Praca i energia. Zasada zachowania energii mechanicznej. Środek masy. Praca Uwaga: Zadania w tej części rozwiązujemy przy pomocy twierdzenia o pracy i energii kinetycznej lub zasady zachowania energii mechanicznej. 104. Jaką prędkość początkową v 0 trzeba nadać ciału o masie m, aby wjechało na szczyt równi o długości d i kącie nachylenia α jeżeli współczynnik tarcia wynosi f? Oblicz czas t trwania ruchu. Przyspieszenie ziemskie g dane. Wykonać rysunek. 105. Blok o masie m = 15 kg jest przesuwany po poziomej powierzchni pod działaniem siły F = 70 N skierowanej pod kątem 30 o do poziomu. Blok przesunięto o s = 5 m, a współczynnik tarcia f = 0,25. Obliczyć pracę: a) siły F; b) składowej pionowej wypadkowej siły działającej na blok; c) siły grawitacji; d) siły tarcia. 106. Klocek o masie m = 0,7 ześlizguje się z równi pochyłej o długości 6 m i kącie nachylenia 30 o, a następnie zaczyna poruszać się po poziomej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia na równi i poziomej powierzchni wynosi f = 0,2. Jaka jest prędkość klocka na końcu równi oraz po przebyciu drogi 1 m po poziomej powierzchni? Jaką odległość przebędzie klocek do momentu zatrzymania się? 107. Auto o masie 1500 kg rusza i przyspiesza jednostajnie do prędkości 10 m/s w czasie 3 sekund. Obliczyć: a) pracę wykonaną nad autem; b) średnią moc silnika w pierwszych 3 sekundach ruchu; c) moc chwilową dla t = 2 sekundy. 108. Paciorek nadziany na drut ślizga się bez tarcia po nachylonym drucie zakończonym pętlą (patrz rysunek obok) o promieniu R. Jeśli H = 3,5 R, to jaką prędkość ma paciorek w najwyższym punkcie pętli? Ile wynosi nacisk paciorka na drut w najniższym i najwyższym punkcie pętli?
109. Ciało znajdujące się na wysokości h rzucono pionowo do góry z prędkością 5 m/s. Prędkość końcowa ciała wyniosła 25 m/s. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H wzniosło się to ciało? Jakie będą prędkości tego ciała na wysokościach H/4 i h/4? 110. Kamień rzucono pionowo do góry. Mija on punkt A z prędkością v, a punkt B, leżący 3 m wyżej niż A, z prędkością v/2. Oblicz: a) prędkość v, b) maksymalną wysokośc wzniesienia się ciała ponad punkt B. 111. Auto o masie 1500 kg rusza i przyspiesza jednostajnie do prędkości 10 m/s w czasie 3 sekund. Obliczyć: a) pracę wykonaną nad autem; b) średnią moc silnika w pierwszych 3 sekundach ruchu; c) moc chwilową dla t = 2 sekundy. 112. Dwie masy m i M (patrz rysunek obok) są połączone nieważką nicią przewieszoną przez nieważki krążek. Stosując zasadę zachowania energii mechanicznej wyznaczyć prędkość V masy m w momencie, gdy jej środek masy podniesie się na wysokość H. Założyć, że krążek nie obraca się, a nić ślizga się po jego powierzchni bez tarcia. Jaka będzie ta prędkość ciała m, jeśli odstąpimy od założenia o idealnie gładkiej powierzchni krążka i przyjmiemy, że na drodze H praca sił tarcia będzie równa W? 113. Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość v 0 = 5 m/s. Ciało uderzyło w ziemie z prędkością 35 m/s. Ile wynosi H? Jaką prędkość miało to ciało po przebyciu drogi H/6? 114. Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = (7,6i + 6,1j). Jaka jest maksymalna wysokość rzutu? Jaka była prędkość wyrzutu? Z jaką prędkością kamień spadł na ziemię? 115. Wartość prędkości początkowej kamienia rzuconego ukośnie jest 5 razy większa od jego prędkości w najwyższym punkcie toru. Pod jakim katem wyrzucono kamień?
