Równania różniczkowe

Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz pochodna tej funkcji. Rozwiązać równanie różniczkowe to tle co wznaczć wszstkie funkcje, które spełniają to równanie. Warto pamiętać, że napis to tle co napis d dx. (A) Równanie o zmiennch rozdzielonch Jest to równanie, które można przekształcić do postaci L()d = P (x)dx. Po doprowadzeniu do tej postaci wstarcz scałkować obustronnie (pamiętając o stałej!) i w miarę możliwości wznaczć z otrzmanego równania. (x + ) = x Mam równoważnie kolejno: (x + ) d dx = x d = xdx x + Teraz, kied zmienne został już rozdzielone, wstarcz dopisać do obu stron znak całki i scałkować: d = xdx ln = ln(x + ) + C x + Wznaczam teraz : e ln = e ln(x +)+C = e C (x + ) = ±e C (x + ) Ponieważ ±e C to stała równie dobra co C, możem zapisać ostatecznie wnik w postaci = C(x + ). Tp równań różniczkowch Niektóre równania różniczkowe rozwiązuje się wprowadzając nową zmienną. W takim wpadku należ obliczć jak od nowej zmiennej zależ i (i ewentualnie dalsze pochodne) i wstawić otrzmane zależności do wjściowego równania. W ten sposób pozbędziem się z równania starej zmiennej i zostanie nowa - oczwiście ma to sens tlko wted gd nowe równanie będzie prostsze. Z taką stuacją będziem mieli do cznienia w równaniach tpu B), C) i E). (B) Równanie tpu = g(ax + b + c) W takiej stuacji podstawiam u = ax + b + c, skąd oczwiście u = a + b = (x + + 3) Podstawiam u = x++3, skąd u = +. Ponieważ z podstawienia dostajem, że = u, dostajem stąd nowe równanie u = + u, które jest już prostm równaniem o zmiennch rozdzielonch. Należ pamiętać, żeb po jego rozwiązaniu wrócić do wjściowej zmiennej. (C) Równania tpu = g ( x ) (jednorodne) W takiej stuacji dokonujem podstawienia u = x, czli = ux, a po zróżniczkowaniu: = u x + u. = x ln x Zgodnie z powższm podstawieniem dostajem równanie u x + u = u ln u, które jest już równaniem o zmiennch rozdzielonch. (D) Równanie tpu = p(x) + q(x) (liniowe) W takiej stuacji można użć gotowego (lecz skomplikowanego) wzoru, ale praktcznie wgodniej jest użć tzw. metod uzmienniania stałej. Prześledźm ją na przkładzie x = x 3 : Krok - pomijam część niejednorodną q(x) d x = 0 = xdx d = xdx ln = x + C = Ce x Krok - uzmienniam stałą C z otrzmanego wniku jest stałą, m jednak potraktujem ją jaku funkcję od x, czli C = C(x) (skrótową odpowiedzią na ptanie dlaczego tak wolno zrobić jest: bo to działa). Obliczam stąd: = (C(x) e x ) = C (x)e x + C(x)xe x Krok 3 - wstawiam wartości i do wjściowego równania C (x)e x + C(x)xe x xce x = x 3 Jeśli zrobiliśm to prawidłowo, zawsze skrócą się wrażenia z C(x) i pozostaje nam wznaczć C (x), a następnie scałkować otrzmaną równość: C (x) = x 3 e x C(x) = x 3 e x dx = e x (x + ) + c

