OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI PRĄDOWO-NAPIĘCIOWEJ DIODY REZONANSOWO-TUNELOWEJ W OPARCIU O METODĘ MACIERZY TRANSFERU ORAZ FORMUŁĘ TSU-ESAKIEGO

TEMATY PROJEKTÓW PROJEKT 1. OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI PRĄDOWO-NAPIĘCIOWEJ DIODY REZONANSOWO-TUNELOWEJ W OPARCIU O METODĘ MACIERZY TRANSFERU ORAZ FORMUŁĘ TSU-ESAKIEGO Dioda rezonansowo-tunelowa (RTD) to półprzewodnikowa struktura warstwowa, której zasada działania opiera się na zjawisku tunelowania rezonansowego. Poniższy schemat przedstawia typową strukturę RTD AlGaAs n-gaas GaAs GaAs GaAs n-gaas Różnica dna pasma przewodnictwa w poszczególnych warstwach półprzewodnikowych powoduje, że elektron płynący przez nanourządzenie odczuwa efektywny potencjał w postaci dwóch barier potencjału, jak na rysunku poniżej d b V b d QW gdzie V b to wysokość barier potencjału, d QW to szerokość studni kwantowej, zaś d b to szerokość barier potencjału. Zgodnie z formułą Tsu-Esakiego gęstość prądu przepływającego przez strukturę warstwową wyraża się wzorem I = 4πm effe h 3 k B T T(E) ln 1 + exp ( E (μ + ev b ) ) k B T 1 + exp ( E (μ ev b ) k B T ( gdzie m eff to masa efektywna, k B to stała Boltzmana, h to stała Plancka, T to temperatura, μ to potencjał chemiczny w kontakcie, zaś V b to napięcie przyłożone do nanourządzenia. Najważniejszym elementem powyższej formuł jest funkcja T(E) zwana współczynnikiem transmisji, którą można wyznaczyć korzystając z metody macierzy transferu. ) ) de

Celem projektu jest wyznaczenie charakterystyk prądowo-napięciowych I(V b ) dla struktury RTD opartej na GaAs. W tym celu należy: a) Korzystając z metody macierzy transferu wyznaczyć współczynnik transmisji w funkcji energii padającego elektronu T(E). b) Korzystając z formuły Tsu-Esakiego wyznaczyć charakterystykę prądowo-napięciową struktury RTD. Na początku rozważań proszę przyjąć następujące parametry struktury: m eff =.67, d QW = 5 nm, d b = 3 nm oraz V =.3 ev. Następnie wyznaczyć charakterystyki I(V b ) przy zmianie: a) wysokości barier potencjału, b) szerokości barier potencjału, c) asymetrii w szerokości barier potencjału odpowiednio lewej i prawej. Testowanie metody macierzy transferu można przeprowadzić wyznaczając współczynnik transmisji T(E) dla pojedynczej bariery potencjału, dla której łatwo wyznaczyć analityczną formułę na T(E). Dla tego przypadku proszę porównać wynik metody macierzy transferu z wynikiem analitycznym.

PROJEKT. OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI PRĄDOWO-NAPIĘCIOWEJ DIODY REZONANSOWO-TUNELOWEJ W OPARCIU O METODĘ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH ORAZ FORMUŁĘ TSU-ESAKIEGO Dioda rezonansowo-tunelowa (RTD) to półprzewodnikowa struktura warstwowa, której zasada działania opiera się na zjawisku tunelowania rezonansowego. Poniższy schemat przedstawia typową strukturę RTD AlGaAs n-gaas GaAs GaAs GaAs n-gaas Różnica dna pasma przewodnictwa w poszczególnych warstwach półprzewodnikowych powoduje, że elektron płynący przez nanourządzenie odczuwa efektywny potencjał w postaci dwóch barier potencjału, jak na rysunku poniżej d b V b d QW gdzie V b to wysokość barier potencjału, d QW to szerokość studni kwantowej, zaś d b to szerokość barier potencjału. Zgodnie z formułą Tsu-Esakiego gęstość prądu przepływającego przez strukturę warstwową wyraża się wzorem I = 4πm effe h 3 k B T T(E) ln 1 + exp ( E (μ + ev b ) ) k B T 1 + exp ( E (μ ev b ) k B T ( gdzie m eff to masa efektywna, k B to stała Boltzmana, h to stała Plancka, T to temperatura, μ to potencjał chemiczny w kontakcie, zaś V b to napięcie przyłożone do nanourządzenia. Najważniejszym elementem powyższej formuł jest funkcja T(E) zwana współczynnikiem transmisji, którą można wyznaczyć korzystając z metody elementów brzegowych. ) ) de

Celem projektu jest wyznaczenie charakterystyk prądowo-napięciowych I(V b ) dla struktury RTD opartej na GaAs. W tym celu należy: c) Korzystając z metody elementów brzegowych wyznaczyć współczynnik transmisji w funkcji energii padającego elektronu T(E). d) Korzystając z formuły Tsu-Esakiego wyznaczyć charakterystykę prądowo-napięciową struktury RTD. Na początku rozważań proszę przyjąć następujące parametry struktury: m eff =.67, d QW = 5 nm, d b = 3 nm oraz V =.3 ev. Następnie wyznaczyć charakterystyki I(V b ) przy zmianie: d) wysokości barier potencjału, e) szerokości barier potencjału, f) asymetrii w szerokości barier potencjału odpowiednio lewej i prawej. Testowanie metody macierzy transferu można przeprowadzić wyznaczając współczynnik transmisji T(E) dla pojedynczej bariery potencjału, dla której łatwo wyznaczyć analityczną formułę na T(E). Dla tego przypadku proszę porównać wynik metody macierzy transferu z wynikiem analitycznym.

