Dr inż. Kataryna AŁAS, Prof. dr hab. inż. Andrej UCHACZ, ntytut Automatyacji Proceów Technologicnych i Zintegrowanych Sytemów Wytwarania Politechnika Śląka w Gliwicach ul. Konarkiego 8A, -00 Gliwice, e-mail: kataryna.biala@poll.pl e-mail: andrej.buchac@poll.pl AKTYWA REDUKCJA DRGAŃ UKŁADÓW MECHATROCZYCH ACTVE REDUCTO OF VRATO OF MECHATROC SYSTEMS rol.nowak@pwr.wroc.pl Słowa klucowe: analia, yntea, redukcja drgań. Keyword: analyi, ynthei, reduction of vibration Strecenie W pracy apreentowano metody redukcji drgań układów mechanicnych pry użyciu elementów aktywnych, jak również prykłady realiacji aktywnej redukcji drgań. Predtawiono również ynteę trukturalno-parametrycna, która roumiana jet jako projektowanie aktywnych układów mechanicnych o żądanych wymaganiach. Wymagania te dotycą wartości cętości drgań tych układów. Predtawione w pracy roważania dotycą ilutrowania możliwych realiacji fiycnych elementów aktywnych pry użyciu elementów elektrycnych. W podukładach aktywnych można toować również elementy innych środowik. Aby badać ich kutecność należy dokonać analiy otrymanych układów ora prawdić jakie ą wajemne oddiaływania podukładów na układ podtawowy. Abtract n the work preented method of reduction of vibration of mechanical ytem uing active element, a well a example of the implementation of the active reduction of vibration. Alo preent a tructural-parametric ynthei, which i defined a the deign of active mechanical ytem with pecific requirement. Thee requirement apply to the value of the frequency of vibration of thee ytem. Preented at work conideration relate to illutrate the poible implementation of the phyical element of active uing electrical component. n the active ubytem can alo be ued element in other environment. To examine their effectivene hould be obtained analyi and check what are the interaction ubytem on the primary ytem.
. Wprowadenie Drgania można alicyć do jednych najcęściej wytępujących jawik w naym codiennym życiu. Zjawiko drgań roumiane jet jako ruch okreowy cątki lub układu. Ruch taki jet ruchem wywołanym cynnikami ewnętrnymi. Drgania wytępują wtedy, gdy układ lub jakaś jego cęść ulega premieceniu poycji równowagi. Układ wyprowadony poycji równowagi ma tendencje do powrotu do wojego pierwotnego tanu. Jednym podiałów drgań jet podiał e wględu na poób ich powtawania (wobodne, wymuone i amowbudne. Więkość drgań wytępujących w maynach i urądeniach jet drganiami kodliwymi, mającymi negatywny wpływ na ich tan. Skodliwe diałanie drgań powodowane jet wytępowaniem więkonych naprężeń ora tratą energii co ma wpływ na ybe użycie mayn. Drgania mają również negatywne oddiaływanie na organim ludki w cególności w prypadku drgań o charaktere nikocętotliwościowym. Dlatego wielu naukowców w różnych ośrodkach badawcych i naukowych prowadi badania nad mniejeniem lub całkowitą eliminacją drgań [5,8,0,,5,8]. Celem pracy jet opracowanie metody poukiwania truktury i parametrów, cyli yntey trukturalnej i parametrycnej modelu układu mechanicnego aktywną redukcją drgań. Celem takiego adania jet dokonanie yntey roumianej jako modyfikowanie - już na etapie projektowania - podepołów mayn e wględu na żądane widmo cętości drgań układu. W pracy atoowano metodę nieklaycną, cyli grafów biegunowych ora licb trukturalnych. Zatoowanie tej metody umożliwia preprowadenie analiy be ograniceń e wględu na rodaj i licbę elementów układu mechanicnego.. Metody redukcji drgań układów mechanicnych Znanych jet wiele metod redukcji drgań, można je podielić na: metody paywne, metody emi-aktywne ora metody aktywne. Paywna redukcja drgań polega na wprowadeniu