M. Nowak, Materia ly do wyk ladu z logiki na kierunkach humanistycznych

M. Nowak, Materia ly do wyk ladu z logiki na kierunkach humanistycznych Pojȩcie znaku Definicja znaku Ch. S. Peirce a: Znak jest to coś, co komuś zastȩpuje coś innego pod pewnym wzglȩdem lub w pewien sposób. Owo coś innego, czyli to, co jest zastȩpowane przez znak, nazywane jest przedmiotem odniesienia dla tego znaku lub przedmiotem, do którego znak siȩ odnosi. Znaki dzieli siȩ m.in. na naturalne i konwencjonalne. Wed lug jednego z kryteriów podzia lu, znaki naturalne to te, które nie s a wytworem ludzkiej cywilizacji; konwencjonalne znaki to te, które nie s a naturalne. Wed lug drugiego kryterium podzia lu, znak naturalny to taki znak, iż miȩdzy nim a jego przedmiotem odniesienia wystȩpuje naturalny zwi azek, tzn. nie ustalony na mocy konwencji. Znak konwencjonalny to znak, którego zwi azek z przedmiotem odniesienia ustalony jest na podstawie jakiejś umowy (niekoniecznie spisanej czy uświadamianej). Na przyk lad, ból po prawej dolnej stronie brzucha jest, wed lug pierwszego jak i drugiego kryterium znakiem naturalnym (objawem, symptomem) zapalenia wyrostka robaczkowego. Wyrażenie kot jest wed lug obu kryteriów znakiem konwencjonalnym. Znaki konwencjonalne zwane s a symbolami. Definicja znaczenia znaku K. Ajdukiewicza. Znaczenie znaku to, wed lug K. Ajdukiewicza, sposób rozumienia znaku, zależny od m.in. nastȩpuj acych czynników: (1) typu przedmiotów odniesienia dla znaku, (2) sposobu kojarzenia przedmiotów odniesienia ze znakiem, (3) nastawienia uczuciowego do przedmiotów odniesienia. Dysponuj ac pojȩciem znaku można definiować specjalne systemy znaków jakimi s a jȩzyki. Pojȩcie jȩzyka Jȩzyk wed lug lingwistyki matematycznej: Przez jȩzyk o s lowniku Σ rozumiemy dowolny niepusty zbiór skończonych ci agów symboli z Σ. Dowolny ci ag symboli należ acy do jȩzyka nazywamy wyrażeniem tego jȩzyka. S lownik jest to dowolny niepusty zbiór symboli. Jȩzyk polski jest pewnym zbiorem skończonych ci agów symboli. Symbolem jest tu pojedyńczy wyraz lub znak interpunkcyjny, zaś s lownikiem zbiór wszystkich wyrazów oraz znaków interpunkcyjnych. 1

Kategorie syntaktyczne w jȩzyku naturalnym (etnicznym) W literaturze istnieje precyzyjna, lecz nieoperacyjna (tzn. niestosowalna w pewnych przypadkach) definicja kategorii (typu syntaktycznego) wedug K. Ajdukiewicza: Definicja kategorii syntaktycznej Mówimy, że wyrażenia A i B danego jȩzyka należ a do tej samej kategorii syntaktycznej (lub s a tego samego typu syntaktycznego), gdy z dowolnego wyrażenia W (A), którego w laściwym sk ladnikiem jest A, po zamianie wyrażenia A na wyrażenie B, otrzymujemy ci ag symboli W (B) bȩd acy wyrażeniem tego jȩzyka. Przyk lad. Wyrażenia jȩzyka polskiego: lub, cz lowiek nie s a tego samego typu. Np. wyrażenie W (cz lowiek) postaci: Jan Kowalski jest cz lowiekiem staje siȩ po zamianie wyrażenia cz lowiek na wyrażenie lub ci agiem W (lub): Jan Kowalski jest lub, który nie jest wyrażeniem jȩzyka polskiego. Definicja kategorii syntaktycznej pozwala, jak widać, na ustalenie, że dane dwa wyrażenia nie należ a do tej samej kategorii. Nie pozwala jednak na ustalenie, czy dwa wyrażenia należ a do tej sanej kategorii, w przypadku gdy pos luguj ac siȩ wielokrotnie t a definicj a, nie wykazujemy, że nie należ a do tej samej kategorii. W jȩzyku etnicznym wyróżnia siȩ dwie podstawowe kategorie syntaktyczne: nazwy i zdania oraz kategorie pochodne: funktorowe i operatorowe. Nazwy Z powodu nieoperacyjności definicji typu syntaktycznego wprowadza siȩ, niezależnie od niej, definicjȩ typu wyrażeń zwanych nazwami. Definicje nazwy, desygnatu nazwy, jej zakresu i treści Nazwa jest w to wyrażenie mog ace pe lnić funkcjȩ podmiotu lub orzecznika w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym. Desygnat nazwy jest to przedmiot, do którego nazwa ta siȩ odnosi lub inaczej przedmiot oznaczany przez nazwȩ. Zakres nazwy to zbiór wszystkich jej desygnatów. Treść nazwy to jakikolwiek zbiór cech desygnatów tej nazwy taki, że wszystkie cechy z tego zbioru przys luguj a każdemu desygnatowi nazwy oraz jeżeli wszystkie cechy z tego zbioru przys luguj a jakiemuś obiektowi, to obiekt ten jest desygnatem tej nazwy. Wielkość zakresu nazwy jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości treści nazwy, w takim oto sensie: jeżeli treść jednej nazwy jest podzbiorem treści drugiej, to zakres drugiej nazwy jest podzbiorem zakresu tej pierwszej. Bowiem, przy za lożeniu inkluzji treści pierwszej nazwy w treści drugiej nazwy, dowolnemu desygnatowi drugiej nazwy przys luguj a wszystkie cechy należ ace do treści pierwszej nazwy, zatem z definicji pojȩcia treści, musi on być desygnatem pierwszej nazwy; dowodzi to inkluzji zakresu drugiej nazwy w zakresie pierwszej. 2

Ze wzglȩdu na ilość desygnatów, nazwy dzielimy na ogólne, jednostkowe, puste. Nazwa maj aca wiȩcej niż jeden desygnat nazywana jest ogóln a, ta, która ma dok ladnie jeden desygnat nazywana jest jednostkow a, wreszcie ta, która nie ma desygnatów nazywana jest pust a. Ze wzglȩdu na wielkość treści, nazwy dzielimy na indywidualne maj ace treść pust a, oraz generalne których treść jest niepustym zbiorem. Np. nazwa Wis la jest w każdym ze swoich znaczeń nazw a indywidualn a, tymczasem nazwa najd luższa rzeka w Polsce jest generalna, choć również jak Wis la jednostkowa. Logika nazw S lownik jȩzyka logiki nazw zawiera nastȩpuj ace symbole: S, M, P, S 1, M 1, P 1, S 2, M 2, P 2,... - zmienne nazwowe a, e, i, o - funktory zdaniotwórcze od dwóch argumentów nazwowych Jȩzyk: Każdy ci ag symboli ze s lownika postaci: XuY, gdzie X, Y s a zmiennymi nazwowymi, a u jest jednym z czterech funktorów ze s lownika, jest formu l a jȩzyka logiki nazw i tylko takie ci agi s a formu lami tego jȩzyka. Zmienne nazwowe reprezentuj a dowolne nazwy ogólne z jȩzyka etnicznego. Formu la: SaP, reprezentuje funkcjȩ zdaniow a: każde S jest P, bȩd ac a schematem tzw. zdania ogólnotwierdz acego (np. każda ryba jest drapieżnikiem ) Formu la: SeP, reprezentuje funkcjȩ zdaniow a: żadne S nie jest P, bȩd ac a schematem tzw. zdania ogólnoprzecz acego (np. żadna ryba nie jest drapieżnikiem ) Formu la: SiP, reprezentuje funkcjȩ zdaniow a: niektóre S s a P, bȩd ac a schematem tzw. zdania szczegó lowotwierdz acego (np. niektóre ryby s a drapieżnikami ) Formu la: SoP, reprezentuje funkcjȩ zdaniow a: niektre S nie s a P, bȩd ac a schematem tzw. zdania szczegó lowoprzecz acego (np. niektóre ryby nie s a drapieżnikami ). Semantyka: Niech V bȩdzie przyporz adkowaniem każdej zmiennej nazwowej X dok ladnie jednego, lecz dowolnego zbioru wiȩcej niż 1-elementowego, oznaczanego tu w postaci V (X). (Domyślnie, jeśli zmienna X reprezentuje dan a nazwȩ, to V (X) jest zakresem tej nazwy.) Przyporz adkowanie V nazwiemy wartościowaniem. Aby określić sposób przyporz adkowania wartości logicznych prawdy lub fa lszu dowolnej formule jȩzyka logiki nazw, zdefiniujmy dwa znane stosunki miȩdzy zbiorami: 3

