MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()), g(f()), f(g()), g(f()), f(f()) i g(g()) Zadanie 3 Dla f() = 3 i g() = + znaleźć f(g( )), g(f( )), f(g()), g(f()), f(f()) i g(g()) Zadanie 4 Dla f() = +7 Zadanie 5 Rozwiązać () ( ) = 5, () 5 =, (3) + 5 < 9, (4) 3 5 < + 9, (5) < 3, (6) > + i g() = 3 znaleźć f(g()) i g(f()) Zadanie 6 Dla f() = naszkicować wykresy y = f(), y = f( ), y = f() Zadanie 7 Naszkicować wykresy, znaleźć obraz, pierwiastki, punkt przecięcia z osią y, wierzchołek i przedziały monotoniczności dla () f() = ( 3)( + ), () f() = ( ), (3) f() = 3 Zadanie 8 Rozwiązać () 5 + 4 =, () + 7 + 8 =, (3) 6 + 9 =, (4) + + =, (5) 3 =, (6) + 3 + 3 =, (7) + =, (8) + +3 9 = +3 3 4+ 3+, (9) 5 =, () 4 + 5 = 6, () + 6 = Zadanie 9 Rozwiązać () + 5 > 4 3, () ( 3)( + 5) <, (3) 4 4 +, (4) 6 + 9, (5) + + <, (6) 6 + 9, Date: 7 maja
(7) 7 > 8, (8) + 3 3, (9) +3 3 > +5,, () 5 3 +7 () 4 > 5, () + 5 < 9, (3) + 4, (4) + 5 < + 3, (5) + + 5 Zadanie Naszkicować wykresy i znaleźć współrzędne wierzchołka () f() = ( 3)( + ), () f() = 3 + 4, (3) f() =, (4) f() = + 4 Zadanie Wykazać, że q + 3 6 4q = zawsze ma pierwiastki rzeczywiste, niezależnie od wartości parametru q Zadanie Wykazać, że jeśli R i s = 4 +3, to s 4s Zadanie 3 Wykazać, że y = 3 jest styczna do krzywej y = 5 + 6 Zadanie 4 Wykazać, że y = + nie przecina krzywej y = Zadanie 5 Wykazać, że 3 + jest czynnikiem 3 3 Zadanie 6 Zapisać w postaci iloczynowej () 3, () 5 + 6 4 + 7 3 + + 5 + 5, (3) 4 7 8 Zadanie 7 Znaleźć p i q, jeśli () ( ) jest czynnikiem 3 3 + p, () ( + 5) jest czynnikiem 3 4 + 5 3 p 9 + 5, (3) ( + 3) i ( + 7) są czynnikami 4 + p 3 + 3 + + q Zadanie 8 Rozwiązać () 3 6 + 5 + =, () 4 4 3 9 + 46 + =, (3) ( ) 3 ( + ) ( 3)( ), (4) 3 + 7 + 4 Zadanie 9 Znaleźć wielomian f wiedząc, że () Γ f jest parabolą oraz ( 4, ), (, ), (, 4) Γ f, () ( 4, ), (, ), (3, ), (, ) Γ f i f jest stopnia 3 Zadanie Uprościć p 5 p, 5 3, 3y 7 4 6y, (a5 ) 3 a Zadanie Obliczyć 8 4, 7 3, ( ) 9 4 Zadanie Rozwiązać () 6 64 =, () 7 6 = 5 6, (3) 3 4 = 7, (4) Zadanie 3 Obliczyć () log 5 5, log, log 4 3, log 3 7, log 64 4, () log a a 3, log b b, log Zadanie 4 Uprościć a 3
() log a 6 log a + log a 8, () log 8 log 5, (3) 3 log a ( + ) log a (3 ) + log a ( ) Zadanie 5 Rozwiązać () log a + log a = log a 3, () log 4 (3 ) log 4 ( ) =, (3) 9 =, 5 + =, (4) = 3 +, 6 = 3+, (5) log 4 + 5 log 4 = 6, + (6) log 3 = 3, (7) log a + log a = log a 3, (8) log 5 ( + ) + log 5 ( 3) =, (9) log 7 ( + 5) log 7 ( 5) = log 7, () log (log 3 (4 + )) =, () 5 log + +log =, () ln 3 ln + =, (3) log ( 3 ) =, (4) 4 5 + = +, (5) 4 + = + 3 4, (6) 9 + 4 3 =, (7) + = 3, (8) 7 6 5 8 +3 = 3 +3, (9) 3 8 3 = 9, () 3 + + 9 = 8, () (, 5) = 56 +3 Zadanie 6 Naszkicować wykresy () y = 3, y = ( ), y = 5, () y = log, y = log 5, y = log, (3) y = +, y = 4, y = 4, (4) y = log 5, y = log( ) + 4, y = log 3 3 Zadanie 7 Znaleźć () k, p, jeśli (, 5), (, 7) Γ f, gdzie f() = k + p () a, p, jeśli (, ), (, ) Γ f, gdzie f() = log a ( + p) Zadanie 8 Znaleźć najmniejsze N, jeśli () 7 > 35, () 8 > 8 Zadanie 9 Rozwiązać () ( )3 3, () log 3 ( ) < log 3 ( + ), (3) log ( + ) > log ( ), (4) log, ( ), +3 (5) log log 5 >, ( (6) log +3 (7) log log 8 3 ), >, (8) ( ) log + ( 5 > 5 ) log 3 4, (9) 3+5 4 >, () 3 < (, 3) () ( ) 4 ( 7 ) 9 8 3, () 7 + 49 8 7, (3) ( 6 + 9) +3 < 3
