝności ( F, ) ( F, ) τ = σ + σ = + pozwala traktować to napręŝenie jako moduł gradientu funkcji napręŝeń F, τ =grad( F ). Jeśli uda ię nam wyznaczyć funkcję napręŝeń, moŝemy obliczyć jednotkowy kąt kręcenia z definicji momentu kręcającego: ( σ σ ) (,, ) M = x x d = F x F x d = = F, x dx dx F, x dx dx. Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, Ŝe F c = 0 otrzymujemy: M = F x (, ) x d. (.0) Moment kręcający równa ię więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x, x ) oraz płazczyzną przekroju. JeŜeli do rozwiązania toujemy funkcję deplanacji t(x, x ), a nie funkcję napręŝeń F(x, x ), to warunek brzegowy (.8) po wykorzytaniu równań (.) prowadzi do zaleŝności: t, x n + t, + x n = 0. (.) ( ) ( ) Funkcja t(x,x ) mui być tak obrana, by na konturze przekroju pełniała warunek (.). Drugi poób rozwiązania problemu kręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x, x ), która pełnia równanie Laplace'a (.5) i warunek brzegowy (.) w kaŝdym punkcie konturu przekroju.... Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym Kontur przekroju pręta jet opiany równaniem: y z (a) + = 0, a b gdzie a i b (a b) ą głównymi oiami przęŝonymi elipy (por. ry..4). Ry..4 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 6 Zatoujemy funkcję napręŝeń o natępującej potaci: (b) ( ) F y z m y z, = +, a b gdzie m jet pewną tałą. Z budowy wzoru (b) wynika, Ŝe warunek brzegowy na konturze przekroju jet pełniony (F c = 0). Stałą m obliczymy przez podtawienie funkcji F(y, z) do równania róŝniczkowego (.7): F = m + = Gθ, a b kąd. a b m = Gθ a + b Wobec tego a b y z (c) F( y, z) = Gθ +. a + b a b Na podtawie wzoru (.0) otrzymujemy: M = = Fd Gθ a b + d y d a b z d = a b ( d) = Gθ a b J a + b a z b J y. Dla elipy momenty bezwładności J y i J z oraz pole przekroju wynozą: Jy = πb a, Jz = πba, = πab, 4 4 co po podtawieniu do równania (d) prowadzi do zaleŝności: πa b (e) M = a + b G θ. Gdy uwzględnimy wartość iloczynu G obliczoną ze wzoru (e), to na podtawie wzoru (c) otrzymamy otateczną potać funkcji napręŝeń F(y, z) : M y z (f) F( y, z) = +. ab π a b NapręŜenia tyczne zmieniają ię liniowo. Wynika to z zaleŝności (.6): F M τ xy = = z, z πab (g) F M τ xz = = y a b y. π Doyć itotne dla dalzych rozwaŝań jet to, Ŝe moment kręcający przenozony przez napręŝenia τ xy jet równy M/. Taką amą część momentu przenozą oczywiście napręŝenia τ xz. Wnioek ten wynika z natępującego obliczenia: ( z) M M M ( xz ) xz y d z M a b y d a b J τ = τ = = =, π π (h) ( y) M M M ( τxy ) = τxy z d = y M a b z d = J =. ab π π ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 7 Warto równieŝ zwrócić uwagę, Ŝe pola kaŝdego z wykreów napręŝeń wypadkowych τ x ą zawze jednakowe M a M b M τ = = =. x a b π πab πab Najwiękze napręŝenia wytępują więc w punktach konturu leŝących najbliŝej środka cięŝkości przekroju (tzn. w punktach B i D na ry..5). PoniewaŜ a b, więc M M (i) τ x max = =, πab W gdzie W = πab / i oznacza tutaj tzw. wkaźnik wytrzymałości na kręcanie. by wyznaczyć przemiezczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z). Funkcję