RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Transkrypt

1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji 9; wyznaczyć przedział ufności dla mierzonej odległości na poziomie ufności Ponadto, wykonano 5 dodatkowych pomiarów i otrzymano:201, 196, 200, 195, 208. Korzystając ze wszystkich pomiarów wyznaczyć jeszcze raz przedział ufności dla mierzonej odległości oraz porównać długości przedziałów. 2.Na podstawie 100 prób oszacowano średni czas potrzebny do zamontowania elementu i uzyskano (w s): x = 5.5 oraz s = 1.7.Wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej czasu montowania na poziomie: a) 0.90 oraz b) Który jest dłuższy? 3.Dla 10 obserwacji cechy o rozkładzie normalnym otrzymano: 7; 7.5; 8.5; 8; 6; 7.5; 6.5; 5.5; 7.5; 6. Wyznaczyć i porównać przedział ufności dla m gdy: a) σ = 0.5, b) σ nieznane. 4.Klasa przyrządu zależy od odchylenia standardowego wykonywanych nim pomiarów. W celu zbadania klasy przyrządu służącego do pomiaru masy wykonano nim 12 pomiarów masy tego samego ciała (w mg): 101, 105, 98, 96, 100, 106, 100, 95, 95, 101, 94, 98. Przy założeniu, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny wyznaczyć 95% przedział ufności dla odchylenia standardowego. 5.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów natężenia tego samego pola magnetycznego i otrzymano (w Oe): 8, 10, 15, 12, 18, 9, 10, 12, 14, 12. Przyjmując poziom ufności 0.95 wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej oraz dyspersji (odchylenia standardowego) wyników pomiaru tym magnetometrem. 6.Błąd pomiaru wysokości anteny ma rozkład normalny o wariancji 2m 2. Ile pomiarów należy wykonać, aby na poziomie ufności 0.9 oszacować wysokość anteny w przedziale ufności długości co najwyżej : a) 1m; b) 0.2m. 7.Aby oszacować ile procent wyborców (p%) jest zdecydowanych poprzeć danego kandydata w najbliższych wyborach przeprowadzono ankietę wśród 1

2 n losowo wybranych osób (n 100). Na pytanie: czy będziesz głosować na danego kandydata; ankieta przewidywała 2 odpowiedzi: TAK albo NIE. Wyznacz przedział ufności dla p na poziomie ufności 1 α. Przy jakim n długość przedziału ufności będzie mniejsza niż 0.05 (5%). Wykonaj obliczenia dla: n = 200, 180 odpowiedzi TAK, α = W celu zbadania szczelności opakowań produktów pewnej firmy, wylosowano niezależnie do próby i sprawdzono szczelność 100 opakowań, wykrywając 16 opakowań nieszczelnych. Przyjmując poziom ufności 0.99 oszacować procent nieszczelnych opakowań firmy. 9.Niech (X 1, X 2,..., X n ) oraz (Y 1, Y 2,..., Y m ) będą niezależnymi próbami prostymi, że X k ma rozkład N(m 1, σ), Y k ma rozkład N(m 2, σ). Sprawdzić, że statystyka X Y m 1 + m 2 nm(n + m 2) nk=1 (X k X) 2 + m k=1 (Y k Y ) 2 n + m. ma rozkład t-studenta z (n + m 2) stopniami swobody. Odpowiedzi do Listy 10 zad.1 dla n=8 mamy m 203.7, dla n=13 mamy m zad.2 a) 5.22 m 5.78; b) 5.28 m zad σ 6.7 zad m oraz 2.08 σ zad.6 a) n 22; b) n 538 zad.8 6% < p < 25.4% LISTA Hipotezę,że wadliwość produktu wynosi 0.1 sprawdzano następująco: z dużej partii towaru wybierano losowo 100 produktów. Jeśli wśród nich jest mniej niż 17 wadliwych to całą partię towaru uznajemy za wystarczająco dobrą, w przeciwnym przypadku partię uznajemy za złą. Obliczyć błąd I rodzaju, błąd II rodzaju, wartość funkcji mocy dla a) p = 0.2; b) p = 0.3; c) p = 0.5. Wskazówka: rozkład Bernoulliego przybliżyć rozkładem normalnym. 2.Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko K: p 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny i zweryfikować hipotezę H gdy w 100 rzutach monetą było 59 orłów, na po- 2

3 ziomie istotności: a) α = 0.1, b) α = Obliczyć moc testu gdy p = 0.9, p = Niech (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą prostą, że X k ma rozkład N(m,1). Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę H: m=4, przeciwko K: m > 4, gdy n=25 oraz zaobserwowano x = 4.3. Wyznaczyć i naszkicować funkcję mocy testu. Podać wartość p-value. 4.Producent twierdzi,że długość życia (w dekadach) produkowanych przez niego baterii ma rozkład normalny o średniej 48. Długość życia dla zbadanych 7 baterii wyniosła: 44, 46, 49, 42, 51, 40, 45. Czy obserwacje te przeczą hipotezie producenta o średniej długości życia baterii? Zweryfikować hipotezę dla α = Przyjmując, że grubość produkowanych elementów jest zmienną losową o rozkładzie N(m, σ) zweryfikować na poziomie istotności α = 0.1 hipotezę H: m=100 przeciwko K: m 100 dla następujących obserwacji: 95, 103, 104, 97, Zużycie energii elektrycznej (w kwh) przez pewną firmę w 10 losowo wybranych dniach było następujące: 104, 100, 105, 110, 106, 105, 102, 105, 107, 106. Zakładając,że zużycie energii ma rozkład normalny, na poziomie istotności α = zweryfikować hipotezę H: σ 2 = 10 przeciwko K: σ 2 > Producent twierdzi, że produkowany przez niego przyrząd nie popełnia błędu systematycznego oraz odchylenie standardowe wyników pomiaru wynosi σ = W celu sprawdzenia przyrządu wykonano nim 10 niezależnych pomiarów wzorca w=10.00 i uzyskano: 9.97, 9.96, 10.00, 10.01, 9.99, 10.01, 10.00, 10.02, 10.00, Zakładając, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny zweryfikować na poziomie istotności α = 0.01: a) hipotezę producenta o błędzie systematycznym oraz b) hipotezę σ = 0.01 przeciwko hipotezie, że rzeczywiste odchylenie jest większe. 8.Pewien eksperymentator twierdzi, że opracował nową (lepszą) metodę odsiarczania rud miedzi. Dokonano pomiarów zawartości siarki i otrzymano dla metody: 3