Zadanie Obliczyć pochodne () f() = 3 5, () f() = 4 4, (3) y = 6 3 + 4 3, (4) y = 3 ( 3 3) 5 Rachunek różniczkowy Zadanie Obliczyć g (6) dla g() = 4 Zadanie 3 Obliczyć gradient funkcji y = 4 9 dla = 6 Zadanie 4 Znaleźć współrzędne punktu, w którym gradient równy jest dla f() = 3 3 9 3+8 Zadanie 5 Obliczyć pochodne () f() = (3 4), () f() = (7 ), (3) y = 3 6 5, (4) p = 3 (4 3k) Zadanie 6 Obliczyć pochodne () f() = e 7, () f() = 6, e 9 (3) y = ln 3, (4) f() = ln( + 4), (5) y = 6 5, (6) y = log Zadanie 7 Obliczyć pochodne () y = ( ) ( ) 7, () y = 4 log 8, (3) y = 4 ln( + 5), (4) y = 3 4 tg(3 + π ), (5) y = e 3 ( + ) tg Zadanie 8 Obliczyć pochodne () f() = e cos, () f() = 7 tg, (3) f() = log 6 (+6), (4) f() = e e e, (5) f() = 4(3 )5 (+3) Zadanie 9 Obliczyć pochodne () y = 7 5 sin + ctg, () y = tg 6, 4 (3) y = 3 sin 5, (3+4) 5 (4) y = tg 4, (5) y = sin +, (6) f() = cos(3 π 4 ), (7) y = e 4 sin + ln, (8) y = tg ln, (9) y = 3 cos, () y = ln sin, () y = 5 cos, () y = e 4 sec 3, (3) f() = ctg( π 3 ) ln(3+), (4) f() = ln cos 4
Zadanie Znaleźć równanie stycznej i normalnej do () y = 3 w punkcie =, () y = 4 w punkcie =, (3) y = 3 w punkcie = Zadanie Styczna w punkcie P = (, ) do krzywej y = 3 + przecina tę krzywą także w punkcie Q Znaleźć współrzędne punktu Q Zadanie Znaleźć równania stycznych do krzywej y = ( + )( ) w punktach, w których krzywa przecina oś Znaleźć punkty przecięcia się tych stycznych Zadanie 3 Wyznaczyć punkty stacjonarne i ich rodzaj analizując znaki pochodnej () f() = 3 + 7, () f() = 5 4, (3) f() = 4 + Zadanie 4 Wyznaczyć punkty stacjonarne i ich rodzaj analizując znak drugiej pochodnej () f() = 3 9 + + 5, () f() = 3 5, (3) f() = 6 Zadanie 5 Wyznaczyć asymptoty pionowe i ukośne dla funkcji () f() = 3, () f() = 7 4, (3) f() = 3 4 +, (4) f() = +6 Zadanie 6 Naszkicować wykres funkcji f uwzględniając asymptoty, punkty stacjonarne i punkty przecięcia z osiami, jeśli () f() = (+), () f() = +4, (3) f() =, (4) f() = Zadanie 7 Naszkicować wykres funkcji f(), jeśli () f() =, () f() = ( ), (3) f() = ln, (4) f() = cos Zadanie 8 Wyznaczyć współczynnik nachylenia stycznej do krzywej () y = ln cos w punkcie = π 4, () ln y ln y = e( e) w punkcie (e, e ) Zadanie 9 Abażur lampy biurkowej ma kształt walca z jednym końcem otwartym, a drugim zamkniętym Znaleźć promień podstawy abażuru tak, aby ilość materiału zużytego do produkcji abażuru była minimalna jeśli wiadomo, że objętość walca wynosi cm 3 Zadanie Otwarty pojemnik wykonano z czterech kawałków blachy Dwa końce są