Pęd układu. r r r. Zderzenia oraz zasada zachowania pędu

Transkrypt

1 Praca i energia. Zasada zachowania energii mechanicznej. Środek masy. Lista zadań nr 3 dla potoku A i B SKP oraz kierunku IŚ Wydziału IŚ PWr; rok ak. 2008/09 Praca Uwaga: Zadania w tej części rozwiązujemy przy pomocy twierdzenia o pracy i energii kinetycznej lub zasady zachowania energii mechanicznej. Zad.1 Jaką prędkość początkową v 0 trzeba nadać ciału o masie m, aby wjechało na szczyt równi o długości d i kącie nachylenia α jeżeli współczynnik tarcia wynosi f? Oblicz czas t trwania ruchu. Przyspieszenie ziemskie g dane. Wykonać rysunek. Zad. 2 Blok o masie m = 15 kg jest przesuwany po poziomej powierzchni pod działaniem siły F = 70 N skierowanej pod kątem 30 o do poziomu. Blok przesunięto o s = 5 m, a współczynnik tarcia f = 0,25. Obliczyć pracę: a) siły F; b) składowej pionowej wypadkowej siły działającej na blok; c) siły grawitacji; d) siły tarcia. Zad.3 Klocek o masie m = 0,7 ześlizguje się z równi pochyłej o długości 6 m i kącie nachylenia 30 o, a następnie zaczyna poruszać się po poziomej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia na równi i poziomej powierzchni wynosi f = 0,2. Jaka jest prędkość klocka na końcu równi oraz po przebyciu drogi 1 m po poziomej powierzchni? Jaką odległość przebędzie klocek do momentu zatrzymania się? Zad. 4. Auto o masie 1500 kg rusza i przyspiesza jednostajnie do prędkości 10 m/s w czasie 3 sekund. Obliczyć: a) pracę wykonaną nad autem; b) średnią moc silnika w pierwszych 3 sekundach ruchu; c) moc chwilową dla t = 2 sekundy. Zad. 5. Paciorek nadziany na drut ślizga się bez tarcia po nachylonym drucie zakończonym pętlą (patrz rysunek obok) o promieniu R. Jeśli H = 3,5 R, to jaką prędkość ma paciorek w najwyższym punkcie pętli? Ile wynosi nacisk paciorka na drut w najniższym i najwyższym punkcie pętli? Zad. 6. Ciało znajdujące się na wysokości h rzucono pionowo do góry z prędkością 5 m/s. Prędkość końcowa ciała wyniosła 25 m/s. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H wzniosło się to ciało? Jakie będą prędkości tego ciała na wysokościach H/4 i h/4? Zad. 7. Kamień rzucono pionowo do góry. Mija on punkt A z prędkością v, a punkt B, leżący 3 m wyżej niż A, z prędkością v/2. Oblicz: a) prędkość v, b) maksymalną wysokośc wzniesienia się ciała ponad punkt B. Zad. 8. Auto o masie 1500 kg rusza i przyspiesza jednostajnie do prędkości 10 m/s w czasie 3 sekund. Obliczyć: a) pracę wykonaną nad autem; b) średnią moc silnika w pierwszych 3 sekundach ruchu; c) moc chwilową dla t = 2 sekundy. 1

2 Zad. 9. Dwie masy m i M (patrz rysunek obok) są połączone nieważką nicią przewieszoną przez nieważki krążek. Stosując zasadę zachowania energii mechanicznej wyznaczyć prędkość V masy m w momencie, gdy jej środek masy podniesie się na wysokość H. Założyć, że krążek nie obraca się, a nić ślizga się po jego powierzchni bez tarcia. Jaka będzie ta prędkość ciała m, jeśli odstąpimy od założenia o idealnie gładkiej powierzchni krążka i przyjmiemy, że na drodze H praca sił tarcia będzie równa W? Zad. 10. Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość v 0 = 5 m/s. Ciało uderzyło w ziemie z prędkością 35 m/s. Ile wynosi H? Jaką prędkość miało to ciało po przebyciu drogi H/6? Zad. 11. Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = (7,6i + 6,1j). Jaka jest maksymalna wysokość rzutu? Jaka była prędkość wyrzutu? Z jaką prędkością kamień spadł na ziemię? Zad 12. Wartość prędkości początkowej kamienia rzuconego ukośnie jest 5 razy większa od jego prędkości w najwyższym punkcie toru. Pod jakim katem wyrzucono kamień? Zad. 13. Balon porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym na wysokości H = 2 km z prędkością u = 20 m/s. Z balonu wyrzucono metalową kulkę nadając jej prędkość poziomą 5 m/s względem balonu w chwili, gdy przelatywał nad punktem A płaskiego terenu. Wyznaczyć prędkości kulki na wysokości 2H/3. Rozpatrzyć dwa przypadki rzutu: w kierunku ruchu balonu i w kierunku przeciwnym do jego prędkości chwilowej. Zad. 14. Ciało o masie 0,5 kg ślizga się po poziomym chropowatym torze kołowym o promieniu 2 m. Jego prędkość początkowa wynosiła 8 m/s, a po jednym pełnym obrocie spadła do wartości 6 m/s. Wyznaczyć pracę sił: a) tarcia, b) dośrodkowej. Obliczyć współczynnik tarcia. Po jakim czasie ciało to się zatrzyma? Ile wykona obrotów do zatrzymania się? Zad. 15. Rozciągnięcie sprężyny o 10 cm wymaga pracy 4 J. Ile potrzeba pracy, aby rozciągnąć tę sprężynę do 20 cm? Ws-ka: wartość pracy wykonanej nad sprężyną o współczynniku sprężystości k rozciągniętej o x wynosi kx 2 /2. Zad. 16. Kula o masie 0,005 kg i prędkości 600 m/s zagłębiła się w drewnie na głębokość 2 cm. Wyznaczyć średnią wartość siły oporu działającej w drewnie na kulkę. Zakładając, że siła oporu jest stała, obliczyć czas hamowania kulki. Z jaką przemianę energii mamy w tym zjawisku do czynienia? Zad. 17. Współczynnik tarcia miedzy masą m (patrz rysunek obok) a podłożem wynosi 0,2. Jeśli początkowo oba ciała spoczywają ruszą, to ile wynosi prędkość obu mas po przebyciu przez M drogi 0,6 m? Masę nici i krążka zaniedbujemy. Nitka ślizga się po krążku bez tarcia 2

3 Zad. 18. Jaką pracę wykonał silnik pociągu elektrycznego o masie m = 100 ton, który poruszając się ruchem jednostajnie przyspieszonym w czasie t = 15s uzyskał prędkość v = 108km h. Efektywny współczynnik tarcia wynosi f = 0, 05 a przyspieszenie ziemskie przyjąć równe 2 g = 10m s. Zad. 19. Ciało o masie m = 2 kg zsuwa się po równi pochyłej ze stałą prędkością v = 0,25m s. Współczynnik tarcia wynosi f = 0, 5. Oblicz moc siły zsuwającej ciało. Zad. 20. Sanki ześlizgują się z pagórka, którego zbocze ma długość d = 10 m i jest nachylone pod kątem α = 30 do poziomu. Jaką odległość x przebędą sanki na odcinku poziomym po zjechaniu ze zbocza, jeżeli na całej drodze współczynnik tarcia wynosi f = 0,2? Zad. 21. W najwyższym punkcie kuli o promieniu R znajduje się małe ciało w położeniu równowagi chwiejnej. Przy najmniejszym wychyleniu z tego położenia ciało zacznie się zsuwać po powierzchni kuli. Wyznacz kąt α jaki zatoczy promień kuli do miejsca oderwania się R α R v Środek masy Zad. 22. Na rysunku przedstawiono ułożenie czterech ciał o jednakowej masie równej 1kg. Wyznacz położenie środka masy tego układu. Zad. 23. Dwa klocki poruszają się po płaskim stole wzdłuż tej samej prostej. Klocek A ma masę m A i porusza się z prędkością v A, a klocek B o masie m B porusza się z prędkościa v B w kierunku przeciwnym do ruchu klocka A. Z jaką prędkością przemieszcza się środek masy układu składającego się z obu klocków? 3

