7 grudnia 2010
Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy równaniem jednorodnym, w przeciwnym przypadku równanie (1) nazywamy równaniem niejednorodnym. Równanie różniczkowe jednorodne jest równaniem o zmiennych rozdzielonych i rozwiązujemy je metodą przedstawioną na poprzednim wykładzie
Przykład Rozwiążemy równanie różniczkowe jednorodne dy dx + x 3 y = 0.
Rozwiązanie Równanie zapisujemy w postaci dy dx = x 3 y Funkcja y = 0 jest jednym z rozwiązań równania. Zakładamy teraz, że y 0 i dzielimy obie strony przez y, otrzymując 1 dy y dx = x 3. Stąd mamy ˆ ˆ dy y = x 3 dx, czyli a więc y = Ce 1 4 x4, gdzie C R. ln y = 1 4 x 4 + C 1,
Uzmiennianie stałej Równanie różniczkowe niejednorodne dy dx + p (x) y = q (x), gdzie funkcja q (x) nie jest tożsamościowo równa zeru, rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej, którą przedstawimy na przykładzie.
Przykład Przykład 1. Rozwiążemy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne dy dx xy = x.
Rozwiązanie Rozwiązujemy najpierw równanie różniczkowe jednorodne otrzymując dy dx dy dx xy = 0, dy xy = 0 dx = xy 1 dy = xdx y ˆ 1 ˆ y dy = xdx + C 1, a więc y = Ce 1 2 x2, gdzie C R. Uzmienniamy teraz stałą C, tzn. zakładamy, że C jest funkcją zmiennej x, czyli C = C (x). Mamy zatem y = C (x) e 1 2 x2. Obliczając pochodną, otrzymujemy dy dx = dc dx e 1 2 x2 + C (x) xe 1 2 x2.
Rozwiązanie cd Wstawiamy otrzymane wyrażenia y i dy dx niejednorodnego, otrzymując równanie do wyjściowego równania dc dx e 1 2 x2 + C (x) xe 1 2 x2 xc (x) e 1 2 x2 = x dc dx e 1 2 x2 = x. Stąd mamy dc dx = xe 1 2 x2, a więc C (x) = C 1 + e 1 2 x2. Wynika stąd, że rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja ( y = C 1 + e 1 x2) 2 e 1 2 x2 = C 1 e 1 2 x2 + 1.
Przykład Przykład 2. Rozwiążemy równanie dy dx y x = 2x 2.
Rozwiązanie Rozwiązujemy równanie jednorodne dy dx y x = 0 otrzymując y = Cx. Uzmienniamy następnie stałą C, przyjmując C = C (x), a więc y = C (x) x. Stąd mamy dy dx = dc dx x + C (x). Po podstawieniu do równania niejednorodnego otrzymujemy równanie dc C (x) x x + C (x) dx x = 2x 2 dc dx x = 2x 2, skąd po podzieleniu stronami przez x mamy ˆ dc = 2x C (x) = 2xdx = x 2 + C 1, dx a więc rozwiązaniem równanie wyjściowego jest funkcja y = ( x 2 + C 1 ) x = x 3 + xc 1.
Definicja Równanie różniczkowe a d 2 y dx 2 + b dy dx + cy = f (x), (2) gdzie a 0, nazywamy liniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Jeśli f (x) 0, to równanie (2) nazywamy równaniem jednorodnym, w przeciwnym przypadku równanie (2) nazywamy równaniem niejednorodnym.
Równania różniczkowe jednorodne Równanie różniczkowe jednorodne o stałych współczynnikach ma postać a d 2 y dx 2 + b dy + cy = 0, (3) dx gdzie a 0. Równaniem charakterystycznym równania (3) nazywamy równanie kwadratowe aλ 2 + bλ + c = 0. (4)
Twierdzenie Postać rozwiązania równania jednorodnego Niech aλ 2 + bλ + c = 0 będzie równaniem charakterystycznym równania (3). a) Jeśli równanie (4) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste λ 1, λ 2 ( = b 2 4ac > 0), to równanie (3) ma rozwiązanie ogólne postaci y = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x. b) Jeśli równanie (4) ma jeden pierwiastek podwójny λ = λ 1 = λ 2 ( = b 2 4ac = 0), to równanie (3) ma rozwiązanie ogólne postaci y = (C 1 x + C 2 ) e λx.
Twierdzenie cd Postać rozwiązania równania jednorodnego cd c) Jeśli równanie (4) ma dwa różne pierwiastki zespolone λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ ( = b 2 4ac < 0), to równanie (3) ma rozwiązanie ogólne postaci gdzie α = b 2a, β = 4ac b 2 2a. y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx),
Uzmiennianie stałych Równania różniczkowe niejednorodne a d 2 y dx 2 + b dy dx + cy = f (x), gdzie funkcja f (x) nie jest tożsamościowo równa zeru, rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych C 1, C 2. Rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x). Uzmienniamy teraz stałe przyjmując C 1 = C 1 (x), C 2 = C 2 (x), przy czym o funkcjach C 1 = C 1 (x), C 2 = C 2 (x) zakładamy, że spełniają warunek C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) = 0. (5)
Uzmiennianie stałych cd Mamy zatem y = C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x), a stąd po zróżniczkowaniu otrzymujemy dy dx = C 1 (x) y 1 (x) + C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) + C 2 (x) y 2 (x) = = C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) oraz dy 2 dx 2 = C 1 (x) y 1 (x) + C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) + C 2 (x) y 2 (x). Po podstawieniu do równania niejednorodnego i redukcji otrzymujemy równanie C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) = 1 af (x). (6)
Uzmiennianie stałych cd Z równań C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) = 0, C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x) = 1 a f (x). wyznaczamy C 1 (x) i C 2 (x), a następnie po scałkowaniu otrzymujemy C 1 (x) i C 2 (x).
Przykład Rozwiążemy równanie różniczkowe d 2y dx 2 y = x.
Rozwiązanie Rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja y = C 1 e x + C 2 e x. Uzmienniamy teraz stałe, przyjmując C 1 = C 1 (x), C 2 = C 2 (x). Mamy zatem y = C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x), gdzie y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e x. Równania (5) i (6) są zatem postaci C 1 (x) e x + C 2 (x) e x = 0, C 1 (x) e x C 2 (x) e x = x.
Rozwiązanie cd Stąd mamy 2C 1 (x) e x = x C 1 (x) = 1 2 xe x, 2C 2 (x) e x = x C 2 (x) = 1 2 xex. Czyli ˆ C 1 (x) = 1 2 xe x dx = 1 2 xe x 1 2 e x + A 1, C 2 (x) = ˆ ( 1 2 xex) dx = 1 2 xex + 1 2 ex + A 2.
Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu z warunkami początkowymi Rozwiązanie ogólne równania drugiego rzędu zależy od dwóch parametrów. Jednoznaczne rozwiązanie otrzymamy wówczas, gdy podamy warunki początkowe postaci y (x 0 ) = y (1) 0, y (x 0 ) = y (2) 0.
Przykład Przykład 1. Rozwiążemy równanie jednorodne d 2 y dx 2 + 5dy dx + 4y = 0 z warunkami początkowymi y (0) = 1, y (0) = 2.
Rozwiązanie Równanie charakterystyczne ma postać λ 2 + 5λ + 4 = 0, stąd λ 1 = 1, λ 2 = 4. Rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja postaci y = C 1 e x + C 2 e 4x. Stąd mamy oraz y (0) = C 1 + C 2 y = C 1 e x 4C 2 e 4x y (0) = C 1 4C 2
Rozwiązanie cd Rozwiązując układ równań { C1 + C 2 = 1, C 1 4C 2 = 2, otrzymujemy C 1 = 2, C 2 = 1. Rozwiązaniem równania spełniającym podane warunki początkowe jest zatem funkcja y (x) = 2e x e 4x.
Przykład Przykład 2. Rozwiążemy równanie niejednorodne d 2 y 4y = 2x dx 2 z warunkami początkowymi y (0) = 0, y (0) = 1.
Rozwiązanie Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać y (x) = C 1 e 2x + C 2 e 2x. Uzmienniamy stałe przyjmując y (x) = C 1 (x) 1 e 2x + C 2 (x) e 2x, gdzie C 1 (x) e2x + C 2 (x) e 2x = 0.
Rozwiązanie cd Stąd mamy y (x) = C 1 (x) e 2x + 2C 1 (x) e 2x + C 2 (x) e 2x 2C 2 (x) e 2x = = 2C 1 (x) e 2x 2C 2 (x) e 2x oraz y (x) = 2C 1 (x) e 2x + 4C 1 (x) e 2x 2C 2 (x) e 2x + 4C 2 (x) e 2x = = 2C 1 (x) e 2x + 4C 1 (x) e 2x 2C 2 (x) e 2x + 4C 2 (x) e 2x.
Rozwiązanie cd Wstawiając do wyjściowego równania niejednorodnego, otrzymujemy 2C 1 (x) e 2x + 4C 1 (x) e 2x 2C 2 (x) e 2x + 4C 2 (x) e 2x + 4 ( C 1 (x) 1 e 2x + C 2 (x) e 2x) = 2x. czyli 2C 1 (x) e 2x 2C 2 (x) e 2x = 2x.
Rozwiązanie cd Z układu { C 1 (x) e 2x + C 2 (x) e 2x = 0 2C 1 (x) e2x 2C 2 (x) e 2x = 2x mamy C 1 (x) = 1 2 xe 2x, C 2 (x) = 1 2 xe2x, a więc C 1 (x) = 1 2 xe 2x dx = 1 4 xe 2x 1 8 e 2x + D 1, C 2 (x) = ( 1 2 xe2x) dx = 1 4 xe2x + 1 8 e2x + D 2.
Rozwiązanie cd Rozwiązaniem ogólnym układu niejednorodnego jest zatem funkcja y (x) = ( 1 4 xe 2x 1 ) 8 e 2x + D 1 e 2x + + ( 1 4 xe2x + 1 ) 8 e2x + D 2 e 2x = = 1 2 x + D 1e 2x + D 2 e 2x. Stąd y (0) = D 1 + D 2, y (x) = 1 2 + 2e2x D 1 2D 2 e 2x oraz y (0) = 1 2 + 2D 1 2D 2.
Rozwiazanie cd Z układu { D 1 + D 2 = 0 1 2 + 2D 1 2D 2 = 1 otrzymujemy, D 1 = 3 8, D 2 = 3 8, a więc y (x) = 1 2 x + 3 8 e2x 3 8 e 2x.