Zbiór A jest podzbiorem zbioru B (A B), gdy dla dowolnego obiektu b, jeżeli b jest elementem zbioru A (b A), to b jest elementem zbioru B (b B). Zbiory A, B s a roz l aczne, gdy nie istnieje obiekt b taki, że b A oraz b B, czyli, gdy zbiory te nie maj a wspólnego elementu. Dla dowolnego wartościowania V, dla dowolnych zmiennych nazwowych X, Y, powiemy, że formu la XaY jest prawdziwa przy wartościowaniu V, gdy V (X) jest podzbiorem zbioru V (Y ), formu la XeY jest prawdziwa przy wartościowaniu V, gdy zbiory V (X), V (Y ) s a roz l aczne, formu la XiY jest prawdziwa przy wartościowaniu V, gdy zbiory V (X), V (Y ) nie s a roz l aczne, formu la XoY jest prawdziwa przy wartościowaniu V, gdy V (X) nie jest podzbiorem zbioru V (Y ). Zauważmy, że zachodzi prosty zwi azek: dla dowolnego wartościowania V, XaY jest prawdziwa przy V jest fa lszywa (tzn. nie jest prawdziwa) przy V, XeY jest prawdziwa przy V wtw XiY jest fa lszywa przy V. Centralnym pojȩciem jest wynikanie logiczne: wtw XoY Definicja wynikania logicznego Mówimy, że ze zbioru formu l Z wynika logicznie formu la α (Z = α), gdy dla każdego wartościowania V, przy którym wszystkie formu ly z Z s a prawdziwe, α jest również prawdziwa. Przyk lady. (1) Formu la SaP wynika logicznie ze zbioru formu l {SaM, M ap }. Aby tego dowieść, zak ladamy, że przy jakimś, dowolnie wybranym wartościowaniu V prawdziwe s a formu ly SaM, M ap, co zapisujemy w postaci pierwszych wyrażeń dowodu: rozważmy dowolne wartościowanie V, (1) SaM jest prawdziwa przy V (za lożenie), (2) M ap jest prawdziwa przy V (za lożenie). Po tych za lożeniach celem dowodu jest wykazanie, iż (cel1) formu la SaP jest prawdziwa przy wartościowaniu V. Korzystaj ac z warunku prawdziwości dla formu ly ogólnotwierdz acej specyfikujemy ów cel w postaci: (cel2) V (S) V (P ). Aby go osi agn ać stosujemy definicjȩ stosunku bycia podzbiorem, zatem wykazujemy, że (cel3) dla dowolnego obiektu b, jeżeli b V (S), to b V (P ). 4

Aby go zrealizować za lóżmy, że dowolnie wybrany obiekt b jest elementem zbioru V (S): rozważmy dowolny obiekt b, (3) b V (S) (za lożenie). Teraz celem dowodu staje siȩ wykazanie, że (cel4) b V (P ). Dalsza specyfikacja celw dowodu nie nast api, bowiem bycie elementem ( ) zbioru jest terminem pierwotnym, tzn. nie istnieje jego definicja wyraźna, z której można by korzystać, aby specyfikować dalej cel. Dlatego aby osi agn ać (cel4) korzystamy z informacji (1), (2), (3) w sposób nastȩpuj acy. Na podstawie warunku prawdziwości dla formu ly ogólnotwierdz acej, V (S) jest podzbiorem V (M) oraz V (M) jest podzbiorem zbioru V (P ): (4) V (S) V (M) z (1), (5) V (M) V (P ) z (2) Korzystaj ac z definicji bycia podzbiorem, wyrażenia (4), (5) zamieniamy na (6) dla dowolnego obiektu x, jeżeli x V (S), to x V (M) z (4), (7) dla dowolnego obiektu x, jeżeli x V (M), to x V (P ) z (5). Ostatecznie otrzymujemy: (8) b V (M) z (3), (6), (9) b V (P ) z (8), (7), co kończy dowód. (2) Wykażemy, że {MaP, MaS} = SiP. rozważmy dowolne wartościowanie V, (1) M ap jest prawdziwa przy V (za lożenie), (2) M as jest prawdziwa przy V (za lożenie), (3) V (M) V (P ) z (1), (4) V (M) V (S) z (2), (5) V (M) jest niepustym zbiorem - z warunku semantycznego, wed lug którego zbiór V (X) jest wiȩcej niż 1-elementowy, istnieje obiekt b taki, że (6) b V (M) z (5), (7) b V (P ) z (3), (6), (8) b V (S) z (4), (6), (9) zbiory V (S), V (P ) nie s a roz l aczne - z (8), SiP jest prawdziwa przy V - z (9). (3) Wykazujemy, że formu la SeP wynika logicznie ze zbioru formu l {SaM, M ep }, metod a nie wprost. 5

Dowieść danego zdania (twierdzenia) nie wprost, to za lożyć, że jest ono fa lszywe, czyli za lożyć, że zaprzeczenie tego zdania jest prawdziwe i na tej podstawie, stosuj ac definicje wyrażeń wystȩpuj acych w zdaniu, jak również być może znane twierdzenia, dojść do absurdu. Polega on na wyprowadzeniu (wywnioskowaniu) dowolnej pary zdań, w której jedno zdanie jest zaprzeczeniem drugiego. (1) {SaM, MeP } = SeP (za lożenie) istnieje wartościowanie V takie, że (2) SaM jest prawdziwa przy V z (1), (3) MeP jest prawdziwa przy V z (1), (4) SeP jest fa lszywa przy V z (1), (5) V (S) V (M) z (2), (6) V (M), V (P ) s a roz l aczne - z (3), (7) zbiory V (S), V (P ) nie s a roz l aczne - z (4), istnieje obiekt b taki, że (8) b V (S) z (7), (9) b V (P ) z (7), (10) b V (M) z (8), (5), (11) zbiory V (M), V (P ) nie s a roz l aczne z (9), (10), absurd (6), (11). (4) Aby wykazać, że {MaP, SoM} = SoP należy wskazać takie wartościowanie V, przy ktrym formu ly MaP, SoM s a prawdziwe, zaś formu la SoP jest fa lszywa. Na przyk lad, V (S) = zbiór miast zamieszka lych przez co najmniej 1 mln mieszkańców, V (M) = zbiór stolic krajów, V (P ) = zbiór miast. Definicja prawa logicznego (logicznej prawdziwości lub tautologii) Formu la α jest prawem logicznym (jest logicznie prawdziwa lub jest tautologi a) logiki nazw, gdy α jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu V. Przyk lad. Formu ly SaS, SiS s a logicznie prawdziwe. Dowód pierwszego faktu przebiega nastȩpuj aco: rozważmy dwolne wartościowanie V, (1) V (S) V (S) (na podstawie latwo dowodliwego z definicji bycia podzbiorem, twierdzenia: A A), (2) SaS jest prawdziwa przy V z (1). Definicja sprzecznego zbioru formu l Zbiór formu l Z nazywamy niesprzecznym wed lug logiki nazw, gdy istnieje wartościowanie V, przy którym każda formu la ze zbioru Z jest prawdziwa. Zbiór formu l jest sprzeczny, gdy nie jest niesprzeczny. Przyk lady (1) Zbiory formu l {SaP, SoP }, {SeP, SiP }, {SoS} s a sprzeczne. Dowód nie wprost pierwszego faktu przebiega nastȩpuj aco: (1) zbiór formu l {SaP, SoP } jest niesprzeczny (za lożenie), istnieje wartościowanie V takie, że (2) formu la SaP jest prawdziwa przy V z (1), 6