dodatkowych elementów w potaci tłumików drgań. Tłumiki drgań ropraają lub magaynują energię. Parametry tłumików paywnych nie ulegają mianie w caie. W paywnej redukcji drgań wytępuje ilny wiąek pomiędy efektywnością a cętością drgań jak również wrażliwość na mianę parametrów. Metody emi-aktywne polegają na atoowaniu emi-aktywnych eliminatorów drgań. Łącą one e obą niektóre cechy wytępujące w elementach paywnych i aktywnych. udowa podukładu emi-aktywnego jet podobna jak w prypadku podukładu aktywnego. Różnica pomiędy podukładami aktywnymi a emi-aktywnymi polega na tym, że podukłady emi-aktywne mają małe apotrebowanie na energię. Od podukładów paywnych różnią ię natomiat tym iż ich parametry mogą ulegać mianie w caie. Zmiany te ą uależnione od aktualnego tanu układu podtawowego. Charakterytycną cechą aktywnej redukcji drgań jet koniecność wytępowania dodatkowych ewnętrnych źródeł energii. Energia dotarcana ewnątr preciwdiała niepożądanym drganiom. Podukłady aktywne mogą redukować drgania wybranych cęści mayn cy urądeń. Wartość ich parametrów jet mienna w caie i uależniona od bieżącego tanu układu. Podukłady aktywne mogą być budowane różnego typu elementów: mechanicnych, elektrycnych, pneumatycnych,
hydraulicnych. Stoowanie metod aktywnych i emi-aktywnych umożliwia wyeliminowanie ograniceń wytępujących w metodach paywnych [-5,,,5,8].. Syntea aktywnych układów mechanicnych Predtawiona w pracy yntea jet nieklaycną metodą projektowania dykretnych drgających układów mechanicnych. W wyniku yntey otrymuje ię trukturę ora parametry układu o żądanych włanościach [5,6,8]. Syntea może być również atoowana do modyfikowania układów już itniejących aby oiągnąć amierony reultat. Syntea kłada ię dwóch podtawowych etapów. W pierwym, gdy mamy do cynienia projektowaniem nowego układu, określamy wymagania dotycące cętości drgań włanych układu i otrymujemy trukturę i parametry układy budowanego jedynie elementów paywnych w potaci elementów inercyjnych i prężytych. W drugim etapie dobieramy redukcję drgań paywną lub aktywną do otrymanego układu lub do itniejącego już układu (ry.. Predtawiony poób projektowania aktywnych układów mechanicnych redukcją drgań, a pomocą grafów biegunowych i licb trukturalnych, umożliwia pełną automatyację ora algorytmiację obliceń, podca wynacania charakterytyk dynamicnych układu, jak również - bepośrednie śledenie wprowadonych mian trukturalnych be wględu na łożoność danego układu. Aby otrymać trukturę i parametry elementów inercyjnych i prężytych układu dynamicnego touje ię dwie podtawowe metody [8]: - rokład funkcji charakterytycnej na ułamek łańcuchowy (, - rokład funkcji charakterytycnej na ułamki prote (. Funkcjami charakterytycnymi mogą być funkcje w potaci ruchliwości ( lub powolności (: V U ( ( c c k k k k H l l dl dl l dl H k c d c l l k k k K c K d 0 K d0 K c ( ( gdie: k, l licby naturalne, c, d licby recywite, H dowolna dodatnia licba recywita. c V ( m c m K c n m n (
Syntea jedną wybranych metod Określenie diałających na układ wbudeń dynamicnych i kinematycnych Zbiór truktur układu awierający element lub elementy aktywne Wynacenie wartości amplitudy iły lub amplitud ił generowanych pre elementy aktywne Charakterytyka układu lub wymagania dotycące cętości drgań włanych Układ po identyfikacji Układ awierający elementy paywne Sprawdenie reultatów w diedinie cętotliwości Realiacja podukładu aktywnego popre użycie elementów mechanicnych Sprawdenie reultatów w diedinie cętotliwości Realiacja podukładu aktywnego popre użycie elementów elektrycnych Sprawdenie możliwości realiacji fiycnej jeżeli nie Analia