trójkątami równoramiennymi o długościach boków 3, 3 i 4 Dwa pozostałe kawałki tworzące pojemnik są prostokątami o długości y i szerokości 3 Do produkcji pojemnika zużyto 9 cm blachy () Wykazać, że y = 45 6 3 () Wyrazić objętość pojemnika w (3) Znaleźć wartość, dla której objętość V pojemnika ma wartość stacjonarną i sprawdzić, czy jest to maksimum czy minimum Zadanie Populacja P moskitów w regionie Kilimandżaro, liczona w tysiącach, w ciągu 3-dniowego okresu w maju zależy od dwóch czynników: średniego dziennego opadu deszczu r, i średniej dziennej temperatury θ Opad deszczu dany jest przez funkcję r = t cos t + 6, a temperatura dana jest przez funkcję θ = e t + 7, gdzie t oznacza czas (wyrażony w dniach) Okazało się, że P = r + θ Wyznaczyć minimalną liczbę moskitów w ciągu pierwszych pięciu dni maja 5
3 Rachunek całkowy Zadanie 3 Scałkować wyrażenia, /, 7 4 3 Zadanie 3 Obliczyć całki () / d, () ( + 6 3 ) d Zadanie 33 Znaleźć funkcje spełniające warunki () dy d =, () dy d = 8( 3) (3) dy dt = t 4t 3 3t Zadanie 34 Scałkować funkcje () 3, () 4e + sin, (3) e 5 5 + cos Zadanie 35 Obliczyć całki () sin 5 d, () 4e 4 d, (3) 5 cos d Zadanie 36 Znaleźć y, jeśli () dy d = 3, () dy d = 4 (3 ), 3 (3) dy d = (4 7)6 Zadanie 37 Znając pochodną krzywej i punkt leżący na krzywej, znaleźć równanie krzywej, jeśli () dy d = 6, (, 8), () dy d = 43 6 + 7, (, 9), (3) dy d = 4 + 6, (4, ) Zadanie 38 Obliczyć całki oznaczone () d, () 3 6 3 d, (3) π/ sin 3 d, (4) (3 )4 d, (5) 4 5 t dt Zadanie 39 Narysować obszary zadane następującymi całkami () 3 ( + 3) d, () π sin d Zadanie 3 Obliczyć pole obszaru ograniczonego daną krzywą i osią () y = (4 + ) + 9 and the lines = and =, () y = e sin and the line = π and the y-ais Zadanie 3 Wyznaczyć a, jeśli a 5 a (9 ) d = 5 8 Zadanie 3 Obliczyć pole obszaru ograniczonego danymi krzywymi i osią, jeśli () y = ( + 4)( + )( 3), () y = 6, = i = 4, (3) y = cos( π 6 ), = i = π Zadanie 33 Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami dwóch funkcji () y = 8, y =, () y = e, y = 4 6
Zadanie 34 Obliczyć całki () + d, () cos esin d, (3) 5 ( 6 9) 8 d, (4) ( + )( + 4) 5 d, (5) 3 (6) p 3+5 d, ln d Zadanie 35 Obliczyć () 9+ d, () d, 3 (3) + d, (4) / +4+7 d Zadanie 36 Obliczyć () cos 3 d, () sin 4 d, (3) tg 3 3 d, (4) sin cos d Zadanie 37 Obliczyć Zadanie 38 Obliczyć cos sin d stosując podstawienie u = sin + 4 d stosując podstawienie u = Zadanie 39 Obliczyć d stosując podstawienie u = tg cos +4 sin Zadanie 3 Obliczyć p / 4 d stosując podstawienie = sin θ Zadanie 3 Obliczyć p Zadanie 3 Obliczyć () cos d, () 4 ln d, (3) e 3 d, (4) sin d, (5) ln d, (6) e cos d Zadanie 33 Obliczyć () + d, () +3 4 d 6 5+3 sin d stosując podstawienie t = tg Zadanie 34 Obliczyć () (+5) d stosując podstawienie t = + 5, () d stosując podstawienie = sin θ 4 Zadanie 35 Obliczyć całkując przez części () ln d, () sin d Zadanie 36 Obliczyć () cos sin d, () cos 4 6 d 7