(3) formu la SoP jest prawdziwa przy V z (1), (4) V (S) V (P ) z (2), (5) V (S) V (P ) z (3), absurd (4),(5). (2) Aby wykazać, że zbiór formu l {SeM, MaP, SiP } jest niesprzeczny, należy wskazać takie wartościowanie V, przy którym wszystkie formu ly z tego zbioru s a prawdziwe, np. V (S) = zbiór krów, V (M) = zbiór koni, V (P ) = zbiór zwierz at roślinożernych. Zdania Nie każde zdanie z jȩzyka etnicznego zaliczane jest do kategorii zdań. Należ a do niej wy l acznie zdania oznajmuj ace, prawdziwe b adź fa lszywe. Kategoriȩ zdań dzielimy na zdania proste i z lożone, lecz kryterium tego podzia lu nie jest liczba wystȩpuj acych w zdaniu orzeczeń (jak w gramatyce), ale wystȩpowanie tzw. spójnika (funktora zdaniotwórczego od argumentów zdaniowych). Zdanie, w którym nie wystȩpuje spójnik nazywamy prostym, zdanie, które nie jest proste, nazywamy z lożonym. Najważniejszy typ zdań prostych stanowi a zdania podmiotowo-orzecznikowe, tzn. zdania postaci: a jest P, gdzie a jest podmiotem, zaś P orzecznikiem, np. Jan Kowalski jest studentem. Wsród zdań z lożonych wyróżnia siȩ m.in. zdania negacyjne, postaci: nieprawda, że A, koniunkcyjne: A i B, alternatywne: A lub B, implikacyjne: jeżeli A, to B, równoważnościowe: A wtedy i tylko wtedy, gdy B, gdzie A, B s a dowolnymi zdaniami. Funktory Mamy nie jedn a, lecz wiele tzw. kategorii funktorowych, do ktrych należ a funktory Definicja funktora Funktor jest to wyrażenie s luż ace do tworzenia wyrażeń z lożonych z mniej z lożonych. Wyrażenie z lożone uzyskujemy z wyrażeń mniej z lożonych przez do l aczenie do nich funktora. Wyrażenia, które do l aczamy do funktora nazywamy jego argumentami. Aby wygodnie przedstawić kategorie syntaktyczne funktorowe, przyporz adkowuje siȩ każdej kategorii syntaktycznej odpowiedni wskaźnik. Kategorii nazw przyporz adkowujemy wskaźnik: n, zaś kategorii zdań z. Wówczas każdej kategorii funktorowej przyporz adkowany jest wskaźnik postaci u lamka, w liczniku którego wystȩpuje wskaźnik kategorii wyrażenia z lożo- 7

nego powsta lego przez do l aczenie do funktora argumentów, zaś w mianowniku wystȩpuj a wskaźniki (odzielone przecinkami) kategorii, do których należ a argumenty. Najważniejsze kategorie funktorowe: n n funktory nazwotwórcze od jednego argumentu nazwowego, czyli wyrażenia, które do l aczone do jednej nazwy tworz a now a nazwȩ, np. wysoki, ladny,, n n,n funktory nazwotwórcze od dwóch argumentów nazwowych, czyli wyrażenia, które do l aczone do dwóch nazw tworz a now a nazwȩ, np. nad, pod, +, z n funktory zdaniotwórcze od jednego argumentu nazwowego, czyli wyrażenia, które do l aczone do jednej nazwy tworz a zdanie, np. świeci, jest cz lowiekiem, z n,n funktory zdaniotwórcze od dwóch argumentów nazwowych, czyli wyrażenia, które do l aczone do dwóch nazw tworz a zdanie, np. kocha, lubi, z z funktory zdaniotwórcze od jednego argumentu zdaniowego, czyli wyrażenia, które do l aczone do jednego zdania tworz a nowe zdanie, np. nieprawda, że, jest konieczne, że, z z,z funktory zdaniotwórcze od dwóch argumentów zdaniowych, czyli wyrażenia, które do l aczone do dwóch zdań tworz a nowe zdanie, np. i, lub, jeżeli,to, wtedy i tylko wtedy, gdy. Definicje predykatu i spójnika Funktory zdaniotwórcze od jednego lub wiȩkszej ilości argumentów nazwowych nazywamy predykatami. Funktory zdaniotwórcze od jednego lub wiȩkszej ilości argumentów zdaniowych nazywamy spójnikami. Istotn a rolȩ w logice klasycznej odgrywaj a tzw. spójniki ekstensjonalne (prawdziwościowe). Aby je przedstawić, dobrze jest wystartować od koncepcji znaczenia wyrażenia autorstwa Gottloba Fregego. Znaczenie wyrażenia wed lug Gottloba Fregego G. Frege (1848-1925) - niemiecki matematyk i filozof, odkrywca aksjomatycznej wersji klasycznej logiki zdaniowej; autor semantycznych rozstrzygniȩć ustalaj ach typy odniesień i sensów dla wyrażeń nasyconych, czyli nazw i zdań oraz nienasyconych, czyli funktorów; twórca koncepcji znaczenia kwantyfikatorów jako specjalnych w lasności przys luguj acych innym w lasnościom; zwróci l uwagȩ na pewne zjawisko jȩzykowe, zwane później intensjonalności a; twórca tzw. logicyzmu, czyli pogl adu, wed lug którego pojȩcia matematyczne s a sprowadzalne do (definiowalne przez) pojȩć logiki, a w rezultacie, iż twierdzenia matematyczne 8

s a wyprowadzalne z zasad logiki. Definicja znaczenia, denotacji i sensu wyrażenia wed lug G. Fregego Znaczenie dowolnego wyrażenia A jest określone przez dwa komponenty: denotacjȩ tego wyrażenia: D(A) oraz sens tego wyrażenia: S(A). D(A) jest obiektem, do którego wyrażenie A siȩ odnosi, tzn. jest tym bytem, dla którego A jest znakiem. S(A) jest sposobem, w jaki denotacja wyrażenia A jest ustalana. Znajomość sensu wyrażenia jest niezbȩdnym, choć na ogó l niewystarczaj acym warunkiem ustalenia denotacji tego wyrażenia. Gdy wyrażenie A jest nazw a, denotacja D(A) jest jej desygnatem b adź zakresem. (Frege przez nazwȩ rozumia l takie wyrażenie, które we wspó lczesnej literaturze polskiej nazywane jest nazw a jednostkow a lub nazw a pust a o intencji jednostkowej.) Sens S(A) zazwyczaj jest utożsamiany z treści a nazwy A. Gdy wyrażenie A jest zdaniem, denotacja D(A) jest wartości a logiczn a tego zdania, czyli Prawd a (1), b adź Fa lszem (0). Wed lug Fregego zdania oznajmuj ace odnosz a siȩ do Prawdy b adź Fa lszu. Sens S(A) zdania A jest myśl a w zdaniu A wyrażon a, zwan a inaczej s adem w sensie logicznym. Zasada kompozycyjności denotacji G. Fregego Denotacja wyrażenia z lożonego jest jednoznacznie określona przez denotacje wyrażeń sk ladowych tego wyrażenia. Innymi s lowy, jeżeli W (A) jest wyrażeniem z lożonym, w którym wyrażenie A jest sk ladnikiem oraz B jest wyrażeniem o tej samej denotacji co wyrażenie A, to wyrażenie W (B), powsta le przez zast apienie wyrażenia A w W (A) wyrażeniem B, ma tȩ sam a denotacjȩ co wyrażenie W (A). Przyk lady (1) W (A) := Warszawa jest stolic a Polski D(W (A)) = 1 A := Warszawa B := najwiȩksze miasto w Polsce D(A) = D(B) W (B) := Najwiȩksze miasto w Polsce jest stolic a Polski, D(W (B)) = 1 D(W 1 (A 1 )) = D(W 1 (B 1 )). (2) W 1 (A 1 ) := Jest konieczne, że Warszawa jest stolic a Polski D(W 1 (A 1 )) = 0 A 1 := Warszawa jest stolic a Polski B 1 := Każdy kwadrat jest prostok atem D(A 1 ) = D(B 1 ) = 1 W 1 (B 1 ) := Jest konieczne, że każdy kwadrat jest prostok atem D(W 1 (B 1 )) = 1 D(W 1 (A 1 )) D(W 1 (B 1 )) 9

Definicja funktora ekstensjonalnego i intensjonalnego Funktor n-argumentowy F nazywamy ekstensjonalnym, gdy dla dowolnych jego argumentów A 1, A 2,..., A n, denotacja D(F (A 1, A 2,..., A n )) wyrażenia z lożonego F (A 1, A 2,..., A n ), powsta lego przez do l aczenie funktora F do argumentów A 1, A 2,..., A n, jest jednoznacznie określona przez denotacje D(A 1 ), D(A 2 ),..., D(A n ) tych argumentów. Funktor nazywamy intensjonalnym, gdy nie jest on ekstensjonalny. Zatem funktor n-argumentowy F jest intensjonalny, gdy istniej a jego argumenty A 1, A 2,..., A n oraz argument B tego samego typu co argument A i dla pewnego i = 1, 2,..., n takie, że D(B) = D(A i ) oraz D(F (A 1, A 2,..., A i,..., A n )) D(F (A 1, A 2,..., B,..., A n )) Przyk lady. Funktor dawny typu n n jest intensjonalny: F := dawny A := senator Rzeczypospolitej F (A) := dawny senator Rzeczypospolitej B := kolega marsza lka Bogdana Borusewicza, przy czym D(A) = D(B) F (B) := dawny kolega marsza lka Bogdana Borusewicza D(F (A)) D(F (B)) Funktor jest konieczne, że typu z z jest intensjonalny: F := jest konieczne, że A := Warszawa jest stolic a Polski F (A) := Jest konieczne, że Warszawa jest stolic a Polski B := Każdy kwadrat jest prostok atem D(A) = D(B) = 1 F (B) := Jest konieczne, że każdy kwadrat jest prostok atem D(F (A)) D(F (B)). Z ogólnej definicji funktora ekstensjonalnego otrzymujemy: Definicjȩ spójnika ekstensjonalnego Spójnik n-argumentowy F jest ekstensjonalny, gdy dla dowolnych jego argumentów A 1, A 2,..., A n, wartość logiczna zdania F (A 1, A 2,..., A n ) jest jednoznacznie określona przez wartości logiczne argumentów A 1, A 2,..., A n. Najważniejsze spójniki ekstensjonalne: negacja: koniunkcja: alternatywa: implikacja: równoważność: nieprawda, że... ( ),... i... ( ),... lub... (co najmniej jedno z dwojga...,...) ( ) jeżeli..., to... ( )... wtedy i tylko wtedy, gdy... ( ) alternatywa roz l aczna:... albo... (dok ladnie jedno z dwojga...,...) ( ) 10