wajemnych oddiaływań pomiędy układem podtawowym a podukładem jeżeli tak Odrucenie rowiąania Ry.. dea yntey aktywnych układów mechanicnych tłumieniem gdie: c elementy prężyte, m elementy inercyjne. c U ( m K ( ( c m c m W celu aprojektowania układu paywną redukcją drgań należy potępować godnie e chematem predtawionym na ryunku. Po preprowadeniu yntey w potaci rokładu na ułamek łańcuchowy lub ułamki prote należy określić rodaj ora wartość wbudeń ewnętrnych diałających na układ. Kontruktor wybierając paywną redukcję drgań określa cy elementy paywne, w potaci tłumików wikotycnych, będą proporcjonalne do elementów inercyjnych (prykład takiego układu ilutruje ry. cy do elementów prężytych (ry.. ależy również prawdić efektywność atoowania elementów paywnych popre preprowadenie analiy otrymanego układu [5,] nną możliwością jet atoowanie elementów aktywnych do redukcji drgań. Syntea układów aktywną redukcją drgań jet predtawiona na ryunku. Pierwy n n
etap jet analogicny jak w prypadku atoowania elementów paywnych. W drugim etapie dobiera ię trukturę elementami aktywnymi ora ich parametry. Układ elementami aktywnymi predtawiono na ryunku. Podukłady aktywne lokaliowane ą pomiędy elementami inercyjnymi co umożliwia redukcję góry określonych pre kontruktora cęści układu. c F c b F b m m c b F m c b F m b n c n m n F n Ry.. Model dykretnego układu mechanicnego elementami paywnymi proporcjonalnymi do elementów inercyjnych c n b n m n F n Ry.. Model dykretnego układu mechanicnego elementami paywnymi proporcjonalnymi do elementów prężytych c G F m c G F m c n G n F n m n. adany układ Ry.. Model dykretnego układu mechanicnego elementami aktywnymi W niniejej pracy ogranicono ię do omówienia aktywnej redukcji drgań na prykładie układu o trech topniach wobody o trukture kakadowej. Aby otrymać układ pełniające wymogi dotycące cętości drgań należy wartości określić tych cętości (5 a natępnie utworyć funkcję charakterytycną (6 i dokonać rokładu tej funkcji na ułamek łańcuchowy (7. rad ω 0, rad ω 0, 0 rad ω 0, rad, ω 0 rad ω5 50 cętości reonanowe, rad ω 0 cętości antyreonanowe. (5
( ω ( ω ( ω5 U (. ( ω ( ω (6 W wyniku rokładu funkcji w potaci powolności na ułamek łańcuchowy otrymuje ię trukturę ora wartości układu elementami inercyjnymi i prężytymi. c 75 U ( m c 5 m,7 c m 88,6,6 c 68,05 a podtawie rokładu funkcji możliwe jet otrymanie grafu biegunowego ora układu mechanicnego. (ry.5,6. x x c c x (7 c m p m p m p c x0 Ry. 5. Graf biegunowy Symbole na ryunku 5 onacają: elementy inercyjne m p m [ kg], m p m, 67 [ kg], m p m, 59 [ kg], element prężyte c c 75, c c 5, m m c c 88, 6, m c c 68, 05 m. c c c c m m m Ry. 6. Model układu otrymanego w wyniku yntey Potępując godnie diagramem predtawionym na ry. należy określić wbudenia diałające na układ. W ropatrywanym prypadku na układ diała iła F(t pryłożona do element inercyjnego (ry.7. Graf biegunowy układu predtawiono na ry.8.
F( t c c c c m m m Ry. 7. Model układu (ry. 6 wbudeniem dynamicnym x x [5] [6] x [] [] [] [] [7] [8] x0 Ry. 8. Graf biegunowy układu ry. 7 Krawędi grafu biegunowego (ry. 8 otały ponumerowane w natępujący poób: [ ] [ ] c, m p, [ 5] c, [ ] m p, elementy inercyjne elementy prężyte [ 6] c, [ ] m p, [ 7] c, 8 F( t F( t 0 inωt wbudenie dynamicne [ ] [ ] W celu określenia amplitudy drgań układu (ry.7, można atoować algebrę licb trukturalnych i jej wiąek grafami biegunowymi [,]. W ropatrywanym prypadku amplitudy prybierać natępujące formy (8-0: ( ω [ ] D( ω ( ω [ 8] [ ] D D Sim A 6 m m m ω ω ( m m c m m c m m c m m c m m c m m c c c F (8 ( ω m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c cc c cc c cc c ccc
