Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą kwadratową i nieosobliwą.
Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą kwadratową i nieosobliwą. Skoro A jest nieosobliwa, to istnieje macierz A 1 oraz X = A 1 B.
Wzroy Cramera Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej AX = B, w którym mamy n niewiadomych x 1, x 2,..., x n.
Wzroy Cramera Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej AX = B, w którym mamy n niewiadomych x 1, x 2,..., x n. Niech będzie, że det(a) 0.
Wzroy Cramera Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej AX = B, w którym mamy n niewiadomych x 1, x 2,..., x n. Niech będzie, że det(a) 0. Oznaczmy przez det(a i ) wyznacznik macierzy, w której i-ta kolumna została zastąpiona kolumną wyników B.
Wzroy Cramera Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej AX = B, w którym mamy n niewiadomych x 1, x 2,..., x n. Niech będzie, że det(a) 0. Oznaczmy przez det(a i ) wyznacznik macierzy, w której i-ta kolumna została zastąpiona kolumną wyników B. Układ taki ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem x i = det(a i), i = 1,..., n. det(a)
Przykład Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań: x y z = 1 3x + 4y 2z = 1 (1) 3x 2y 2z = 1.
Przykład Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań: x y z = 1 3x + 4y 2z = 1 (1) 3x 2y 2z = 1. Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników: det(a) = 1 1 1 3 4 2 3 2 2
Przykład Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań: x y z = 1 3x + 4y 2z = 1 (1) 3x 2y 2z = 1. Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników: det(a) = 1 1 1 3 4 2 3 2 2 = 8 + 6 + 6 + 12 4 6 = 6.
Przykład Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań: x y z = 1 3x + 4y 2z = 1 (1) 3x 2y 2z = 1. Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników: det(a) = 1 1 1 3 4 2 3 2 2 = 8 + 6 + 6 + 12 4 6 = 6. Teraz liczymy wyznaczniki det(a x ), det(a y ), det(a z ), w których w miejsce odpowiednio kolumny pierwszej, drugiej i trzeciej wstawiamy kolumnę wyników: 1 1 1.
Przykład - c.d. det(a x ) = 1 1 1 1 4 2 1 2 2
Przykład - c.d. det(a x ) = 1 1 1 1 4 2 1 2 2 = 8 + 2 2 + 4 4 + 2 = 6,
Przykład - c.d. det(a x ) = 1 1 1 1 4 2 1 2 2 = 8 + 2 2 + 4 4 + 2 = 6, det(a y ) = 1 1 1 3 1 2 3 1 2
Przykład - c.d. det(a x ) = 1 1 1 1 4 2 1 2 2 = 8 + 2 2 + 4 4 + 2 = 6, det(a y ) = 1 1 1 3 1 2 3 1 2 = 2 6 3 3 + 2 + 6 = 2,
Przykład - c.d. det(a x ) = 1 1 1 1 4 2 1 2 2 = 8 + 2 2 + 4 4 + 2 = 6, det(a y ) = det(a z ) = 1 1 1 3 1 2 3 1 2 1 1 1 3 4 1 3 2 1 = 2 6 3 3 + 2 + 6 = 2,
Przykład - c.d. det(a x ) = 1 1 1 1 4 2 1 2 2 = 8 + 2 2 + 4 4 + 2 = 6, det(a y ) = det(a z ) = 1 1 1 3 1 2 3 1 2 1 1 1 3 4 1 3 2 1 = 2 6 3 3 + 2 + 6 = 2, = 4 + 3 6 12 2 + 3 = 10.
Przykład - c.d. Korzystając ze wzorów Cramera otrzymujemy rozwiązanie układu równań: x = det(a x) det(a) = 6 6 = 1, y = det(a y ) det(a) = 2 6 = 1 3, z = det(a z) det(a) = 10 = 5 6 3.
Wnioski z twierdzenia Cramera W twierdzeniu Cramera była mowa o przypadku, kiedy det(a) 0.
Wnioski z twierdzenia Cramera W twierdzeniu Cramera była mowa o przypadku, kiedy det(a) 0. Jeśli det(a) = 0, ale choć jeden z wyznacznikow det(a j ) 0, to układ jest sprzeczny. Jeśli det(a) = det(a 1 ) =... = det(a n ) = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Układ równań macierzowych Układem równań macierzowych nazywamy układ postaci: A 1,1 X 1 + A 1,2 X 2 +... + A 1,n X n = B 1..., A m,1 X 1 + A m,2 X 2 +... + A m,n X n = B m gdzie wszystkie występujące tu elementy są macierzami.
Układ równań macierzowych Układem równań macierzowych nazywamy układ postaci: A 1,1 X 1 + A 1,2 X 2 +... + A 1,n X n = B 1..., A m,1 X 1 + A m,2 X 2 +... + A m,n X n = B m gdzie wszystkie występujące tu elementy są macierzami. Przy rozwiązywaniu takich układów można posłużyć się m.in. metodą podstawienia, tzn. z wyznaczamy z jednego rówania postać wybranej niewiadomiej macierzy i wstawiamy do drugiego równania. Należy jednak pamiętać o tym, że mnożenie macierzy nie jest przemienne!
Literatura Bronsztejn, I.N. Siemiendiajew Matematyka. Poradnik Encyklopedyczny, wyd. siódme, PWN, Warszawa 1986 Mostowski, Stark Elementy algebry wyższej, Biblioteka Matematyczna 16. PWN, Warszawa 1974 Rietsch, E. An introduction to Scilab from a Matlab User s Point of View, ver. 5.2, 2010, on-line: https://wiki.scilab.org/tutorials?action=attachfile&do=get&target= Scilab4Matlab.pdf
Podziękowania Dziękuję za uwagę