alternatywa Sheffera: co najwyżej jedno z dwojga...,... (/) binegacja: ani nie..., ani nie... (\) Sposoby jednoznacznego wyznaczania wartości logicznej zdań, w których funktorami g lównymi s a niektóre wymienione spójniki, w zależności od wartości logicznych argumentów tych funktorów, podane s a w postaci nastȩpuj acych tabelek: A A 0 1 1 0 A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 A B A/B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B A\B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 W dalszym ci agu, wartości logiczne bȩdziemy przyporz adkowywać formu lom standardowego jȩzyka zdaniowego. Jȩzyk klasycznej logiki zdaniowej (standardowy jȩzyk zdaniowy) S lownik jest tu zbiorem nastȩpuj acych symboli: zmiennych zdaniowych: p 0, p 1, p 2,..., spójników:,,,,, nawiasów: (, ). Definicja standardowego jȩzyka zdaniowego podaje, jakie skończone ci agi symboli ze s lownika s a wyrażeniami tego jȩzyka; wyrażenie tego jȩzyka nazywane jest formu l a: (1) każda zmienna zdaniowa (traktowana jako 1-wyrazowy ci ag) jest formu l a, (2) jeżeli skończony ci ag symboli α jest formu l a, to ci ag postaci: α, również jest formu l a, (3) jeżeli ci agi α, β s a formu lami, to ci agi postaci: (α β), (α β), (α β), (α β), również s a formu lami, 11

(4) jeżeli ci ag α jest formu l a, to α jest b adź zmienn a zdaniow a, b adź ci agiem symboli uzyskanym z prostszych formu l na postawie zastosowania przynajmniej jednej z regu l (2), (3). Przyk lad. Nastȩpuj ace ci agi symboli s a formu lami: (((p 0 p 2 ) p 0 ) p 2 ), ((p 0 (p 2 p 0 )) p 2 ). Zazwyczaj nawiasy zewnȩtrzne pomijamy. Zatem powyższe dwie formu ly zapisujemy w postaci: ((p 0 p 2 ) p 0 ) p 2, (p 0 (p 2 p 0 )) p 2. Klasyczna logika zdaniowa Centralnymi pojȩciami s a tu wynikanie logiczne, tautologia (prawo logiczne), sprzeczny zbiór formu l. Definicja wartościowania logicznego Dowolne przyporz adkowanie każdej zmiennej zdaniowej p dok ladnie jednej z dwu wartości logicznych: 0, 1, nazywamy wartościowaniem logicznym. Dane wartościowanie można rozszerzyć do przyporz adkowania dok ladnie jednej z dwu wartości logicznych każdej formule jȩzyka zdaniowego, w zależności od kszta ltu tej formu ly, postȩpuj ac wed lug tabelek określaj acych wartość logiczn a formu ly z lożonej w zależności od wartości logicznych jej podformu l. Tak wiȩc, formule negacyjnej α dowolne wartościowanie przyporz adkowuje wartość 1 dok ladnie wówczas, gdy przyporz adkowuje ono formule α wartość 0. Formule koniunkcyjnej α β każde wartościowanie przyporz adkowuje wartość 1 dok ladnie wówczas, gdy obu formu lom α, β wartościowanie to przyporz adkowuje wartość 1. Formule postaci α β dowolne wartościowanie przyporz adkowuje wartość 0 dok ladnie wtedy, gdy obu formu lom α, β przyporz adkowuje ono wartość 0. Formule implikacyjnej α β dowolne wartościowanie przyporz adkowuje wartość 0 dok ladnie wtedy, gdy formule α wartościowanie to przyporz adkowuje wartość 1 oraz formule β wartość 0. Formule równoważnościowej α β każde wartościowanie przyporz adkowuje wartość 1 dok ladnie wówczas, gdy przyporz adkowuje ono obu formu lom α, β tȩ sam a wartość logiczn a. Wówczas, gdy dane wartościowanie przyporz adkowuje danej formule wartość 1 (0) mówimy, że jest ona prawdziwa (fa lszywa) przy tym wartościowaniu. Definicje wynikania logicznego, tautologii oraz sprzecznego zbioru formu l Mówimy, że formu la α wynika logicznie ze zbioru formu l Z (Z = α), gdy α jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu, przy którym prawdziwe s a wszystkie formu ly ze zbioru Z. Mówimy, że formu la α jest tautologi a (jest prawem logicznym lub jest logicznie oprawdziwa), gdy każde wartościowanie przyporz adkowuje jej wartość 12

1. Zbiór formu l nazywamy niesprzecznym, gdy istnieje wartościowanie, które każdej formule z tego zbioru przyporz adkowuje wartość 1. Zbiór formu l, który nie jest niesprzeczny nazywamy sprzecznym. Przy sprawdzaniu wynikania logicznego, logicznej prawdziwości lub sprzeczności zbioru formu l wykonujemy czynności dwóch typów: korzystamy z informacji o wartości logicznej formu ly przy danym wartościowaniu, b adź wykazujemy, że formu la jest prawdziwa lub fa lszywa przy danym wartościowaniu. Zgodnie z warunkami prawdziwości formu l przy danym wartościowaniu (czyli zgodnie z tabelkami określaj acymi znaczenia standardowych spójników) wyróżnić można nastȩpuj ace sposoby (regu ly) korzystania z prawdziwości (K1) lub fa lszywości (K0) formu l przy danym wartościowaniu (nad poziom a lini a podawana jest dana informacja, z której siȩ korzysta, pod t a lini a wystȩpuje wyrażenie (lub wyrażenia), które dziȩki tej informacji można do dowodu wpisać): (K1 ) (K0 ) α jest 1 przy v α jest 0 przy v α jest 0 przy v α jest 1 przy v (K1 ) α β jest 1 przy v α jest 1 przy v β jest 1 przy v (K0 ) α β jest 0 przy v α jest 0 przy v β jest 0 przy v (K0 (a)) (K1 (a)) α β jest 0 przy v α β jest 1 przy v α jest 0 przy v (za lożenie) α jest 1 przy v (za lożenie).. cel cel β jest 0 przy v (za lożenie) β jest 1 przy v (za lożenie).. cel cel (K0 (b)) (K1 (b)) α β jest 0 przy v α β jest 1 przy v α jest 1 przy v α jest 0 przy v β jest 0 przy v β jest 1 przy v 13

(K0 (c)) (K1 (c)) α β jest 0 przy v α β jest 1 przy v β jest 1 przy v β jest 0 przy v α jest 0 przy v α jest 1 przy v (K1 (a)) α β jest 1 przy v α jest 1 przy v β jest 1 przy v (K1 (b)) α β jest 1 przy v β jest 0 przy v α jest 0 przy v (K1 (c)) α β jest 1 przy v α β jest 1 przy v (K0 ) α β jest 0 przy v α jest 1 przy v β jest 0 przy v (K1 ) α β jest 1 przy v α β jest 1 przy v β α jest 1 przy v (K0 ) α β jest 0 przy v (α β) (β α) jest 0 przy v Z kolei wyróżniamy nastȩpuj ace sposoby wykazywania prawdziwości (W 1) lub fa lszywości (W 0) formu l przy danym wartościowaniu: (W 1 ) (W 0 ) wykaż: α jest 0 przy v wykaż: α jest 1 przy v cel: α jest 1 przy v cel: α jest 0 przy v 14