A D Sim ( ω [ ] D( ω ( ω [ 8] [ ] D 6 m m m ω ω (-m cω c c c c ( m m c m m c m m c m m c m m c m m c F (9 ( ω m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c cc c cc c cc c ccc A D D ( ω [ ] [ 8 ] ( ω m m m ( mm ω ω ( mc mc mc mc cc cc cc F 6 ω ω ( m m c m m c m m c m m c m m c m m c (0 ( ω m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c m c c cc c cc c cc c ccc Symbole wytępujące w równaniach 8-0 onacają: D(ɷ równanie charakterytycne, D( ω - pochodna licby trukturalnej wględem krawędi a, a [ ] ( [ a] ( ω [ ] b D ω D Sim - funkcja jednoceności krawędi a i b. Potać graficną amplitud analiowanego układu (ry.7 predtawiono na ry.9- Ry. 9. Wykre amplitudy A układu wbudeniem dynamicnym (ry. 7 Ry. 0. Wykre amplitudy A układu wbudeniem dynamicnym (ry. 7
Ry.. Wykre amplitudy A układu wbudeniem dynamicnym (ry. 7 W celu mniejenia drgań układu można atoować elementy aktywne. Układ aktywną redukcją drgań predtawiony jet na ry., a jego graf biegunowy na ry.. G G G F( t c c c c m m m Ry.. Układ o trech topniach wobody trema elementami aktywnymi G G x x [0] [] [5] [6] x [9] [] [] [] [] [7] [8] G x0 Ry.. Graf biegunowy układu ry. Krawędie grafu na ry. ą równoważne ry.8 poa krawędiami 9-, które onacają: [ 9] G element aktywny, [ 0] G element aktywny, G element aktywny. [ ] Aby wynacyć wartości ił generowanych pre elementy aktywne G, G i G, należy rowiąać układ równań (, który pryjmuje natępującą potać:
Sim Sim D( ω ( [ ][ ] D( ω D( ω ([ ][ ] ( [ ][ ] D( ω D( ω ([ ][ ] ( [ ][ ] Sim Sim D( ω ([ ][ ] D( ω ( [ ][ ] D( ω ([ ][ ] D( ω ([ ][ ] D( ω ([ ][ ] Sim Sim D( ω ([ ][ ] D( ω ([ ][ ] D( ω ( [ ][ ] D( ω ([ ][ ] D( ω ([ ][ ] A 0 G A 0 G A F G ( gdie: D( ω D( ω D( ω mω c c, mω c c, mω c c ([ ][ ] ( [ ][ ] ( [ ][ ] D( ω D( ω D( ω D( ω Sim c, Sim c, ( [ ][ ] ( [ ][ ] ( [ ][ ] ( [ ][ ] D( ω D( ω 0. ( [ ][ ] ( [ ][ ] Sim Po rowiąaniu układu równań ( otrymuje ię wartości G, G i G. rad Pryω ω 0, wartości G, G i G ą natępujące: G 0,5in ωt [ ], G 0,50in ωt [ ], G 9,67inωt [ ]. rad Pry ω ω 0, wartości G, G i G ą natępujące: G,75 inωt [ ], G,5in ωt [ ], G,89in ωt [ ]. rad Pry ω ω 5 50, wartości G, G i G ą natępujące: G 6,975 inωt [ ], G,55in ωt [ ], G,in ωt [ ]. Po preprowadeniu yntey i określeniu wartości ił generowanych pre podukłady aktywne wybrano jako realiację fiycną tych podukładów elementy elektrycne w potaci cewki ruchomym rdeniem (ry.., c c m m m F E F E F E F( t c c U F E Ry.. Model układu elementami elektrycnymi
W celu określenia wartości iły elektrodynamicnej, należy korytać ależności predtawionej poniżej [,6-8]: gdie: F E iła elektrodynamicna, indukcja magnetycna, natężenie prądu, C długość prewodnika prądem. F E C ( Wartość iły elektrodynamicnej jet wprot proporcjonalna do natężenia prądu płynącego w prewodniku ora do długości odcinka prewodnika najdującego ię w danym polu magnetycnym. Wartości ił F E ą równoważne wceśniej określonymi wartościami ił G. W predtawionej ależność wytępuje element, który można mieniać w caie, cyli prąd prepływający pre prewodnik. Prykładowe wartości tych elementów ą predtawione w tablicy. wartość cętości ω ω ω ω ω ω 5 0 0 50 rad rad rad Tablica Wartości elementów elektrycnych długość indukcja natężenie prądu prewodnika magnetycna prądem 5,85 0, 86 C 0,,6 0, 576 C 0,,7, 5 C 0, 8,, 0 C 0,,0, 79 C 0, 5,0, 99 C 0,,, 5 C 0,,7, 88 C 0, 8,8, 7 C 0, W natępnym kroku preprowadono analię wpływu podukładu na układ podtawowy. Analia predtawiona jet w potaci wykreów na których porównano amplitudy i wychylenia układu be redukcji ora elementami elektrycny mniejającymi drgania (ry.5-.
