DRGANIA UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY

.. Cel ćwiczeia Ćwiczeie DRGANIA UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY Celem ćwiczeia jest obserwacja zjawiska drgań swobodych i wymuszoych liiowego układu mechaiczego o jedym stopiu swobody oraz doświadczale wyzaczeie częstości drgań własych układu, a także zazajomieie się z czujikami i przyrządami elektroiczymi stosowaymi w pomiarach wielkości dyamiczych... Wprowadzeie Drgaiami układu mechaiczego, iaczej drgaiami mechaiczymi, azywamy iewielkie ruchy wokół stateczego położeia rówowagi układu. Układ, w którym pojawia się siła zwrota proporcjoala do wychyleia będzie drgał, wykoując ruch harmoiczy. W szczególości każdy sprężysty układ podlegający prawu Hooke a (a przykład ciało zawieszoe a sprężyie, giętka belka, rozciągliwy drut) może wykoywać tego rodzaju prosty ruch. Umiejętość aalizy drgań rozmaitych układów ma ogrome zaczeie praktycze. Ćwiczeie to dotyczy badaia drgań prostego liiowego układu mechaiczego składającego się z ciała zawieszoego a sprężyie śrubowej walcowej, której masa jest mała w porówaiu do masy ciała. Badae będą zarówo drgaia swobode ciała, jak i jego drgaia wymuszoe zmieą siłą. Pomiary wielkości charakteryzujących drgaia dokoywae są a drodze elektryczej. Rezultaty pomiarów będą zbierae w specjalej tabeli. Otrzymae a ich podstawie wartości częstości drgań będą porówae z wyikami uzyskiwaymi z prostego modelu teoretyczego..3. Teoretyczy opis zjawiska.3.. Drgaia swobode układu Na rysuku. jest przedstawioy układ składający się z ciała o masie m zawieszoego a ieważkiej sprężyie o współczyiku sztywości c. Rozważae są jedyie przemieszczeia pioowe ciała co ozacza, że aalizoway układ ma tylko jede stopień swobody. Rys... Ciało zawieszoe a sprężyie Autor ćwiczeia K. Jauszkiewicz, rysuki B. Miaowski

Ćwiczeie r Jeśli przez x ozaczyć wychyleie ciała odmierzae od jego położeia rówowagi trwałej, rówaie ruchu będzie miało postać d x m cx dt =, (.) lub po przekształceiu d x + x =, (.) dt gdzie c =. (.3) m To proste liiowe jedorode rówaie różiczkowe ma dwa iezależe rozwiązaia typusi t i cos t, zatem jego rozwiązaie ogóle przyjmuje wygląd: x = C si t + C cost. (.4) Ia forma wyrażeia (.4) może być astępująca x = a si( t + ϕ ), (.5) przy czym między stałymi zachodzą poiższe związki: a = +, (.6) tg C C C C ϕ =. (.7) Mamy więc do czyieia z ruchem harmoiczym, którego częstość (kołowa) jest określoa wzorem (.3), a poieważ między częstością drgań a ich okresem istieje zależość = π, (.8) T to okres tych drgań jest day wzorem m T = π. (.9) c W przypadku liiowego układu mechaiczego częstość drgań (a zatem i okres drgań T) są określoe jedyie przez parametry strukturale układu (bezwładość oraz sztywość) i ie zależą od waruków początkowych. Współczyik a azywa się amplitudą drgań, atomiast argumet ( t + ϕ) fukcji sius ich fazą. Wartość początkowa fazy ϕ jak i amplituda a zależą od waruków rozpoczęcia ruchu, tj. początkowego wychyleia x x() i początkowej prędkości x & x( & ). Niezerowa wartość przyajmiej jedej z tych wielkości jest iezbęda aby mógł wystąpić omawiay tu rodzaj drgań. Dla zadaego wychyleia początkowego x i prędkości początkowej x& wychyleie ciała w czasie opisuje astępująca zależość: gdzie x& x = x + si t x& tgϕ =. x.3.. Drgaia wymuszoe, zjawisko rezoasu ( + ϕ ), (.) W przypadku gdy a układ działa cały czas jakieś zaburzeie w postaci zmieej siły, albo zadaego ruchu wybraego puktu układu (p. puktu zaczepieia sprężyy) mamy wówczas do czyieia z drgaiami wymuszoymi

Drgaia układu o jedym stopiu swobody układu. Drgaia układu odbywają się z częstością wzbudzeia, która może mieć dowolą wartość iezależą od częstości własej układu. Rozważamy drgaia układu z rys.. pod wpływem harmoiczej siły wymuszającej, o częstości ν oraz amplitudzie P o. Aalizoway obecie układ jest przedstawioy a rys... Rys... Układ o jedym stopiu swobody wzbudzay siłą harmoiczą Rówaie ruchu ciała o masie m przyjmuje astępującą postać d x m = cx + Po siνt, (.) dt bądź po przekształceiach d x + x = Po si νt. (.) dt m Jest to liiowe rówaie różiczkowe iejedorode, którego rozwiązaie jest sumą rozwiązaia ogólego rówaia jedorodego (reprezetującego drgaia swobode) i całki szczególej rówaia iejedorodego (opisującego ustaloe drgaia wymuszoe). Zakładając całkę szczególą w postaci x = Asiνt, (.3) gdzie A ozacza stałą podlegającą wyzaczeiu, rozwiązaie rówaia (.) przedstawia się astępująco ( t + ϕ ) Asiνt x = asi +. (.4) Podstawiając (.4) do rówaia różiczkowego otrzymuje się współczyik A A = m P o ( ν ), (.5) albo po wykorzystaiu (.3) Po A =, (.6) c mν Stałe a oraz ϕ zależą od waruków rozpoczęcia ruchu. Rozwiązaie (.4) przestaje być słusze dla wartości częstości siły wymuszającej, przy której miaowik we wzorze (.6) będzie rówy zeru. Wówczas rozwiązaie przyjmuje ią postać, wobec ieozaczoości stałej A. Sta taki azywa się rezoasem, amplituda drgań rośie w im liiowo z czasem (dopóki drgaia ie przestaą być "małe") i zachodzi o gdy częstości siły wymuszającej jest rówa częstości własej układu. Waruek zerowaia się miaowika jest bowiem idetyczy z zależością (.3) c ν r = =, m gdzie: - częstość drgań własych układu przedstawioego a rysuku., ν - częstość rezoasowa siły wymuszającej układu z rysuku.. r 3

Przyjmując, że amplituda siły wymuszającej Sν Ćwiczeie r P = - gdzie S współczyik zależy od parametrów kostrukcyjych wibratora - wówczas amplituda wychyleń ustaloych drgań wymuszoych (wartość bezwzględa stałej A) jest astępująca: ν S A = S = W, (.7) ( ν ) m m gdzie: W - współczyik zwielokrotieia amplitudy wychyleia ν W =. (.8) ν Na rysuku.3 jest przedstawioa zależość współczyika zwielokrotieia W od stosuku częstości siły wymuszającej do częstości własej układu, tj. ν. Widzimy, że współczyik zwielokrotieia jest ieskończeie duży kiedy częstość wymuszeia rówa się częstości własej układu. Rys.3. Wykres rezoasowy drgań wymuszaych bezwładościowo Ruch ciała jest w fazie z siłą wzbudzająca dla częstości ν iższych od. Po przekroczeiu częstości rezoasowej wychyleie ciała odbywa się przeciwie do zwrotu siły wymuszającej. W dotychczasowych rozważaiach zakładay był brak tłumieia drgań. W przypadku obecości choćby iewielkiego tłumieia (w praktyce zawsze ma miejsce dyssypacja eergii mechaiczej poprzez tarcie lub też ie opory) amplituda drgań swobodych z częstością zmiejsza się dość szybko z czasem i pozostają jedyie drgaia z częstością ν, tzw. ustaloe drgaia wymuszoe. Maksimum amplitudy tych drgań odpowiada częstości siły wymuszającej miimalie różiącej się od częstości drgań własych. Jeśli tylko tłumieie jest iewielkie w porówaiu do jego wartości krytyczej (która to reprezetuje graicę między występowaiem i ie występowaiem oscylacji) moża zaiedbać tłumieie w obliczeiach częstości własej. Poadto, w całym zakresie częstości siły wymuszającej wychyleie ciała spóźia się o pewie kąt fazowy wzglądem siły wymuszającej..4. Opis staowiska badawczego.4.. Baday obiekt Widok staowiska badawczego przedstawioo a rys..4. Staowisko składa się z ramy (), sprężyy (), zawieszoego a iej ciała (3) (wibratora bezwładościowego), dwóch prowadic (4) zapewiających pioowy ruch wibratora oraz bezdotykowy czujika przemieszczeń (5) rejestrującego drgaia ciała. 4

Drgaia układu o jedym stopiu swobody Rys..4. Staowisko badawcze Ciało (3) może być wprawioe w pioowy ruch drgający w dwojaki sposób: poprzez wychyleie ciała z położeia rówowagi statyczej i gwałtowe zwolieie, wskutek działaie a iego harmoicze zmieej pioowej siły wymuszającej (uzyskaej po włączeiu silika wibratora, którego widok pokazao a rys..5). Rys..5. Widok wibratora bezwładościowego Silik prądu stałego () o płyej regulacji obrotów apędza, poprzez przekładię pasową (), lekkie koło zębate (4) współpracujące z idetyczym kołem (5). Na obu kołach, mających po 35 zębów, są umocowae w idetyczy sposób (symetryczie względem środkowej płaszczyzy wibratora) jedakowe ciężarki (6) o masie m c = 9 gramów bardzo małej w porówaiu do masy m = 6 gramów całego wibratora. Udział masy m c w aalizie drgań układu pomijamy w tym sesie, że przypisuje się jej tylko zaczeie źródła siły odśrodkowej. Ciężarki i zaczep sprężyy śrubowej leżą w pioowej płaszczyźie wyzaczoej przez osie prowadic, w której zajduje się rówież środek ciężkości całego wibratora. Dzięki temu zasadiczym ruchem układu są jego przemieszczeia pioowe. 5

W wyiku przeciwbieżego ruchu kół powstają dwie idetycze siły odśrodkowe. Rys..6. Harmoicza siła o amplitudzie proporcjoalej do kwadratu częstości Ćwiczeie r Składowe poziome sił odśrodkowych wzajemie się zoszą. Suma składowych pioowych obydwu sił odśrodkowych opisaa jest astępującą zależością P = m rν si νt = P si ν, (.9) gdzie: ( ) P = m rν Sν - amplituda siły wymuszającej, o c = ( ) t mc - masa ciężarka umocowaego mimośrodowo a kole zębatym, r - odległość ciężarka od osi obrotu koła, ν - prędkość kątowa (ustaloa) koła zębatego. Siła wymuszająca ma zatem kieruek pioowy, a jej wartość jest harmoiczą fukcją czasu..4.. Przyrządy pomiarowe i sposób wykoywaia pomiarów c Pomiary wielkości charakterystyczych dla badaego zjawiska dokouje się z wykorzystaiem przyrządów elektryczych, takich jak czujiki obrotu i przemieszczeń, liczik uiwersaly KZ-5, częstościomierz oraz oscyloskop. Schemat ideowy liii pomiarowej jest przedstawioy a rys..7. Rys..7. Schemat blokowo-ideowy liii pomiarowej Okres drgań ciała jest mierzoa za pomocą liczika uiwersalego, który otrzymuje impulsy (sterujące jego bramką) z kowertora sygału bezdotykowego czujika przemieszczeń (pojemościowy czujik firmy DISA). Sy- o 6

Drgaia układu o jedym stopiu swobody gał z kowertora jest podaway także a wejście oscyloskopu. Umożliwia to obserwację a jego ekraie przebiegu czasowego wychyleń drgającego ciała. Częstość siły wymuszającej jest określaa a podstawie pomiaru szybkości obrotu kół zębatych (regulowaej płyie specjalym potecjometrem). Do pomiaru tej szybkości służy fotoelektryczego czujika obrotów (7) (zobacz rys..5) podający sygał a wejście częstościomierza bądź liczika uiwersalego. Liię optyczą czujika obrotów przegradza kolejo każdy ząb koła, zatem czujik wytwarza 35 impulsów a jede pełe obrót koła zębatego. Do ramki wibratora jest także przymocoway fotoelektryczy zaczik fazy (3), który podaje sygał a wejście oscyloskopu (powodujący wygaszeie plamki) w momecie, kiedy ciężarki (6) zajdują się w górym położeiu, co ozacza że siła wymuszająca P osiąga ajwiększą wartość i jest zwrócoa w górę. Dzięki temu możliwa jest obserwacja a ekraie fazowego przesuięcia przemieszczeia ciała i siły wymuszającej (lokalizując położeie przerwy a przebiegu czasowym)..5. Przebieg pomiarów Wyzaczeie częstości (okresu) drgań własych badaego układu jest dokoywae w pierwszej kolejości metodą impulsową, czyli przez wychyleie ciała z położeia rówowagi i agłe jego zwolieie, astępie zaś metodą rezoasową, tz. przez zalezieie takiej częstości siły wymuszającej, dla której wystąpi ajwiększa amplituda drgań. Dae pomiarowe ależy zapisywać w odpowiedich kolumach tabeli.. Uwaga: Podczas pomiarów uważać, aby ciało ie uderzyło w elektrodę czujika. Włączaia i przestrajaia oscyloskopu, kowertora i liczika moża dokoywać tylko w obecości osoby adzorującej ćwiczeie..5.. Pomiar okresu drgań metodą impulsową. Włączyć oscyloskop, liczik uiwersaly KZ-5, kowertor (górego czujika) i odczekać kilka miut (celem agrzaia się aparatury).. Nastawić liczik a pomiar automatyczy (pokrętło LEVEL w położeiu AUTO) jedego okresu (wciśięty przycisk PERIOD C oraz przycisk ) z włączoą pamięcią (przełączik a tylej ściaie obudowy). 3. Oscyloskop ależy ustawić a pracę jedokaałową - wybrać kaał drugi (suwak w położeiu C) z polaryzacją odwrócoą (przycisk CINV wciśięty) z automatyczie wyzwalaą podstawą czasu (suwak TRIGGER MODE w położeiu AUTO); przebieg plamki powiie zajdować się w połowie wysokości ekrau. 4. Naciskając dwoma palcami a górą pokrywę wibratora w okolicach zaczepu sprężyy wychylić ciało do dołu około cm (w żadym wypadku ie wolo uderzyć w elektrodę czujika drgań), zwolić acisk i obserwować: ruch ciała, przebieg czasowy a ekraie oscyloskopu, wyświetlacz liczika. Zapisać trzecie albo czwarte wskazaie liczika w drugiej kolumie tabeli.. Uwaga! Należy wybrać stosowe astawy dla odchylaia pioowego i podstawy czasu zapewiające dobrą widoczość kilku okresów a przebiegu. 5. Powtórzyć powyższy pomiar kilkakrotie. 6. Przestawić liczik a pomiar średiej z okresów (wciśięty przycisk P. A. C oraz przycisk ). Następie w podoby jak opisao poprzedio sposób dokoać kolejych pomiarów, zapisując ich wyiki w trzeciej kolumie tabeli.. Nie wyłączać przyrządów. 7

.5.. Pomiar częstości rezoasowej drgań Ćwiczeie r. Włączyć dodatkowo zasilacz reguloway silika oraz zasilacz czujików obrotu i fazy, jak rówież częstościomierz siły.. Oscyloskop przestawić a pracę z podstawą czasu wyzwalaą impulsem (suwak TRIGGER MODE w położeiu NORMA) pochodzącym z zewętrz - w tym przypadku ze zaczika fazy (suwak SOURCE w położeiu EXT). 3. Obracając powoli w prawo pokrętło potecjometru zasilacza silika wibratora zwiększać obroty kół celem zalezieia rezoasu. Należy jedocześie obserwować: ruch ciała, przebieg czasowy a ekraie oscyloskopu, wskazaia częstościomierza (i ewetualie liczika). O tym, że układ zajduje się w rezoasie świadczyć będą: położeie zaciemieia (przerwy) przebiegu czasowego w pobliżu jego poziomej osi symetrii, ajwiększa wysokość tego przebiegu, Wówczas ależy dokoać pomiaru częstości siły wymuszającej. Wskazaia częstościomierza siły zapisywać w czwartej kolumie tabeli.. Uwaga: Nie utrzymywać układu zbyt długo w rezoasie, aby ie uszkodzić sprężyy oraz czujika drgań. 4. Powtórzyć powyższy pomiar kilkakrotie. W tym celu ależy obrócić iezaczie (w prawo albo w lewo) pokrętło potecjometru zasilacza silika, (aby odstroić układ - wyjść z rezoasu) i astępie dostroić go poowie. 5. Zatrzymać silik (poprzez obrót w lewo pokrętła potecjometru), wyłączyć wszystkie przyrządy pomiarowe i zasilacze oraz uporządkować staowisko pomiarowe..6. Opracowaie wyików pomiarów i sprawozdaie.6.. Obliczeia pomocicze Po zakończeiu pomiarów ależy przystąpić do wykoywaia obliczeń iezbędych do wypełieia wszystkich rubryk tabeli. oraz określeia iepewości pomiarów. Potrzebe do obliczeń wartości masy m, stałej sprężyy c dostępe są w dokumetacji stoiska. Wszelkie wyiki obliczeń zaokrąglić biorąc pod uwagę iedoskoałość doświadczeia. Należy pamiętać, że ie ma potrzeby być bardzo dokładym, opisując własą iedokładość. W szczególości iepewości i różice procetowe obliczać z dokładością do jedej lub ajwyżej dwóch cyfr zaczących. Wyik końcowy wiie być tak zaokrągloy, aby rząd jego ostatiej cyfry zaczącej był taki sam, jak rząd iepewości. (Niepewość ie może być wyzaczoa z większą dokładością iż sama wielkość, której oa dotyczy)..6.. Niepewości pomiarów Należy określić iepewości przypadkowe stadardowe pomiaru okresu drgań oraz częstości własej. Do obliczeia iepewości stosuje się astępujące wzory. Niepewość pojedyczego pomiaru: ( Ti T ) i= u( T ) = gdzie wartość średia jest określoa zależością T = Niepewość wartości średiej T i i= albo albo u( T ) u( T ) = albo Niepewości częstości własej oblicza się ze wzoru: u ( f ) = f u ( f i = = ) (f i f u ) i = ( f f ), (.) i. (.) =. (.) 8

Drgaia układu o jedym stopiu swobody u( ) = π u( T ) albo u ( ) = π u ( f ), (.3) T gdzie wartość liczby π ależy przyjąć z dokładością o jede rząd większą iż iepewość okresu..6.3. Sprawozdaie Sprawozdaie, które musi być sporządzoe w sposób staray i bezwzględie oddae a zakończeie zajęć ma zawierać: a) temat i cel ćwiczeia, b) wypełioą tabelę., c) obliczeia iepewości pomiarów okresu i częstości, d) wyiki pomiaru okresu drgań zapisae w postaci : ( T ± u( ) ) [jedostka], T e) wyiki pomiaru częstości własej zapisae w postaci: ( ± u( ) ) [jedostka], f) obserwacje i wioski..7. Pytaia sprawdzające. Opisać prosty ruch harmoiczy: podać kilka przykładów, wyjaśić jego azwę.. Drgaia, fale objaśić te zjawiska; wymieić podstawowe wielkości je charakteryzujące. 3. Objaśić pojęcia: drgaia swobode, drgaia wymuszoe, drgaia tłumioe. 4. Podać praktycze powody, dla których waża jest zajomość częstości własych układu. 5. Ułożyć rówaie drgań wymuszoych oscylatora harmoiczego o jedym stopiu swobody. 6. Objaśić zjawisko rezoasu. 7. Narysować i opisać charakterystykę amplitudowo-czestościową (krzywą rezoasową) układu liiowego o jedym stopiu swobody wzbudzaego bezwładościowo. 9

Tabela.. Wyiki pomiarów i obliczeń Masa ciała m =... kg stała sprężyy c =... N/mm Pomiary: Numer pomiaru Metoda impulsowa Metoda rezoasowa Ćwiczeie r Pojedyczy Średia z Wskazaie Częstotliwość siły okres okresów częstościomierza wymuszającej i T i T i N i f ι = N i / 35 -- s s khz Hz 3... Obliczeia: Średia arytmetycza T [s] Niepewość średiej u(t) [s] (wzór.) Częstość własa doświadczala π = [rad/s] T 6 Niepewość średiej częstości u() [rad/s] (wzór.3) Częstość własa teoretycza [rad/s] (wzór.3) Względa różica częstości teoretyczej oraz doświadczalej = [%] tłumioe ietłumioe,97,5 h h krytycze Wpływ tłumieia wiskotyczego a częstość drgań swobodych Średia arytmetycza f [Hz] Niepewość średiej u(f) [Hz] (wzór.) Częstość własa doświadczala = π f [rad/s] Niepewość średiej częstości u() [rad/s] (wzór.3) Względa różica częstości teoretyczej oraz doświadczalej = [%] Wykres rezoasowy układu jedomasowego Przesuięcie fazowe względem siły (wymuszeie bezwładościowe): wymuszającej: - - - - - drgaia ietłumioe, drgaia z tłumieiem wiskotyczym