(W 1 ) (W 0 ) wykaż: α jest 1 przy v wykaż: α jest 0 przy v wykaż: β jest 1 przy v wykaż: β jest 0 przy v cel: α β jest 1 przy v cel: α β jest 0 przy v (W 0 (a)) (W 1 )(a) wykaż: α jest 0 przy v wykaż: α jest 1 przy v cel: α β jest 0 przy v cel: α β jest 1 przy v (W 0 (b)) (W 1 )(b) wykaż: β jest 0 przy v wykaż: β jest 1 przy v cel: α β jest 0 przy v cel: α β jest 1 przy v (W 0 (c)) (W 1 )(c) wykaż: α β jest 1 przy v wykaż: α β jest 1 przy v cel: α β jest 0 przy v cel: α β jest 1 przy v (W 1 (a)) za lóż: α jest 1 przy v i wykaż: β jest 1 przy v cel: α β jest 1 przy v (W 1 (b)) za lóż: β jest 0 przy v i wykaż: α jest 0 przy v cel: α β jest 1 przy v (W 1 (c)) wykaż: α β jest 1 przy v cel: α β jest 1 przy v (W 0 ) wykaż: α jest 1 przy v wykaż: β jest 0 przy v cel: α β jest 0 przy v 15

(W 1 ) wykaż: α β jest 1 przy v wykaż: β α jest 1 przy v cel: α β jest 1 przy v (W 0 ) wykaż: (α β) (β α) jest 0 przy v cel: α β jest 0 przy v Przyk lady (1) Wykazujemy, że { (p q)} = p q: rozważmy dowolne wartościowanie v, (1) (p q) jest 1 przy v (za lożenie), (2) p q jest 0 przy v z (1), (K1 ), teraz stosujemy (K0 (a)): (3) p jest 0 przy v (za lożenie) (4) p jest 1 przy v z (3), (W 1 ), (5) p q jest 1 przy v, (W 1 (a)) (6) q jest 0 przy v (za lożenie) (7) q jest 1 przy v z (6), (W 1 ) (8) p q jest 1 przy v z (7), (W 1 (b)) (2) Wykazujemy nie wprost, że { p q} = (p q): (1) { p q} = (p q) (za lożenie), istnieje wartościowanie v takie, że (2) p q jest 1 przy v z (1), (3) (p q) jest 0 przy v z (1), (4) p q jest 1 przy v z (3), (K0 ), (5) p jest 1 przy v z (4), (K1 ), (6) q jest 1 przy v z (4), (K1 ), (7) p jest 0 przy v z (5), (W 0 ), (8) q jest 1 przy v z (2), (7), (K1 (b)), (9) q jest 0 przy v z (8), (K1 ), absurd (6), (9). (3) Wykazujemy, że {p q, q} = p w taki sposób, jak chcielibyśmy dowieść nie wprost, iż {p q, q} = p. Naszym celem jest wskazanie takiego wartościowania v, przy którym formu ly p q, q s a prawdziwe, zaś formu la p jest fa lszywa. (1) {p q, q} = p (za lożenie) istnieje wartościowanie v takie, że (2) p q jest 1 przy v z (1), (3) q jest 1 przy v z (1), 16

(4) p jest 0 przy v z (1), (5) q jest 0 przy v z (3), (K1 ). W ten sposób wykazaliśmy, iż jeżeli wynikania tu nie ma, tzn. jeżeli dla pewnego wartościowania v wszystkie formu ly w naszym zbiorze s a prawdziwe, zaś formu la, która nie wynika logicznie jest przy v fa lszywa, to wartościowanie to ma postać: v(p) = 0, v(q) = 0. Latwo sprawdzić (przy użyciu tabelek), iż na odwrót, przy tak określonym wartościowaniu v, obie formu ly w zbiorze s a prawdziwe, zaś formu la nie wynikaj aca jest fa lszywa. (4) Formu la ((p r) (q r)) ((p q) r) jest tautologi a: rozważmy dowolne wartościowanie v, aby wykazać prawdziwość tej formu ly przy wartościowaniu v stosujemy dwukrotnie (W 1 (a)): (1) (p r) (q r) jest 1 przy v (za lożenie), obecnie celem dowodu jest wykazanie, iż formu la (p q) r jest prawdziwa przy v. Stosujemy wiȩc drugi raz (W 1 (a)): (2) p q jest 1 przy v (za lożenie), teraz celem dowodu jest wykazanie prawdziwości r przy v: (3) p jest 1 przy v z (2), (K1 ) (4) q jest 1 przy v z (2), (K1 ), stosujemy (K1 (a)): (5) p r jest 1 przy v (za lożenie) (6) r jest 1 przy v z (5), (3), (K1 (a)), (7) q r jest 1 przy v (za lożenie) (8) r jest 1 przy v z (7), (4), (K1 (a)). (5) Wykazujemy niewprost, że formu la ((p q) r) ((p r) (q r)) jest tautologi a: (1) ((p q) r) ((p r) (q r)) nie jest tautologi a (za lożenie) istnieje wartościowanie v takie, że (2) ((p q) r) ((p r) (q r)) jest 0 przy v z (1) (3) (p q) r jest (1) przy v z (2), (K0 ) (4) (p r) (q r) jest 0 przy v z (2) (K0 ) (5) p r jest 0 przy v z (4), (K0 ), (6) q r jest 0 przy v z (4), (K0 ), (7) p jest 1 przy v z (5), (K0 ), (8) r jest 0 przy v z (5), (K0 ), (9) q jest 1 przy v z(6), (K0 ), (10) p q jest 1 przy v z (7),(9), (W 1 ), 17

(11) r jest 1 przy v z (3),(10), (K1 (a)), absurd (8), (11). (6) Wykazujemy, że formu la ((p r) (q r)) ((p q) r) nie jest tautologi a w taki sposób, jak chcielibyśmy dowieść nie wprost, iż jest ona tautologi a. Naszym celem jest wskazanie takiego wartościowania v, przy którym formu la jest fa lszywa. (1) ((p r) (q r)) ((p q) r) nie jest tautologi a (za lożenie) istnieje wartościowanie v takie, że (2) ((p r) (q r)) ((p q) r) jest 0 przy v z (1), (3) (p r) (q r) jest 1 przy v z (2), (K0 ), (4) (p q) r jest 0 przy v z (2), (K0 ), (5) p q jest 1 przy v z (4), (K0 ), (6) r jest 0 przy v z (4), (K0 ), (7) r jest 1 przy v z (6), (K0 ), (8) p jest 1 przy v z (5), (K1 ), (9) q jest 1 przy v z (5), (K1 ), W ten sposób wykazaliśmy, że jeżeli formu la nie jest tautologi a, tzn. przy pewnym wartościowaniu v jest fa lszywa, to wartościowanie to ma postać: v(p) = v(q) = v(r) = 1. Latwo sprawdzić (przy użyciu tabelek), iż na odwrót, przy tak określonym wartościowaniu v, formu la jest fa lszywa. (7) Wykazujemy nie wprost, że zbiór formu l {p q, r q, (s r), s p} jest sprzeczny. (1) zbiór {p q, r q, (s r), s p} jest niesprzeczny (za lożenie), istnieje wartościowanie v takie, że (2) p q jest 1 przy v z (1), (3) r q jest 1 przy v z (1), (4) (s r) jest 1 przy v z (1), (5) s p jest 1 przy v z (1), (6) s r jest 0 przy v z (4) (K1 ), (7) s jest 1 przy v z (5), (K1 ), (8) p jest 1 przy v z (5), (K1 ), (9) p jest 0 przy v z (8), (K1 ), (10) q jest 1 przy v z (2),(9), (K1 (b)), (11) q jest 0 przy v z (10), (K1 ), (12) r jest 0 przy v z (3),(11), (K1 (b)), (13) r jest 0 przy v z (6),(7), (K0 (b)), (14) r jest 1 przy v z (13), (K0 ), absurd (12), (14). (8) Wykazujemy, że zbiór formu l {p q, r p, r q} jest niesprzeczny w taki sposób, jak chcielibyśmy dowieść nie wprost, że jest on sprzeczny. Naszym celem jest wskazanie takiego wartościowania v, przy którym każda formu la z tego zbioru jest prawdziwa. 18