Ry.5. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 0 rad/ Ry.6. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 0 rad/ Ry.7. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 0 rad/ Ry.8. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 0 rad/ Ry.9. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 0 rad/ Ry.0. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 0 rad/
Ry.. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 5 50 rad/ Ry.. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 5 50 rad/ Ry.. Wykre amplitudy A ora wychylenia Ae układu o trech topniach wobody elementami elektrycnymi (ry. pry ω ω 5 50 rad/ W wyniku preprowadonej analiy otrymano wykrey, na których widać że podytem aktywny nie wpływa na mianę układu podtawowego. Zmianie nie ulegają wartości cętości drgań włanych układu, które były wymaganiami jakie ma pełniać układ. nną możliwości, predtawionych w pracy, toowania elementów elektrycnych jet użycie elementów pieoelektrycnych [7,9,]. Podumowanie W pracy predtawiono nieklaycną metodę projektowania dykretnych drgających układów mechanicnych i mechatronicnych. Projektowanie to polega na preprowadeniu yntey trukturalno-parametrycnej. W wyniku yntey otrymuje ię układ o żądanych, określonych na wtępie, włanościach dotycących wartości cętości drgań włanych układu. Takie podejście umożliwia już na etapie projektowania modyfikowanie układów be wględu na licbę topni wobody ropatrywanych układów. Ważną kwetią roważaną w pracy było predtawienie możliwości fiycnej realiacji podukładów aktywnych ora analia wajemnych relacji pomiędy układem podtawowym a podukładem redukującym drgania. TERATURA. iala K. Electrical Element in Reduction of Mechanical Vibration. Applied Mechanic and Material 0 7: 657-66.
. iala K. Mechanical and electrical element in reduction of vibration. Journal of Vibroengineering 0 (: -8.. iala K. Mechanical Subytem a mplementation of Active Reduction of Vibration. Solid State Phenomena 0 98: 657-66.. iala K. Paive and Active Element in Reduction of Vibration of Torional Sytem. Solid State Phenomena 00 6: 60-6. 5. iała K., uchac A., Ditkowki T. Synthei of vibrating active mechanical ytem with dumping in view of polar graph and tructural number. Gliwice Monograph 0, Sileian Univerity of Technology Pre, 009 (in Polih. 6. uchac A. ntroduction to ynthei of the torional vibrating dicrete-continuou mechatronic ytem by mean of the hypergraph and tructural number method. Journal of Vibroengineering 0 (: 5-59. 7. uchac A., Płacek M.: Damping of Mechanical Vibration Uing Pieoelement, ncluding nfluence of Connection ayer Propertie on the Dynamic Characteritic. Solid State Phenomena 009 7-9: 869-875. 8. uchac A., Świder J. (red Computer upport CAD CAM, Support for contruction of ytem reducing vibration and machine noie, Waraw WT, 00 (in Polih. 9. uchac A., Wróbel A. Computer-Aided Analyi of Pieoelectric Plate. Solid State Phenomena 00 6: 9-. 0. Cmochowki J., Mocko P., Odyja P., Pietruiak D. Tet of rotary machine vibration in teady and unteady tate on the bai of large diameter centrifugal fan. Ekploatacja i ieawodnoc Maintenance and Reliability 0 6 (: 6.. Engel Z., Kowal J., Vibro-accoutic procee control, Kraków AGH Pre, 995 (in Polih.. Grokowki J., Manufacturing of electric vibration, Waraw PWT, 958 (in Polih.. Jamroiak K., Koobudki M. Determining the torional natural frequency of underframe of off-road vehicle with ue of the procedure of operational modal analyi. Journal of Vibroengineering 0 (: 7-76.. atalki J. Modelling of macro fiber compoite pieoelectric active element in AAQUS ytem. Ekploatacja i ieawodnoc Maintenance and Reliability 0 : 7 78. 5. Michałowki S., Active ytem in machine contruction, Cracow Publication by Cracow Univerity of Technology, Monograph 7, 99 (in Polih. 6. Onwubolu G. C., Mechatronic Principle and Application. Elevier utterworth- Heinemann 005. 7. Preumont A., Mechatronic Dynamic of Electromechanical and Pieoelectric Sytem. Publihed by Springer. The etherland 006. 8. Soong T.T., Darguh G.F., Paive energy diipation ytem in tructural engineering. Chicheter, USA, Wiley 999.