ELEMENTY TEORII LICZB. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2004/05

ELEMENTY TEORII LICZB Grzegorz Szkibiel Jesie«2004/05

Spis tre±ci 1 Liczby i wielomiany 5 1.1 Wielomiany............................ 5 1.2 Podzielno± liczb......................... 8 1.3 Podzielno± wielomianów..................... 10 2 Liczby w ró»nych systemach pozycyjnych 13 2.1 Zmiana podstawy w systemach pozycyjnych.................... 14 2.2 Niektóre cechy podzielno±ci................... 15 2.3 Uwagi ko«cowe.......................... 16 3 Liczby pierwsze 17 3.1 Rozkªad na czynniki....................... 17 3.2 Ilo± i rozmieszczenie liczb pierwszych.............. 19 4 Podstawowe twierdzenie arytmetyki 21 4.1 Jednoznaczno± rozkªadu na liczby pierwsze.......... 21 4.2 Konsekwencje........................... 22 5 Najwi kszy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotno± 25 5.1 Najwi kszy wspólny dzielnik................... 25 5.2 Najmniejsza wspólna wielokrotno±............... 28 6 Algorytm Euklidesa 31 6.1 Algorytm Euklidesa dla liczb i wielomianów........................... 31 6.2 Rozwi zywanie równa«...................... 34 2

Elementy teorii liczb wykªad 3 6.3 Diofantyczne równania liniowe z dwiema niewiadomymi..................... 36 7 Arytmetyka modulo m 39 7.1 Poj cie kongruencji........................ 39 7.2 Wªasno±ci arytmetyczne kongruencji.............. 41 7.3 Cechy podzielno±ci........................ 42 7.4 Dalsze wªasno±ci kongruencji................... 44 7.5 Liczby odwrotne modulo m i kongruencje liniowe....................... 47 8 Ukªady kongruencji z jedn niewiadom 51 8.1 Chi«skie twierdzenie o resztach................. 52 8.2 Pewne uogólnienie........................ 53 9 Kongruencje wy»szych stopni 57 9.1 Zastosowania........................... 57 9.2 Gªówne twierdzenie........................ 60 10 Kwadraty magiczne 64 10.1 Metoda De La Loubere'a..................... 64 10.2 Uogólnienie............................ 67 11 Dalsze twierdzenia arytmetyki modulo n 70 11.1 Maªe twierdzenie Fermata.................... 70 11.2 Funkcja Eulera.......................... 72 11.3 Twierdzenie Eulera........................ 75 11.4 Twierdzenie Lagrange'a...................... 76 12 Liczby pseudopierwsze 79 12.1 Poj cie liczba pseudopierwsza.................. 79 12.2 Liczby Carmichaela........................ 81 12.3 Liczby silnie pseudopierwsze................... 81 13 Pierwiastki pierwotne 84 13.1 Rz d elementu modulo n..................... 84 13.2 Pierwiastki pierwotne modulo n................. 86 13.3 Wykªadnik uniwersalny modulo n................ 88 13.4 Istnienie pierwiastków pierwotnych............... 90

4 Elementy teorii liczb wykªad 13.5 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych.................... 92

Rozdziaª 1 Liczby i wielomiany Zakres teorii liczb to zbiór liczb caªkowitych. Tak wi c w ramach tego przedmiotu nie b dziemy wychodzi poza ten zbiór, a je±li si pojawi poj cie,,liczba, oznacza to b dzie,,liczba caªkowita. Czasami ograniczymy nasz zakres jeszcze bardziej, tj. do zbioru liczb naturalnych. Od czasu do czasu jednak trzeba b dzie wyj± poza liczby caªkowite. Wówczas do sªowa,,liczba dodawa b dziemy odpowiednie przymiotniki, np.,,liczba wymierna lub,,liczba rzeczywista. Przy badaniu pewnych cech liczb wykorzystywane s wielomiany. Zbiór wielomianów ma wiele wªasno±ci analogicznych do zbioru liczb caªkowitych. Zatem obydwa te zbiory b dziemy poznawa w miar równolegle. 1.1 Wielomiany Z pojeciem wielomian wi»e si pewien zbiór. Dobrze jest je»eli zbiór ten ma pewn struktur, tj. mo»na jego elementy poddawa okre±lonym dziaªaniom. Podamy tu dwie denicje. Ciaªem nazywamy zbiór K, w którym okre±lone s dwa dziaªania + oraz speªniaj ce nast puj ce warunki: 1. a,b K a + b = b + a, 2. (a + b) + c = a + (b + c), a,b,c K 3. 0 K a K a + 0 = 0 + a = a, 5

6 Elementy teorii liczb wykªad 4. a K a K 5. a,b K a b = b a, a + ( a) = ( a) + a = 0, 6. (a b) c = a (b c), a,b,c K 7. a 1 = 1 a = a, 1 K a K\{0} 8. a a K\{0} a 1 K a 1 = a 1 a = 1, 9. (a + b) c = a c + b c. a,b,c K Powy»sze warunki nazywamy aksjomatami ciaªa. Dziaªanie + nazywamy dodawaniem a mno»eniem. Zwykle pomija si kropk przy zapisie dziaªania mno»enia. Aksjomaty 2 i 6 nosz nazwy praw ª czno±ci, a aksjomaty 1 i 5 praw przemienno±ci, odpowiednio, dodawania oraz mno»enia. Warunek 7 to prawo rozdzielno±ci mno»enia wzgl dem dodawania. Element 0 nazywamy elementem neutralnym dodawania, a 1 elementem neutralnym mno»enia. Zbiór K bez elementu neutralnego dodawania oznaczamy K. Element a nazywamy elementem przeciwnym do a, natomiast a 1 elementem odwrotnym do a. Maj c zarówno elementy odwrotne jak i przeciwne, mo»emy mówi o dzieleniu oraz odejmowaniu i pisa a oraz a b zamiast b ab 1 i a + ( b). Zbiór P z okre±lonymi dziaªaniami dodawania i mno»enia, który speªnia wszystkie aksjomaty ciaªa z wyj tkiem ósmego nazywamy pier±cieniem przemiennym z jedynk. Poniewa» nie b dziemy mówi o innych pier±cieniach ni» przemienne z jedynk, wi c b dziemy pomija okre±lenie,,przemienny z jedynk. Przykªadem pier±cienia jest zbiór liczb caªkowitych Z. Niech dany b dzie zbiór A. Wielomianem o wspóªczynnikach w A nazywamy dowoln sum a(x) = a n x n, (1.1) n=0 dla której a n A (dla n N 0 ) oraz prawie wszystkie elementy a n s równe 0. x nazywamy zmienn, a elementy a n wspóªczynnikami. Najwy»szy wska¹nik n, dla którego a n 0 nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy deg a(x). Je»eli wszystkie wspóªczynniki s równe zeru, to stopie«

Elementy teorii liczb wykªad 7 wielomianu okre±lamy jako. Poniewa» suma 1.1 jest zawsze sko«czona, u»ywamy raczej zapisu a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n, gdzie n jest stopniem wielomianu, lub 0, je±li ten stopie«jest równy. Zbiór wszystkich wielomianów o wspóªczynnikach w zbiorze A oznaczamy A[x], a sam zbiór A nazywamy zbiorem wspóªczynników. B dziemy dalej zakªada,»e A jest ciaªem lub pier±cieniem. W szczególno±ci, w zbiorze A zdeniowane s dziaªania dodawania i mno»enia. Okre±limy teraz dodawanie oraz mno»enie wielomianów. Przyjmijmy Wówczas oraz a(x) = a n x n, b(x) = b n x n. n=0 n=0 a(x) + b(x) = a(x)b(x) = (a n + b n )x n, n=0 ( n ) a j b n j x n. n=0 j=0 Elementy A stanowi wielomiany stopnia zero. Mo»na wi c mówi o mno-»eniu wielomianów przez elementy ze zbioru A. Zauwa»my,»e A[x] jest pier±cieniem oraz»e deg(a(x) + b(x)) max (deg a(x), deg b(x)) (1.2) przy czym równo± zachodzi je±li deg a(x) deg b(x) oraz deg(a(x)b(x)) deg a(x) + deg b(x). (1.3) W 1.3 równo± zachodzi, je»eli A jest ciaªem. Na zako«czenie ogólnych rozwa»a«o wielomianach podamy jeszcze jedn denicj. Wielomian o wspóªczynnikach w ciele K nazywamy unormowanym, je»eli niezerowy wspóªczynnik o najwy»szym wska¹niku jest równy 1.