(1) {p q, r p, r q} jest niesprzeczny (za lożenie), istnieje wartościowanie v takie, że (2) p q jest 1 przy v z (1), (3) r p jest 1 przy v z (1), (4) r q jest 1 przy v z (1), (5) p q jest 1 przy v z (2), (K1 (c)), (6) p jest 1 przy v (za lożenie) (7) p jest 0 przy v z (6), (K1 ), (8) r jest 0 przy v z (3),(7), (K1 (b)), W ten sposób wykazaliśmy, że jeżeli zbiór formu l jest niesprzeczny, tzn. przy pewnym wartościowaniu v każda formu la z tego zbioru jest prawdziwa, a ponadto spe lnione jest za lożenie (6), to wartościowanie to ma postać: v(p) = v(r) = 0, pozosta lym zmiennym v przyporz adkowuje dowolne wartości ze zbioru {0, 1}. Latwo sprawdzić, iż na odwrót, przy tak określonym wartościowaniu v, wszystkie formu ly ze zbioru s a prawdziwe. Operatory Poza zdaniami, nazwami i funktorami, wyróżnia siȩ jeszcze kategorie operatorowe. Aby zdefiniować pojȩcie operatora zacznijmy od nastȩpuj acych definicji: Definicje funkcji zdaniowej i nazwowej Funkcja zdaniowa [nazwowa] dla jȩzyka naturalnego, to wyrażenie zawieraj ace zmienne określonych typów (np. zmienne przebiegaj ace zdania, b adź zmienne dla nazw indywidualnych, b adź zmienne dla nazw generalnych), które w rezultacie podstawienia w nim w miejsce zmiennych wyrażeń z jȩzyka naturalnego odpowiednio tych samych typów co typy tych zmiennych, staje siȩ zdaniem (prawdziwym lub fa lszywym) [nazw a]. Na przyk lad wyrażenie x jest cz lowiekiem, jest funkcj a zdaniow a, w której wystȩpuje zmienna x dla nazw indywidualnych; wyrażenie x + x jest funkcj a nazwow a, w której wystȩpuje zmienna dla nazw indywidualnych; wyrażenie każde S jest M jest funkcj a zdaniow a, w której S, M s a zmiennymi dla nazw generalnych; wyrażenie A i B jest funkcj a zdaniow a, w której A, B s a zmiennymi dla zdań. Wyrażenie: dla każdego x, jeżeli x jest cz lowiekiem, to x jest śmiertelny, nie jest funkcj a zdaniow a, jeśli x jest zmienn a dla nazw indywidualnych. Jest ono zdaniem. Wyrażenie: {x : x jest liczb a rzeczywist a i x+2 > 4}, mimo, że wystȩpuje w nim zmienna (dla nazw indywidualnych) nie jest funkcj a nazwow a, lecz jest nazw a (zbioru). Podobnie wyrażenie xdx nie jest funkcj a nazwow a, lecz jest nazw a (funkcji). Wyrażenia takie jak: dla każdego x, {x : }, dx również nie s a ani funkcjami zdaniowymi, ani nazwowymi, choć wystȩpuj a w nich zmienne. Wyrażenia te nie s a jednak ani zdaniami, ani nazwami, ani funktorami. Nazywane s a operatorami. 19

Definicja operatora Operator jest to wyrażenie zawieraj ace zmienn a, które po do l aczeniu do funkcji zdaniowej b adź nazwowej, w której ta zmienna wystȩpuje, tworzy wraz z ni a zdanie b adź nazwȩ. Niektóre typy syntaktyczne operatorów: z z jest wskaźnikiem kategorii operatorów zdaniotwórczych, których argumentem jest funkcja zdaniowa, n n jest wskaźnikiem kategorii operatorów nazwotwórczych, których argumentem jest funkcja nazwowa, n z jest wskaźnikiem kategorii operatorów nazwotwórczych, których argumentem jest funkcja zdaniowa. Przyk lady. dla każdego x, dla pewnego x: dx: n n, n {x : }: z. Jȩzyk logiki kwantyfikatorów z z, S lownik: zmienne nazwowe: x 1, x 2,..., spójniki:,,,,, kwantyfikatory: duży, ogólny lub uniwersalny: (dla każdego), ma ly, szczegó lowy lub egzystencjalny: (dla pewnego) predykat identyczności: =, (2-argumentowy) sta le nazwowe: c 1, c 2,..., c k, k 0 predykaty: P 1, P 2,..., P n, n 0 (1- i 2-argumentowe) nawiasy i przecinek: (,),. Definicja termu nazwowego Dowoln a zmienn a lub sta l a nazwow a nazywamy termem (nazwowym). Dysponuj ac definicj a termu można sformu lować Definicjȩ zbioru formu l (1) Jeżeli t, s s a termami, to ci ag symboli: t = s jest formu l a. (2) Jeżeli t jest termem oraz P jest 1-argumentowym predykatem, to ci ag P (t) jest formu l a. (3) Jeżeli t, s s a termami oraz P jest 2-argumentowym predykatem, to ci ag: P (t, s) jest formu l a. (4) Jeżeli α jest formu l a, to α jest formu l a. 20

(5) Jeżeli α, β s a formu lami, to ci agi: (α β), (α β), (α β), (α β) s a formu lami. (6) Jeżeli x jest zmienn a nazwow a oraz α jest formu l a, to ci agi: xα, xα s a formu lami. (7) Jeżeli ci ag symboli α jest formu l a, to α jest jednej z postaci podanych w warunkach (1) - (6). Formu ly, których postacie zosta ly wymienione w (1), (2), (3) nazywane s a formu lami atomowymi. Definicje Mówimy, że w formule xα kwantyfikator wi aże zmienn a x, zaś formu lȩ α nazywamy zasiȩgiem tego kwantyfikatora. Analogicznie dla formu ly xα. Każde pojawienie siȩ nie bezpośrednio po kwantyfikatorze danej zmiennej x w danej formule α nazywamy wystȩpowaniem zmiennej x w α. Wystȩpowanie zmiennej x w formule β nazywamy wolnym, gdy nie jest ono w zasiȩgu żadnego kwantyfikatora wi aż acego tȩ zmienn a. Mówimy, że zmienna x jest wolna w formule β, gdy zmienna ta ma w tej formule przynajmniej jedno wolne wystȩpowanie. Formu lȩ nazywamy domkniȩt a (lub zdaniem), gdy nie wystȩpuje w niej zmienna wolna. Przyk lad. W formule: xp 1 (x, y) P 2 (x), zmienne x, y s a wolne, natomiast w formule xp 1 (x, y) tylko zmienna y jest wolna. Formu la y xp 1 (x, y) jest zdaniem. Zasady zapisu schematów w jȩzyku logiki kwantyfikatorów dla zdań z jȩzyka naturalnego Niech A bȩdzie dowolnym zdaniem oznajmuj acym z jȩzyka polskiego. Naszym celem jest zapisanie formu ly domkniȩtej w jȩzyku logiki kwantyfikatorów, ukazuj acej strukturȩ logiczn a zdania A, nazywanej z tego powodu, schematem zdania A. 1) Każdej nazwie indywidualnej wystȩpuj acej w zdaniu A odpowiada w jego schemacie sta la nazwowa (różnym nazwom odpowiadaj a różne sta le). 2) Żadna nazwa generalna S wystȩpuj aca w zdaniu A nie ma odpowiednika w jego schemacie, lecz 1-argumentowemu predykatowi postaci jest S, powsta lemu przez do l aczenie do nazwy S wyrażenia jest, odpowiada w schemacie zdania A 1-argumentowy predykat ze s lownika jȩzyka logiki kwantyfikatorów. 3) Każdemu 1- i 2-argumentowemu predykatowi wystȩpuj acemu w zdaniu A odpowiada w schemacie tego zdania odpowiednio 1- b adź 2-argumentowy predykat ze s lownika (różnym predykatom z jȩzyka polskiego odpowiadaj a różne predykaty ze s lownika) 21