Równania różniczkowe z warunkiem początkowm Krok 4 - otrzmaną wartość C wstawiam do rozwiązania z kroku = ( e x (x + ) + c) e x = ce x x Metoda przewidwania CSRN Innm zupełnie sposobem dla równań liniowch o stałm współcznniku prz t.j. p(x)=const jest przewidwanie całki szczegółowej równania niejednorodnego (CSRN) na podstawie poniższej tabeli z książki Równania różniczkowe zwczajne i element rachunku operatorowego (dr Grażna Zachwieja)... Tabela - metoda przewidwania CSRN (E) Równanie tpu = p(x) + q(x) n Jest to tzw równanie Bernoulliego. W takim wpadku stosujem podstawienie u = n, które sprowadza nam równanie do liniowego. x = x 3 4 W tm wpadku n = 4, zatem podstawiam u = 3, skąd u = 3 4. Jeśli pomnożm wjściowe równanie stronami przez 4, to otrzmam: x 4 3 = x 3 więc po wstawieniu nowej zmiennej dostajem: 3 xu u = x 3 a to jest już równanie liniowe. (F) Równanie tpu P (x, ) + Q(x, ) = 0 Jest to równanie zupełne. Założenie: P = Q x oraz ciągłe pochodne cząstkowe P i Q. W tm wpadku szukam funkcji F (x, ) takiej, że P = P oraz Q x = Q. Rozwiązaniem jest równanie F(x,)=0. x + (x ) = 0 Sprawdzam cz równanie jest zupełne: P = x i Q x = x czli jest. Zatem szukam takiej funkcji F(x,), że: F x = x F = x Całkując oba równania otrzmujem: F (x, ) = x + C() Stała C zależ od ponieważ całkowanie bło po zmiennej x. F (x, ) = x + C(x) Stała C zależ od x ponieważ całkowanie bło po zmiennej. Ab zachodziła równość musi bć spełnione C(x) = 0 oraz C() = Zatem szukane rozwiązanie to x = 0. Równania różniczkowe z warunkiem początkowm Rozwiązaniem równania różniczkowego jest cała rodzina funkcji z dokładnością do stałej C. Jeżeli dodam warunek początkow np () = π możem wznaczć wartość C i rozwiązanie jest jednoznaczne. x = (x + ) prz warunku początkowm (9)=4. Przekształcam równanie do postaci d = ( x + x ) dx i całkujem stronami: = 3 x 3 + x + C Stąd = ( x 3 3 + x + C) Podstawiam teraz wartości z warunku początkowego i

Równania różniczkowe liniowe II rzędu 3 mam 4 = (9 + 3 + C) czli C=-0 Ostatecznie rozwiązanie to = ( x 3 3 + x 0) Równania różniczkowe II rzędu Są to równania, które mogą zawierać funkcję, pochodną ale zawierają przede wszstkim drugą pochodną. Są trz stuacje kied równania II rzęd możem sprowadzić do równań rzędu I. A) Równanie drugiego rzędu bez. Wted stosujem podstawienie u(x)=. B) Równanie drugiego rzędu bez x. Wted stosujem podstawienie u()= czli = du d. C) Gd po usunięciu oraz wszstkie składniki mają ten sam stopień r. Wted podstawiam = e w(x) i dzielim stronami przez e rw(x). Rozwiązać równanie 3 = Ponieważ równanie nie zawiera x więc stosujem podstawienia =u() Stąd = u = u u czli mam równanie du d u 3 = du u = d i całkujem stronami 3 u = + C czli u = + C Ale d d = u więc dx dx = C + C + = t C d = dt = dx d = C dt t dt = C t = C (C + ) = x + C d C + C dt Stąd otrzmujem rozwiązanie jako funkcja uwikłana C (C + ) = ( + C ) Równania różniczkowe liniowe II rzędu o stałch współcznnikach Równanie liniowe jednorodne (RJ) to a + b + c = 0 gdzie a 0. Ab rozwiązać takie równanie tworzm równanie charakterstczne ar + br + c = 0 i liczm = b 4ac. A) Jeśli > 0 to rozwiązaniem - całką ogólną równania jednorodnego (CORJ) jest = C e rx + C e rx. B) Jeśli = 0 to rozwiązaniem (CORJ) jest = (C + C x)e rx. C) Jeśli < 0 to rozwiązaniem (CORJ) jest = (C cos βx + C sin βx)e αx, gdzie α ± β są rozwiązaniami równania charakterstcznego tj. α = b a oraz β = a. Równanie liniowe niejednorodne (RN) to a + b + c = f(x) gdzie a 0. Rozwiązaniem tego równania jest suma rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i dowolnej całki(rozwiązania ) szczegółowej równania niejednorodnego (CORJ+CSRN). Całkę szczegółową znajdujem np metodą przewidwań. Pomocne tu są następujące zasad: Gd f(x) = e αx P n (x) to przewidujem całkę szczegółową w postaci x k e αx Q n (x), gdzie k to krotność pierwiastka równania charakterstcznego jeśli α jest tm pierwiastkiem. Gd f(x) = (a cos mx + b sin mx)e px to przewidujem całkę szczegółową w postaci (A cos mx + B sin mx)e px za wjątkiem przpadku gd jednocześnie < 0, α = p i β = m. Wted postać jest następująca: (A cos mx + B sin mx)e px x. Rozwiązać równanie = x + 3 I Szukam CORJ: Równanie charakterstczne to r r = 0 ma rozwiązania r = 0 (jednokrotn) oraz r = Zatem (przpadek A) = C e x + C II Szukam teraz CSRN Widać, że jest to przpadek b z tabeli 3. czli przewidujem, że s = x(ax + b) = ax + bx = ax + b oraz = a i podstawiając to do równania otrzmujem a 4ax b = x + 3 a stąd a = i b = i dalej s = x x Ostatecznie rozwiązanie (czli CORJ+CSRN) = C e x + C x x. Zasad przewidwania CSRN Szczegółowo zasad przewidwania całki szczegółowej równania niejednorodnego (CSRN) podane są w tabeli z książki Równania różniczkowe zwczajne i element rachunku operatorowego (dr Grażna Zachwieja):