PROJEKT 3. OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI G(V b ) NANODRUTU Z KWANTOWYM KONTAKTEM PUNKTOWYM W OPARCIU O PRZYBLIŻENIE ADIABATYCZNE I METODĘ MACIERZY TRANSFERU Celem ćwiczenia jest wyznaczenie konduktancji G w funkcji napięcia V b (potencjału chemicznego μ) przez nanodrut z kwantowym kontaktem punktowym (z ang. quantum point contact QPC). Schemat nanourządzenia przedstawiony jest na rysunku poniżej y z R L x gdzie R oraz L to odpowiednio promień oraz długość nanodrutu, zaś obszar czerwony odpowiada obszarowi kwantowego kontaktu punktowego QPC. W ogólności układ przedstawiony powyżej jest układem trójwymiarowym. Niemniej jednak, korzystając z przybliżenia adiabatycznego problem można zredukować do postaci quasi-1d. Ograniczenie ruchu elektronu w płaszczyźnie x y powoduje kwantowanie jego energii, natomiast w kierunku osi z elektron można traktować jak elektron swobodny nanodrut podłączony jest do zewnętrznych bezodbiciowych kontaktów, z którymi ma możliwość wymiany ładunku. Przybliżenie adiabatyczne można zastosować jeżeli zmiana potencjału w kierunku osi z jest odpowiednio wolna. Daje to możliwość rozseparowania problemu 3D na problem D+1D. Elektron w nanodrucie opisują równania: a) równanie 1D w kierunku osi z ħ d m eff dz φ(z) + E n (z)φ(z) = Eφ(z) (1) gdzie m eff to masa efektywna elektronu, zaś E n (z) to energia n-tego stanu związanego w kierunku poprzecznym x y w określonym położeniu z. b) równanie D w płaszczyźnie x y ħ ( m eff x + y ) χ(x, y) + V(x, y; z)χ(x, y) = E n (z)χ(x, y) () gdzie V(x, y; z) to profil potencjału D dla określonego położenia z.

Dokładne wyprowadzenie powyższych równań w przybliżeniu adiabatycznym można znaleźć w książce Ferry, Goodnick and Bird Transport in nanostructures. Konduktancje wyznaczamy w oparciu o formułę Landauera, która dla temperatury T = przyjmuje postać G(E) = e h T(E) gdzie T(E) to współczynnik transmisji w funkcji energii T(E) = T n (E) zaś T n (E) to współczynnik transmisji w funkcji energii dla podpasma n (związanego z kwantyzacją w kierunku poprzecznym). Dla niskich temperatur oraz niskich napięć formuła Landauera przyjmuje postać G(μ) = e h n f(e, μ) T(E)dE E gdzie μ to potencjał chemiczny, zaś f(e, μ) to funkcja Fermiego-Diraca. Algorytm obliczania konduktancji dla nanodrutu wygląda w następujący sposób: 1) Dla poszczególnych wartości z [, L] rozwiązujemy równanie D () otrzymując profile energii E n (z). ) Następnie korzystając z metody macierzy transferu dla równania 1D (1) obliczamy współczynniki transmisji w funkcji energii w poszczególnych podpasmach T n (E). 3) Obliczamy T(E). 4) Korzystając z formuły Landauera wyznaczamy konduktancję G(μ). Korzystając z powyższego algorytmu proszę wyznaczyć konduktancje w nanodrucie z QPC zakładając, że profil potencjału w nanodrucie dany jest wzorem (zakładamy paraboliczny profil potencjału uwięzienia w kierunku poprzecznym) gdzie V(x, y, z) = 1 m eff(ω x (z)x + ω y (z)y ) ω x(y) (z) = ω x(y) [1 + Aexp ( (z z ) d )] gdzie ω x oraz ω y to częstość uwięzienia w kierunkach poprzecznych, z to umiejscowienie QPC, d to parametr określający szerokość QPC, zaś A to parametr określający zwężenie w obszarze QPC.

Dla tak określonego potencjału V(x, y, z) energie stanów poprzecznych E n dla określonego z [, L] można obliczyć analitycznie lub numerycznie korzystając z metody wariacyjnej w bazie gausianów. W ramach projektu proszę przeanalizować konduktancję przez nanodrut z QPC w funkcji częstości potencjału uwięzienia ω x oraz ω y oraz temperatury T.

PROJEKT 4. ZASTOSOWANIE METODY CZASU UROJONEGO DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU WŁASNEGO UKŁADU DWÓCH ELEKTRONÓW W SPRZĘŻONYCH KROPKACH KWANTOWYCH W NANODRUCIE Celem projektu jest rozwiązanie problemu własnego układu dwóch elektronów w sprzężonych kropkach kwantowych wytworzonych w nanodrucie w zewnętrznym polu magnetycznym skierowanym wzdłuż osi nanodrutu. Schemat profilu potencjału w rozpatrywanym nanoukładzie przedstawia rysunek poniżej B L L b z V b y x gdzie L to długość układu, V b wysokość bariery potencjału oddzielającej kropki kwantowe, L b szerokość bariery potencjału oddzielającej kropki. Parametry V b oraz L b determinują sprzężenie kropek kwantowych. Hamiltonian dwuelektronowy przyjmuje postać H = h 1 + h + gdzie h i to Hamiltonian jednoelektronowy e 4πε ε r h i = ħ m i + V(r i ) + 1 gμ BBσ xi gdzie B to wartość indukcji pola magnetycznego w kierunku osi x, g to czynnik Landego, m to masa efektywna, μ B to magneton Bohra, zaś σ x to x-owa macierz Pauliego. Efekty orbitalne pomijamy. Jeżeli założymy silne uwięzienie paraboliczne w kierunku poprzecznym (y, z), elektrony w tym kierunku osadzają najniższy stan, którego funkcja falowa przyjmuje postać φ(x, y) = 1 πl exp [ (y + z ) l ] Uśredniając hamiltonian H w stanie φ(x, y) otrzymujemy H = [ ħ m x + V(x i ) + 1 i gμ BBσ xi ] + π 4πε εl erfcx [ x 1 x ] l i=1,