4) Jeżeli w A wystȩpuj a kwantyfikatory (każdy, żaden, wszystkie, pewne, niektóre, to dokonujemy jego rozk ladu na g lówny kwantyfikator i funkcjȩ zdaniow a, która jest jego argumentem, nastȩpnie rozk ladamy tȩ funkcjȩ zdaniow a na jej g lówny kwantyfikator i jego argument itd., aż oznaczymy wszystkie funkcje zdaniowe, w których już nie wystȩpuje kwantyfikator. 5) Funkcjom zdaniowym, w których nie wystȩpuj a kwantyfikatory, otrzymanym wed lug zasady 4), odpowiadaj a w schemacie zdania A, formu ly atomowe. Przyk lady. Schematami zdań: Jaś kocha Ma lgosiȩ, Ma lgosia kocha Jasia s a odpowiednio formu ly atomowe: K(j, m), K(m, j), gdzie K jest predykatem ze s lownika odpowiadaj acym predykatowi kocha oraz j, m s a sta lymi nazwowymi odpowiadaj acymi odpowiednio nazwom indywidualnym Jaś, Ma lgosia. Schematami zdań Jaś kocha wszystkich ludzi, Jaś kogoś kocha, s a odpowiednio formu ly: x(c(x) K(j, x)), x(c(x) K(j, x)), gdzie C jest predykatem ze s lownika odpowiadaj acym predykatowi: jest cz lowiekiem. Semantyka dla jȩzyka I rzȩdu (kwantyfikatorowego Naszym celem jest obecnie zdefiniowanie dwóch pojȩć: interpretacji jȩzyka kwantyfikatorowego oraz prawdziwości, wzglȩdnie fa lszywości zdania w danej interpretacji. Dysponuj ac pojȩciem prawdziwości zdania w danej interpretacji można bȩdzie wprowadzić centralne pojȩcie wynikania logicznego, a nastȩpnie tautologii oraz sprzecznego zbioru zdań. Definicje Niech D bȩdzie dowolnym niepustym zbiorem (klas a, mnogości a) obiektów. Przypominany, że dowolny zbiór, którego każdy element należy do zbioru D nazywamy podzbiorem zbioru D. Dowolny zbiór dwuwyrazowych ci agów elementów zbioru D nazywamy relacj a binarn a na zbiorze D. Na formaln a semantykȩ dla jȩzyka kwantyfikatorowego sk ladaj a siȩ jego interpretacje: Definicja interpretacji Przez interpretacjȩ jȩzyka I rzȩdu wyznaczonego przez sta le nazwowe: c 1,..., c k, oraz predykaty P 1,..., P n, rozumiemy nastȩpuj acy uk lad: I = (D, c 1,..., c k, P 1,..., P n), gdzie (1) D jest dowolnym niepustym zbiorem, zwanym dziedzin a interpretacji, (2) dla każdego j = 1,..., k : c j D jest wyróżnionym elementem zbioru D (którego nazw a w definiowanej interpretacji jest sta la c j ), (3) dla każdego j = 1,..., n : Pj jest albo podzbiorem zbioru D, gdy nazywaj acy go predykat P j jest 1-argumentowy, albo jest relacj a binarn a na zbiorze D, gdy P j jest 2-argumentowy. 22

Aby zdefiniować pojȩcie prawdziwości formu ly domkniȩtej w interpretacji I rozszerzamy przy ustalonej interpretacji I zbiór sta lych nazwowych {c 1,..., c k } o nowe sta le a d, d D. W ten sposób dla danej interpretacji I ulega rozszerzeniu zbiór formu l tego jȩzyka I rzȩdu, którego I jest interpretacj a, w szczególności jego zbiór zdań. Bȩdziemy definiować prawdziwość w interpretacji I dla zdań z tego szerszego zbioru. Każda interpretacja wyznacza tzw. waluacjȩ termów domkniȩtych, czyli przyporz adkowanie każdemu termowi domkniȩtemu pewnego elementu z dziedziny tej interpretacji (nieformalnie: elementu nazywanego tym termem w tej interpretacji), jak nastȩpuje: (a) c j = c j, j = 1,..., k, (b) a d = d, d D. Definicja prawdziwości formu ly domkniȩtej w interpretacji I Dla dowolnych sta lych a, b rozszerzonego jȩzyka oraz dowolnych 1-argumentowego predykatu P i 2-argumentowego predykatu Q: (1) a = b jest prawdziwa w I wtw a, b s a jednym i tym samym obiektem, (2) P (a) jest prawdziwa w I wtw a P, (3) Q(a, b) jest prawdziwa w I wtw ( a, b ) Q, dla dowolnych formu l domkniȩtych α, β: (4) α jest prawdziwa w I wtw α nie jest prawdziwa w I, (5) α β jest prawdziwa w I wtw obie formu ly: α, β, s a prawdziwe w I, (6) α β jest prawdziwa w I wtw przynajmniej jedna z formu l: α, β, jest prawdziwa w I, (7) α β jest prawdziwa w I wtw α nie jest prawdziwa w I lub β jest prawdziwa w I, (8) α β jest prawdziwa w I wtw obie formu ly: α, β, s a prawdziwe w I, b adź obie te formu ly nie s a prawdziwe w I dla dowolnej formu ly α z co najwyżej jedn a zmienn a woln a, któr a jest zmienna x: (9) xα jest prawdziwa w I wtw dla każdego elementu d D: formu la α[x/a d ] jest prawdziwa w I, (10) xα jest prawdziwa w I wtw dla pewnego elementu d D: formu la α[x/a d ] jest prawdziwa w I, gdzie α[x/a d ] jest formu l a uzyskan a z formu ly α przez zast apienie w niej każdego wolnego wystȩpowania zmiennej x sta l a a d. Na podstawie definicji prawdziwości formu l ogólnych i szczegó lowych w danej 23

interpretacji, można sformu lować nastȩpuj ace regu ly (sposoby) korzystania z informacji o prawdziwości lub fa lszywości w danej interpretacji tych formu l: (K1 ) xα jest 1 w I α[x/a] jest 1 w I (K0 ) xα jest 0 w I α[x/a] jest 0 w I gdzie a jest dowoln a sta l a nazwow a spośród c 1,..., c k, b adź sta lych a d, d D (K0 ) xα jest 0 w I α[x/a] jest 0 w I dla pewnego a (K1 ) xα jest 1 w I α[x/a] jest 1 w I dla pewnego a a jest tu niewyspecyfikowan a sta l a nazwow a spośród sta lych a d, d D i tak a, która wcześniej w dowodzie nie pojawi la siȩ Sposoby wykazywania prawdziwości lub fa lszywości w danej interpretacji formu l ogólnych i szczegó lowych: (W 1 ) (W 0 ) rozważmy dowolne a rozważmy dowolne a wykaż: α[x/a] jest 1 w I wykaż: α[x/a] jest 0 w I cel: xα jest 1 w I cel: xα jest 0 w I a jest tu dowoln a niewyspecyfikowan a sta l a nazwow a (tzn. nie wiemy jaki obiekt z dziedziny interpretacji I jest przez ni a nazywany) spośród sta lych a d, d D (W 0 ) (W 1 ) wykaż: α[x/a] jest 0 w I wykaż: α[x/a] jest 1 w I cel: xα jest 0 w I cel: xα jest 1 w I a jest tu jak akolwiek sta l a nazwow a spośród c 1,..., c k, b adź sta lych a d, d D Wynikanie loguiczne, tautologia, sprzeczny zbiór zdań w logice kwantyfikatorów Centralnym pojȩciem semantycznym jest tu wynikanie logiczne lub inaczej relacja konsekwencji logicznej. Definicja wynikania logicznego Mówimy, że zdanie α wynika logicznie ze zbioru zdań Z ustalonego jȩzyka kwantyfikatorowego (Z = α), gdy α jest prawdziwe w każdej interpretacji, w której prawdziwe jest każde zdanie ze zbioru Z. Przyk lady (1) Zdanie xq(x, c) wynika logicznie ze zbioru zdań: { x y(p (y, x) Q(x, y)), xp (c, x)}. 24

Rozważmy bowiem dowoln a interpretacjȩ I = (D, c, P, Q ) i za lóżmy, że (1) x y(p (y, x) Q(x, y)) jest 1 w I, (2) xp (c, x) jest 1 w I, Wówczas: (3) y(p (y, a) Q(a, y)) jest 1 w I dla pewnej sta lej a z (1), (K1 ), (4) P (c, a) Q(a, c) jest 1 w I z (3), (K1 ), (5) P (c, a) jest 1 w I z (2), (K1 ), (6) Q(a, c) jest 1 w I z (4),(5), (K1 )(a), xq(x, c) jest 1 w I z (6), (W 1 ). (2) Zdanie (1) x(p 1 (x) Q(x, x)) nie wynika logicznie ze zbioru zdań: {(2) x(p 2 (x) y(p 1 (y) Q(x, y))), (3) x(p 1 (x) P 2 (x))}. Aby to wykazać, należy wskazać tak a interpretacjȩ I = (D, P 1, P 2, Q ), w której zdania (2), (3) s a prawdziwe, natomiast zdanie (1) jest fa lszywe. Po lóżmy: D = zbiór liczb naturalnych N, P 1 = zbiór liczb naturalnych parzystych, P 2 = N, Q = {(i, i) : i N} (relacja identyczności na N). W I zdanie (1) jest fa lszywe: nie istnieje liczba naturalna, która jest parzysta i różna od siebie samej. Ponieważ np. liczba 1 jest naturalna i każda liczba parzysta naturalna jest od niej różna, wiȩc prawdziwe w I jest zdanie (2). Oczywiście każda liczba naturalna parzysta jest liczb a naturaln a, dlatego prawdziwe w I jest zdanie (3). Definicja tautologii Zdanie α danego jȩzyka I rzȩdu nazywamy tautologi a, gdy α jest prawdziwe w każdej interpretacji dla tego jȩzyka. Przyk lady (1) Zdanie: x yq(x, y) y xq(x, y), jest tautologi a. Rozważmy bowiem dowoln a interpretacjȩ I = (D, Q ). Naszym celem jest wykazanie prawdziwości tego zdania w I. Na podstawie (W 1 )(a) za lóżmy, że (1) x yq(x, y) jest 1 w I. Na mocy (W 1 ) niech a bȩdzie sta l a nazywaj ac a dowolnie wybrany obiekt z dziedziny D. Wówczas: (2) yq(b, y) jest prawdziwa w I dla pewnej sta lej b z (1), (K1 ), (3) Q(b, a) jest 1 w I z (2) (K1 ), xq(x, a) jest 1 w I z (3), (W 1 ), co, na mocy (W 1 ), dowodzi prawdziwości zdania: y xq(x, y). wed lug (W 1 (a)), nasze zdanie jest prawdziwe w I. (2) Implikacja: y xq(x, y) x yq(x, y) nie jest tautologi a. Zatem, 25

Aby to wykazać, należy wskazać tak a interpretacjȩ I = (D, Q ), w której zdanie to jest fa lszywe. Niech wiȩc np. D = N oraz Q = {(i, j) : i, j N : i j}. W tej interpretacji poprzednik: y xq(x, y) jest prawdziwy, lecz nastȩpnik: x yq(x, y) jest fa lszywy. Zatem nasza implikacja jest w tej interpretacji fa lszywa. Definicja sprzecznego zbioru zdań Zbiór zdań X nazywamy niesprzecznym, gdy istnieje interpretacja, w której każde zdanie z X jest prawdziwe. Zbiór zdań jest sprzeczny, gdy nie jest on niesprzeczny. Przyk lady (1) Zbiór zdań: { x y((p 1 (x) P 2 (y)) Q(x, y)), x(p 1 (x) P 2 (x)), x(p 1 (x) Q(x, x))}, jest sprzeczny. Aby tego dowieść, za lóżmy nie wprost, że jest niesprzeczny. Wówczas istnieje interpretacja I = (D, P 1, P 2, Q ), w której prawdziwe s a formu ly: (1) x y((p 1 (x) P 2 (y)) Q(x, y)), (2) x(p 1 (x) P 2 (x)), (3) x(p 1 (x) Q(x, x)). Zatem (4) P 1 (a) P 2 (a) jest 1 w I dla pewnego a z (2), (K1 ), (5) y((p 1 (a) P 2 (y)) Q(a, y)) jest 1 w I z (1), (K1 ), (6) (P 1 (a) P 2 (a)) Q(a, a) jest 1 w I z (5), (K1 ), (7) Q(a, a) jest 1 w I z (6), (4), (K1 )(a), (8) P 1 (a) jest 1 w I z (4), (K1 ), (9) P 1 (a) Q(a, a) jest 1 w I z (3), (K1 ), (10) Q(a, a) jest 1 w I z (9), (8), (K1 (a)), (11) Q(a, a) jest 0 w I z (10), (K1 ), absurd (11), (7). (2) Zbiór zdań: { x(q(c, x) Q(x, c)), Q(c, c)} jest niesprzeczny. Aby to wykazać, wystarcza wskazać jak akolwiek interpretacjȩ, w której każda formu la z tego zbioru jest prawdziwa. Np. niech dziedzin a interpretacji bȩdzie jakikolwiek niepusty zbiór D oraz niech Q = {(u, v) : u, v D, u v}. Pojȩcie klasyfikacji Przypominamy, iż przez relacjȩ binarn a określon a na danym zbiorze A rozumiemy dowolny (w tym również pusty) zbiór 2-wyrazowych ci agów elementów zbioru A. Zbiór wszystkich 2-wyrazowych ci agów elementów zbioru A nazywamy relacj a pe ln a na A i oznaczamy A 2. 26

Niech R bȩdzie dowoln a relacj a binarn a określon a na ustalonym zbiorze A. Zamiast pisać: ci ag (x, y) elementów zbioru A jest elementem relacji R piszemy: xry. Definicja najważniejszych formalnych w lasności relacji binarnych określonych na danym zbiorze Mówimy, że R jest zwrotna na A wtw dla dowolnego elementu x zbioru A zachodzi xrx, R jest przeciwzwrotna na A wtw dla żadnego elementu x zbioru A nie zachodzi: xrx, R jest symetryczna na A wtw dla dowolnych elementów x, y zbioru A (niekoniecznie różnych), jeżeli xry, to yrx, R jest przeciwsymetryczna na A wtw dla dowolnych elementów x, y zbioru A, jeżeli xry, to nie zachodzi yrx, R jest antysymetryczna na A wtw dla dowolnych elementów x, y zbioru A, jeżeli xry oraz yrx, to x = y, R jest przechodnia na A wtw dla dowolnych elementów x, y, z zbioru A, jeżeli xry oraz yrz, to xrz, R jest spójna na A wtw dla dowolnych elementów x, y zbioru A, jeżeli x y, to xry lub yrx. Jeden z najważniejszych typów relacji binarnych określonych na danym zbiorze stanowi a relacje równoważnościowe. Definicja relacji równoważności Mówimy, że R jest równoważnościowa lub że jest relacj a równoważności na zbiorze A, gdy R jest zwrotna, symetryczna i przechodnia na A. Przyk lady (1) Relacja pe lna A 2 oraz tzw. relacja identycznościowa id(a) określona na A nastȩpuj aco: dla dowolnych elementów x, y zbioru A, x(id(a))y wtw x = y, s a relacjami równoważności na zbiorze A. (2) Na zbiorze trójelementowym A = {a, b, c} mamy piȩć relacji równoważności: id(a) = {(a, a), (b, b), (c, c)}, R 1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}, R 2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}, R 3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}, 27

A 2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)}. Definicja klasy abstrakcji wzglȩdem danej relacji równoważności Dla dowolnej relacji równoważności R określonej na danym zbiorze A oraz dowolnego elementu a zbioru A, zbiór wszystkich elementów x zbioru A takich, że arx nazywamy klas a abstrakcji b adź reprezentacji elementu a wzglȩdem relacji R i oznaczamy w postaci: [a] R. Przyk lady (1) Dla dowolnego elementu a danego zbioru A, [a] id(a) = {a} oraz [a] A 2 = A, (2) Dla relacji równoważności R 1, R 2, R 3 z poprzedniego przyk ladu, określonych na zbiorze {a, b, c} mamy: [a] R1 = {a, b}, [b] R1 = {a, b} = [a] R1, [c] R1 = {c}, [a] R2 = {a, c}, [b] R2 = {b}, [c] R2 = {a, c} = [a] R2, [a] R3 = {a}, [b] R3 = {b, c}, [c] R3 = {b, c} = [b] R3. Niech R bȩdzie relacj a równoważności na A. Ponieważ dla dowolnego elementu a zbioru A zachodzi: ara, wiȩc a jest elementem swojej klasy abstrakcji, zatem dowolna klasa abstrakcji jest niepustym zbiorem. Interesuj ace dla zastosowań s a kolejne dwie w lasności klas abstrakcji: Druga istotna w lasność klas abstrakcji ma postać: dla dowolnych elementów x, y zbioru A : xry wtw [x] = [y]. Dowód: ( ): Za lóżmy, że xry. Aby wykazać równość zbiorów dowodzimy, iż maj a one te same elementy. Niech wiȩc a bȩdzie elementem klasy abstrakcji [x]. Zatem xra. Ponieważ z za lożenia na mocy symetrii relacji R mamy: yrx, wiȩc w konsekwencji na podstawie przechodniości R otrzymujemy: yra, co oznacza, iż a jest elementem zbioru [y]. W ten sposób wykazaliśmy, że każdy element zbioru [x] jest elementem zbioru [y]. Na odwrót przypuśćmy, iż a jest elementem klasy abstrakcji [y]. Zatem yra. St ad na mocy za lożenia i przechodniości relacji R mamy: xra, dlatego a jest elementem zbioru [x]. ( ): Za lóżmy, że [x] = [y]. Ponieważ y jest elementem klasy abstrakcji [y], wiȩc na mocy za lożenia otrzymujemy: y jest elementem zbioru [x], zatem xry. Trzecia w lasność klas abstrakcji: dla dowolnych elementów x, y zbioru A: jeżeli klasy abstrakcji [x], [y] nie s a roz l aczne, to s a równe. Dowód: Za lóżmy, że a jest elementem obu klas abstrakcji [x], [y]. Wówczas xra oraz yra. Zatem z symetrii relacji R mamy: ary, co z przechodniości relacji R implikuje: xry i w konsekwencji na mocy drugiej w lasności klas abstrakcji otrzymujemy: [x] = [y]. 28