tę najwygodniej obliczymy z jednego z równań (.): τ t xy M a b = + z = z + z = z. y Gθ Gθπab a + b Po całkowaniu tego równania otrzymamy: a b t( y, z) = yz + C. a + b Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty leŝące na oi pręta nie doznawały przemiezczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, Ŝe oś pręta nie wydłuŝa ię i nie kraca. Mamy więc t(0,0) = 0, kąd C = 0. a b (j) t( y, z) = yz. a + b Z równania (e) moŝna obliczyć jednotkowy kąt kręcenia: M θ =, (k) G πa b ( a + b / ) a ze wzorów (.) wpółrzędne wektora przemiezczenia: M u = u = θ t = yz, G a b ( a b π / ) M (l) u = v = θ xx = xz, G πa b / ( a + b ) M u = w = θ x x = xy. G ab ( a + b π / ) Ry..5 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 8 Wartwice funkcji u(y, z) ą hiperbolami. Na ryunku.5b wartwice oznaczone liniami ciągłymi odpowiadają wartościom dodatnim, natomiat linie przerywane ujemnym wartościom przemiezczeń u (y, z). Stoownie do wzoru (k) jednotkowy kąt kręcenia moŝna zapiać jezcze inaczej: θ = M GJ, (.) gdzie GJ jet ztywnością kręcania przekroju, a J tzw. momentem bezwładności na kręcanie: 4 4 πa b J = = ; (.a) a + b 4π J 40 J b b przy czym J b = J y + J z i oznacza tu biegunowy moment bezwładności. De Saint--Venant dozedł do wnioku, Ŝe wzór (.a) dla innych kztałtów przekroju daje równieŝ bardzo dokładne wyniki. MoŜna więc przyjąć, Ŝe ztywność na kręcanie jet równa ą ztywności na kręcanie prętów o przekroju eliptycznym o tej amej powierzchni i tym amym biegunowym momencie bezwładności J b. Sztywność na kręcanie jet więc odwrotnie proporcjonalna do biegunowego momentu bezwładności, a nie wprot proporcjonalna, jak przyjmowali poprzednicy de Saint-Venanta.... Skręcanie prętów o przekrojach kołowych i pierścieniowych Zwróćmy uwagę na to, Ŝe dla przekroju kołowego (a = b = r) przemiezczenia u(y, z) = 0. Oznacza to, Ŝe podcza kręcania przekrój kołowy nie ulega deplanacji. Wzory na napręŝenia i kąt kręcania ą natępujące (ry..6a): M M πr τx = ρ, τx =, W = J W b max, 4 4 M πr θ =, J = = = Jb. GJ 4π J Wzory (.) obowiązują równieŝ dla przekrojów pierścieniowych, przy czym: 4 4 ( ) b (.) π J = Jb = R r oraz W = J / R. (.4) Dla przekrojów kołowych i pierścieniowych moment bezwładności na kręcanie J jet liczbowo równy momentowi biegunowemu J b. Było to źródłem błędnego załoŝenia w dawniej toowanych teoriach kręcania. W przekrojach pierścieniowych podobnie jak w przekrojach kołowych nie wytępuje deplanacja przekroju. Ry..6 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 9..4. Skręcanie pręta o przekroju w kztałcie trójkąta równobocznego Ściłe rozwiązania zamknięte moŝna uzykać jezcze dla przypadku, gdy przekrój pręta pryzmatycznego jet trójkątem równobocznym. Funkcja napręŝeń jet iloczynem równań opiujących boki trójkąta (ry..7): (m) F y z = m( x a)( y z + a)( y + z + a) (, ). Ry..7 W ten poób podobnie jak dla przekroju eliptycznego funkcja napręŝeń zgodnie z warunkiem brzegowym (.9) przyjmuje wartości zerowe na konturze przekroju. Stałą m