4 Zad. 24. Dwie cienkie jednorodne blachy, jedną w kształcie kwadratu o boku 1m, a drugą w kształcie prostokąta o długości 2m i szerokości 1m, ułożono na stole tak jak to pokazano na rysunku. Wyznacz współrzędne środka masy układu blach. Zad. 25. Środek masy układu pięciu kulek miedzianych porusza się ze stałą prędkością o wartości v=3m/s. Jaką wartość ma suma wektorowa sił zewnętrznych działająca na ten układ, jeżeli masa każdej z kul jest równa 0.2 kg? Zad. 26. Z jednorodnej blachy o grubości 5 mm wycięto dwa kawałki w kształcie trójkąta równobocznego o boku 5 cm. Trójkąty te ułożono tak jak przedstawiono to na rysunku. Wyznaczyć położenie środka masy układu. Zad. 27. Dwaj chłopcy o masach m 1 = 77 kg i m 2 = 63 kg, stojący na łyżwach na lodowisku w odległości l = 7 m od siebie, trzymają końce napiętej linki równoległej do osi OX. a) Oblicz współrzędną x środka masy układu chłopców. Przyjmij, że chłopiec o masie m 1 znajduje się w początku układu współrzędnych, a linka jest nieważka. b) W pewnej chwili lżejszy chłopiec zaczyna ciągnąć za koniec linki. Czy położenie środka masy układu w chwili zderzenia chłopców ulegnie zmianie, gdy pominiemy tarcie? Oblicz, jaką drogę przejedzie ten chłopiec od startu aż do zderzenia ze swoim kolegą. c) Oblicz wartości przyspieszeń chłopców podczas ich ruchu w układzie odniesienia związanym z lodowiskiem, jeśli siła napięcia linki miała stałą wartość równą F = 90 N. d) Oblicz (w układzie lodowiska) maksymalną szybkość każdego z chłopców tuż przed zderzeniem. e) Ile wyniosą wartości przyspieszeń chłopców, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego między łyżwami a lodem wynosi f k = 0,04. f) Czy w przypadku występowania tarcia pęd układu chłopców podczas zbliżania się będzie ulegał zmianie? Uzasadnij odpowiedź. Zad. 28. Ciało o masie 2 kg znajduje się początkowo na wierzchołku równi o masie 8 kg, wysokości 2 m i długości poziomej podstawy 6 m mogącej poruszać się po poziomej idealnie gładkiej powierzchni. Wyznaczyć położenie równi w momencie, gdy ciało osiągnie koniec równi. Zad. 29. Sternik o masie 45 kg stoi na pokładzie niezacumowanej żaglówki o masie 450 kg i długości 7 m, nieruchomo spoczywającej na powierzchni jeziora. Sternik rozpoczyna spacer po pokładzie z prędkością 1 m/s w względem żaglówki przechodząc od jej przodu na rufę. Jak daleko względem brzegu przemieści się żaglówka, a jak sternik? 4

5 Zad. 30. Naturalna cząsteczka wody zawiera atom tlenu 16 O 8 oraz dwa atomy wodoru, co pokazuje rysunek obok. Odległość między atomem tlenu i wodoru wynosi 0,1 nm, a kąt między wiązaniami wodoru z atomem tlenu jest równy 106 o. Wyznaczyć położenie środka masy cząsteczki wody umieszczając początek układu odniesienia w środku atomu tlenu i przyjmując za oś OX kierunek linii przerywanej umieszczonej na rysunku. Masa atomu wodoru to 16 u (u = kg jednostka masy atomowej), a atomu wodoru 2 u. Pęd układu r r r Zad. 31. Wyznacz pęd klocka o masie 1 kg poruszającego się z prędkością v = 5i + 4 j [m/s]. Zad. 32. Wyznacz zmianę pędu klocka o masie 1 kg poruszającego się z przyspieszeniem r r r a = 3i + 4 j [m/s], jaką uzyskuje on po 10s ruchu. Zad. 33. Piłka po odbiciu od podłogi wzniosła się na wysokość 1 m. Z jaką siłą zadziałała ona na podłogę, jeżeli czas zderzenia wynosił 0.1 