8 Elementy teorii liczb wykªad 1.2 Podzielno± liczb Zauwa»my,»e jedynym aksjomatem ciaªa, którego nie speªnia zbiór liczb caªkowitych jest aksjomat 6. W zwi zku z tym, nie mo»emy okre±li w Z dzielenia tak, jak to jest zrobione na przykªad w zbiorze liczb wymiernych. Fakt ten le»y u podstaw teorii liczb i dlatego zaczynamy nasze rozwa»ania od pewnych poj zwi zanych z podzielno±ci. Przypu± my,»e mamy dane dwie liczby caªkowite a i b. Mówimy,»e a dzieli b lub b jest wielokrotno±ci a (i piszemy a b) je±li istnieje taka liczba c,»e ac = b. Je»eli nie ma takiej liczby caªkowitej c, to mówimy,»e a nie dzieli b lub b nie jest wielokrotno±ci a (co zapisujemy a b). Je±li a dzieli b, to mówimy te»,»e a jest dzielnikiem b lub»e b jest podzielna przez a. Przykªady 1.1. Poniewa» 24 = 2 12 = 3 8 = 4 6, wi c 2 24, 8 24 oraz 4 24. Tak»e 2 24 i 12 24 poniewa» ( 2)( 12) = 24. 1.2. Je±li a b, to a b. Istotnie, je±li istnieje c takie,»e ac = b, to mamy te» ( a)( c) = b, czyli a b. 1.3. adna liczba ró»na od zera nie jest podzielna przez 0. Istotnie, gdyby zero byªo dzielnikiem liczby a, to istniaªaby liczba c taka,»e 0 c = a. Ale to oznaczaªoby,»e a = 0. Z kolei wyra»enie 0 0 ma sens poniewa» dla dowolnej liczby caªkowitej a mamy a 0 = 0. Z ostatniej równo±ci wynika te»,»e ka»da liczba caªkowita jest dzielnikiem 0. 1.4. Pewne liczby maj du»o dzielników, jak na przykªad 12, czy 24, a inne mniej. Na przykªad liczba 29 ma tylko dwa dzielniki dodatnie: 1 i 29 oraz dwa ujemne: 1 i 29. Poka»emy teraz cztery podstawowe wªasno±ci podzielno±ci liczb. 1.5 Lemat. Dla dowolnych liczb a, b, c, x, y Z zachodz nast puj ce wªasno±ci: (a) Je±li a b oraz x y, to ax by, (b) Je±li a b oraz b c, to a c, (c) Je±li a b oraz b 0, to a b, (d) Je±li a b oraz a c, to a bx + cy.

Elementy teorii liczb wykªad 9 Dowód. (a) Z denicji podzielno±ci wynika natychmiast istnienie takich liczb s oraz t,»e b = as i y = xt. St d by = (as)(xt) = (ax)(st), czyli ax by. (b) Skoro istniej liczby s oraz t, takie»e b = as i c = bt, wi c c = b(as) = a(bs). (c) Istnieje s, takie»e b = as. St d b = as = a s. Poniewa» b 0, wi c s 0, czyli s 1. Oznacza to,»e a a s = b. (d) Podobnie jak w poprzednich cz ±ciach dowodu, istniej liczby s oraz t, takie»e b = as i c = at. Zatem, co ko«czy dowód. bx + cy = asx + aty = a(sx + ty) Z punktu (d) lematu wynika fakt, który b dziemy cz sto stosowa. Mianowicie, je±li a b oraz a b + c, to a c. Istotnie, skoro a b oraz a b + c, wi c a ( 1)b + 1 (b + c), czyli a c. Nie ka»da liczba jest dzielnikiem a 0. Je»eli jednak mamy b 0, to zawsze mo»emy dokona dzielenia z reszt. W dalszej cz ±ci wykªadu b dziemy cz sto korzysta z nast puj cego twierdzenia. 1.6 Twierdzenie (o podzielno±ci). Przypu± my,»e a, b Z przy czym b 0. Istniej wówczas jednoznacznie okre±lone liczby q Z oraz 0 r < b, takie»e a = bq + r (1.4) Liczby q oraz r, które pojawiªy si w tre±ci poprzedniego twierdzenia nazywamy, odpowiednio, dzielnikiem cz ±ciowym i reszt z dzielenia a przez b. Dowód. Rozwa»my zbiór S = {a mb : m Z}. Zauwa»my najpierw,»e w zbiorze S jest przynajmniej jedna liczba nieujemna. Istotnie, je±li a > b, to a 1 b > 0 i jest to liczba ze zbioru S. W przeciwnym wypadku przynajmniej jedna z liczb a ( a 1)b, a ( a +1)b jest wi ksza od zera (w zale»no±ci, czy b 0, czy b < 0), a obie te liczby s elementami S. Skoro w S s liczby nieujemne, to we¹my najmniejsz z nich i nazwijmy j r. Skoro r S, to istnieje q Z, taka»e r = a qb. Wiadomo,»e r 0. Przypu± my,»e r > b. Wówczas r 1 = r b jest liczb dodatni

10 Elementy teorii liczb wykªad oraz r 1 = a (q + 1)b lub r 1 = a (q 1)b jest dodatnim elementem zbioru S mniejszym od r. St d sprzeczno± z wyborem r. Tak»e r b, bo w przeciwnym wypadku b byªoby dzielnikiem a, czyli 0 < r byªoby elementem zbioru S, a to daªoby nam ponownie sprzeczno± z wyborem r. Wykazali±my wi c istnienie liczb q i r, które speªniaj 1.4. Pozostaje jeszcze udowodni jednoznaczno± liczb q i r. Przypu± my,»e istniej q 1 oraz r 1, takie»e a = q 1 b + r 1 przy czym 0 r 1 < b. Zatem (q q 1 )b = r 1 r. (1.5) Ale r 1 r < b, poniewa» 0 r < b oraz 0 r 1 < b. Z drugiej strony 1.5 oraz lemat 1.5(c) implikuj b r 1 r lub r 1 r = 0. Zatem musi zachodzi druga równo±, czyli r 1 = r. Ale to oznacza,»e (q q 1 )b = 0, a poniewa» b 0, wi c q q 1 = 0. 1.3 Podzielno± wielomianów Podamy teraz twierdzenia, które s analogiczne do udowodnionego lematu 1.5 oraz twierdzenia 1.6. Najpierw jednak zdeniujemy potrzebne poj cia. Przypu± my wi c,»e mamy dane dwa wielomiany a(x) i b(x). Mówimy,»e a(x) dzieli b(x) lub b(x) jest wielokrotno±ci a(x) (i piszemy a(x) b(x)) je±li istnieje taki wielomian c(x),»e a(x)c(x) = b(x). Je»eli nie ma takiego wielomianu c(x), to mówimy,»e a(x) nie dzieli b(x) (co zapisujemy a(x) b(x)). Je±li a(x) dzieli b(x), to mówimy te»,»e a(x) jest dzielnikiem b(x) lub»e b(x) jest podzielny przez a(x). W dalszym ci gu deg a(x) oznacza stopie«wielomianu a(x). 1.7 Lemat. Dla dowolnych wielomianów a(x), b(x), c(x), v(x), w(x) o wspóªczynnikach w pewnym ciele K zachodz nast puj ce wªasno±ci: (a) Je±li a(x) b(x) oraz v(x) w(x), to a(x)v(x) b(x)w(x); (b) Je±li a(x) b(x) oraz b(x) c(x), to a(x) c(x); (c) Je±li a(x) b(x) oraz b(x) 0, to deg a(x) deg b(x); (d) Je±li a(x) b(x) oraz a(x) c(x), to a(x) b(x)v(x)x + c(x)w(x); (e) je±li a(x) b(x) oraz s K, to sa(x) b(x).

Elementy teorii liczb wykªad 11 Dowody wªasno±ci (a)., (b) i (d) s analogiczne do dowodów odpowiednich wªasno±ci lematu 1.5. Ograniczymy si tu wi c do pokazania wªasno±ci (c) oraz (e). Aby pokaza (c) zauwa»my,»e z denicji podzielno±ci wielomianów, istnieje u(x), takie»e b(x) = a(x)u(x). St d, wobec 1.3, mamy deg b(x) = deg a(x)+deg u(x) gdy» zbiorem wspóªczynników jest ciaªo. Poniewa» b(x) 0, wi c wielomian u(x) te» nie mo»e by zerowy. Zatem jego stopie«jest liczb nieujemn i deg b(x) deg a(x). Aby pokaza (e), zapiszmy b(x) = a(x)u(x). Poniewa» s 0, wi c istnieje s 1 oraz b(x) = (sa(x))(s 1 u(x)). 1.8 Twierdzenie (o podzielno±ci wielomianów). Przypu± my,»e a(x) oraz b(x) s wielomianami o wspóªczynnikach w pewnym ciele K oraz b(x) nie jest wielomianem zerowym. Istniej wówczas jednoznacznie okre±lone wielomiany q(x) oraz r(x), takie»e przy czym deg r(x) < deg b(x). a(x) = b(x)q(x) + r(x) (1.6) Wielomiany q(x) oraz r(x), które pojawiªy si w tre±ci poprzedniego twierdzenia nazywamy, odpowiednio, dzielnikiem cz ±ciowym i reszt z dzielenia a(x) przez b(x). Dowód. Rozwa»my zbiór S = {a(x) m(x)b(x) : m(x) K[x]}. Niech r(x) S b dzie wielomianem o najni»szym stopniu. Istnieje wielomian q(x), taki»e r(x) = a(x) q(x)b(x). Poka»emy,»e deg r(x) < deg b(x). W tym celu b dziemy post powa nie wprost. Zaªó»my wi c,»e zachodzi nierówno± deg r(x) deg b(x) i zapiszmy r(x) = r n x n + r n 1 x n 1 + + r 0 b(x) = b m x m + b m 1 x m 1 + + b 0, gdzie r n 0 b m. Mamy r(x) = r n b 1 m x n m b(x) + r(x), gdzie r(x) = (r n 1 r n b 1 m b m 1 )x n 1 +(r n 2 r n b 1 m b m 2 )x n 2 + +(r n m r n b 1 m b 0 )x n m + r n m 1 x n m 1 + + r 0. Zatem deg r(x) n 1 < deg r(x)

