Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) < f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada większa wartość funkcji. Definicja 2 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) > f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada mniejsza wartość funkcji. Definicja 3 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy niemalejącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada nie mniejsza wartość funkcji. Definicja 4 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) f(x 2 ). Tzn. że większym argumentom odpowiada nie większa wartość funkcji. Definicja 5 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi f(x 1 ) = f(x 2 ). To znaczy że funkca f przyjmuje taką samą wartość na wszystkich elementach ze zbioru X. Jeśli funkcja jest w swojej dziedzinie rosnąca albo malejąca albo niemalejąca albo nierosnąca albo stała, to mówimy, że funkcja jest monotoniczna (w swojej dziedzinie). Definicja 6 Funkcję f : X R, X R nazywamy różnowartościową, jeśli x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). To znaczy, że różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji. Uwaga. Każda funkcja rosnąca albo malejąca jest różnowartościowa. Jak zbadać monotoniczność funkcji? Przez zbadanie znaku wyrażenia f(x 2 ) f(x 1 ), jeśli x 2 > x 1, x 2, x 1 X. Niech x 1, x 2 X, x 2 > x 1. Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) > 0, to funkcja f jest rosnąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) < 0, to funkcja f jest malejąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) 0, to funkcja f jest nierosnąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) 0, to funkcja f jest niemalejąca.
Jak zbadać czy funkcja jest różnowartościowa? Musimy sprawdzić, czy z równości f(x 1 ) = f(x 2 ), gdzie x 1, x 2 X R wynika równość x 1 = x 2, to znaczy, czy zachodzi implikacja: x 1, x 2 X (f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ). Przykład 1. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 3. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych R. Załóżmy, że x 1, x 2 są dowolnymi argumentami funkcji f tzn. x 1, x 2 R oraz, że x 2 > x 1. Aby zbadać monotoniczność funkcji f zbadamy, czy wyrażenie f(x 2 ) f(x 1 ) jest większe czy mniejsze od 0. Ze wzoru na różnicę sześcianów ( a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) ) mamy f(x 2 ) f(x 1 ) = x 3 2 x 3 1 = (x 2 x 1 )(x 2 2 + x 2 x 1 + x 2 1). ( ) Jak wynika z założenia o x 2 i x 1, pierwszy z czynników iloczynu ( ) jest liczbą dodatnią. Znak drugiego czynnika w ( ) nie jest oczywisty, bo iloczyn x 2 x 1 może być zarówno dodatni jak i ujemny (z uwagi na dowolność znaków x 2 i x 1 ). Zapiszemy zatem ten czynnik w innej postaci. Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy ((a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ) przedstawimy go jako sumę kwadratów: ( (x 2 2 + x 2 x 1 + x 2 1) = x 2 + 1 ) 2 2 x 3 1 + 4 x2 1. ( ) Widoczne jest już teraz, że wyrażenie ( ) jest nieujemne ( 0), przy czym ( x 2 + 1 ) 2 2 x 3 1 + 4 x2 1 = 0 ( x 2 + 1 ) 2 2 x 3 1 = 0 i 4 x2 1 = 0 x 2 = 1 2 x 1 i x 1 = 0. Zatem wyrażenie ( ) byłoby równe 0 tylko dla x 2 = 0 i x 1 = 0, ale to oznaczałoby, że x 2 = x 1, co jest sprzeczne z założeniem. Stąd wyrażenie( ) jest jest liczbą dodatnią ( 0). Wobec tego z ( ) i ( ) wynika, że x 3 2 x 3 1 > 0 x 2, x 1 R, x 2 > x 1, czyli, że funkcja f(x) = x 3 jest rosnąca w (całej) swojej dziedzinie. Przykład 2. Zbadaj czy funkcja f : R \ { 1} R, gdzie f(x) = x dziedzinie. 