116. Balon porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym na wysokości H = 2 km z prędkością u = 20 m/s. Z balonu wyrzucono metalową kulkę nadając jej prędkość poziomą 5 m/s względem balonu w chwili, gdy przelatywał nad punktem A płaskiego terenu. Wyznaczyć prędkości kulki na wysokości 2H/3. Rozpatrzyć dwa przypadki rzutu: w kierunku ruchu balonu i w kierunku przeciwnym do jego prędkości chwilowej. 117. Ciało o masie 0,5 kg ślizga się po poziomym chropowatym torze kołowym o promieniu 2 m. Jego prędkość początkowa wynosiła 8 m/s, a po jednym pełnym obrocie spadła do wartości 6 m/s. Wyznaczyć pracę sił: a) tarcia, b) dośrodkowej. Obliczyć współczynnik tarcia. Po jakim czasie ciało to się zatrzyma? Ile wykona obrotów do zatrzymania się? 118. Rozciągnięcie sprężyny o 10 cm wymaga pracy 4 J. Ile potrzeba pracy, aby rozciągnąć tę sprężynę do 20 cm? Ws-ka: wartość pracy wykonanej nad sprężyną o współczynniku sprężystości k rozciągniętej o x wynosi kx 2 /2. 119. Kula o masie 0,005 kg i prędkości 600 m/s zagłębiła się w drewnie na głębokość 2 cm. Wyznaczyć średnią wartość siły oporu działającej w drewnie na kulkę. Zakładając, że siła oporu jest stała, obliczyć czas hamowania kulki. Z jaką przemianę energii mamy w tym zjawisku do czynienia? 120. Współczynnik tarcia miedzy masą m (patrz rysunek obok) a podłożem wynosi 0,2. Jeśli początkowo oba ciała spoczywają ruszą, to ile wynosi prędkość obu mas po przebyciu przez M drogi 0,6 m? Masę nici i krążka zaniedbujemy. Nitka ślizga się po krążku bez tarcia 121. Jaką pracę wykonał silnik pociągu elektrycznego o masie m 100ton, który poruszając się ruchem jednostajnie przyspieszonym w czasie t 15s uzyskał prędkość v 108 km h. Efektywny współczynnik tarcia wynosi f 0, 05 a przyspieszenie ziemskie przyjąć równe 2 g 10 m s. 122. Ciało o masie m 2kg zsuwa się po równi pochyłej ze stałą prędkością v 0,25 m s. Współczynnik tarcia wynosi f 0, 5. Oblicz moc siły zsuwającej ciało.