gdzie erfx() to komplementarna funkcja błędu. Korzystając z metody czasu urojonego proszę rozwiązać problem własny układu dwóch elektronów w sprzężonych kropkach kwantowych opisanych Hamiltonianem H. Obliczenia przeprowadź dla następujących parametrów m =.14, g = 51, ε = 16.5, L = 5 nm, L b = 3 nm, l = 3 nm. Wyznacz energię stanów dwuelektronowych w funkcji zewnętrznego pola magnetycznego dla różnej stałej sprzężenia pomiędzy kropkami kwantowymi, określonej przez parametr V b.

PROJEKT 5. ZASTOSOWANIE METODY CZASU UROJONEGO DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU WŁASNEGO ELEKTRONU W KROPCE KWANTOWEJ Celem projektu jest rozwiązanie problemu własnego elektronu w kropce kwantowej w zewnętrznym polu magnetycznym B=(,,B). Potencjał uwięzienia w kropce kwantowej dany jest wzorem V(x, y) = V exp ( ( x + y p σ ) ) gdzie V o to głębokość potencjału, σ to parametr określający rozmycie potencjału, zaś p to parametr miękkości potencjału. Hamiltonian układu przyjmuje postać H = 1 m [p + ea(x, y)] + V(x, y) gdzie p to operator pędu, zaś A(x, y) to potencjał wektorowy. Zakładamy cechowanie symetryczne A(x, y) = 1 (B r) Korzystając z metody czasu urojonego proszę wyznaczyć energie elektronu w kropce kwantowej w funkcji pola magnetycznego. Wykonaj obliczania dla różnych wartości parametrów potencjału V, σ oraz p.

PROJEKT 6. ZASTOSOWANIE METODY WARIACYJNEJ DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU WŁASNEGO ELEKTRONU W KROPCE KWANTOWEJ Celem projektu jest rozwiązanie problemu własnego elektronu w kropce kwantowej w zewnętrznym polu magnetycznym B=(,,B). Potencjał uwięzienia w kropce kwantowej dany jest wzorem V(x, y) = V exp ( ( x + y p σ ) ) gdzie V o to głębokość potencjału, σ to parametr określający rozmycie potencjału, zaś p to parametr miękkości potencjału. Hamiltonian układu przyjmuje postać H = 1 m [p + ea(x, y)] + V(x, y) gdzie p to operator pędu, zaś A(x, y) to potencjał wektorowy. Zakładamy cechowanie symetryczne A(x, y) = 1 (B r) Korzystając z metody wariacyjnej w bazie gaussowskiej N ψ(r) = c i exp ( (r r i ) σ i=1 ie ħ (B r i ) r) proszę wyznaczyć energie elektronu w kropce kwantowej w funkcji pola magnetycznego. Wykonaj obliczania dla różnych wartości parametrów potencjału V, σ oraz p.

PROJEKT 7. OBLICZENIA STANU PODSTAWOWEGO ATOMU HELU (D) Hamiltonian atomu helu w D przyjmuje postać: H = ħ m 1 + ħ m 1 Ze 4πε r 1 gdzie r 1 = r 1, r = r, r 1 = r 1 r oraz r i = (x i, y i ) Ze 4πε r + e 4πε r 1 Proszę rozwiązać problem stanu podstawowego atomu helu w D korzystając z: (a) rachunku zaburzeń I rzędu (b) metody wariacyjnej

PROJEKT 8. OBLICZENIA STANU PODSTAWOWEGO MOLEKUŁY WODORU 1D Hamiltonian molekuły wodoru w 1D przyjmuje postać: H = H + H gdzie H to układ dwóch nieoddziałujących atomów wodoru H = ħ m x ħ 1 m x e 4πε x 1a e 4πε x b oraz H e = 4πε x 1b e 4πε x a + e 4πε x 1 + e 4πε R gdzie x 1 = x 1 x, zaś R jest odległością pomiędzy jądrami. Celem projektu jest rozwiązanie problemu stanu podstawowego molekuły wodoru (analogicznie do problemu przedstawionego na wykładzie) korzystając z : (a) metody Heitlera - Londona (b) metody wariacyjnej

PROJEKT 9. ROZWIĄZANIE PROBLEMU STANU PODSTAWOWEGO MOLEKUŁY WODORU 3D METODĄ HEITLERA-LONDONA Celem ćwiczenia jest rozwiązanie problemu stanu podstawowego molekuły wodoru 3D metodą Heitlera-Londona, której schemat został zaprezentowany na wykładzie http://www.ftj.agh.edu.pl/~adamowski/wyklady_mofit_/r4.pdf W projekcie należy przeprowadzić obliczenia ilościowe.