4 starej: 17, 11, 22, 18, 15, 13, 14, 16 nowej: 15, 12, 10, 18, 14, 15, 13. Przyjmując, że zawartość siarki ma rozkład normalny zweryfikować odpowiednia hipotezę na poziomie istotności α = Błędy pomiarów każdego z 2 przyrządów mają rozkład normalny o takiej samej wariancji, równej 3. Badając zgodność pomiarów wykonano po 6 pomiarów każdym przyrządem i otrzymano: x 1 = 66.7, x 2 = 67.3; a)zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05; b) wyznaczyć błąd II rodzaju. gdy różnica między średnimi wynosi W wyniku 20 pomiarów temperatury otrzymano x = 4.8. Zakładając, że utrzymywana temperatura jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m,0.1) na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezę H: m = 5 przeciwko alternatywie: a) K: m < 5 oraz b) K: m Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 15 niezależnych pomiarów napięcia i otrzymano s 2 = 1.4. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów wynosi 1.2. Odpowiedzi do Listy 11 zad.1 α = , niech M(p) oznacza moc testu dla parametru p; M(0.2)=0.7734, M(0.3)=0.9977, M(0.5)=1, β = 1 M(p) zad.2 a) Q = {0, 1,..., 41} {59, 60,..., 100}, odrzucamy H gdy zaobserwowano 59 orłów b)q = {1, 2,..., 40} {60, 61,...100}, nie ma podstaw do odrzucenia H gdy zaobserwowano 59 orłów. M(0.4)=0.5793, M(0.9)=1 zad.3 Q = (1.64; ); u=1.5, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy; p-value =1-Φ(1.5) = M(m)=Φ( (m 4)) zad.4 t=-1.877; 6 stopni swobody; Q = (, 0.906), odrzucamy hipotezę zad.5 t=-0.17; 4 st.swobody; Q = (, 2.132) (2.132, ), nie ma podstaw do odrzucenia H zad.6 χ 2 = 6.1; 9 st.swobody; Q = (19.02, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H zad.7 a) H: m=0 (błąd systematyczny wynosi 0 ) K: m 0 t=-0.1; 9 st.swobody; Q = (, 3.25) (3.35, ), nie ma podstaw do 4

5 odrzucenia hipotezy H b) H: σ 2 = przeciwko K: σ 2 > χ 2 = 34; 9 st.swobody, Q = (21.67, ), odrzucamy H na podanym poziomie istotności zad.8 H: m s = m n przeciwko K: m s > m n t=1.48; 13 st.swobody Q = (1.771, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H zad.9 a) H: m 1 = m 2 przeciwko K: m 1 m 2 u=-0.6, Q = (, 1.96) (1.96, ), nie ma podstaw do odrzucenia H b) β = zad.11 χ 2 = 17.5; 14 st.swobody Q = (23.68, ), nie ma podstaw do odrzucenia H LISTA 12 1.W celu sprawdzenia symetryczności kostki do gry wykonano nią 120 rzutów i otrzymano: liczba oczek liczba rzutów Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że kostka jest symetryczna. 2.Zmienna losowa X oznacza liczbę kolizji komunikacji miejskiej w ciągu jednej doby.na podstawie obserwacji próby prostej: 3,2,2,1,4,0,4,2,3 zweryfikować hipotezę,że X ma rozkład Poissona z λ = 2. Przyjąć α = Prześwietlono 100 niezależnych próbek tego samego materiału i uzyskano następujące liczby skaz: liczba skaz liczba próbek Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że liczba skaz w próbkach ma rozkład Poissona. 4.W pewnym doświadczeniu mierzy się czas (w s) występowania określonego efektu świetlnego. Dla 1000 niezależnych doświadczeń uzyskano: czas efektu liczba dośw Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że czas występowania efektu świetlnego ma rozkład normalny. 5.Zbadano zależność między ilością pewnej substancji dodawanej do produkcji wyrobu a jego twardością: 5

6 ilość substancji: 1, 2, 4, 6, 7 twardość wyrobu: 52, 53, 48, 50, 52 a) czy istnieje zależność między ilością dodawanej substancji a wytrzymałością wyrobu? b) wyznaczyć równanie prostej regresji c) obliczyć spodziewaną wytrzymałość wyrobu, gdy do produkcji dodamy 8 jednostek substancji d) obliczyć współczynnik korelacji rang Spearmana. Odpowiedzi do Listy 12 zad.1 χ 2 = 24.50, Q = (11.07, ), odrzucamy hipotezę zad.2 χ 2 = ,4 st.swobody Q = (11.141, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zad.3 χ 2 = , 5 st.swobody Q = (13.277, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zad.4 χ 2 = 52, 43, r=5, 2 st.swobody Q = (5.991, ), odrzucamy hipotezę zad.5 a) r=-0.27, b) y = 0.23x c) 50.08, d) r s =