123. Sanki ześlizgują się z pagórka, którego zbocze ma długość d 10m i jest nachylone pod kątem 30 do poziomu. Jaką odległość x przebędą sanki na odcinku poziomym po zjechaniu ze zbocza, jeżeli na całej drodze współczynnik tarcia wynosi f 0, 2? 124. W najwyższym punkcie kuli o promieniu R znajduje się małe ciało w położeniu równowagi chwiejnej. Przy najmniejszym wychyleniu z tego położenia ciało zacznie się zsuwać po powierzchni kuli. Wyznacz kąt α jaki zatoczy promień kuli do miejsca oderwania się R R v ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, Autor rozwiązań Mgr. W. Magierski RZad104 F T F s d v m W trakcie wjeżdżania na szczyt równi początkowa energia kinetyczna ciała u podnóża równi jest tracona na wykonanie pracy przeciwko sile tarcia i zamienia się w energię potencjalną. mg F n Ponieważ siła tarcia ma stałą wartość, to praca przeciwko tej sile daje się przedstawić jako iloczyn siły i przesunięcia: Korzystając z zasady zachowania energii oraz równoważności pracy i energii możemy napisad: Przy czym wysokośd równi h wyraża się wzorem:
Zgodnie z definicją siła tarcia to: Początkowa energia kinetyczna ciała wynosi: Podstawiając do bilansu energii mamy: Sprawdzamy jednostki: RZad105 F T m F F F Zgodnie z definicją, praca stałej siły wyraża się przez iloczyn skalarny siły i przesunięcia: Składowa pionowa wypadkowej siły działającej na blok będzie różnicą pomiędzy siłą ciężkości a składową pionową siły zewnętrznej: wykona żadnej pracy podobnie jak siła grawitacji. Siła tarcia natomiast wykona pracę: mg Siła ta, będąc prostopadła do kierunku przesunięcia, nie Podstawiając za siłę nacisku i zauważając, że otrzymujemy: Sprawdzamy jednostki:
i obliczamy: Odp. Praca siły F wynosi 303J a praca siły tarcia 144J. Siła nacisku i siła ciężkości nie wykonały pracy. RZad106 F T m F s F n s mg Zgodnie z zasadą zachowania energii i równoważności pracy i energii początkowa energia potencjalna klocka zostanie zużyta na wykonanie pracy przeciwko sile tarcia a reszta zamieniona na energię kinetyczną klocka u podstawy równi. Ta reszta z kolei zostaje rozproszona przez siłę tarcia na poziomym torze. Rozważmy najpierw ruch po równi, gdzie mamy: przy czym wysokośd równi h wiąże się z długością równi d zależnością: v k oznacza prędkośd klocka u podstawy równi, a praca siły tarcia wynosi: Podstawiając otrzymujemy:
Prędkośd ta staje się prędkością początkową w ruchu poziomym i znowu bilansujemy pracę i energię, zakładając, że s oznacza drogę w tym ruchu: Praca na drodze s przeciwko sile tarcia wyniesie: Podstawiamy i otrzymujemy: Kładąc v = 0 obliczymy drogę do momentu zatrzymania: Obliczenia: prędkośd klocka u podstawy równi: prędkośd klocka po przebyciu drogi s = 1m droga przebyta przez klocek do momentu zatrzymania: RZad107 Zgodnie z zasadą równoważności pracy i energii, praca wykonana nad autem równa jest przyrostowi jego energii kinetycznej: Wartośd tej pracy: Dzieląc tę pracę przez czas rozpędzania do prędkości v otrzymamy średnią moc silnika:
Moc ta wyniesie: Moc chwilowa jest pochodną pracy po czasie i może byd przedstawiona jako: W przypadku stałej siły działającej w kierunku ruchu równanie jest skalarne: Jednostka: Wartośd mocy chwilowej: RZad108 v F od W najwyższym punkcie pętli paciorek ma prędkość spełniająca bilans energii: H mg R Po uwzględnieniu warunków zadania mg v Nacisk N paciorka na drut w tym miejscu będzie różnicą pomiędzy siłą ciężkości a siła odśrodkową: F od Wstawiając znalezioną prędkość w najwyższym punkcie otrzymamy:
Znak minus oznacza, że siła nacisku jest skierowana w górę. Postępując podobnie znajdziemy prędkość w najniższym punkcie toru: Po uwzględnieniu warunków zadania Nacisk N paciorka na drut w najniższym miejscu będzie sumą siłą ciężkości i siły odśrodkowej: Wstawiając znalezioną prędkość w najniższym punkcie otrzymamy: RZad109 Zad. 109. Ciało znajdujące się na wysokości h rzucono pionowo do góry z prędkością 5 m/s. Prędkość końcowa ciała wyniosła 25 m/s. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H wzniosło się to ciało? Jakie będą prędkości tego ciała na wysokościach H/4 i h/4? Oznaczmy przez v 0 prędkość początkową ciała (tę na wysokości h) a przez v k prędkość końcową ciała na wysokości równej zero. Zgodnie z zasadą zachowania energii mamy: zatem Po podstawieniu danych: Maksymalne wzniesienie spełni równośd energii: Po podstawieniu danych:
Prędkośd v 1 na wysokości H/4 spełni równanie Po podstawieniu: Analogicznie prędkośd v 2 na wysokości h/4 wyniesie Po podstawieniu: RZad110 Oznaczmy wysokość punktu A przez h a różnicę wysokości punktów A i B przez h = 3m. Zgodnie z zasadą zachowania energii mamy: zatem stąd Po podstawieniu
Oznaczmy szukaną maksymalną wysokośd wzniesienia ponad punkt B jako H, mamy: po podstawieniu otrzymanej wcześniej prędkości v dostajemy: i wyznaczamy W pamięci obliczamy RZad111 Zgodnie z zasadą równoważności pracy i energii, praca wykonana nad autem równa jest przyrostowi jego energii kinetycznej: Wartośd tej pracy: Dzieląc tę pracę przez czas rozpędzania do prędkości v otrzymamy średnią moc silnika: Moc ta wyniesie: Moc chwilowa jest pochodną pracy po czasie i może byd przedstawiona jako: W przypadku stałej siły działającej w kierunku ruchu równanie jest skalarne: Jednostka:
Wartośd mocy chwilowej: RZad112 Zgodnie z zasadą zachowania energii obniżenie się środka masy układy oznacza zmniejszenie energii potencjalnej układu, co musi skutkować wzrostem energii kinetycznej układu mas tak aby całkowita energia mechaniczna została zachowana. Oczywiście, prędkość v ciała o masie m będzie taka sama jak prędkość ciała o masie M, choć przeciwnie skierowana. Oznaczmy przez h 1 wysokość położenia środka masy układu w chwili początkowej, a przez h 2 wysokość położenia środka masy układu w chwili końcowej i wyznaczmy te położenia. Zgodnie z definicją środka masy mamy: Analogicznie w chwili koocowej: Obniżenie środka masy będzie równe: Zmiana energii potencjalnej układu przełoży się na energię kinetyczną ciał: Ostatecznie: W sytuacji gdy tarcie na krążku spowoduje rozpraszanie energii należy to uwzględnid dodając straty energii (równe pracy sił tarcia) do bilansu energii: i wówczas
RZad113 Zgodnie z zasadą zachowania energii energia potencjalna i kinetyczna w chwili startu równa będzie energii kinetycznej w momencie uderzenia w ziemię: Oznaczmy przez v k prędkość z jaką ciało uderzyło w ziemię, mamy wówczas: stąd Obliczamy: W drugiej części zadania zastosujemy ten sam sposób, trzeba tylko zauważyd, że po przebyciu H/6 drogi ciało będzie na wysokości 5H/6. Oznaczmy prędkośd w tym momencie przez v i układamy bilans energii: i ostatecznie: Obliczamy: RZad114 Oznaczmy wysokość daną w zadaniu przez h, a maksymalną wysokość przez H. Wektorowy zapis prędkości oznacza, że składowe wektora prędkości wynoszą:
Wartośd prędkości na wysokości h wyniesie: Policzmy tę prędkośd, bo będzie potrzebna do wyznaczenia energii kinetycznej Bilansując energię całkowitą w momencie wyrzutu i na wysokości h, mamy: Wyznaczymy stąd prędkośd początkową wyrzutu v 0 : Wartośd tej prędkości: Bilans energii w najwyższym punkcie pozwoli wyznaczyd tę wysokośd: Obliczamy: Prędkośd z jaką kamieo upadnie na ziemię jest oczywiście równa prędkości wyrzutu i wynosi y v = v 0x RZad115 v 0y v 0 H v 0x x