12 Elementy teorii liczb wykªad oraz r(x) = a(x) b(x) (q(x) + r n b 1 m x n m ) i mamy sprzeczno± z wyborem wielomianu r(x). Pozostaªo jeszcze pokaza jednoznaczno± wielomianów q(x) i r(x). Przypu± my, nie wprost,»e a(x) = b(x)q(x) + r(x) = b(x) q(x) + r(x). St d b(x) (q(x) q(x)) = r(x) r(x). Ale z lematu 1.7(c) oraz z 1.2 mamy deg b(x) deg ( r(x) r(x)) max {deg r(x), deg r(x)} (1.7) lub r(x) r(x) = 0. Ale z 1.7 wynika,»e deg b(x) deg r(x) lub deg b(x) deg r(x), a»aden z tych warunków nie mo»e zachodzi. Zatem r(x) = r(x), a skoro b(x) 0, wi c q(x) = q(x).

Rozdziaª 2 Liczby w ró»nych systemach pozycyjnych Istotnym zastosowaniem twierdzenia o podzielno±ci (1.6) jest reprezentacja liczb caªkowitych w systemach pozycyjnych. Przypomnijmy,»e stosowany powszechnie system zapisu liczb nazywamy systemem pozycyjnym, poniewa» znaczenie cyfry zale»y od pozycji, na której si owa cyfra znajduje. Poza tym nasz system liczenia nazywamy dziesi tnym, poniewa» mamy dokªadnie 10 cyfr. Liczba cyfr w systemie pozycyjnym zale»y od podstawy. Dokªadnie, dowoln liczb caªkowit nieujemn n zapisujemy przy podstawie b 2 w postaci (d k 1 d k 2... d 1 d 0 ) b, (2.1) gdzie d k 1, d k 2,..., d 1, d 0 s liczbami caªkowitymi (dziesi tnymi) nieujemnymi oraz niewi kszymi od b 1. Liczby te nazywamy cyframi. Zapis 2.1 oznacza,»e n = d k 1 b k 1 + + d 1 b + d 0. (2.2) Je»eli n jest liczb ujemn to wyra»enie po prawej stronie równo±ci 2.2 zacz liby±my od znaku. Je»eli d k 1 nie jest zerem, to mówimy,»e n jest liczb k-cyfrow w systemie pozycyjnym o podstawie b. Je»eli b = 10 to nawiasy w 2.1 opuszczamy, gdy» wtedy mamy do czynienia ze zwykªym dziesi tnym systemem pozycyjnym. Podobnie opu±cimy nawiasy gdy wybór podstawy jasno wynika z kontekstu. Zapis 2.2 nazywamy rozwini ciem liczby n przy podstawie b. Je»eli b > 10, to pisownia niektórych cyfr jest uci»liwa (wymaga dodatkowych nawiasów) lub niejasna ((101) b mo»na rozumie na dwa sposoby). 13

14 Elementy teorii liczb wykªad Dlatego dla oznaczenia cyfr 10, 11, 12,... u»ywamy liter: A, B, C,... Oczywi±cie, mo»na u»ywa liter lub innych znaków dla oznaczenia wszystkich cyfr. Na przykªad, podstawa 26 (liczba liter w alfabecie ªaci«skim) jest u»ywana w kryptograi i cyframi s po prostu litery alfabetu. Wykorzystuj c twierdzenie o podzielno±ci, poka»emy»e istnieje dokªadnie jedno rozwini cie liczby nieujemnej w systemie pozycyjnym o podstawie b 2. Istotnie, je±li dana jest liczba n 0, to istnieje dokªadnie jedna reszta d 0 z dzielenia n przez b, wi c n = bq 0 + d 0, gdzie 0 d 0 b 1. Dalej mamy istnienie dokªadnie jednej liczby 0 d 1 b 1, takiej»e q 0 = bq 1 +d 1, lub»e n = b 2 q 1 + bd 1 + d 0. Post puj c tak dalej otrzymamy jednoznacznie okre±lone liczby d 0, d 1,..., d k 1, dla których zachodzi równo± 2.2. Oczywi- ±cie, rozwini cie liczby ujemnej te» jest jednoznaczne. 2.1 Zmiana podstawy w systemach pozycyjnych Cz sto zdarza si,»e trzeba przej± od jednej podstawy systemu pozycyjnego do drugiej. Zwykle jest to przej±cie do podstawy 10 lub od podstawy 10. Przechodzenie do podstawy 10 polega na obliczeniu wyra»enia po prawej stronie 2.2. Gorzej jest przej± od podstawy 10 do innej podstawy. Najbardziej naturalnym sposobem jest sekwencyjne dzielenie z reszt, które opisali±my powy»ej, a teraz zademonstrujemy na przykªadzie. 2.1 Przykªad. Zapiszemy liczb 346 w systemie trójkowym, czyli przy podstawie 3. Dzielimy 346 na 3 otrzymuj c 115, reszta 1. Zatem 346 = 115 3+1. Teraz dzielimy 115 na 3 otrzymuj c 38, reszta 1. St d 346 = 38 3 2 +1 3+1. Kontynuuj c ten proces otrzymamy czyli 346 = (110211) 3. 346 = 3 5 + 3 4 + 2 3 2 + 3 1 + 1, Je»eli przechodzimy od podstawy b 1 10 do podstawy b 2 10, to mo»na tu przechodzi po±rednio przez podstaw 10. Czasem jednak bardziej efektywne jest zapisanie b 1 i cyfr w systemie o podstawie b 2 oraz odpowiednie pogrupowanie. Je»eli dodatkowo b 1 jest pot g b 2, to sposób ten jest bardzo szybki.

Elementy teorii liczb wykªad 15 Przykªady 2.2. Zapiszemy (548) 16 w systemie dwójkowym. Poniewa» 16 = 2 4, 5 = 1 2 2 + 1, 4 = 1 2 2 oraz 8 = 1 2 3, mamy (548) 16 = 5 16 2 + 4 16 + 8 = 1 2 10 + 1 2 8 + 1 2 6 + 1 2 3 = (10101001000) 2. 2.3. Zapiszemy n = (212021) 3 w systemie o podstawie 9. Grupujemy cyfry po 2 (bo 9 = 3 2 ) zaczynaj c od prawej strony: 21, 20, 21. (Je±li,,nie starcza cyfr na ostatni grup, dodajemy z przodu odpowiedni liczb zer. Poniewa» (21) 3 = 2 3 + 1 = 7, a (20) 3 = 2 3 = 6, wi c n = (767) 9. 2.2 Niektóre cechy podzielno±ci Zajmiemy si teraz uogólnieniem pewnych cech podzielno±ci jakie maj liczby w systemie o podstawie 10. Zauwa»my,»e liczba n (w systemie dziesi tnym) dzieli si przez 2, je»eli jej ostatnia cyfra dzieli si przez 2, dzieli si przez 4, je»eli liczba zªo»ona z dwóch ostatnich cyfr n dzieli si przez 4, ogólnie, liczba n dzieli si przez 2 s, je»eli liczba zªo»ona z s ostatnich cyfr liczby n dzieli si przez n. Podobne reguªy obowi zuj przy dzieleniu przez pot gi liczby 5, a zachodz one dlatego,»e zarówno 2 oraz 5 s dzielnikami podstawy systemu, czyli 10. Udowodnimy twierdzenie, które uogólnia powy»sze fakty. 2.4 Twierdzenie. Przypu± my,»e d b. Wówczas liczba n zapisana w systemie pozycyjnym o podstawie b dzieli si przez d s (s 1) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba zªo»ona z s ostatnich cyfr liczby n dzieli si przez d s. Dowód. Przypu± my,»e n jest zapisana w systemie o podstawie b oraz d s n. Zapiszmy 2.2 w troch inny sposób, mianowicie n = n s b s + d s 1 b s 1 + + d 1 b + d }{{} 0, n 0 gdzie n 0 jest liczb zªo»on z s ostatnich cyfr n a n s liczb zªo»on z pozostaªych cyfr n (je±li k s, to n s = 0). Korzystaj c z lematu 1.5 mamy d s n n s b s sk d d s n 0.