dobieramy tak, by było pełnione równanie kręcania (.6): F a = 8 m y +, y Wobec tego kąd (n) Z zaleŝności (.0) otrzymujemy: więc F = 8 m y z a. F F F = + = 6am = Gθ, y z G m = θ 8 a. ( ) ( ) M = = + = = 9 8a m 4 F d m y a y a z d Gθ a, 5 5 (o) θ = M GJ, 5 gdzie 4 a J =. (.5) 5 ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 0 NapręŜenia obliczymy z zaleŝności (.6): F Gθ τ xy = = 8m( y a) z = + ( y a) z, z a (p) F a Gθ a τ xz = = m y + y z 9 = y + z. y a Po podtawieniu zaleŝności (o) napręŝenia określają ą wzory: ( y ) M τ xy = a z = a z, aj (q) M a a τ xz = y + y z y y z a J = M ( a ) +. 5 / 5 Wykrey napręŝeń tycznych przedtawia ry..7b. Makymalne napręŝenia tyczne wytępują w punktach leŝących najbliŝej środka cięŝkości (punkty, B, C): M ( ) ( y ) 5 a / 5 a a (r) τ x max = τ xz, =, W =. 0 M W 5 NapręŜenia w naroŝach ą równe zeru. Pola wykreów wypadkowego napręŝenia tycznego τ x, odnieionych do dowolnej linii wychodzącej ze środka cięŝkości przekroju, ą takie ame. Dla przykładu wzdłuŝ linii z = 0 pole dodatnich napręŝeń τ x = τ xz odłoŝone na odcinku O jet równe polu ujemnych napręŝeń odłoŝonych na odcinku OD. Deplanację wyznacza ię identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji t(y, z) jet natępujące: () t y z a y z (, ) = z. Wartwice funkcji u(y, z) = θ t(y, z) podano na ry..7a...5. Obliczanie napręŝeń i kąta kręcania dla prętów o dowolnym przekroju. Przekrój protokątny Dla prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ściłe uzykuje ię za pomocą zeregów Fouriera. Itnieją równieŝ przybliŝone metody wyznaczania funkcji napręŝeń lub funkcji deplanacji. Na uwagę załuguje równieŝ metoda róŝnic kończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przybli- Ŝona teoria kręcania wobodnego zbudowana na podtawie teorii płyt grubych [,6]. Poza tym informacji o charakterze rozkładu napręŝeń dotarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je w p... Z punktu widzenia projektanta itotne jet wyznaczenie najwiękzego napręŝenia tycznego τ x max oraz jednotkowego kąta kręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza ię według wzorów: τ x max = M, (.6) W θ = M GJ. (.7) Wkaźniki wytrzymałości na kręcanie W oraz momenty bezwładności na kręcanie J dla róŝnych przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania kontrukcji. Warunek wytrzymałościowy polega na pełnieniu nierówności: ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO kąd gdzie σ = τ σ red x max τ x max τ dop, τ σ σ dop, dop = dop 0, 6 dop, (.8) przy czym σ dop oznacza napręŝenie dopuzczalne przy rozciąganiu (ścikaniu), a τ dop dopuzczalne napręŝenia przy ścinaniu. Warunek ztywnościowy polega na ograniczeniu makymalnego całkowitego kąta kręcenia ψ : ψ = θ ( ) d ψdop. (.9) W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej toujemy protokątny przekrój pręta, dla którego obowiązują natępujące zaleŝności przybliŝone: (t) 4 J = b n 0 6 + 0,, 05, n4 + n J h W =, przy czym n = >. 0, 5 + n b b Ry..8 Rozkłady napręŝeń ilutruje ry..8, a deformacje pręta kręcanego o przekroju protokątnym ry..9. Najwiękze napręŝenie tyczne wytępuje na konturze przekroju w punkcie, uytuowanym najbliŝej środka przekroju, tzn. w połowie dłuŝzego boku. Intereujące jet, Ŝe dla h / b <, 45 funkcja deplanacji t(y, z) wykazuje cztery obzary wartości dodatnich i cztery obzary wartości ujemnych, natomiat dla h / b > 45, wytępują podobnie jak w elipie po dwa takie obzary. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Ry..9..6. Uwagi o kręcaniu niewobodnym JeŜeli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozotaje płaki, to tan napręŝenia w pręcie kręcanym róŝni ię od podanego w poprzednich punktach i odpowiada kręcaniu niewobodnemu. Dla ilutracji omówimy przykład pręta protokątnego, w którym z warunku ymetrii przekrój x = 0 pozotaje płaki (ry..0). ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Ry..0 by zapobiec deplanacji, w obrębie przekroju poprzecznego naleŝy rozmieścić napręŝenia normalne σ x. W obzarach, w których wytąpiłyby wypukłości, trzeba wprowadzić napręŝenia ścikające, a w pozotałym obzarze napręŝenia rozciągające. BliŜza analiza tego problemu prowadzi do wnioku, Ŝe macierz napręŝeń ma wówcza potać: σ x τ xy τ xz = τ yx 0 τ yz, τzx τzy 0 czyli oprócz napręŝeń normalnych σ x pojawiają ię napręŝenia tyczne τ yz. Zaburzenia tanu napręŝenia, gdy jeden przekrój pręta pozotaje płaki, ą najwiękze dla x = 0 i zybko zanikają w miarę wzrotu wpółrzędnej x. Sztywność takiego pręta na kręcanie jet więkza niŝ podcza kręcania wobodnego. Wpływ kręcania niewobodnego jet bardzo itotny w przekrojach cienkościennych. Problematyka ta jet przedmiotem punktu....7. ZaleŜności energetyczne dla kręcania wobodnego Do określenia zaleŝności energetycznych wykorzytamy równania równowagi i hipotezę kinematyczną o nieodkztałcalności konturu przekroju pręta. W przypadku kręcania wobodnego mamy: σijεij dv = ( σε + σε + σε + σε ) dv. V V Stan odkztałcenia wyraŝają wzory (.) wynikające z przyjętej hipotezy kinematycznej i związków geometrycznych. Po ich podtawieniu do powyŝzej zaleŝności otrzymujemy: ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 4 V σijεijdv = θ[ σ ( t x ) + σ ( t + x )] dv = θ ( σ x + σ x ) d d +,, V + θ ( σ t + σ t ) d d,,. WyraŜenie w nawiaie kwadratowym w pierwzej całce jet momentem kręcającym, więc (u) θ ( σ + σ ) = θ x x d d M d. WykaŜemy teraz, Ŝe (w) ( σ t, + σ t, ) d = 0. W tym celu napręŝenia σ i σ wyrazimy przez funkcję napręŝeń F(x, x ) pełniającą warunek brzegowy F c = 0 na konturze przekroju. Wówcza ( σ σ ) ( ) t + t d = F t F t d = F t d F t d,,,,,,,,,,. Po całkowaniu przez części pierwzej z całek otrzymujemy: bo na konturze przekroju Podobnie wykazuje ię, Ŝe + x F, t, d = F, t dx, dx = F t, F t dx dx F t d x, =,, Wynika tąd, Ŝe zaleŝność (w) jet prawdziwa. W podumowaniu twierdzamy, Ŝe + ( ) ( ) F x, x = F x, x = F c = 0. F t d = F t d = F t d,,,,. σij εij dv = M( ) θ ( ) d. (.0) V Wzór (.0) jet łuzny dla pręta wykonanego z materiału o dowolnej charakterytyce fizycznej. Dla pręta liniowo-pręŝytego energię pręŝytą U moŝna wyrazić