W najwyższym punkcie toru prędkość ciała ma tylko składową poziomą równą składowej poziomej prędkości początkowej. Oznaczmy przez k stosunek prędkości dany w zadaniu: Z drugiej strony: Zatem Podstawiamy i mamy RZad116 y H h v 0 = v 0x v y v 0x v Oznaczmy prędkość własną kulki przez w. Prędkość początkowa v 0 kulki może być zatem sumą lub różnicą prędkości u i w. Te dwa przypadki najwygodniej będzie rozważyć w ostatnim etapie rozwiązania przyjmując: A x Napiszmy kinematyczne równania ruchu w przypadku rzutu poziomego: Różniczkując po czasie te równania otrzymamy współrzędne prędkości: Znak minus oznacza prędkośd zorientowaną przeciwnie do kierunku (w górę) przyjętego za dodatni. Szukana prędkośd jest przekątną prostokąta prędkości:
Czas t znajdziemy kładąc y = h w równaniu ruchu: Prędkośd zatem wyrazi się wzorem: Obliczamy prędkośd w przypadku rzutu w kierunku ruchu balonu: i w kierunku przeciwnym: RZad117 Praca w ruchu obrotowym wyraża się wzorem: gdzie oznacza drogę kątową a M śr to średni moment siły w naszym przypadku siły tarcia hamującej ruch po okręgu. Ponieważ siła hamująca ma stała wartośd, to jej wartośd średnia równa jest chwilowej, a jej moment wyniesie: gdzie R oznacza promieo okręgu, m masę ciała a f współczynnik tarcia. Podstawiając do wzoru na pracę otrzymujemy: Praca ta spowodowała zmniejszenie energii kinetycznej poruszającego się ciała: i możemy wyznaczyd pracę siły tarcia: Praca siły tarcia jest ujemna, bo powoduje zmniejszanie się prędkości. Praca siły dośrodkowej jest równa zero, bo jej moment jest równy zero z racji równoległości wektorów siły i promienia.
siła *N+ Współczynnik tarcia policzymy ze wzoru na pracę zauważając, że 1 obrót to 2 radianów: Liczbę N obrotów do momentu zatrzymania otrzymamy dzieląc przez 2 drogę kątową odpowiadająca pracy W siły tarcia do momentu zatrzymania równą początkowej energii kinetycznej ciała. Obliczamy: RZad118 160 120 80 40 0 0 0.1 0.2 wydłużenie [m] Siła sprężystości jest proporcjonalna do wydłużenia sprężyny: gdzie minus oznacza przeciwny do wydłużenia kierunek działania siły model jednowymiarowy. Praca z kolei może byd przedstawiona jako iloczyn średniej siły i wydłużenia: Korzystając ze wskazówki mamy: Porównując oba wzory na pracę i wykorzystując definicję siły sprężystości otrzymujemy: a zatem średnia siła jest równa połowie wartości siły maksymalnej. Wykres przedstawia zależność siły sprężystości od wydłużenia a praca na tym wykresie jest polem pod krzywą (prostą). Jak widać dwukrotne zwiększenie wydłużenia powoduje czterokrotne zwiększenie pracy. Przyjmijmy, że W 1 to praca włożona w rozciągnięcie sprężyny o x 1, a W 2 to praca wymagana aby rozciągnąć sprężynę o x 2. Mamy zatem:
oraz: Podstawiając dane otrzymujemy: RZad119 Energia kinetyczna kuli zostaje zużyta na wykonanie pracy przeciwko siłom spójności drewna, wykonanie pracy odkształcania materiału kuli, podniesienie temperatury kuli lokalne podniesienie temperatury drewna, jednym słowem zostanie rozproszona. Stosując definicję pracy w postaci: Stosując definicję pracy w postaci: możemy zbilansowad energię i pracę: gdzie d oznacza głębokośd kuli po zderzeniu i otrzymujemy: Znajomośd siły pozwoli znaleźd przyspieszenie: bo z drugiej strony: zatem:
Po podstawieniu otrzymujemy: Obliczenia RZad120 Oznaczmy drogę masy M przez h będzie to obniżenie wysokości tej masy i jednocześnie droga jaką pokona masa m. Stosując zasadę zachowania energii dochodzimy do wniosku, że zmniejszenie energii potencjalnej masy M powoduje zwiększenie energii kinetycznej obu mas, a część zostanie zużyta na wykonanie pracy przeciwko sile tarcia pomiędzy masą m a podłożem. Praca przeciwko sile tarcia będzie iloczynem siły tarcia (współczynnik tarcia f razy nacisk mg) i drogi h: Podstawiamy i mamy: Aby wykonad obliczenia musimy znad obie masy albo przynajmniej ich iloraz.