16 Elementy teorii liczb wykªad. Korzystaj c z oznacze«wprowadzonych w pierwszej cz ±ci dowodu za- ªó»my»e d s n 0. Poniewa» d s b s, wi c d s n. Rozwa»ymy jeszcze cech podzielno±ci przez odpowiedniki liczb 3 i 9 w systemie o podstawie b. 2.5 Twierdzenie. Zaªó»my,»e d b 1. Liczba d dzieli n zapisan w systemie o podstawie b wtedy i tylko wtedy, gdy d dzieli sum cyfr liczby n. Dowód. Zaªó»my,»e d n. Podobnie jak w poprzednim dowodzie, zapiszmy 2.2 w inny sposób. n = d k (b k 1) + d k 1 (b k 1 1) + + d 1 (b 1) + }{{} n 1 d k + d k 1 + + d 1 + d }{{} 0. n 0 Zauwa»my,»e je±li s 1, to b 1 b s 1. Zatem z lematu 1.5 mamy d n 1 oraz d n n 1, czyli d n 0.. Korzystaj c z oznacze«z pierwszej cz ±ci dowodu mamy d n 0, a st d d n 0 + n 1, czyli d n. Inne dowody twierdze«z tego podrozdziaªu otrzymamy w dalszej cz ±ci wykªadu jako zastosowanie kongruencji. 2.3 Uwagi ko«cowe Dziaªania arytmetyczne na liczbach w systemie o podstawie b wykonujemy bez anga»owania w to podstawy 10. Dodawanie, odejmowanie i mno»enie pisemne przeprowadzamy tak jak dotychczas, przy czym przy,,po»yczaniu bierzemy nie 10 lecz b. Tak»e uªamki mo»na rozwija przy dowolnej podstawie. Maj one (sko«- czon lub niesko«czon posta (d k 1 d k 2... d 1 d 0, d 1 d 2... ) b. Warto tu zauwa»y,»e przy zmianie podstawy, mog te» zmieni si uªamki okresowe. Na przykªad 0, 33333 = (0, 1) 3, a 0, 5 = (0, 11111... ) 3.

Rozdziaª 3 Liczby pierwsze Dodatni liczb caªkowit p nazywamy pierwsz, je»eli posiada ona dokªadnie dwa dzielniki naturalne: p oraz 1. Liczby, które nie s pierwsze, nazywamy zªo»onymi. Od tej chwili, liter p (tak»e z dodatkowymi znaczkami, np. p 1, p n, p s ) rezerwujemy do oznaczenia liczb pierwszych. 3.1 Rozkªad na czynniki Liczby pierwsze stanowi najmniejsze,,cegieªki, z których zbudowane s liczby naturalne. Wi kszo± pyta«zwi zanych z podzielno±ci liczb sprowadza si do znalezienia dzielników pierwszych. Poka»emy,»e ka»d liczb naturaln n mo»na rozªo»y na czynniki pierwsze, czyli zapisa w postaci iloczynu liczb pierwszych. Je±li n jest liczb pierwsz, to iloczyn ten ma tylko jeden czynnik. 3.1 Twierdzenie. Ka»da liczba naturalna wi ksza od 1 jest iloczynem liczb pierwszych. Dowód (nie wprost). Przypu± my,»e istniej liczby naturalne, które nie s iloczynami liczb pierwszych. Niech n b dzie najmniejsz z tych liczb. Nie mo»e to by liczba pierwsza (zob. uwaga przed twierdzeniem), wi c musi to by liczba zªo»ona. Istniej wi c liczby naturalne a oraz b, dla których zachodzi n = abi które s ostro mniejsze od n. Poniewa» n jest najmniejsz liczb nie daj c si rozªo»y na czynniki pierwsze, wi c a oraz b s iloczynami liczb pierwszych. Zatem n te» musi by iloczynem liczb pierwszych i mamy sprzeczno±. 17

18 Elementy teorii liczb wykªad 3.2 Wniosek. Ka»da liczba caªkowita ró»na od zera, 1 i 1 jest iloczynem 1 oraz liczb pierwszych. Okazuje si,»e wspomniany rozkªad liczby naturalnej na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, o czym mówi podstawowe twierdzenie arytmetyki, które dokªadnie sformuªujemy i udowodnimy w dalszej cz ±ci wykªadu. Jak stwierdzi, czy liczba n jest pierwsza? Nie jest to ªatwe zadanie, zwªaszcza gdy mamy do czynienia z du»ymi liczbami. Metod, która tu si nasuwa jest dzielenie n przez kolejne liczby pierwsze w poszukiwaniu zerowej reszty. W tym celu musimy,,przesia liczby w poszukiwaniu kolejnych liczb pierwszych. Robimy to w nast puj cy sposób: Krok I. Tworzymy list pierwszych M liczb naturalnych pocz wszy od 2. Krok II. Pozostawiamy pierwsz niewykre±lon liczb k na li±cie i wykre±lamy z listy wszystkie wielokrotno±ci k. Krok III. Powtarzamy Krok II a» wszystkie liczby wi ksze od k b d wykre±lone. Opisany wy»ej algorytm nosi nazw Sita Eratostenesa. W wyniku dziaªania tego algorytmu otrzymujemy list kolejnych liczb pierwszych mniejszych od M. Wró my teraz do naszego pytaniazadania oraz do metody rozwi zania go. Jak du»e musi by M? Na pewno wystarczy M = n. Wówczas po zastosowaniu Sita Eratostenesa stwierdzimy, czy n jest liczb pierwsz, czy zªo»on, a dzielenie przez wyszukane liczby pierwsze mniejsze od n nie b dzie konieczne. Mo»na jednak szybciej stwierdzi, czy n jest pierwsza, bior c za M cz ± caªkowit (podªog ) z n. 3.3 Twierdzenie. Liczba n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest podzielna przez»adn liczb pierwsz p n. Dowód. oczywiste.. Je±li n = ab, gdzie a oraz b s liczbami dodatnimi mniejszymi od n i wi kszymi od 1, to jedna z nich musi by mniejsza lub równa n. Istotnie, gdyby a > n, b > n, to ab > n n = n, sk d sprzeczno±. Dla przykªadu sprawd¹my, czy 127 jest liczb pierwsz. Poniewa» mamy 127 = 11, wi c stosuj c Sito Eratostenesa wypisujemy liczby pierwsze

Elementy teorii liczb wykªad 19 mniejsze lub równe 11 (2, 3, 5, 7, 11) i dzielimy 127 przez ka»d z nich. 127 = 2 63 + 1 127 = 3 42 + 1 127 = 5 25 + 2 127 = 11 11 + 5. Poniewa» za ka»dym razem otrzymujemy niezerow reszt wi c 127 jest liczb pierwsz. 3.2 Ilo± i rozmieszczenie liczb pierwszych Wydaje si,»e inaczej by nie mo»e: liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele. Formalny dowód tego faktu poznamy za chwil. 3.4 Twierdzenie (Euklidesa). Istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych. Dowód (nie wprost). Przypu± my,»e na poni»szej li±cie znajduj si wszystkie liczby pierwsze p 1, p 2,..., p n (3.1) i rozwa»my liczb N = p 1 p 2... p n + 1. Zauwa»my,»e N nie jest podzielne przez»adn z liczb z listy 3.1. Poniewa» jednak na tej li±cie znajduj si wszystkie liczby pierwsze, wi c N nie jest iloczynem liczb pierwszych co jest sprzeczne z twierdzeniem 3.1. Problem rozmieszczenia liczb pierwszych nie zostaª jeszcze do ko«ca zbadany. Nie wiadomo na przykªad, czy par liczb pierwszych bli¹niaczych (tj. takich, które ró»ni si od siebie o 2) jest niesko«czenie wiele. Najwi ksze odkryte liczby pierwsze bli¹niacze, to 318032361 2 107001 ±1 Wiadomo,»e istniej przerwy dowolnej dªugo±ci w rozmieszczeniu liczb pierwszych. Istotnie, maj c dan liczb naturaln k zauwa»amy,»e kolejne liczby (k + 1)! + 2, (k + 1)! + 3,... (k + 1)! + (k + 1) s zªo»one. Zdeniujemy funkcj π : N N nadaj c jej w punkcie x warto±, która jest równa ilo±ci liczb pierwszych mniejszych lub równych x. Šatwo zauwa»y,»e jest to funkcja niemalej ca. Kilka pierwszych jej warto±ci zawartych jest w poni»szej tabeli.