s. Masa piłki m = 0.4 kg. Zderzenia oraz zasada zachowania pędu Zad. 34. Człowiek o masie m 1 = 60kg, biegnący z prędkością v 1 = 8km h, dogania wózek o masie 90 kg, który jedzie z prędkością v 2 = 4 km h i wskakuje na ten wózek; a) z jaką prędkością będzie poruszał się wózek z człowiekiem? b) Jaka będzie prędkość wózka z człowiekiem w przypadku, gdy człowiek będzie biegł naprzeciw wózka? Zad. 35. Na poziomo poruszający się z prędkością v = 10m s wózek o masie m 1 = 5kg spadła pionowo cegła o masie m 2 = 3kg. Ile wynosiła po tym prędkość wózka i cegły? Zad. 36. Ołowiany pocisk o masie 0,1 kg lecąc poziomo uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie 50 kg i grzęźnie w nim. Po zderzeniu wózek odjeżdża z prędkością 1 m/s. Jaka była prędkość pocisku przed zderzeniem. Zad. 37. W spoczywający na idealnie gładkim stole klocek o masie M = 0,5kg uderza poruszający się poziomo z prędkością v = 500m s pocisk o masie m = 0,01kg. Przebiwszy klocek pocisk porusza się dalej ze zmniejszoną prędkością v 1 = 300m s. Ile wynosi prędkość u klocka po uderzeniu przez pocisk? Zad. 38. W spoczywający na stole klocek o masie M = 0,5kg uderzył poruszający się poziomo z prędkością v = 500m s pocisk o masie m = 0,01kg i utkwił w nim na skutek czego klocek zaczął się poruszać. Jaką drogę s przebył klocek do zatrzymania się jeżeli współczynnik tarcia klocka o podłoże wynosi f = 0, 2? 5

6 Zad. 39. Granat lecący w pewnej chwili z prędkością v = 10m s rozerwał się na dwa odłamki. Większy odłamek, którego masa stanowiła w = 60% masy całego granatu, kontynuował lot w pierwotnym kierunku, lecz ze zwiększoną prędkością v 1 = 25m s. Znaleźć kierunek i wartość prędkości mniejszego odłamka. Zad. 40. Pocisk o masie m lecący z prędkością v trafia w nieruchomy wagon naładowany piaskiem i grzęźnie w nim. Obliczyć prędkość u wagonu po tym zdarzeniu. Masa wagonu z piaskiem wynosi M. Zad. 41. Ołowiany pocisk o masie m lecąc poziomo z prędkością v uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie M (patrz rysunek obok). Przebiwszy warstwę piasku pocisk porusza się dalej z prędkością u 1. Jaka była prędkość u 2 wózka tuż po zderzeniu? Ile wynosi efektywny współczynnik tarcia f wózka o podłoże jeżeli po zderzeniu wózek przebył do zatrzymania drogę s? m v M u 2 u 1 Zad. 42. Od dwustopniowej rakiety o masie M = 1200 kg, po osiągnięciu szybkości v = 200m s, oddzielił się pierwszy stopień o masie m = 700 kg. Jaką szybkość osiągnął drugi stopień rakiety, jeśli szybkość pierwszego stopnia zmalała w wyniku tej operacji do v 1 = 150m s? Zad. 43. Masa startowa rakiety (z paliwem) wynosi m 1 = 2kg. Po wyrzuceniu paliwa o masie m 2 = 0,4 kg rakieta wznosi się pionowo na wysokość h = 1000 m. Oblicz prędkość wyrzuconego paliwa. Zad. 44. Granat lecący z prędkością 10 m/s rozerwał się na dwa odłamki o jednakowej masie. Po rozerwaniu jeden z nich na moment zatrzymał się a następnie spadł pionowo w dół. Znaleźć prędkość drugiego odłamka tuż po rozerwaniu. Zad. 45. Piłka o masie m = 100g uderza w ścianę z prędkością v = 5 m/s pod kątem α i odbija się od niej doskonale sprężyście. a) Narysuj wektor zmiany pędu piłki p. b) Oblicz wartość wektora zmiany pędu. c) Na podstawie rysunku wykonanego w punkcie a) zadania podaj kierunek i zwrot siły, którą ściana działa na piłkę i którą piłka działa na ścianę. Zad. 46. Łyżwiarz o masie M = 80 kg, stojący na zamarzniętym jeziorze rzuca kamień o masie m = 400g poziomo w kierunku brzegu. W momencie rzutu ręka łyżwiarza znajdowała się na wysokości h = 2 m. Kamień upada na brzeg w odległości s = 15 m od łyżwiarza. Jaka pracę wykonał łyżwiarz? Zad. 47. Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości stykają się. Kula o masie M zostaje odchylona od pionu tak, że jej środek ciężkości wznosi się na wysokość h zostaje puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wzniesie się ta kula po zderzeniu doskonale niesprężystym z drugą kulą. Masa drugiej kuli wynosi m. Zad. 48. Z działa o masie M następuje wystrzał pocisku o masie m pod kątem α do poziomu. Oblicz prędkość, z jaką działo zostaje odrzucone wstecz, jeżeli prędkość pocisku względem ziemi wynosi v. 6

7 Zad. 49. Poziomo lecący strumień wody uderza o ścianę i spływa po niej swobodnie. Prędkość strumienia wynosi v, a jego pole przekroju poprzecznego S. Wyznaczyć siłę z jaką ten strumień działa na ścianę. Zad. 50. Piłka o masie m uderza pod kątem α o doskonale gładką ścianę i odbija się od niej doskonale sprężyście. Znaleźć średnią siłę F z jaką ściana działa na piłkę. Prędkość padającej piłki v, a czas zderzenia t. Zad. 51. Obliczyć ciśnienie wywierane na ścianę przez strumień cząstek poruszających się z prędkością v. Zderzenie kulek ze ścianą jest doskonale sprężyste. Kąt między strumieniem padającymi prostopadłą do ściany wynosi α. Koncentracja cząstek w strumieniu jest równa n. Zad. 52. Kulka o masie 0,25 kg lecąca poziomo z prędkością v 1 = (14, 0, 0), zderza się centralnie idealnie sprężyście z kulką o masie 0,4 kg lecącej poziomo po tej samej prostej z prędkością v 2 = ( 8, 0, 0). Wyznaczyć prędkości (wartości i kierunki) obu kulek po zderzeniu. Zad. 53. Rozwiązać poprzednie zadanie przy założeniu, że zderzenie jest idealnie niesprężyste. Jaka ilość i na co jest tracona początkowa wartość energii kinetycznej kulek? Przy jakich warunkach obie kulki po zderzeniu będą spoczywały? Zad. 54. Spoczywające w początku układu odniesienia jądro atomu nagle rozpada się na 3 części. Znane są następujące dane dotyczące części rozpadu: m 1 = 16, kg, v 1 = (6 10 6, 0, 0) m/s, m 2 = 8, kg, v 2 = (8 10 5, 0, 0) m/s oraz m 2 = 11, kg. Wyznaczyć wektor v 3. Ile wynosi energia kinetyczna uwolniona w tym rozpadzie? Ile potrzeba takich rozpadów w ciągu jednej sekundy, aby wydzielona moc energii kinetycznej była równa 1 megawatowi? Zad. 55. W czasie testów samochodu bada się jego odporność na zderzenia. Samochód o masie 2300 kg i prędkości 15 m/s uderza w podporę mostu. Jaką średnią siłą działa podpora na samochód (a samochód na podporę) w czasie zderzenia trwającego 0,56 s? Zad. 56. (Patrz także zdanie 28) Sternik o masie 45 kg stoi na pokładzie niezacumowanej żaglówki o masie 450 kg i długości 7 m, nieruchomo spoczywającej na powierzchni jeziora. Sternik rozpoczyna spacer po pokładzie z prędkością 1 m/s w względem żaglówki przechodząc od jej przodu na rufę. Z jaką prędkością względem wody porusza się sternik a z jaką żaglówka? Zad. 57. Jednej kuli bilardowej nadano prędkość V kierując ją na 15 innych nieruchomych. W rezultacie zderzeń kul miedzy sobą i z brzegiem masywnego stołu, w pewnym momencie wszystkie kule mają te same prędkości v. Jeśli zaniedbamy ruch obrotowy kul, to ile wynosi stosunek v/v? Zad. 58. Strumień wody z armatki policyjnego samochodu pada na ciało demonstranta. Prędkość wody wynosi 15 m/s. W ciągu sekundy armatka wylewa 10 litrów wody. Woda praktycznie nie odbija się od ciała demonstranta, spływa po nim, a jej gęstość 1000 kg/m 3. Obliczyć średnią wartość siły działającej na ciało demonstranta. Zad. 59. Pocisk lecący poziomo z prędkością v rozpada się na dwie równe części, które dalej lecą poziomo. Jedna część porusza się w przeciwną stronę z taka samą prędkością, jak prędkość pocisku przed rozpadem. Jaka jest prędkość pozostałej części? 7

8 Zad. 60. Stoisz na łyżwach na idealnie gładkiej tafli lodu. Koleżanka/kolega rzuca w Ciebie piłką o masie 0,4 kg, której pozioma prędkość w chwili uderzenia o Twoje ciało o masie 60 kg wynosi 14 m/s. a) Jeśli złapiesz piłkę, to z jaką prędkością będziesz się poruszał? W jakim kierunku? B) Jeśli piłka odbije się od Ciebie i następnie poruszać się będzie w kierunku przeciwnym z poziomą prędkością 8 m/s, to jaka będzie Twoja prędkość? Zad. 61. Ciało A o masie 3 kg zderza się idealnie sprężyście i centralnie z innym nieruchomym ciałem. Ciało A po zderzeniu porusza się w tym samym kierunku ale z prędkością czterokrotnie mniejszą? Jak była masa nieruchomego ciała? Zad. 62. Dwa klocki o masach 2 kg i 5 kg, spoczywające na idealnie gładkiej poziomej powierzchni, łączy ściśnięta sprężyna. Po zwolnieniu sprężyny ciało o mniejszej masie uzyskało prędkość 2 m/s. Jaką prędkość miał drugi klocek? Zad. 63. Neutron zderza się czołowi i idealnie sprężyście ze spoczywającym początkowo jadrem atomu węgla 12 C 6. Jaką część początkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana atomowi węgla? Wyznaczyć energię kinetyczną jądra węgla i neutronu po zderzeniu, jeśli początkowa energia neutronu wynosiła 1, J. Przyjąć w obliczeniach, że masa jądra węgla jest 12 razy większa od masy neutronu. Zad. 64. Podczas legendarnego oblężenia przez Szwedów Jasnej Góry kolubryna o masie własnej 500 kg wystrzeliwała pociski o masie 10 kg z prędkością poziomą 150 m/s przesuwając się przy tym o 2 m. Obliczyć prędkość początkową działa oraz średnią siłę działającą na armatę, zakładając, że ruch armaty jest jednostajnie opóźniony. Zad. 65. Kamizelki kuloodporne są szyte z odpowiednio gęsto utkanych tkanin (dlatego są bardzo ciężkie). Uderzająca w kamizelkę kula stopniowo ale błyskawicznie grzęźnie w splotach tkanin. Przypuśćmy, że pocisk o masie 10,2 g wystrzelono w kierunku człowieka ubranego w kamizelkę. Zależność v(t) prędkości kuli w tkaninach kamizelki zadaje równanie v(t) = a bt, gdzie a = 300 m/s, b = 75 m/(mikrosekunda) 2 dla 0 t 40 µs (mikrosekund). Jakie jest opóźnienie pocisku w kamizelce? Obliczyć: a) zmianę pędu i energii pocisku; b) drogę, na której pocisk zatrzymuje się; c) wartość siły działającej na kamizelkę ze strony grzęznącej w niej kuli. Zad. 66. Wyobraź sobie, że pocisk z poprzedniego zadania uderza w Terminatora stojącego na idealnie gładkiej powierzchni, którego masa wraz z kamizelką wynosi 75 kg. Wyznaczyć średnie przyspieszenie Terminatora w czasie uderzenia trwającego 40 µs oraz jego prędkość po uderzeniu pocisku. Wrocław, 7 XI 2008 Włodzimierz Salejda & Jan Szatkowski 8