PROJEKT 1. ROZWIĄZANIE PROBLEMU WŁASNEGO CZĄSTKI W POTENCJALE COULOMBA YUKAWY. Korzystając z metody wariacyjnej, proszę rozwiązać problem własny (kilka stanów o najniższej energii) dla cząstki w sferycznie symetrycznym polu potencjału będącego superpozycją potencjału Coulomba i Yukawy gdzie A, B oraz C to parametry potencjału. V(r) = A r + B r e Cr W tym celu proszę zastosować metodę separacji zmiennych (analogicznie do problemu atomu wodoru). Następnie radialne równanie Schrodingera rozwiązać stosując metodę wariacyjną z funkcją próbną N R(r) = c i A i e α ir i=1 gdzie A i to stała normalizacyjna, zaś c i oraz α i = iα to parametry wariacyjne. Proszę użyć bazy N = 1 elementowej. Otrzymane wyniki porównaj z wynikami dla potencjału Coulomba (atom wodoru). Wyniki można również porównać z wynikami zamieszczonymi w publikacji: Janusz Adamowski, Bound eigenstates for the superposition of the Coulomb and the Yukawa potentials, Phys. Rev. A 31, 43 (1985).

PROJEKT 11. ZASTOSOWANIE METODY FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI W PRZYBLIŻENIU LOKALNYM DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU WŁASNEGO DLA UKŁADU N ELEKTRONÓW W GAUSSOWSKIEJ STUDNI POTENCJAŁU Hamiltonian układu N-elektronów w studni kwantowej określonej potencjałem U(r) przyjmuje postać N H = h i + e, 4πε r ij i=1 gdzie h i to hamiltonian jednoelektronowy N N i=1 j>i h i = ħ m i + U(r i ). Korzystając z metody funkcjonałów gęstości proszę energię stanu podstawowego układu N- elektronów w studni potencjału D w postaci U(r) = U exp ( r σ ) gdzie σ to parametr rozmycia studni potencjału, zaś r = (x, y). Wykonaj obliczenia dla N=1,,3 elektronów.

PROJEKT 1. ZASTOSOWANIE METODY FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI W PRZYBLIŻENIU LOKALNYM DO WYZNACZENIA ENERGII UKŁADU N-ELEKTRONÓW W SFERYCZNIE SYMETRYCZNEJ KROPCE KWANTOWEJ Rozważmy układ N-elektronów w sferycznie symetrycznej kropce kwantowej, której profil potencjału uwięzienia dany jest wzorem U(r) = { V, r < R, r R Hamiltonian układu przyjmuje postać N H = h i (r) + e, 4πε r ij i=1 gdzie h i to hamiltonian jednoelektronowy N N i=1 j>i h i (r) = ħ m i + U(r i ). Korzystając z metody funkcjonału gęstości proszę wyznaczyć energię stanu podstawowego układu dla N=1, 5. Wyniki obliczeń porównaj z pracą S. Bednarek, B. Szafran, J. Adamowski, Many-electron artifical atoms, Phys. Rev. B, 59, 1336

PROJEKT 13. FORMOWANIE FUNKCJI FALOWEJ INDUKTONU METODĄ EWOLUCJI W CZASIE UROJONYM. MIEJSCE LOKALIZACJI INDUKTONU. Jeżeli równolegle do drutu kwantowego (np. wyhodowanego katalitycznie półprzewodnikowego walca o średnicy rzędu 1nm) położymy metalową elektrodę, powstanie nanourządzenie posiadające ciekawe własności. Wprowadzony do wnętrza drutu kwantowego pojedynczy elektron staje się niezwykłą quasicząstką łączącą ze sobą własności klasyczne i kwantowe. Na skutek oddziaływania elektronu z ładunkiem indukowanym na powierzchni elektrody jego funkcja falowa ulega samoogniskowaniu i powstaje stabilny pakiet falowy mogący poruszać się wzdłuż drutu kwantowego bez zmiany kształtu wykazując własności solitonu. Ze względu na mechanizm samoogniskowania układ taki został nazwany induktonem. Podobnie jak cząstka klasyczna ma on zdolność pokonywania barier i jam potencjału ze 1% prawdopodobieństwem [1]. W ogólnym przypadku, żeby znaleźć potencjał indukowany należy rozwiązać równanie Poissona dla potencjału jednocześnie z równaniem Schroedingera dla elektronu, którego funkcja falowa podniesiona w module do kwadratu opisuje rozkład gęstości ładunku elektronu. Jednakże jeżeli założymy, że elektroda stanowi nieskończoną płaszczyznę wpływ ładunku indukowanego możemy uwzględnić metodą obrazów. Rozkład gęstości ładunku obrazu d Rozkład gęstości ładunku elektronu e x x

W takim przypadku rozwiązujemy wyłącznie równanie Schroedingera z hamiltonianem (żeby uniknąć podstawiania 1, wszystkie wielkości fizyczne są wyrażone w jednostkach atomowych - Ha=7.1eV, ab=59nm): H 1 m x U ind ( x ) gdzie m stanowi masę efektywną elektronu a potencjał indukowany dany jest wyrażeniem: U ind ( x ) 1 d x x x x 4 d Tutaj stanowi stałą dielektryczną materiału a d odległość środka drutu kwantowego od powierzchni elektrody. Ze względu na zależność potencjału indukowanego od funkcji falowej elektronu należy problem własny Hamiltonianu rozwiązać w sposób samouzgodniony. W przypadku poszukiwania stanu podstawowego induktonu najlepiej zastosować metodę ewolucji w czasie urojonym wyliczając nowy potencjał indukowany w każdej iteracji czasu urojonego. Celem projektu jest wygenerowanie stanu podstawowego induktonu oraz sprawdzenie jego lokalizacji w zależności od użytej funkcji startowej. Zadania do wykonania. 1. Korzystając z metody ewolucji w czasie urojonym znaleźć funkcję falową induktonu przyjmując funkcję początkową w postaci gaussianu scentrowanego w połowie pudła obliczeniowego.. Powtórzyć obliczenia startując od funkcji falowej wygenerowanej pseudolosowo. ( x, ) x 3. Ustawić rachunek z punktu w pętli, tak by liczyć funkcję falową 1-krotnie z

funkcją startowa wygenerowaną każdorazowo niezależnie przez generator liczb pseudolosowych. W obliczeniach proszę użyć parametrów odpowiadających GaAs: m=.67, =1.5, d=5nm Uwaga: Obliczenia można wykonać na odcinku nm podzielonym na punktów siatki. Literatura: 1. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Electron soliton in semiconductor nanostructures Phys. Rev. B7 (5).

PROJEKT 14. SYMULACJA RUCHU INDUKTONU (SOLITONU ELEKTRONOWEGO) W ZAMKNIĘTYM BARIERAMI POTENCJAŁU ODCINKU DRUTU KWANTOWEGO. DWIE ENERGIE INDUKTONU. Jeżeli równolegle do drutu kwantowego (np. wyhodowanego katalitycznie półprzewodnikowego walca o średnicy rzędu 1nm) położymy metalową elektrodę, powstanie nanourządzenie posiadające ciekawe własności. Wprowadzony do wnętrza drutu kwantowego pojedynczy elektron staje się niezwykłą quasicząstką łączącą ze sobą własności klasyczne i kwantowe. Na skutek oddziaływania elektronu z ładunkiem indukowanym na powierzchni elektrody jego funkcja falowa ulega samoogniskowaniu i powstaje stabilny pakiet falowy mogący poruszać się wzdłuż drutu kwantowego bez zmiany kształtu wykazując własności solitonu. Ze względu na mechanizm samoogniskowania układ taki został nazwany induktonem. Podobnie jak cząstka klasyczna ma on zdolność pokonywania barier i jam potencjału ze 1% prawdopodobieństwem [1]. W ogólnym przypadku, żeby znaleźć potencjał indukowany należy rozwiązać równanie Poissona dla potencjału jednocześnie z równaniem Schroedingera dla elektronu, którego funkcja falowa podniesiona w module do kwadratu opisuje rozkład gęstości ładunku elektronu. Jednakże jeżeli założymy, że elektroda stanowi nieskończoną płaszczyznę wpływ ładunku indukowanego możemy uwzględnić metodą obrazów. Rozkład gęstości ładunku obrazu d Rozkład gęstości ładunku elektronu e x x

W takim przypadku rozwiązujemy wyłącznie równanie Schroedingera z hamiltonianem (żeby uniknąć podstawiania 1, wszystkie wielkości fizyczne są wyrażone w jednostkach atomowych - Ha=7.1eV, ab=59nm): H 1 m x U ind ( x ) gdzie m stanowi masę efektywną elektronu a potencjał indukowany dany jest wyrażeniem: U ind ( x ) 1 d x x x x 4 d Tutaj stanowi stałą dielektryczną materiału a d odległość środka drutu kwantowego od powierzchni elektrody. Ze względu na zależność potencjału indukowanego od funkcji falowej elektronu należy problem własny Hamiltonianu rozwiązać w sposób samouzgodniony. W przypadku poszukiwania stanu podstawowego induktonu najlepiej zastosować metodę ewolucji w czasie urojonym wyliczając nowy potencjał indukowany w każdej iteracji czasu urojonego. Celem projektu jest wygenerowanie stanu podstawowego induktonu, wprawienie go w ruch i jego obserwacja. Zadania do wykonania: 1. Korzystając z metody ewolucji w czasie urojonym znaleźć funkcję falową stanu podstawowego induktonu przyjmując funkcję początkową w postaci gaussianu scentrowanego w połowie pudła obliczeniowego. Uzyskana w metodzie ewolucji w czasie urojonym funkcja własna hamiltonianu x jest funkcją falową spoczywającego induktonu i ma postać zbliżoną do gaussianu. Opisuje ona stan stacjonarny. Jeżeli wykorzystamy ją jako funkcję startową do ewolucji w czasie rzeczywistym, będziemy obserwować tylko zmianę fazy funkcji falowej ale jej kwadrat modułu x nie będzie się zmieniał. Proszę to sprawdzić.. Żeby zaobserwować ruch induktonu, musimy pomnożyć funkcję falową przez falę płaską: x x ikx e. Taka funkcja wstawiona jako funkcja startowa do ewolucji w czasie rzeczywistym będzie się istotnie zmieniać i uzyskamy wędrujący w przestrzeni pakiet falowy. Ponieważ na początku i na końcu obszaru obliczeniowego zakładamy zerowanie się funkcji falowej, pakiet docierając do brzegu obszaru obliczeniowego będzie się od niego odbijał tak jakby napotkał nieskończoną barierę potencjału. 3. Ponieważ obserwowany układ jest izolowany od otoczenia możemy sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń obserwując zachowanie energii. Tu czeka nas niespodzianka, ponieważ dla induktonu można zdefiniować dwie energie. Energia która stanowi wartość oczekiwaną

hamiltonianu: E H w analogii do metody Hartree-Focka nazwana została energią jednoelektronową nie jest zachowana w czasie [1]. Podczas ewolucji czasowej stała będzie energia całkowita, którą uzyskujemy odejmując od energii jednoelektronowej połowę energii oddziaływania z obrazem: E tot E 1 ind U ( x ). Położenie pakietu w przestrzeni opiszemy przez wartość oczekiwaną położenia: x x x Poniżej pokazany jest wykres, który należy uzyskać. xdx Energia [E ] D -. -.4 -.6 -.8-1. Energia całkowita Energia jednoelektronowa 1 3 czas [ps] 16 8 4 Położenie [a ] 1 D W obliczeniach proszę użyć parametrów materiałowych odpowiadających GaAs: m=.67, =1.5, d=5nm Uwaga: Obliczenia można wykonać na odcinku nm podzielonym na punktów siatki. Literatura: 1. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Electron soliton in semiconductor nanostructures Phys. Rev. B7 (5).

PROJEKT 15. SYMULACJA RUCHU ELEKTRONU W PUDLE PERIODYCZNOŚCI (ODCINEK DRUTU KWANTOWEGO Z NARZUCONYMI PERIODYCZNYMI WARUNKAMI BRZEGOWYMI). POKONYWANIE BARIER POTENCJAŁU. Jeżeli równolegle do drutu kwantowego (np. wyhodowanego katalitycznie półprzewodnikowego walca o średnicy rzędu 1nm) położymy metalową elektrodę, powstanie nanourządzenie posiadające ciekawe własności. Wprowadzony do wnętrza drutu kwantowego pojedynczy elektron staje się niezwykłą quasicząstką łączącą ze sobą własności klasyczne i kwantowe. Na skutek oddziaływania elektronu z ładunkiem indukowanym na powierzchni elektrody jego funkcja falowa ulega samoogniskowaniu i powstaje stabilny pakiet falowy mogący poruszać się wzdłuż drutu kwantowego bez zmiany kształtu wykazując własności solitonu. Ze względu na mechanizm samoogniskowania układ taki został nazwany induktonem. Podobnie jak cząstka klasyczna ma on zdolność pokonywania barier i jam potencjału ze 1% prawdopodobieństwem [1]. W ogólnym przypadku, żeby znaleźć potencjał indukowany należy rozwiązać równanie Poissona dla potencjału jednocześnie z równaniem Schroedingera dla elektronu, którego funkcja falowa podniesiona w module do kwadratu opisuje rozkład gęstości ładunku elektronu. Jednakże jeżeli założymy, że elektroda stanowi nieskończoną płaszczyznę wpływ ładunku indukowanego możemy uwzględnić metodą obrazów. Rozkład gęstości ładunku obrazu d Rozkład gęstości ładunku elektronu e x x

W takim przypadku rozwiązujemy wyłącznie równanie Schroedingera z hamiltonianem (żeby uniknąć podstawiania 1, wszystkie wielkości fizyczne są wyrażone w jednostkach atomowych - Ha=7.1eV, ab=59nm): H 1 m x V ( x ) U ind ( x ) gdzie m stanowi masę efektywną elektronu, V(x) potencjał zewnętrzny a potencjał indukowany dany jest wyrażeniem: U ind ( x ) 1 d x x x x 4 d Tutaj stanowi stałą dielektryczną materiału a d odległość środka drutu kwantowego od powierzchni elektrody. Ze względu na zależność potencjału indukowanego od funkcji falowej elektronu należy problem własny Hamiltonianu rozwiązać w sposób samouzgodniony. W przypadku poszukiwania stanu podstawowego induktonu najlepiej zastosować metodę ewolucji w czasie urojonym wyliczając nowy potencjał indukowany w każdej iteracji czasu urojonego. Celem projektu jest obserwacja pokonywania przeszkód w postaci barier potencjału ustawionych na drodze induktonu. Zadania do wykonania: 1. Korzystając z metody ewolucji w czasie urojonym znaleźć funkcję falową stanu podstawowego induktonu przyjmując funkcję początkową w postaci gaussianu scentrowanego w połowie pudła obliczeniowego. Uzyskana w metodzie ewolucji w czasie urojonym funkcja własna hamiltonianu x jest funkcją falową spoczywającego induktonu i ma postać zbliżoną do gaussianu. Opisuje ona stan stacjonarny. Jeżeli wykorzystamy ją jako funkcję startową do ewolucji w czasie rzeczywistym, będziemy obserwować tylko zmianę fazy funkcji falowej ale jej kwadrat modułu x nie będzie się zmieniał. Proszę to sprawdzić.. Żeby zaobserwować ruch induktonu, musimy pomnożyć funkcję falową przez falę płaską: x x ikx e. Taka funkcja wstawiona jako funkcja startowa do ewolucji w czasie rzeczywistym będzie się istotnie zmieniać i uzyskamy wędrujący w przestrzeni pakiet falowy. Jeżeli na początku i na końcu obszaru obliczeniowego zakładamy zerowanie się funkcji falowej: 1 i n, pakiet docierając do brzegu obszaru obliczeniowego będzie się od niego odbijał tak jakby napotkał nieskończoną barierę potencjału. Żeby uniknąć odbić i obserwować niezaburzony ściankami potencjału ruch pakietu falowego wprowadzamy periodyczne warunki brzegowe: 1 n 1 i n.

3. Gdy indukton znajduje się na skraju obszaru można na jego środku ustawić przeszkodę w postaci bariery lub jamy potencjału (najlepiej gaussowskiej) x x V ( x ) V exp. a Wysokość przeszkody możemy zmieniać systematycznie lub losowo i obserwować ich pokonywanie. Czy indukton zachowuje się jak cząstka kwantowa? W obliczeniach proszę użyć parametrów odpowiadających GaAs: m=.67, d=1nm, a=1nm =1.5, Wysokość przeszkody należy początkowo dobrać małą aby obserwować transmisję a potem stopniowo zwiększać aż do uzyskania odbicia. Pęd k dobrać tak, by energia całkowita (patrz projekt 17) była ujemna. Uwaga: Obliczenia można wykonać na odcinku 1nm podzielonym na punktów siatki. Literatura: 1. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Electron soliton in semiconductor nanostructures Phys. Rev. B7 (5).