natępującymi wzorami: U = d M( ) ( ), (.) M M UM = d, bo θ =, GJ GJ (.) Uθ = GJ θ d. (.) Składniki wewnętrznych prac wirtualnych określają zaleŝności: σijεij dv = M θ d, V σijεij dv = M θ d. V (.4) ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 5.. NLOGIE BŁONOW I HYDRODYNMICZN Wyobraźmy obie płaką jednorodną błonę (np. bańkę mydlaną) rozpiętą na brzegu o tym amym obryie co przekrój poprzeczny pręta, poddaną równomiernemu rozciąganiu R na brzegu i równomiernemu ciśnieniu p na powierzchni (ry..). Z równowagi rzutów ił pionowych działających na błonę otrzymujemy: f p dy dz R y dy dz R f + + dy dz = 0, z kąd f f p (a) + =. y z R W powyŝzym równaniu róŝniczkowym f(y,z) oznacza rzędne powierzchni wygiętej błony. Na brzegu ugięcia te ą równe zeru: (b) f c = 0. Ry.. Porównując równanie (a) i warunek brzegowy (b) z równaniem (.7) i warunkiem (.9) na funkcję napręŝeń F(y, z) widzimy, Ŝe zaleŝności te ą identyczne, jeŝeli przyjmiemy, iŝ f = F oraz p / R = Gθ. nalogię tę zauwaŝył Prandtl w 90 roku. Z powyŝzego wypływa wnioek, Ŝe kztałt powierzchni wygiętej błony jet podobny do kztałtu funkcji napręŝeń. Konekwencją tego ą natępujące twierdzenia: wartwice funkcji f(y, z) ą trajektoriami napręŝeń tycznych t x, moduł napręŝenia t x w danym punkcie jet proporcjonalny do najwiękzego padku (gradientu) powierzchni błony, moment kręcający M jet proporcjonalny do objętości zawartej między płazczyzna przekroju a powierzchnią błony. Zatoowanie błony mydlanej rozpiętej na ramce z drutu o kztałcie odpowiadającym przekrojowi poprzecznemu pręta pozwala uzykać w poób doświadczalny wzytkie niezbędne informacje dotyczące ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 6 problemu kręcania wobodnego. Metodę tę touje ię do wyznaczania tanu napręŝenia i ztywności kręcania prętów o róŝnych komplikowanych kztałtach przekroju poprzecznego. W prętach wydrąŝonych kztałt błony ilutruje ry..d. W obzarze wydrąŝenia powierzchnia błony jet płazczyzną (f = cont). Ry.. Bardzo ugetywne ą analogie hydrodynamiczne. Przedtawimy en jednej z nich analogii Greenhilla (90 rok). JeŜeli ciecz idealna krąŝy ze tałym natęŝeniem wiru w rurze o tym amym przekroju co kręcany pręt (ry..), to z warunku nieściśliwości otrzymujemy: v w (c) + = 0, y z natomiat warunek tałości natęŝenia wiru przyjmuje potać: w v (d) = cont, y z przy czym v i w oznaczają tutaj kładowe prędkości w danym punkcie *). Wprowadzając funkcję prądu: Φ Φ (e) v =, w =, z y pełniamy równanie (c), a z równania (d) znajdujemy: Φ Φ (f) + = cont. y z Prędkości v i w odpowiadają napręŝeniom τ xy i τ xz. Na brzegu prędkość krąŝącej cieczy ma kierunek tyczny do brzegu, tzn. odpowiada warunkowi brzegowemu w potaci (.9) *). Linie prądu pokrywają ię z trajektoriami napręŝeń tycznych τ x. Za pomocą analogii Greenhilla bardzo łatwo moŝna ocenić jakościowy wpływ róŝnych czynników na rozkład napręŝeń tycznych. Wpływ otworu kołowego na rozkład napręŝeń tycznych jet taki am jak wprowadzenie do trumienia cieczy nieruchomego walca o tej amej średnicy co średnica otworu (ry..b). NapręŜenia (tj. prędkości) w punktach C i D ą równe zeru, natomiat w punktach i B ą bardzo duŝe. Podobny wpływ ma półkolity rowek wycięty równolegle do oi wału. Najwiękze napręŝenie tyczne wytępuje w punkcie E. nalogia hydrodynamiczna pokazuje, jak niebezpieczne dla pręta kręcanego ą zczeliny promieniowe, uniemoŝliwiające przepływ napręŝeń. Z analogii hydrodynamicznej wynika wprot, Ŝe napręŝenia tyczne we wzytkich wypukłych naroŝach ą równe zeru, na- *) Wielkości v i w moŝna traktować odpowiednio jako przemiezczenia u i u w jednotce czau. Wzór (c) oznacza zatem, Ŝe dylatacja w płakim tanie odkztałcenia jet równa zeru (ε kk = 0, por. wzór (.)). Ze wzoru (d) wynika, Ŝe tenor obrotu ω = u, u, ma wartość tałą. *) PoniewaŜ wydajność wiru jet tała, więc w jednotce czau przez róŝne przekroje przepływa ta ama ilość cieczy. Tłumaczy to twierdzoną wcześniej dla elipy i trójkąta równość pól wykreów napręŝeń τ x. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 7 tomiat w otrych wklęłych naroŝach ą niekończenie duŝe (por. punkty F i G). Znaczy to, Ŝe nawet niewielki moment kręcający powoduje uplatycznienie bądź pęknięcie pręta. NapręŜenia te moŝna wydatnie zmniejzyć przez zaokrąglenie krawędzi (ry..d). Stouje ię to powzechnie w kztałtownikach walcowych... SKRĘCNIE SWOBODNE PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH... Profile zamknięte Profile cienkościenne dzielą ię na dwie zaadnicze grupy: profile zamknięte (ry..a) i otwarte (ry..b). Cechą charakterytyczną tych prętów jet to, Ŝe grubość ścianki jet niewielka w tounku do pozotałych wymiarów przekroju. Podział na profile zamknięte i otwarte wynika z itotnych róŝnic w rozkładzie napręŝeń i charakterze deformacji. Ry.. W profilach zamkniętych przyjmuje ię w przybliŝeniu, Ŝe napręŝenia tyczne τ x na grubości ścianki ię nie zmieniają. ZałoŜenie to w poób naturalny wynika z rozwiązania, uzykanego dla przekroju pierścieniowego o bardzo małej grubości ścianki, g = R r (por. p... i ry..4). Ry..4 RozwaŜmy dowolny przekrój cienkościenny przedtawiony na ry..5. Z umy ił równoległych do oi x, działających na element pokazany na ryunku.5c wynika, Ŝe τ g = τ g = τ ( c) g( c) = cont. (.5) x x x Zwróćmy uwagę, Ŝe zaleŝność ta w analogii hydrodynamicznej wyraŝa tałą wydajność przepływu nieściśliwej cieczy. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 8 Obliczymy teraz moment kręcający z uwzględnieniem zaleŝności (.5): (a) M = τx ( c) g( c) h( c) dc = τx g h( c) dc, c gdzie h(c) jet wyokością elementarnego trójkąta o podtawie dc (por. ry..5). Pole tego trójkąta dc = h( c) dc /. Uwzględniwzy ten fakt otrzymujemy: c kąd τ x M = τ x g c, = M, (.6) g c przy czym c oznacza pole ograniczone linią środkową konturu przekroju (ry..5d). Makymalne napręŝenie tyczne τ x wytępuje tam, gdzie g = g min. Wobec tego M τ x max =, W W = c g min. (.7) Ry..5 Pozotaje jezcze określenie ztywności przekroju na kręcanie. Wykorzytamy tu twierdzenie Clapeyrona ułoŝone dla pręta o długości dx, obciąŝonego zewnętrznym momentem kręcającym M (por. ry..5c): ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 9 (b) M θdx = ( τx ) / G d dx. Po uwzględnieniu, Ŝe d = g dc oraz wzór (.6) na napręŝenie τ x otrzymujemy: (c) θ = M kąd c M g dc M dc = 4 g G 4G g( c), c c c M θ = = dc, gdzie J 4c : GJ. (.8) g( c) c... Profile otwarte Dowolny profil otwarty moŝna traktować jako przekrój złoŝony z n elementów o kztałcie wydłuŝonego protokąta. Ry..6 Spróbujemy znaleźć rozwiązanie przybliŝone dla takiego protokąta. Zatoujemy funkcję napręŝeń dla elipy, w której b, przy czym b = h/ oraz a = g/ << b (por. p... i ry..6): (d) F y z G a b y z g (, ) = lim + G y. b a + b a b = θ θ 4 Tak przyjęta funkcja napręŝeń pełnia warunek brzegowy tylko dla y = ± g /. Dla z = ±h / funkcja F jet róŝna od zera (ry..6a). Niemniej jednak okazuje ię, Ŝe dla odpowiednio duŝego tounku h/g błąd w napręŝeniach jet znikomy. Ilutruje to wykre na ry..7 (por. Mutermilch, Kociołek [9], tr. 8). ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO 0 Ry..7 Obliczymy teraz moment bezwładności na kręcanie J : (e) M = = = F d G y d g g θ 4 d Gθ J z 4 = = hg g G 4 = hg θ h g G θ, kąd J = h g. (.9) Wobec tego g g (f) F = F y = G y y = J M ( ) θ. 4 4 NapręŜenia tyczne wynozą: F F M τxy = = 0, τxz = = τ x = y, (.0) z y J a makymalne napręŝenia tyczne określa wzór: M g M = = g J J τ x max. (.) PrzybliŜony rozkład napręŝeń tycznych w wydłuŝonym protokącie obrazuje ry..6b. Nawiązując do wzorów (h) z p.., zwracamy uwagę na to, Ŝe moment kręcający przenozony przez napręŝenia τ xz jet równy tylko M/. Drugą połowę momentu przenozą napręŝenia τ xy, które w rzeczywitości pojawiają ię tylko w pobliŝu krótzych boków przekroju. NapręŜenia te, toownie do przybliŝonego kztałtu funkcji napręŝeń, przyjmują wartości niekończenie duŝe, ale działają na niekończenie małym polu. W efekcie odpowiadające im wypadkowe tworzą niekończenie małą parę ił o niekończenie duŝym ramieniu. Moment tej pary ił jet jednak kończony, co wynika z badania ymbolu nieoznaczonego. Wartość tego momentu jet równa połowie momentu kręcającego, tzn. τ xy z d = M. Trzeba dodać, Ŝe przyjęte przybliŝenia nie wprowadzają jednak duŝych błędów, jeŝeli chodzi o ztywność kręcania wynikającą ze wzoru (e). ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Ry..8 Dla przekroju kładającego ię z więkzej liczby wydłuŝonych protokątów napręŝenia makymalne w pozczególnych elementach obliczamy według wzoru: (g) τ i xi = M gi, i =,,..., n, J i gdzie M i oznacza moment kręcający przenozony przez i-ty protokąt (ry..8). Wykorzytamy teraz fakt, Ŝe jednotkowy kąt kręcania dla kaŝdego z protokątów tworzących przekrój jet taki am i równa ię jednotkowemu kątowi kręcania całego przekroju złoŝonego. Mamy więc: M (h) θ = M = M M M =... = i =... = n =, GJ GJ GJi GJn GJ przy czym (i) M = M + M +... + M +... + M = M. Z zaleŝności (h) otrzymujemy: (j) M i = GJ i, kąd n (k) M Mi i= Wniokujemy zatem, Ŝe n natomiat z zaleŝności (h) wynika, iŝ i n i i= n = = Gθ J = GθJ. i = i J = Ji = hi g n i= i= n i, (.) Mi M (l) = = Gθ = cont. Ji J PoniewaŜ wzór (.) jet przybliŝony, w zaleŝności od kztałtu przekroju touje ię niekiedy mnoŝnik poprawkowy α bliki jedności. Wtedy n J = α hi gi. (.a) i= Uwzględniwzy zaleŝność (l) we wzorze (g) otrzymujemy ogólny wzór na obliczenie napręŝenia makymalnego w "i-tym" protokącie τ xi = M gi. J (.) ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Makymalne napręŝenie tyczne w całym przekroju τ x = M g J Ze wzoru (.4) wynika, Ŝe max max. W J = g max (.4). (.5) Oznacza to, Ŝe najwiękze napręŝenia tyczne w profilu otwartym wytępują tam, gdzie grubość ścianki g jet najwiękza. Ry..9 Na uwagę załuguje fakt, Ŝe podcza kręcania wobodnego przekroju otwartego deplanacja jet bardzo wyraźnie widoczna. Ilutruje to ry..9. W trakcie montaŝu kontrukcji złoŝonej z prętów cienkościennych trudno jet tworzyć takie warunki, by była woboda deplanacji. Dlatego teŝ wyprowadzone wyŝej wzory tylko w pewnych zczególnych przypadkach łuŝą do oceny wytrzymałości otwartych prętów cienkościennych.... Porównanie kręcania wobodnego prętów cienkościennych zamkniętych i otwartych Bardzo ugetywnym przykładem ilutrującym róŝnice między kręcaniem wobodnym przekrojów zamkniętych i otwartych jet rura cienkościenna. Ryunek.0a przedtawia profil zamknięty, a ry..0b profil otwarty, uzykany przez rozcięcie rury wzdłuŝ tworzącej. Na obu ryunkach podano odpowiedni kztałt funkcji napręŝeń F(y, z). Zaadnicze róŝnice polegają na: charakterze rozkładu napręŝeń tycznych na grubości ścianki, wartości napręŝeń makymalnych, ztywności kręcania przekroju. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.
Część. DZIŁNIE MOMENTU SKRĘCJĄCEGO Ry..0 Rozkłady napręŝeń róŝnią ię jakościowo: w profilach zamkniętych napręŝenia na grubości ścianki ą tałe, a w profilach otwartych zmieniają ię liniowo przyjmując, wartości zerowe w punktach linii środkowej konturu. W przekrojach zamkniętych najwiękze napręŝenia tyczne wytępują tam, gdzie g = g min, a w przekrojach otwartych tam, gdzie g = g max. RozwaŜmy dwa pręty wykonane z rur kolitych o takich amych grubościach ścianek, przy czym jeden z prętów ma przekrój zamknięty a drugi otwarty (rurę przecięto wzdłuŝ tworzącej). Jeśli oba pręty kręcane ą takim amym momentem, to tounki jednotkowych kątów kręcania wynozą: a tounki makymalnych napręŝeń tycznych: θ θ τ τ ( o) ( z) ( x o ) ( x z ) J = J = W W ( ) z ( ), o ( z ) ( o ). Moment bezwładności na kręcanie dla rury o profilu zamkniętym wynoi: a rury rozciętej (profil otwarty) J ( z ) c = 4 4 g dc 4π r g / = = r g, π πr ( J o ) = hi gi = g hi = g πr = πr g. Odpowiednie wartości wkaźników wytrzymałości ą natępujące: z c o ( o ) ( ) ( ) J W = g = πr g, W = = πrg. g Wobec tego ( τ x o ) ( o) r θ r τ x z =. ( ) = g ( z) θ oraz g Jeśli na przykład r/g = 5, to τx ( o) : τ ( x z) = 45 i ( o) ( z) θ : θ = 675 (!).Widzimy więc, Ŝe napręŝenia w przekroju otwartym ą kilkadzieiąt razy więkze, a kąt kręcenia jet aŝ kilkaet razy więkzy od odpowiednich wartości dla przekroju zamkniętego. ndrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i kontrukcji prętowych 00r.