20 Elementy teorii liczb wykªad x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 π(x) 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 x 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 π(x) 6 6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 Tak wi c od czasów staro»ytnych wiadomo,»e nie ma najwi kszej liczby pierwszej. Zrozumiaªe jest zatem wspóªzawodnictwo o to kto znajdzie liczb pierwsz wi ksz od dotychczas odkrytych. We wrze±niu 1985 roku rekord nale»aª do D. Slowinskiego, a jego liczba to 2 216091 1. Ma ona 65050 cyfr. Ostatni rekord to 2 13466917 1 ustanowiony w listopadzie 2001. Liczba ta ma ponad 4 miliony cyfr. Aby przechytrzy innych we wspóªzawodnictwie znajdywania najwi kszej liczby pierwszej, niektórzy podejmowali próby stworzenia formuªy, która,,produkowaªaby nowe liczby pierwsze ze znanych ju» liczb pierwszych. I tak, w 1640 roku Fermat zauwa»yª,»e liczby postaci 2 2n + 1 s pierwsze dla n {1, 2, 3, 4} i wyraziª przypuszczenie»e jest tak te» i dla n > 4. Obecnie liczby te nazywaj si liczbami Fermata i oznaczamy je przez F n. Ju» Euler pokazaª,»e F 5 = 4294967297 = 641 6700417. Obecnie wiadomo,»e dla 5 n 20 liczby Fermata F n s zªo»one. Jak jest dalej nie wiadomo. Liczby postaci 2 p 1, gdzie p jest liczb pierwsz nazywaj si liczbami Mersenne'a i oznaczamy je przez M p. W 1644 roku Mersenne pisaª,»e dla p {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257} liczby M p s pierwsze, a dla pozostaªych p < 257 zªo»one. Okazaªo si,»e nie jest to w peªni prawdziwe, poniewa» M 67 oraz M 257 s zªo»one, natomiast M 61, M 89 i M 107 s pierwsze. Dzisiaj znamy ju» 34 liczby pierwsze Mersenne'a. Zostaªa postawiona hipoteza,»e liczb tych jest niesko«czenie wiele. Siedemnastego stycznia 1968 roku liczba 2 11213 1 ukazaªa si na stemplu pocztowym w mie±cie Urbana (USA). Dziesi lat pó¹niej kolejna liczba pierwsza 2 21701 1 zostaªa odkryta przez dwoje uczniów z jednego z kalifornijskich liceów. Odpowiedni program potrzebowaª 440 godzin na realizacj.

Rozdziaª 4 Podstawowe twierdzenie arytmetyki Jak ju» pokazali±my (por. twierdzenie 3.1), ka»da liczba naturalna mo»e by przedstawiona w postaci iloczynu liczb pierwszych. Na przykªad, 21 = 3 7 60 = 2 2 3 5 144 = 2 4 3 2 Wydaje si,»e powy»sze rozkªady s jednoznaczne, tj. s to jedyne sposoby zapisu liczb 21, 60 i 144 w postaci iloczynu liczb pierwszych (zmianie mo»e ulec tylko porz dek tych liczb pierwszych). Je»eli kto± ma w tpliwo±ci co do tego, to zostan one szybko rozwiane po przeanalizowaniu dzielników powy»szych liczb. Czy jest tak dla ka»dej liczby naturalnej? Odpowied¹ na to pytanie stanowi podstaw arytmetyki i teorii liczb. 4.1 Jednoznaczno± rozkªadu na liczby pierwsze 4.1 Twierdzenie (Podstawowe twierdzenie arytmetyki). Ka»da liczba naturalna wi ksza od 1 mo»e by zapisana jednoznacznie w postaci iloczynu liczb pierwszych. Dowód (nie wprost). Wobec twierdzenia 3.1, wystarczy pokaza jednoznaczno±. Przypu± my wi c,»e istniej liczby naturalne, które mo»na zapisa na 21

22 Elementy teorii liczb wykªad dwa sposoby w postaci iloczynu liczb pierwszych. Niech n b dzie najmniejsz z tych liczb. Mamy n = p 1 p 2... p r = q 1 q 2... q s, gdzie p i oraz q j dla 1 i r, 1 j s s (niekoniecznie ró»nymi) liczbami pierwszymi. Zauwa»my,»e»adna z liczb p i nie mo»e si pojawi w±ród liczb q j i odwrotnie, bo w przeciwnym razie mogliby±my skróci oba iloczyny otrzymuj c niejednoznacznie rozªo»on liczb mniejsz od n. Zauwa»my te»,»e n nie mo»e by liczb pierwsz, gdy» liczby pierwsze nie maj dzielników pierwszych ró»nych od siebie samych. Mo»emy te» zaªo»y,»e liczby p i oraz q j dla 1 i r, 1 j s s zapisane w porz dku wzrastaj cym. Zauwa»my,»e n p 1 q 1 > 0. Istotnie, poniewa» p 1 oraz q 1 s najmniejsze, wi c p 1 n, q 1 n oraz przynajmniej jedna z tych nierówno±ci musi by ostra, bo p 1 q 1. Dalej, widzimy»e p 1 n p 1 q 1 oraz q 1 n p 1 q 1. Zapiszmy wi c n p 1 q 1 = p 1 m 1 dla pewnej liczby naturalnej m 1. Poniewa» q 1 p 1 m 1 oraz p 1 m 1 rozkªada si jednoznacznie (jest to liczba mniejsza od n), wi c q 1 m 1. Zatem istnieje m takie,»e p 1 q 1 m = n p 1 q 1 = p 1 (p 2 p 3... p r q 1 ). Ostatnia równo± implikuje p 2 p 3... p r = (1 + m)q 1, czyli q 1 p 2 p 3... p r. Ale q 1 nie znajduje si w iloczynie który dzieli. Z drugiej strony p 2 p 3... p r < n, wi c iloczyn ten ma jednoznaczny rozkªad i q 1 musi w nim by. Mamy wi c sprzeczno±. Grupuj c liczby pierwsze z rozkªadu n w pot gi otrzymujemy nast puj cy 4.2 Wniosek. Ka»da liczba caªkowita ró»na od zera daje si zapisa w postaci pot g 1 i ró»nych liczb pierwszych. 4.2 Konsekwencje Zasadnicze twierdzenie arytmetyki ma wiele konsekwencji, które dostrze»emy w dalszej cz ±ci wykªadu. Obecnie zajmiemy si podzielno±ci liczb. 4.3 Lemat. Przypu± my,»e a = ( 1) α 0 p α 1 1 p α 2 2... p αr r. Liczba caªkowita b 0 dzieli liczb a wtedy i tylko wtedy, gdy b = ±p β 1 1 p β 2 2... p βr r, gdzie 0 β i α i oraz 1 i r.

Elementy teorii liczb wykªad 23 Dowód. Dla uproszczenia zaªó»my,»e a > 0 oraz b > 0.. Niech p b dzie dowoln liczb pierwsz z rozkªadu liczby b. Skoro b a, wi c p a i liczba p musi wyst powa w rozkªadzie a. Zatem w rozkªadzie liczby b wyst puj tylko te liczby, które wyst puj w rozkªadzie liczby a. Poza tym β i α i (1 i r), bo w przeciwnym wypadku p β i i za tym idzie p β i i a i b a.. Zauwa»my,»e przy danych zaªo»eniach mamy p β i i 1 i r, wi c b a. p α i i p α i i, a co dla ka»dego Powy»szy lemat daje nam mo»liwo± do± szybkiego wypisania wszystkich dzielników liczby, której rozkªad znamy. Na przykªad, skoro 144 = 2 4 3 2, wi c (dodatnimi) dzielnikami 144 s 2 0 3 0, 2 1 3 0, 2 2 3 0, 2 3 3 0, 2 4 3 0, 2 0 3 1, 2 1 3 1, 2 2 3 1, 2 3 3 1, 2 4 3 1, 2 0 3 2, 2 1 3 2, 2 2 3 2, 2 3 3 2, 2 4 3 2. Okre±lmy przez ν(n) liczb dodatnich dzielników liczby n. Je»eli to n = ( 1) α 0 p α 1 1 p α 2 2... p αr r, ν(n) = (α 1 + 1)(α 2 + 1)... (α r + 1). (4.1) Wzoru 4.1 mo»emy te» u»y,,w drug stron, tj. odpowiedzie na pytania typu dla jakiej liczby n, ν(n) = 6? Poniewa» dodatnimi dzielnikami liczby 6 s 2 i 3, wi c r = 1 lub r = 2. W pierwszym przypadku α 1 = 5, wi c n = p 5. W drugim przypadku α 1 = 1, α 2 = 2. Zatem n = p 1 p 2 2. 4.4 Twierdzenie. Niech a, b Z. Wówczas je»eli p ab, to p a lub p b. Dowód. Z podstawowego twierdzenia arytmetyki wynika,»e liczba p wyst puje w rozkªadzie ab, zatem musi ona wyst pi w rozkªadzie liczby a lub w rozkªadzie liczby b. Podstawowego twierdzenia arytmetyki u»ywa si te» (cz sto nie±wiadomie) przy dowodzie niewymierno±ci liczby 2. przyjrzyjmy si temu dowodowi. Dowód. Przypu± my,»e 2 jest liczb wymiern. Istniej wi c liczby n oraz m takie,»e 2 = n m i uªamek ten jest nieskracalny. Ale wówczas 2m2 = n 2,

24 Elementy teorii liczb wykªad wi c 2 n 2. Z 4.4 wynika,»e 2 n, wi c 4 n 2. Ale to oznacza,»e w rozkªadzie m 2, a wi c i w rozkªadzie m wyst puje 2. Zatem uªamek n mo»na m skróci przez 2, sprzeczno±.