RZad121 Ruch jednostajnie przyspieszony odbywa się pod wpływem stałej siły (siła wypadkowa). Siła wypadkowa to, z jednej strony, różnica pomiędzy siłą napędową F n pochodzącą od silnika a siłą tarcia F T: a z drugiej iloczyn masy i przyspieszenia: Zatem siła napędowa: Praca tej siły może byd przedstawiona jako iloczyn siły i przesunięcia: gdzie s jest drogą w ruchu jednostajnie przyspieszonym: i przyspieszenie: Ostatecznie siła napędowa wyraża się wzorem: i praca tej siły wyniesie: Ostatecznie: Po podstawieniu danych (zamieniamy km/h na m/s) otrzymujemy:
RZad122 F F s m F T Załóżmy, że siła zsuwająca ciało działa w dół równi. Ponieważ prędkość zsuwania jest stała to mamy do czynienia z równowagą sił działających w kierunku wektora prędkości: mg F n Podstawiając znane zależności otrzymujemy: Skąd Aby wyznaczyd moc stałej siły dokonajmy prostych przekształceo: Zatem: Aby dokonać obliczeń trzeba znać kąt nachylenia równi. RZad123 F T m F s F n x mg Zgodnie z zasadą zachowania energii i równoważności pracy i energii początkowa energia potencjalna sanek zostanie zużyta na wykonanie pracy przeciwko sile tarcia a reszta zamieniona na energię kinetyczną sanek u podstawy równi. Ta reszta z kolei zostaje rozproszona przez siłę tarcia na poziomym torze. Rozważmy najpierw ruch po równi, gdzie mamy:
przy czym wysokośd równi h wiąże się z długością równi d zależnością: v k oznacza prędkośd klocka u podstawy równi, a praca siły tarcia wynosi: Podstawiając otrzymujemy: Prędkośd ta staje się prędkością początkową sanek w ruchu poziomym a energia kinetyczna z nią związana zostaje zużyta na pracę przeciwko sile tarcia na drodze x, tzn. do momentu zatrzymania. Bilansujemy pracę i energię: Praca na drodze x przeciwko sile tarcia wyniesie: Podstawiamy i otrzymujemy: : Po podstawieniu znalezionej wcześniej prędkości v k otrzymujemy koocowy rezultat: Obliczenia:
RZad124 h F od Miejsce oderwania zsuwającego się ciała wyznacza warunek równowagi sił: odśrodkowej F od i składowej normalnej F n siły ciężkości mg: R F n F s Łatwo zauważyd, że: i pamiętamy, że: mg v Podstawiamy i mamy: Zdając sobie sprawę z tego, że ze wzrostem kąta rośnie prędkośd zsuwania v szukamy zależności między tymi wielkościami. Skorzystamy z zasady zachowania energii porównując początkową energię potencjalną ciała w najwyższym punkcie kuli z energią mechaniczną w momencie oderwania: Zauważmy też, że: Po prostych przekształceniach otrzymujemy: a po wstawieniu do bilansu energii: Porównując ten rezultat z wcześniejszym równaniem dla v 2 dostajemy:
Odp. Zsuwające się po powierzchni kuli ciało oderwie się gdy jego promień wodzący zakreśli kąt. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ***