1 Rachunk Prawdopodobiństwa MAP1151, 011/1 Wydział Elktroniki Wykładowca: dr hab. Agniszka Jurlwicz Listy zadań nr 5-6 Opracowani: dr hab. Agniszka Jurlwicz Lista 5. Zminn losow dwuwymiarow. Rozkłady łączn, brzgow. Nizalżność zminnych losowych. Momnty. Współczynnik korlacji. Sumowani nizalżnych zminnych losowych. Prawo wilkich liczb. Zadani 5.1 (a) Wktor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny: P (X = 0, Y = 1) = C; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 15; P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1, Y = 0) = 0, 5; P (X = 1, Y = 1) = 0,. Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzgow tgo wktora losowgo. Czy X i Y są nizalżn? (b) Znalźć rozkład łączny wktora losowgo (X, Y ), gdzi X i Y są nizalżnymi zminnymi losowymi o rozkładach P (X = 1) = 0, 3; P (X = ) = 0, 7; P (Y = 0) = 0, 75; P (Y = 1) = 0, 5. Zadani 5. 8 (a) Funkcja f(x, y) = 9 y3 (5x + ) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1 jst gęstością wktora losowgo (X, Y ). Obliczyć P ((X, Y ) ), gdzi to obszar 0 y 1, 0 x y. Wyznaczyć rozkłady brzgow wktora losowgo (X, Y ). Czy X i Y są nizalżn? x y dla x > 0, y > 0 (b) Funkcja f(x, y) = jst gęstością wktora losowgo (X, Y ). Obliczyć P (1 < X <, 1 < Y < 1). Wyznaczyć rozkłady brzgow wktora losowgo (X, Y ). Czy X i Y są nizalżn? C dla (x, y) K (c) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f(x, y) = gdzi K to półokrąg o środku 0 poza tym, w punkci (0, 0) i prominiu 1, położony nad osią Ox, była gęstością pwngo wktora losowgo (X, Y ). Obliczyć następni P (X + Y 1/4). Wyznaczyć rozkłady brzgow wktora losowgo (X, Y ). Czy X i Y są nizalżn? (d) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f(x, y) = Cxy( x y) dla 0 x 1, 0 y 1, 0 poza tym była gęstością pwngo wktora losowgo (X, Y ). Obliczyć następni P ((X, Y ) ), gdzi to trójkąt 0 x 1/, 0 y x. Wyznaczyć rozkłady brzgow wktora losowgo (X, Y ).
Zadani 5.3 Wyznaczyć wktor wartości oczkiwanych oraz macirz kowariancji wktora losowgo (X, Y ) o podanym rozkładzi. Obliczyć współczynnik korlacji zminnych losowych X i Y, któr są składowymi tgo wktora. (a) x n 0 1 1 0, 15 0, 5 ; 0 0 0, 5 1 0, 15 0, x n 1 (b) 0 0, 5 0, 55 1 0, 075 0, 175 8 (c) rozkład o gęstości f(x, y) = 9 y3 (5x + ) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1 x y dla x > 0, y > 0 (d) rozkład o gęstości f(x, y) = dla (x, y) K () rozkład o gęstości f(x, y) = π 0 poza tym, (0, 0) i prominiu 1, położony nad osią Ox. gdzi K to półokrąg o środku w punkci (f) rozkład o gęstości f(x, y) = Czy X i Y są nizalżn? Zadani 5.4 6xy( x y) dla 0 x 1, 0 y 1, (a) Zminn losow X i Y są nizalżn, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp(3), a Y rozkład normalny N (, 3). Znalźć wartość oczkiwaną i wariancję zminnj losowj Z = 3X 5Y 3. (b) Zminn losow X i Y są nizalżn, przy czym X ma rozkład Poissona P(3), a Y rozkład Brnoulligo B(10; 0, ). Znalźć wartość oczkiwaną i wariancję zminnj losowj Z = 3X 5Y + 7. (c) Nich Y = X +N, gdzi X ma rozkład zrojdynkowy z paramtrm p = 0, 3; a N ma rozkład normalny N (0, ), przy czym zminn losow X i N są nizalżn. Obliczyć współczynnik korlacji ρ XY. Zadani 5.5 (a) Zminn losow X 1, X,... są nizalżn o jdnakowym rozkładzi wykładniczym Exp(). Do czgo jst zbiżna śrdnia arytmtyczna X 1 +... + X n? W snsi jakij zbiżności? n (b) Nich X 1, X,... będzi ciągim nizalżnych zminnych losowych o jdnakowym rozkładzi jdnostajnym U(0, 1). Zdfiniujmy 0 dla n = 1, 3, 5,... Z n = X n dla n =, 4, 6,... n Z i równa jst 0,5 czy 0,5 z prawdopodobiństwm 1? Odpowidź uza- i=1 1 Czy granica lim n n sadnić.
3 Zadani 6.1 Lista 6. Twirdzni d Moivr a-laplac a. Cntraln Twirdzni Graniczn Lindbrga-Lévy go. (a) W pwnym dużym okręgu wyborczym ma zostać przprowadzon rfrndum w sprawi budowy lktrowni atomowj. Wśród uprawnionych do głosowania miszkańców 45% popira tę inwstycję, a 55% jst przciw. Na podstawi tw. Moivr a Laplac a oszacować, jaki jst prawdopodobiństwo odrzucnia projktu w rfrndum, w których wźmi udział tylko 00 osób wybranych losowo. Oszacować błąd przybliżnia. (b) Jśli gracz wyrzuci kostką 6 oczk, to wygrywa 4 zł. Jśli ni, przgrywa 1 zł. Oszacować prawdopodobiństwo tgo, ż w 1000 rzutach gracz przgra co najwyżj 0 zł. Oszacować błąd przybliżnia. (c) W pwnym towarzystwi ubzpiczniowym jst ubzpiczonych 100000 samochodów. Każdy z właścicili płaci roczną składkę 50 zł za samochód. Śrdnio 9 na 1000 samochodów ulga uszkodzniu w ciągu roku. Właścicilowi uszkodzongo pojazdu towarzystwo wypłaca 5000 zł. Na podstawi tw. Moivr a Laplac a oszacować, jaki jst prawdopodobiństwo, ż w ciągu roku towarzystwo ni ponisi strat. Oszacować błąd przybliżnia. (d) Prawdopodobiństwo, ż dowolna osoba odpowi na przsłaną pocztą rklamę i zamówi towar, wynosi 0,03. Rklamę wysłano do 00 osób. Na podstawi tw. Moivr a Laplac a oszacować prawdopodobiństwo, ż (1) dokładni 5 osób, () mnij niż 5 osób przyśl zamówinia. Oszacować błąd przybliżnia. Porównać wyniki z otrzymanymi w zadaniu 7.3(a) mtodą dokładną i przybliżoną z tw. Poissona. Zadani 6. (a) Czas oczkiwania na tramwaj linii 14 jst zminną losową o rozkładzi wykładniczym o śrdnij 0 minut. Pan Piotr codzinni w dni robocz dojżdża nim do pracy. Oszacować na podstawi CTG Lindbrga Lévy go prawdopodobiństwo, ż pan Piotr traci w ciągu 160 koljnych dni roboczych na czkani na tramwaj linii 14 więcj niż 500 minut. (b) Czas pracy lampy pwngo typu ma rozkład wykładniczy o śrdnij 100 dni. Na podstawi tw. Lindbrga Lévy go oszacować, czy wystarczy mić w zapasi 169 lamp, aby z prawdopodobiństwm 0,9 wystarczyło ich na 15000 dni niprzrwanj pracy. (Przyjmujmy, ż spalona lampa jst natychmiast wyminiana na nową.) (c) Pwna konstrukcja składa się z 500 jdnakowych lmntów. Na podstawi CTG Lindbrga Lévy go oszacować prawdopodobiństwo, ż całkowita masa tj konstrukcji ni przkroczy 1755 kg, jśli rozkład masy lmntów, z których jst złożona, ma wartość oczkiwaną 3,5 kg i odchylni standardow 0,5 kg? (d) Samolot zabira na pokład 70 osób. Waga pasażrów ma pwin rozkład o wartości oczkiwanj 75 kg i wariancji 5 kg. Oszacować na podstawi CTG Lindbrga Lévy go prawdopodobiństwo, ż łączna waga pasażrów przkroczy 5300 kg. () W grupi studnckij przprowadza się tst, w którym można uzyskać do 100 punktów. Śrdni wynik uzyskiwany przz studnta wynosi 40 pkt, a wariancja 0. Wyniki studntów są nizalżn i o takim samym rozkładzi. Oszacować na podstawi CTG Lindbrga Lévy go prawdopodobiństwo tgo, ż przciętna liczba punktów przypadająca na jdngo studnta w grupi 150 osób zawira się w przdzial od 35 do 45 pkt.
4 Odpowidzi i wskazówki: Lista nr 5: x n 0 1 r.brzg. Y 5.1 (a) C = 0, 15; 1 0, 15 0, 5 0, 4 0 0 0, 5 0, 5 1 0, 15 0, 0, 35 r.brzg.x 0, 3 0, 7 = 1 x n 1 r.brzg. Y (b) 0 0, 5 0, 55 0, 75 1 0, 075 0, 175 0, 5 r.brzg.x 0, 3 0, 7 = 1 ; X i Y ni sa nizalżn; 5. (a) P ((X, Y ) ) = 13 0, 989; f 160 X(x) = 4y 3, X i Y są nizalżn; (d) C = 6; P ((X, Y ) ) = 0, 065; f X (x) = 4y 3y (/9)(5x + ) dla 0 < x < 1, x dla x > 0, (b) P (1 < X <, 1 < Y < 1) = +1 0, 1470; f 3 X (x) = y dla y > 0,, X i Y są nizalżn; (c) C = ; P π (X + Y 0, 5) = 0, 5; f X (x) = π 1 x dla 1 < x < 1, 4 π 1 y ; X i Y ni są nizalżn; 4x 3x dla 0 < x < 1, 5.3 (a) (EX, EY ) = (0, 7; 0, 05); macirz kowariancji to 0, 015 0, 1 0, 7475 0, 0379; [ 0, 1 0, 015 0, 015 0, 7475 ρ XY = 0, 1 0 (b) (EX, EY ) = (1, 7; 0, 5); macirz kowariancji to ; ρ 0 0, 1875 XY = 0; 109/1458 0 (c) (EX, EY ) = (16/7; 4/5); macirz kowariancji to ; ρ 0 /75 XY = 0; 1 0 (d) (EX, EY ) = (1; 1); macirz kowariancji to ; ρ 0 1 XY = 0; 0, 5 0 () (EX, EY ) = (0; 4 ); macirz kowariancji to 3π 9π 0 16 ; ρ XY = 0 [ 36π ] 43/70 1/144 (f) (EX, EY ) = (7/1; 7/1); macirz kowariancji to ; 1/144 43/70 ρ XY = 5/43 0, 1163 0, więc X i Y ni są nizalżn; ] ;
5 5.4 (a) EZ = 1, D Z = 6; (b) EZ = 6, D Z = 67; (c) ρ XY = 0, 1/ 0, 1 16, 1 0, 1138 5.5 (a) do 4/3 z prawdop. 1; (b) do 0,5. Lista nr 6: 6.1 (a) 0, 9319±0, 06; (b) 0, 0064±0, 05; (c) 0, 9996±0, 03; (d) (1) 0, 149±0, 64; () 0, 676±0, 3 6. (a) 0, 997; (b) tak; (c) 0, 6736; (d) 0, 1170; () 0, 9978