Rozdziaª 5 Najwi kszy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotno± Powy»sze terminy maj kluczowe znaczenie w dalszej cz ±ci wykªadu. Bezpo±rednio zwi zany jest z nimi algorytm Euklidesa, który b dziemy stosowa w arytmetyce modulo n, a tak»e przy rozwi zywaniu równa«w zbiorze liczb caªkowitych i w zbiorze wielomianów. 5.1 Najwi kszy wspólny dzielnik Najwi kszym wspólnym dzielnikiem (NWD) liczb a oraz b, które nie s jednocze±nie równe 0 nazywamy liczb d speªniaj c warunki NWD1 d a oraz d b; NWD2 je»eli c a oraz c b, to c d. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb a oraz b zapisujemy NWD(a, b). Zauwa»my,»e poniewa» ka»da liczba caªkowita ró»na od 0 dzieli 0, wi c warto± NWD(0, 0) nie jest zdeniowana. Natomiast, je±li a 0, to NWD(a, 0) = a. Dla liczb 6 i 35 mamy NWD(6, 35) = 1. Liczby 6 oraz 35 s wzgl dnie pierwsze. Dokªadnie, dwie liczby caªkowite nazywamy wzgl dnie pierwszymi lub kopierwszymi, je»eli ich najwi kszy wspólny dzielnik jest równy 1. Zauwa»my te»,»e poniewa» je±li d a, to d a, wi c najwi kszy wspólny dzielnik jest liczb dodatni. 25

26 Elementy teorii liczb wykªad 5.1 Lemat. Przypu± my,»e a, b Z nie s jednocze±nie równe 0. Zachodz nast puj ce wªasno±ci. (a) NWD(a, b) = NWD(b, a); (b) NWD(a, b) = NWD( a, b); (c) NWD(a, b) = NWD(a b, b); (d) je»eli NWD(a, b) = d, to NWD( a d, b d) = 1. Dowód. Wªasno±ci (a) oraz (b) wynikaj natychmiast z denicji. Aby udowodni wªasno± (c), zauwa»my»e je±li d = NWD(a, b), to d a b oraz d b, wi c na podstawie warunku NWD2, mamy d NWD(a b, b). Podobnie, je±li d = NWD(a b, b), to poniewa» a = a b + b, wi c d a oraz d b. Zatem d NWD(a, b). Ostatecznie mamy d NWD(a, b) = d NWD(a b, b) = d, czyli d = d. Aby pokaza wªasno± (d) b dziemy post powa nie wprost. Zaªó»my,»e NWD( a, b d d) = d > 1. Zatem d a i d d b. St d wynika istnienie takich liczb d k oraz l,»e d dk = a i d dl = b, czyli d d dzieli zarówno a jak i b. Tak wi c d d d, a co za tym idzie, d 1 sk d sprzeczno±. Wªasno± (c) powy»szego lematu stanowi podstaw algorytmu znajdywania NWD, który przedstawimy pó¹niej. Zauwa»my,»e wraz z wªasno±ciami (a), (b) wªasno± (c) daje nast puj cy wniosek. 5.2 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, x, y takich,»e ax+by 0 a 2 + b 2 mamy NWD(a, b) = NWD(a + by, b) = NWD(a, ax + b). Najwi kszy wspólny dzielnik dwóch liczb dzieli ka»d kombinacj liniow tych dwóch liczb. W szczególno±ci, je±li dla liczb a oraz b znajdziemy takie liczby caªkowite x i y,»e ax + by = 1, to NWD(a, b) = 1. Powy»szy wniosek zapiszmy w nieco innej formie, która b dzie nam potrzebna pó¹niej. 5.3 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, x, y, dla których speªnione jest a 2 + b 2 0, zachodzi relacja NWD(a, b) ax + by. 5.4 Przykªad. Dla dowolnej liczby naturalnej k, liczby 6k + 1 oraz 5k + 4 s wzgl dnie pierwsze. Istotnie, 5(6k + 5) 6(5k + 4) = 1.

Elementy teorii liczb wykªad 27 Okazuje si,»e mo»na osi gn wi cej ni» napisali±my powy»ej. Mianowicie NWD dwóch liczb te» mo»na zapisa w postaci kombinacji liniowej tych liczb. Fakt ten b dziemy u»ywa wielokrotnie w dalszej cz ±ci wykªadu. 5.5 Twierdzenie. Dla dowolnych dwóch liczb caªkowitych a, b Z, które nie s jednocze±nie równe zeru, istniej takie liczby caªkowite x oraz y,»e NWD(a, b) = ax + by Dowód. Mo»emy zaªo»y,»e zarówno a jak i b s dodatnie, gdy» pozostaªe przypadki s albo trywialne, albo sprowadzaj si do rozwa»anego. Rozwa»- my zbiór S = {am + bn : m, n Z}. Wobec naszego zaªo»enia, w S istniej liczby dodatnie. Niech d b dzie najmniejsz z nich. Istniej zatem liczby caªkowite x oraz y, takie»e d = ax+by. Poniewa» a = a 1 + b 0 > 0 oraz b = a 0 + b 1 > 0, wi c a, b S i d a oraz d b. Poka»emy,»e d speªnia warunek NWD1. W tym celu zapiszmy a = qd + r, gdzie 0 r < d. Wówczas mamy r = a qd = (1 qx)a qyb. Poniewa» r S oraz r < d, wi c r musi by równe 0, czyli d a. Podobnie pokazujemy,»e d b. Przypu± my teraz,»e c a oraz c b. Zatem c ax + by, czyli c d, a z lematu 1.5 wynika,»e c d. Zatem NWD2 jest speªniony i d = NWD(a, b). 5.6 Wniosek. Je±li d = NWD(a, b) oraz c a i c b, to c d. Dowód. Z twierdzenia 5.5 mamy istnienie liczb caªkowitych x, y, takich»e d = ax + by. Skoro c a oraz c b wi c z lematu 1.5 mamy c d. Niniejszy podrozdziaª zako«czymy uwag,»e wszystkie powy»sze rozwa-»ania s prawdziwe tak»e dla wielomianów. Nale»y jednak zastosowa pewn modykacj denicji. I tak, najwi kszym wspólnym dzielnikiem (NWD) wielomianów a(x) oraz b(x), które nie s jednocze±nie równe 0 nazywamy wielomian unormowany d(x) speªniaj cy poni»sze warunki: NWD1 d(x) a(x) oraz d(x) b(x); NWD2 je»eli c(x) a(x) oraz c(x) b(x), to stopie«wielomianu c(x) jest niewi kszy od stopnia wielomianu d(x).

28 Elementy teorii liczb wykªad 5.2 Najmniejsza wspólna wielokrotno± Najmniejsz wspóln wielokrotno±ci (NWW) liczb a oraz b, które s ró»ne od zera nazywamy dodatni liczb w speªniaj c poni»sze warunki: NWW1 a w oraz b w; NWW2 je»eli a c oraz b c, to w c. Zauwa»my,»e zaªo»enie w > 0 jest tu kluczowe, poniewa» gdyby±my dopu±cili liczby ujemne, to w±ród wspólnych wielokrotno±ci liczb a i b nie znale¹liby±my liczby najmniejszej. Poniewa» nie wolno dzieli przez 0, wi c nie deniujemy NWW liczb, z których cho jedna jest równa 0. Podobnie deniujemy NWW dwóch wielomianów, a mianowicie, najmniejsz wspóln wielokrotno±ci (NWW) wielomianów a(x) oraz b(x), które s ró»ne od zera nazywamy wielomian unormowany w(x) speªniaj cy poni»sze warunki: NWW1 a(x) w(x) oraz b(x) w(x); NWW2 je»eli a(x) c(x) oraz b(x) c(x), to stopie«wielomianu c(x) jest niemniejszy od stopnia wielomianu w(x). Podstawowe wªasno±ci NWW s zawarte w poni»szym lemacie, który jest te» prawdziwy dla wielomianów. 5.7 Lemat. Przypu± my,»e a, b Z s ró»ne od 0. Zachodz nast puj ce wªasno±ci. (a) NWW(a, b) = NWW(b, a); (b) NWW(a, b) = NWW( a, b); (c) NWW(a, b) ab ; (d) je»eli a b, to NWW(a, b) = b. Najmniejsza wspólna wielokrotno± nie ma tak du»ego znaczenia jak najwi kszy wspólny dzielnik. Zwykle wprowadza si NWW jako uzupeªnienie do NWD. Przytoczymy teraz kilka twierdze«, które ª cz te dwa poj cia, lub wykorzystuj NWW w dowodach wªasno±ci NWD.

Elementy teorii liczb wykªad 29 5.8 Twierdzenie. Przypu± my,»e a = p α 1 1 p α 2 2... p α k k oraz b = p β 1 1 p β 2 2... p β k k, gdzie a i 0, b i 0, 1 i k. Wówczas NWD(a, b) = p min(α 1,β 1 ) 1 p min(α 2,β 2 ) 2... p min(α k,β k ) k (5.1) NWW(a, b) = p max(α 1,β 1 ) 1 p max(α 2,β 2 ) 2... p max(α k,β k ) k (5.2) W powy»szym twierdzeniu,,wyrównali±my rozkªady liczb a i b, tj. liczby pierwsze, które wyst puj w rozkªadzie b, a nie wyst puj w rozkªadzie a zapisali±my w rozkªadzie a z wykªadnikami równymi 0 i vice versa. Dowód. Niech d b dzie liczb dan przez praw stron równania 5.1. Poniewa» min(α i, β i ) jest liczb mniejs» lub równ zarówno α i jak i β i (dla 1 i k), wi c d a i d b. Przypu± my wi c,»e c a oraz c b. Oznacza to,»e w rozkªadzie liczby c wyst puj liczby pierwsze p 1, p 2,..., p k z wykªadnikami mniejszymi lub równymi α i oraz β i. Zatem wykªadniki te s te» mniejsze lub równe min(α i, β i ), a to oznacza,»e c d, a w szczególno±ci c d. Wzór 5.2 dowodzimy podobnie. 3593700 15246 2 1796850 7623 2 898425 7623 3 299475 2541 3 99825 847 3 33275 847 5 6655 847 5 1331 847 7 1331 121 11 121 11 11 11 1 11 1 1 Rysunek 5.1: Obliczenia dla NWD i NWW Twierdzenie to daje nam algorytm na obliczanie NWD i NWW dwóch liczb a i b. Aby zastosowa ten algorytm, piszemy nasze liczby obok siebie i dzielimy je (bez reszty je±li jest to niewykonalne, to nie dzielimy) przez kolejne liczby pierwsze. Je±li p a i p b, to liczby p nie bierzemy pod uwag.

30 Elementy teorii liczb wykªad Je±li p b lub p a, to p jest czynnikiem wspólnej wielokrotno±ci liczb a i b. Je»eli p a i p b, to p jest czynnikiem NWD(a, b). W praktyce wygl da to jak na rysunku 5.1 (czynniki, które licz si tylko do NWD umie±cili±my w kwadracie). Mamy NWD(3593700, 15246) = 2 3 2 11 2 = 2178 NWW(3593700, 15246) = 2 2 3 3 5 2 7 11 3 = 25155900. Poniewa» min(α, β) + max(α, β) = α + β, wi c zachodzi nast puj cy 5.9 Wniosek. Dla dowolnych, ró»nych od zera liczb caªkowitych a, b zachodzi nast puj cy wzór NWD(a, b)nww(a, b) = ab. Nast pny wniosek jest uogólnieniem twierdzenia 4.4. 5.10 Wniosek. Je»eli a bc oraz NWD(a, c) = 1, to a b. Dowód. Poniewa» NWD(a, c) = 1, wi c istniej liczby caªkowite x, y, takie»e ax + cy = 1. St d mamy abx + bcy = b. Poniewa» a abx oraz a bcy (skoro a c), wi c a b.

Rozdziaª 6 Algorytm Euklidesa Przedstawiony w poprzednim rozdziale algorytm znajdywania NWD jest dosy kªopotliwy. W rezultacie sprowadza on si do znalezienia rozkªadu liczb na czynniki pierwsze, co przy du»ych liczbach staje si problemem bardzo trudnym. Okazuje si»e istnieje do± prosty algorytm, który dziaªa do± szybko oraz mo»na go zastosowa tak»e dla wielomianów. 6.1 Algorytm Euklidesa dla liczb i wielomianów W niniejszym podrozdziale nie b dziemy rozró»nia liczb caªkowitych i wielomianów o wspóªczynnikach w ciele K. Jedno i drugie b dziemy okre±la mianem element. Zdeniujemy te» wielko± N (a), która dla liczby oznacza a, a dla wielomianu stopie«a(x). Przypu± my,»e dany jest wielomian w(x) = w n x n + w n 1 x n 1 + + w 0, gdzie w n 0. Wielomianem unormowanym stowarzyszonym z wielomianem w(x) nazywamy wielomian wn 1 w(x). Je±li wielomian w(x) speªnia warunki NWD1 oraz NWD2 denicji NWD dla wielomianów a(x) i b(x), to piszemy w(x) NWD(a(x), b(x)) oraz mamy wn 1 w(x) = NWD(a(x), b(x)). Maj c dane dwa elementy a oraz b, takie»e N (a) > N (b), przyjmujemy r 1 = a, r 0 = b a nast pnie deniujemy rekurencyjnie liczby r 1, r 2,... jako kolejne reszty z dzielenia r k 1 przez r k. Mamy zatem r k 1 = q k+1 r k + r k+1. (6.1) Zauwa»my,»e dla pewnego n mamy r n = 0 poniewa» N ( ) przyjmuje tylko 31

32 Elementy teorii liczb wykªad warto±ci nieujemne oraz N (r k ) > N (r k+1 ). Poka»emy,»e ostatni niezerowy element ci gu {r k } to NWD(a, b). 6.1 Twierdzenie. Je»eli ci g {r k } jest zdeniowany przez 6.1 oraz zachodzi nierówno± N (r 1 ) > N (r 0 ), to r n 1 NWD(a, b) = NWD(r 1, r 0 ), przy czym liczba n jest najwcze±niejszym indeksem, dla którego r n = 0. Dowód. Zauwa»my,»e poniewa» r n = 0, to r n 1 r n oraz r n 1 r n 1. Z 6.1 wynika zatem,»e r n 1 dzieli ka»d z liczb r n 2, r n 3,..., r 1. W szczególno±ci r n 1 NWD(a, b). Teraz mamy,»e NWD(a, b) r 1 oraz NWD(a, b) r 0. Ponownie stosuj c wzór 6.1 dochodzimy do relacji NWD(a, b) r n 1. Zatem, ostatecznie NWD(a, b) jest równy r n 1. Powy»sze twierdzenie stanowi podstaw Algorytmu Euklidesa. Algorytm ten polega na sekwencyjnym obliczaniu reszt z dzielenia a» otrzymamy reszt zerow. Ostatnia niezerowa reszta to NWD w przypadku liczb. Kiedy mamy do czynienia z wielomianami, to ostatni niezerow reszt musimy jeszcze unormowa. 6.2 Przykªad. Obliczymy NWD(54, 21). W tym celu wykonujemy kolejne dzielenia z reszt : 54 = 2 21 + 12 21 = 1 12 + 9 12 = 1 9 + 3 9 = 3 3 + 0. (6.2) Ostatni niezerow reszt jest 3. Zatem NWD(54, 21) = 3. Dziaªanie algorytmu mo»na czasami przy±pieszy dopuszczaj c ujemne reszty, a mianowicie, 54 = 3 21 9 21 = 2 9 + 3 9 = 3 3 + 0. (6.3) Zauwa»my,»e w 6.3 wykonali±my trzy dzielenia, czyli o jedno dzielenie mniej ni» w 6.2.

Elementy teorii liczb wykªad 33 Problem czy stosowa ujemne reszty, czy nie znika w przypadku wielomianów (bo nie ma ujemnych wielomianów). Rozwa»ymy dwa przykªady NWD wielomianów jeden nad ciaªem R, a drugi nad Z 7. 6.3 Przykªad. Obliczymy NWD(3x 3 + 2x + 7, 4x 2 + 3x) (wielomiany rozwa-»amy nad R). Wykonujemy kolejne dzielenia z reszt : ( 3 3x 3 + 2x + 7 = 4 x 9 ) (4x 2 + 3x) + 59 16 16 x + 7 ( 64 4x 2 + 3x = 59 x 4336 ) ( ) 59 3481 16 x + 7 + 30352 3481 ( 59 205379 16 x + 7 = 485632 x + 24367 ) 30352 30352 3481 + 0. Po unormowaniu ostatniej niezerowej reszty otrzymujemy NWD( 3x 3 + 2x + 7, 4x 2 + 3x ) = 1. 6.4 Przykªad. Rozwa»my wielomiany o wspóªczynnikach w Z 7 i obliczmy NWD(2x 3 + 5x 2 + 4x + 1, 4x 2 + 6). Obliczamy kolejno: 2x 3 + 5x 2 + 4x + 1 = (4x + 3)(4x 2 + 6) + (x + 4) 4x 2 + 6 = (4x + 5)(x + 4) + 0. Mamy NWD(2x 3 + 5x 2 + 4x + 1, 4x 2 + 6) = x + 4. Jak wiadomo z twierdzenia 5.5, dla dowolnych dwóch elementów a, b istniej elementy X, Y, takie»e ax + by = NWD(a, b). Twierdzenie 5.5 nie daje jednak algorytmu na znalezienie elementów X oraz Y. Z drugiej strony, elementy te s bardzo przydatne, o czym przekonamy si pó¹niej. Na szcz ±cie, mo»na je znale¹ analizuj c dzielenia z algorytmu Euklidesa. Na przykªad, wracaj c do przykªadu 6.4, mamy x + 4 = (4x + 3)(4x 2 + 6) + 1 2x 3 + 5x 2 + 4x + 1 i naszymi elementami X oraz Y s, odpowiednio, (4x+3) oraz 1. Rozwa»my teraz przykªad 6.2. Mamy 9 = 3 21 + ( 1) 54 3 = 1 21 + ( 2) 9.