PROJEKT 16. ROZPRASZANIE ENERGII INDUKTONU NA SKUTEK RETARDACJI (OPÓŹNIENIA ) FORMOWANIA SIĘ ŁADUNKU INDUKOWANEGO. Jeżeli równolegle do drutu kwantowego (np. wyhodowanego katalitycznie półprzewodnikowego walca o średnicy rzędu 1nm) położymy metalową elektrodę, powstanie nanourządzenie posiadające ciekawe własności. Wprowadzony do wnętrza drutu kwantowego pojedynczy elektron staje się niezwykłą quasicząstką łączącą ze sobą własności klasyczne i kwantowe. Na skutek oddziaływania elektronu z ładunkiem indukowanym na powierzchni elektrody jego funkcja falowa ulega samoogniskowaniu i powstaje stabilny pakiet falowy mogący poruszać się wzdłuż drutu kwantowego bez zmiany kształtu wykazując własności solitonu. Ze względu na mechanizm samoogniskowania układ taki został nazwany induktonem. Podobnie jak cząstka klasyczna ma on zdolność pokonywania barier i jam potencjału ze 1% prawdopodobieństwem [1]. W ogólnym przypadku, żeby znaleźć potencjał indukowany należy rozwiązać równanie Poissona dla potencjału jednocześnie z równaniem Schroedingera dla elektronu, którego funkcja falowa podniesiona w module do kwadratu opisuje rozkład gęstości ładunku elektronu. Jednakże jeżeli założymy, że elektroda stanowi nieskończoną płaszczyznę wpływ ładunku indukowanego możemy uwzględnić metodą obrazów. Rozkład gęstości ładunku obrazu d Rozkład gęstości ładunku elektronu e x x

W takim przypadku rozwiązujemy wyłącznie równanie Schroedingera z hamiltonianem (żeby uniknąć podstawiania 1, wszystkie wielkości fizyczne są wyrażone w jednostkach atomowych (Ha=7.1eV, ab=59nm)): H 1 m x V ( x ) U ind ( x ) gdzie m stanowi masę efektywną elektronu, V(x) potencjał zewnętrzny a potencjał indukowany dany jest wyrażeniem: U ind ( x ) 1 d x x x x 4 d Tutaj stanowi stałą dielektryczną materiału a d odległość środka drutu kwantowego od powierzchni elektrody. Ze względu na zależność potencjału indukowanego od funkcji falowej elektronu należy problem własny Hamiltonianu rozwiązać w sposób samouzgodniony. W przypadku poszukiwania stanu podstawowego induktonu najlepiej zastosować metodę ewolucji w czasie urojonym wyliczając nowy potencjał indukowany w każdej iteracji czasu urojonego. Jeżeli metalową elektrodę zastąpimy dwuwymiarowym gazem elektronowym uwięzionym np. w studni kwantowej równoległej do drutu kwantowego, uzyskany układ nie spełnia warunku idealnego przewodnika i ładunek indukowany będzie się formował z pewnym opóźnieniem[] w stosunku do aktualnego położenia pakietu falowego. Efektem będzie hamowanie poruszającego elektronu. Elektron będzie przekazywał swoją energię do gazu elektronowego formującego ładunek indukowany, Celem projektu jest obserwacja efektu rozpraszania energii induktonu. Zadania do wykonania: 1.Korzystając z metody ewolucji w czasie urojonym znaleźć funkcję falową stanu podstawowego induktonu przyjmując funkcję początkową w postaci gaussianu scentrowanego w 1/4 obliczeniowego. W tej części obliczeń zakładamy zerowy potencjał

zewnętrzny. Uzyskana w metodzie ewolucji w czasie urojonym funkcja własna hamiltonianu jest funkcją falową spoczywającego induktonu i ma postać zbliżoną do gaussianu. x. Uzyskaną funkcję falową wykorzystujemy jako startową do iteracji w czasie rzeczywistym, podczas których wprowadzamy do układu dodatkowy potencjał zewnętrzny w postaci odwróconego gaussianu: V ( x ) V exp x x a 3. Ponieważ obserwowany układ jest izolowany od otoczenia możemy sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń obserwując zachowanie energii. Tu czeka nas niespodzianka, ponieważ dla induktonu można zdefiniować dwie energie. Energia która stanowi wartość oczekiwaną hamiltonianu: E H w analogii do metody Hartree-Focka nazwana została energią jednoelektronową nie jest zachowana w czasie [1]. Podczas ewolucji czasowej stała będzie energia całkowita, którą uzyskujemy odejmując od energii jednoelektronowej połowę energii oddziaływania z obrazem: E tot E 1 ind U ( x ) Jednocześnie liczymy położenie środka ciężkości pakietu jako tzw. wartość oczekiwaną położenia: x x x xdx Jeżeli nie wprowadzimy retardacji powstawania potencjału indukowanego elektron powinien oscylować wokół punktu x ze stałą częstotliwością. 4. Ponieważ wprowadzenie retardacji zgodnie z pracą [] jest zbyt kłopotliwe, zasymulujemy ją licząc potencjał indukowany nie w każdej iteracji ale w co dziesiątej. W praktyce realizujemy to poprzez wprowadzenie dodatkowej wewnętrznej pętli iteracyjnej od 1 do 1, w której nie będziemy zmieniali potencjału indukowanego (albo gęstości ładunku używanej do jego wyliczenia).. W obliczeniach proszę użyć parametrów odpowiadających GaAs: m=.67, x=1nm =1.5, d=1nm, Wysokość przeszkody należy początkowo dobrać małą aby obserwwać transmisję a potem stopniowo zwiększać aż do uzyskania odbicia. Pęd k dobrać tak, by energia całkowita (patrz projekt 17) była ujemna. Uwaga: Obliczenia można wykonać na odcinku 1nm podzielonym na punktów siatki. Poniżej pokazany jest wykres, który należy uzyskać:

E n e rg ia c a łk o w ita [R ] D -.3 -.3 -.4 -.4 -.5.1.. -. Q /q F -.5 4 8 1 C z a s [p s] -.1 Literatura: 1. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Electron soliton in semiconductor nanostructures Phys. Rev. B7 (5).. S. Bednarek, B. Szafran Energy dissipation of electron solitons in a quantum well. Phys. Rev. B 73 (6)

PROJEKT 17. OSCYLACJE ELEKTRONU W PARABOLICZNYM POTENCJALE UWIĘZIENIA WYWOŁANE POZIOMYMI OSCYLACJAMI DNA POTENCJAŁU. REZONANS, GRANICE ADIABATYCZNOŚCI. Przebadamy problem elektronu uwięzionego w potencjale parabolicznym, którego minimum oscyluje poziomo (minimum energii nie zmienia się) z niewielką przestrzenną amplitudą. Okazuje się, że w określonym zakresie częstotliwości i amplitudy oscylacji możemy zaobserwować ciekawe zachowania elektronowego pakietu falowego uwięzionego w parabolicznym potencjale. 1.Formujemy potencjał paraboliczny o energii oscylatora. Hamiltonian zapisany w jednostkach atomowych energii i długości (Ha=7.1eV, ab=59nm) przyjmuje postać: H 1 m x x x, gdzie m Ha. Przyjmujemy x równe b/ czyli połowie odcinka b, w którym wykonujemy obliczenia numeryczne. Metodą ewolucji w czasie urojonym znajdujemy funkcję falową stanu x podstawowego oscylatora harmonicznego. Ma ona postać Gaussianu x. Funkcję e tę przyjmujemy jako początkową dla iteracji ewolucji w czasie rzeczywistym..gdyby potencjał nie zależał od czasu podczas ewolucji w czasie rzeczywistym, funkcja falowa zmieniałaby tylko fazę, natomiast jej kwadrat modułu byłby stały w czasie ponieważ układ znajdowałby się w stanie stacjonarnym. Ewolucję przeprowadzimy wymuszając poziome oscylacje parabolicznego potencjału uwięzienia. Przyjmujemy zmienne w czasie x: x b, w t a * sin( t ) gdzie a jest amplitudą a ωw częstotliwością oscylacji drgań wymuszających. 3.Podczas drgań obserwujemy wartości oczekiwane energii i położenia: E t Ĥ dx x Ĥ x b x t xˆ dx x x x b Porównujemy na wykresie wartość oczekiwaną operatora położenia potencjału oczek siatki. x t z położeniem dna x t. Zalecane parametry m=67 (GaAs), =1meV, b=4nm podzielone na Poniżej dwa przykładowe wykresy.

.5 6.5 6.5 6 1 1 9 Wykres uzyskany dla energii oscylatora =1meV, częstotliwości oscylacji.5 mev i amplitudzie a=1nm. w Czarna krzywa oznacza położenie minimum paraboli, niebieska oscylujący względem niego środek ciężkości pakietu a czerwona oscylującą energię..5 6 1 8 1 3 4. 6 6. 4 4.. 4 8 1 1 6 wyjście z rezonansu. Drgania rezonansowe. Wykres uzyskany dla energii oscylatora =1meV i identycznej częstotliwości oscylacji 1meV, amplitudzie w a=1nm. Tym razem pakiet oscyluje z coraz większą amplitudą (niebieska krzywa), znacznie przekraczającą amplitudę oscylacji minimum paraboli (czarna). Energia (czerwona) rośnie prawie parabolicznie aż do momentu kiedy pakiet zaczyna się odbijać od brzegów odcinka obliczeniowego. Wtedy częstotliwość oscylacji przestaje być równa odległości pomiędzy poziomami energetycznymi co oznacza

PROJEKT 18. PRZEPLYW CIECZY NIEŚCISLIWEJ PRZEZ RURĘ Z PRZESZKODĄ Lepka nieściśliwa ciecz płynie przez rurę. Do rury wstawiamy zastawkę (patrz rysunek). Znajdź linie strumienia cieczy dla danego gradientu ciśnienia podanego w rurze. Rozkład prędkości (u,v) gdzie u to składowa prędkości w kierunku osi x, zaś v to rozkład prędkości w kierunku osi y, i ciśnienia p dla cieczy o lepkości µ i gęstości ρ spełniają tzn. stacjonarne równanie Naviera-Stokesa. ψ = ζ μ ρ ζ = ψ y ζ x ψ ζ x y gdzie ψ to funkcja strumienia, zaś ζ to wirowość. Funkcja strumienia pozwala wyliczyć pole prędkości, ponieważ u = ψ y, ψ v = x, zaś rotacja zdefiniowana jest jako rotacja pola prędkości ζ = u y v x Rozwiąż problem przepływu cieczy: a) przez rurę bez zastawki (porównaj wyniki numeryczne z przewidywaniami teoretycznymi) b) przez rurę z zastawką