Układ równań różniczkowch 4 Tabela - metoda przewidwania CSRN Równania liniowe n-tego stopnia o stałch współcznnikach Równanie liniowe jednorodne n-tego stopnia (RJ) to a n (n) + a n n +... + a + a + a 0 = 0 gdzie a 0 Ab rozwiązać takie równanie tworzm równanie charakterstczne a n r n + a n r n +... + a r + a 0 = 0. Rozwiązaniem jest n liczb: liczb rzeczwiste i/lub liczb zespolone (wstępujące jako par liczb sprzężonch). Wted: A) Gd jest n różnch pierwiastków rzeczwistch to rozwiązaniem (CORJ) jest = C e rx + C e rx +... + C n e rnx (*) B) Gd pojawi sie k-krotn pierwiastek rzeczwist to CORJ ma postać jak (*) ale zamiast k-składników będzie teraz składnik (C + C x +... + C k x k )e rx. C) Gd pojawi się para pierwiastków zespolonch sprzężonch α ± iβ to CORJ ma postać jak (*) ale dwa składniki zamieniam na (C cos βx + C sin βx)e αx. D) Gd pojawi się k-krotna para pierwiastków zespolonch sprzężonch α ± iβ to CORJ ma postać jak (*) ale k składników zamieniam na [(C + C x +... + C k x k ) cos βx + (C k+ + C k+ x +... + C k x k ) sin βx)]e αx. Równanie liniowe niejednorodne n-tego stopnia (RN) to a n (n) + a n n +... + a + a + a 0 = f(x) gdzie a 0 Rozwiązaniem tego równania jest suma rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i dowolnej całki (rozwiązania ) szczegółowej równania niejednorodnego (CORJ+CSRN). Całkę szczegółową znajdujem np metodą przewidwań. Pomocne tu są następujące zasad: A) Gd f(x) = e αx P n (x) to przewidujem całkę szczegółową w postaci x k e αx Q n (x), gdzie k to krotność pierwiastka równania charakterstcznego jeśli α jest tm pierwiastkiem. B) Gd f(x) = (a cos mx + b sin mx)e px to przewidujem całkę szczegółową w postaci (A cos mx + B sin mx)e px x k, gdzie k-krotność sprzężonej par pierwiastków zespolonch p ± im równania charakterstcznego. Rozwiązać równanie + = e x I Szukam CORJ: Równanie charakterstczne to r 3 + r = 0 ma rozwiązania r = 0, r = = α + βi, oraz r 3 = = α βi Zatem (przpadek C) = C sin x + C cos x + C 3 II Szukam teraz CSRN Widać, że jest to przpadek a z tabeli 3. czli przewidujem, że s = me x = me x, = me x oraz = me x i podstawiając to do równania otrzmujem me x + me x = e x a stąd 3m= i m = 3 Ostatecznie rozwiązanie (czli CORJ+CSRN) = C sin x + C cos x + 3 ex + C 3 Układ równań różniczkowch Układ równań różniczkowch pierwszego rzędu o niewiadomch funkcjach (x), z(x),..., w(x) ma postać: (x) = f (x, (x), z(x),..., w(x)) z f(x) = (x) = f (x, (x), z(x),..., w(x))... w (x) = f n (x, (x), z(x),..., w(x)) Metoda rozwiązania polega na sprowadzeniu układu równań do równania liniowego n-tego stopnia.

Układ równań różniczkowch 5 Kolejno rugujem niewiadome funkcje zmniejszając liczbę równań. Np z pierwszego równania obliczam z(x) i wstawiam do pozostałch równań. Po rozwiązaniu równania n-tego stopnia cofając się znajdziem wszstkie niewiadome funkcje. Rozwiązać układ równań: f(x) = { = 7 + z z = 5z Wznaczam z pierwszego równania z= +7 oraz z = +7 i wstawiam do drugiego równania: +7 =--5-35 czli + +37=0 Wielomian charakterstczn r + r + 37 = 0 = 44 48 = 4 r = 6 + ir = 6 i Jest to przpadek C i = (C cos x + C sin x)e 6x Następnie ab znaleźć z podstawiam i do równania z= +7z z = ( C sin x + C cos x)e 6x + (C cos x + C sin x)( 6)e 6x + 7(C cos x + C sin x)e 6x = = e 6x (((C + C ) cos x + (C C ) sin x)) Ćwiczenia Zadanie: Rozwiązać równanie liniowe: = e x