34 Elementy teorii liczb wykªad St d NWD(54, 21) = 3 = 1 21 + ( 2) 9 = 1 21 + ( 2) (3 21 + ( 1) 54) = ( 5) 21 + 2 54 i szukanymi elementami X, Y s 5 i 2. 6.2 Rozwi zywanie równa«rozwa»ania tego podrozdziaªu mo»na stosowa do wielomianów, jednak nie ma to zastosowania i jest do± skomplikowane w praktyce. Dlatego ograniczymy si tu tylko do liczb caªkowitych. Równaniem diofantycznym nazywamy ka»de równanie, którego rozwi - za«szukamy w zbiorze liczb caªkowitych. Teoria takich równa«jest oddzielnym, silnie rozbudowanym, dziaªem teorii liczb. Tutaj zajmiemy si tylko równaniami liniowymi jako przykªadem zastosowania algorytmu Euklidesa. Interesuj nas wi c równania postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, (6.4) gdzie b, a 1, a 2,... a n s liczbami caªkowitymi. Warunek konieczny i dostateczny istnienia rozwi zania jest prosty i zawiera si w nast pnym twierdzeniu. Zanim je jednak sformuªujemy i udowodnimy, zdeniujemy najwi kszy wspólny dzielnik wielu liczb, czyli liczb NWD(a 1, a 2,..., a n ) wzorem rekurencyjnym NWD(NWD(a 1, a 2,..., a n 1 ), a n ), tj. je±li znamy NWD n 1 liczb, to stosuj c powy»szy wzór, jeste±my w stanie obliczy NWD n liczb. 6.5 Twierdzenie. Je»eli a 1, a 2,... a n s liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera, d = NWD(a 1, a 2,..., a n ), to równanie 6.4 ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy d b. Dowód. Je±li 6.4 ma rozwi zanie, powiedzmy y 1, y 2,..., y n, to poniewa» d a i dla i {1, 2,..., n}, wi c otrzymujemy d a 1 y 1 + a 2 y 2 + + a n y n, czyli d b. Odwrotnie, je»eli d = NWD(a 1, a 2,..., a n ), to istniej takie liczby y 1, y 2,..., y n,»e d = a 1 y 1 + a 2 y 2 + + a n y n. Niech e = b/d. Wtedy ey 1, ey 2,..., ey n jest rozwi zaniem 6.4.

Elementy teorii liczb wykªad 35 Oddzieln spraw jest znalezienie rozwi zania. W przypadku równania z jedn niewiadom jest to trywialne. Zajmiemy si wi c równaniami z dwoma niewiadomymi, czyli równaniami postaci a 1 x + a 2 y = b. (6.5) W celu rozwi zania go u»yjemy technik algorytmu Euklidesa. Zaªó»my,»e a 1 a 2. Dzielimy (z reszt ) a 1 przez a 2 otrzymuj c a 1 = a 2 q 3 + a 3. Równanie 6.5 mo»emy zapisa jako Nast pnie podstawiamy (a 2 q 3 + a 3 )x + a 2 y = b. (6.6) x = y 3 q 3 x + y = x 3 i otrzymujemy 6.6 w postaci a 2 x 3 + a 3 y 3 = b. (6.7) Šatwo spostrzec,»e je±li 6.7 ma rozwi zanie to i 6.5 ma rozwi zanie. W ten sposób otrzymujemy równanie z mniejszymi wspóªczynnikami. Powtarzaj c wielokrotnie powy»sz czynno±, w ko«cu dochodzimy do sytuacji gdy dla pewnego s, wspóªczynnik a s = 0, czyli otrzymujemy równanie a s 1 x s = b. (6.8) W dalszym ci gu mamy,»e je»eli 6.8 ma rozwi zanie, to i 6.5 ma rozwi zanie. Zauwa»my,»e a s 1 jest ostatni niezerow reszt, gdy do liczb a 1 i a 2 jest zastosowany algorytm Euklidesa. Zatem, je±li 6.5 ma rozwi zanie, to, poniewa» a s 1 = NWD(a 1, a 2 ), mamy a s 1 b. St d znajdujemy x s. Nast pnie traktujemy x s 1 jako parametr i w zale»no±ci od niego obliczamy nasze niewiadome x oraz y. 6.6 Przykªad. Znajdziemy wszystkie rozwi zania w liczbach caªkowitych x i y równania 119x + 105y = 28. Otrzymujemy kolejno: 119 = 105 + 14 x + y = x 1, x = y 1 105x 1 + 14y 1 = 28 105 = 7 14 + 7 7x 1 + y 1 = x 2, x 1 = y 2 14x 2 + 7y 2 = 28 14 = 2 7 2x 2 + y 2 = x 3 7x 3 = 28.

36 Elementy teorii liczb wykªad St d mamy x 3 = 4. Podstawiaj c x 2 = t, gdzie t jest dowoln liczb caªkowit otrzymujemy nasze rozwi zanie po nast puj cym ci gu podstawie«. x 2 = t y 2 = 4 2t x 1 = 4 2t y 1 = 15t 28 x = 15t 28 y = 32 17t. Zajmiemy si teraz przypadkiem ogólnym, czyli równaniem 6.4 dla n > 2. Na pocz tek zapiszmy to równanie w postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n 1 x n 1 = b a n x n. (6.9) Poniewa» równania 6.4 oraz 6.9 s równowa»ne, to ostatnie musi mie rozwi zanie je±li pierwsze ma. St d wynika,»e je»eli δ = NWD(a 1, a 2,..., a n 1 ), to δ b a n x n. Istnieje wi c liczba caªkowita x n+1 taka,»e b a n x n = δx n+1, sk d a n x n + δx n+1 = b. (6.10) Je±li liczby caªkowite x n oraz x n+1 s rozwi zaniem równania 6.10, a liczby x 1, x 2,..., x n 1 s rozwi zaniem równania a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n 1 x n 1 = δx n+1, (6.11) to liczby x 1, x 2,..., x n s rozwi zaniem równania 6.4. W ten sposób znajdowanie wszystkich rozwi za«w liczbach caªkowitych równania 6.4 o n niewiadomych sprowadza si do rozwi zania równania 6.10 o dwóch niewiadomych i 6.11 o n 1 niewiadomych. 6.3 Diofantyczne równania liniowe z dwiema niewiadomymi Ograniczymy si teraz do równa«z dwiema niewiadomymi, przy czym wi kszy nacisk poªo»ymy na zastosowania. Na pocz tku podamy nast puj ce 6.7 Twierdzenie (Bramaghupty). Przypu± my,»e (x 0, y 0 ) jest rozwi zaniem równania ax + by = m. Wówczas wszystkie pozostaªe rozwi zania s dane nast puj co x = x 0 + b NWD(a, b) k, y = y 0 a k dla k Z. (6.12) NWD(a, b)

Elementy teorii liczb wykªad 37 Dowód. Zauwa»my najpierw,»e 6.12 jest istotnie rozwi zaniem ax + by = m. (6.13) Niech (x 1, y 1 ) b dzie dowolnym rozwi zaniem 6.13. Mamy zatem ax 0 + by 0 = m ax 1 + by 1 = m Odejmuj c stronami oba powy»sze równania otrzymujemy a po dalszym przeksztaªceniu, a(x 0 x 1 ) + b(y 0 y 1 ) = 0, a(x 0 x 1 ) = b(y 0 y 1 ). (6.14) Podzielmy obie strony 6.14 przez d = NWD(a, b). Otrzymamy a d (x 0 x 1 ) = b d (y 0 y 1 ). (6.15) Poniewa» na podstawie lematu 5.1(d) mamy NWD( a, b d d) = 1, wi c a d y 0 y 1 oraz b d x 0 x 1. St d, dla pewnego k Z, mamy y 0 y 1 = k a, czyli 6.15 mo»emy zapisa w d formie a d (x 0 x 1 ) = b d k a d. Skracaj c a, otrzymujemy x d 0 x 1 = k b. Zatem y d 1 = y 0 ak, x d 1 = x 0 + b k. d St d 6.12. 6.8 Przykªad. Rozwa»my równanie 3x + 2y = 5. Zauwa»amy,»e jego rozwi zaniem jest (1, 1). Poniewa» NWD(3, 2) = 1, wi c dowolne rozwi zanie naszego równania wyra»a si wzorem x = 1 + 2k, y = 1 3k, gdzie k jest dowoln liczb caªkowit. Zapytajmy teraz, dla jakich warto±ci k, nasze równanie ma rozwi zanie o obu wspóªrz dnych dodatnich. Musz wówczas zachodzi obie poni»sze nierówno±ci: 1 + 2k > 0 oraz 1 3k > 0. Zatem 1 2 < k < 1 3. Poniewa» k jest liczb caªkowit, wi c k = 0. Oznacza to,»e (1, 1) jest jedynym rozwi zaniem równania 3x + 2y = 5 o obu wspóªrz dnych dodatnich.