Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Transkrypt

1 Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f (x) = ax Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej Rozwiązywanie równań kwadratowych przez rozkład na czynniki Rozwiązywanie równań kwadratowych przy pomocy wzorów Postać iloczynowa funkcji kwadratowej Rozwiązywanie nierówności kwadratowych Zastosowanie funkcji kwadratowych do rozwiązywania zadań PLANIMETRIA Miara kątów w trójkącie Trójkąty przystające Trójkąty podobne Wielokąty podobne Twierdzenie Talesa Trójkąty prostokątne Funkcje trygonometryczne kąta ostrego Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych Związki między funkcjami trygonometrycznymi Pole trójkąta Pole czworokąta Długość okręgu i pole koła WIELOMIANY Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie wielomianów Wzory skróconego mnożenia Rozkład wielomianu na czynniki Równania wielomianowe Zagadnienie FUNKCJA KWADRATOWA Przykładowe zadania Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Wykres funkcji f (x) = 1.Dana jest funkcja f ( x) = x 3x +. ax a) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych. b) Narysuj jej wykres. c) Podaj jej zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności. d)* Narysuj wykres funkcji y = f (x), a następnie odczytaj, ile rozwiązań ma równanie f ( x) = m dla m R. 1.Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f (x) = x 4 jest...wykresem funkcji kwadratowej f (x) = 3x + 3 jest parabola o wierzchołku w punkcie.. 3. a) napisz wzór funkcji g(x) w postaci kanonicznej b) podaj rozwiązanie równania g(x)>4 c) napisz najmniejszą i największą wartość funkcji g(x) w przedziale <1;3>

2 Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej.dana jest funkcja f(x)=x -3x-1 a) Naszkicuj wykres funkcji i podaj zbiór jej wartości b) rozwiąż nierówność f(x) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji ( x) = ( x + 1) 3 f w przedziale ;. Rozwiązywanie równań kwadratowych 5.Dla jakich wartości współczynnika m funkcja zerowe? 1 y = x 3x + m ma dwa miejsca.rozwiąż. (1 x) = x x 10x = 0 3x + 9x = 0 x x 1 = 0 3x + x 4 = 0 x + 1

3 Postać iloczynowa funkcji kwadratowej 1.Wyznacz wzór ogólny funkcji kwadratowej f, wiedząc, że funkcja ma jedno miejsce zerowe x = oraz f ( 0) = 3.. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych.rozwiąż nierówność -x x - < 0. 3.Zbiór rozwiązań nierówności (x )(x + 3) < 0 to Zastosowanie funkcji kwadratowych do rozwiązywania zadań PLANIMETRIA Miara kątów w trójkącie 4.Rozwiąż nierówność x 3x + < 0. 1.Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1 zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy?.na placu zabaw postanowiono wydzielić prostokątny, ogrodzony teren do zabawy dla małych dzieci. Wiedząc, że do wykorzystania na ten cel jest siatka długości 7 metrów i że w ogrodzeniu należy zostawić miejsce na furtkę szerokości 1 metra, oblicz, jakie wymiary powinien mieć ten teren, aby powierzchnia do zabawy dla maluchów była jak największa. 1. Dany jest pięciokąt ABCDE, jak na rysunku. Kąty α i β tego pięciokąta mają miarę:.dany jest prostokąt ABCD jak na rysunku. Jeśli α = 70, to miarą kąta β jest:

4 Trójkąty przystające Trójkąty podobne 1.Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa 1.Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż że AD = BE. A B Wielokąty podobne

5 Twierdzenie Talesa 1 Wiedząc, że k l, oblicz długości odcinków a i b. 3 Trójkąty prostokątne 1

6 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego Kąt α jest ostry i tg 5/1. Oblicz cosα. Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych Kąt α jest ostry oraz sinα = cos 47o. Wtedy miara kąta α jest równa: Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk. 1.Gąsienica, pełznąc po pochylni, która wznosi się pod kątem α = 30, pokonała trasę długości 8 cm. Na jaką wysokość wpełzła gąsienica?.w trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość cm, przeciwprostokątna zaś,5 cm. Znajdź wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego leżącego naprzeciwko krótszej przyprostokątnej. 3. Związki między funkcjami trygonometrycznymi 3 1.Wiedząc, że sin α = i 0 < α < 90, oblicz wartość wyrażenia 4 sin α cosα ( tgα ctgα )..Wiedząc, że α jest kątem ostrym i cos α = 7 1, oblicz sinβ =, sin α =, tg α =., ctg α =... 3.Kąt α jest ostry i sin ¼ α = Oblicz 3+ tgα. 4.

7 Pole trójkąta Pole czworokąta W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnych wynosi : 3. Oblicz stosunek długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną tego trójkąta wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego. 1.Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60.Oblicz pole rombu..w trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu. 3.Oblicz pole trapezu, którego kąty ostre mają miary 45 i 60, a krótsza podstawa i dłuższe ramię mają długość 6 cm. 4.Wysokość rombu ABCD ma długość 6, a sinus kąta ostrego rombu jest równy 5 4. Oblicz pole i obwód rombu. 5.

8 Długość okręgu i pole koła 1.Długość boku kwadratu wynosi 4 dm. Oblicz pole zacieniowanej figury, przedstawionej na rysunku. Wynik podaj w przybliżeniu z dokładnością do 0,1 dm.. WIELOMIANY Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów 3 1.Dane są wielomiany: w ( x) = x + 3x 4 i p ( x) = x 1. Podaj stopień i wyraz wolny wielomianu v (x) = w(x) + p(x)..dane są wielomiany p ( x) = 3x x i q( x) = 3x + x + 6x 6. Oblicz w(x) = p(x) q(x), Podaj stopień i wyraz wolny wielomianu, oblicz wartość dla x=-1 Mnożenie wielomianów Wzory skróconego mnożenia 3 1.Dane są wielomiany: w ( x) = x + 3x 4 i p ( x) = x 1. Podaj stopień i wyraz wolny wielomianu v ( x) = w( x) p( x). 3.Dane są wielomiany: p(x) = x + 3x 4 i w(x) = x 1. Podaj stopień i wyraz wolny wielomianu, oblicz wartość dla x=-1

9 Rozkład wielomianu na czynniki Dany jest wykres wielomianu w. a) Odczytaj rozwiązanie równania w( x) = 0. b) Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówność w( x) ( x 16) 0. c) Podaj wzór tego wielomianu, wiedząc, że st ( w ) = 4 oraz w( 0) =..Mamy dany wielomian W ( x) = x 3 x + bx 1 a) wiedząc, punkt (,0) B należy do wykresu tego wielomianu wyznacz b b) dla wyznaczonej wartości b przeprowadź rozkład wielomianu na czynniki Równania wielomianowe Rozwiąż. a) (x 3)(4 5x + x ) = b) x + 3x x 3x = 0 3 a) 3x + 5x 1x 0 = 0 3 d) x + x = 0