1+x jest malejąca w swojej Rozwiązanie. Załóżmy, że x 1, x 2 są dowolnymi argumentami funkcji f, tzn. x 1, x 2 R \ { 1} należącymi do zbioru A = ( 1; ) oraz że x 2 > x 1. To znaczy, że x 2 > x 1 > 1. Zbadajmy znak wyrażenia f(x 2 ) f(x 1 ) dla tak wybranych argumentów x 2, x 1. Mamy f(x 2 ) f(x 1 ) = x 2 1 + x 2 x 1 1 + x 1 = x 1 x 2 (1 + x 2 )(1 + x 1 ). ( ) Można łatwo sprawdzić, że ponieważ x 2, x 1 > 1 więc (1 + x 2 )(1 + x 1 ) > 0. Oczywiście licznik x 1 x 2 wyrażenia ( ) jest mniejszy od 0, co wynika z założenia x 2 > x 1. Zatem iloraz ( ) jest ujemny, czyli x 2 1 + x 2 x 1 1 + x 1 < 0 dla x 2 > x 1 > 1, a funkcja f(x) = x 1+x jest malejąca w zbiorze A = ( 1; ). x Podobnie dla 1 > x 2 > x 1 mamy 1 x 2 (1+x 2 )(1+x 1 ) < 0, zatem funkcja f jest też malejąca w zbiorze B = { ; 1}. Należy jeszcze sprawdzić czy f jest funkcją malejącą w (całej) swej dziedzinie, czyli na zbiorze
A B. Niech x 1 < 1 < x 2 wówczas w ( ) mamy (1 + x 2 )(1 + x 1 ) < 0 ale jednocześnie różnica x 1 x 2 < 0 stąd f(x 2 ) f(x 1 ) > 0! Stąd funkcja f nie jest malejąca w swojej dziedzinie, nie jest tam też rosnąca. Jest malejąca na podzbiorach A i B dziedziny. Przykład 3. Zbadaj czy funkcja f(x) = 1 x 2 jest różnowartościowościowa na zbiorach A = ( ; 0), B = R \ {0}. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R \ {0}. Załóżmy, że x 1, x 2 A = ( ; 0) oraz że f(x 1 ) = f(x 2 ), wówczas 1 x 2 1 = 1 x 2 2 x 2 1 = x 2 2 x 1 = x 2 (bo x 1, x 2 < 0) Zatem funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A. Sprawdzimy teraz, czy funkcja jest różnowartościowa na zbiorze R \ {0}. Jeśli weźmiemy np. x 1 = 3 i x 2 = 3, to f(x 2 ) = f(x 1 ) = 1 9. Zatem ta sama wartość funkcji odpowiada różnym argumentom z dziedziny, stąd funkcja nie jest różnowartościowa na zbiorze B i co za tym idzie nie jest różnowartościowa. Zadania 1. Które z funkcji o wykresach przedstawionych poniżej są monotoniczne? Określ rodzaj monotoniczności, a dla funkcji niemonotonicznych wskaż przedziały monotoniczności. a) b)
c) d) e)
f) g) h) 2. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 2. 3. Korzystając z definicji uzasadnij, że funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: a) f(x) = 4x x 2, [2; ); b) f(x) = 3 x, R; c) f(x) = 1 x + x 2, [1; ). 2 4. Zbadaj różnowartościowość funkcji g(x) = x 3 + 1.
5. Uzasadnij, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: a) f(x) = x 4, [0; ) b) f(x) = x x, [ 1 4 ; ). Odpowiedzi 1. a) - niemalejąca; b) - nie jest monotoniczna, malejąca dla x 4, rosnąca dla x 4, ; c) - monotoniczna, (rosnąca); d) - nie jest monotoniczna, rosnąca dla x 3 i dla x > 3; e) - monotoniczna (stała); f) - monotoniczna (malejąca); g) - nie jest monotoniczna, malejąca dla x 4, rosnąca dla 4 x 2, nierosnąca dla x 2; h) nie jest monotoniczna, malejąca dla x < 0 i dla x > 0. 2. Malejąca na zbiorze ( ; 0], rosnąca na zbiorze [0; ), nie jest monotoniczna. 3. a)- malejąca; b)- rosnąca; c)- rosnąca. 4. Funkcja jest różnowartościowa. Funkcja okresowa, parzysta, nieparzysta. Definicja 7 Funkcja f : X R, gdzie X R, jest okresowa, jeśli: ( ) T > 0, T R x X x + T X i f(x + T ) = f(x). Uwagi. 1) Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. 2) Jeśli istnieje najmniejszy okres funkcji, to nazywamy go okresem podstawowym. 3) Funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor (T, 0) nałoży się na siebie. Przykład 1. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = sin(3x) i naszkicuj jej wykres. Rozwiązanie. Okres podstawowy funkcji sinus wynosi 2π (patrz rozdział: Funkcje trygonometryczne), zatem sin(3x + 2π) = sin(3x). Naszym zadaniem jest ustalić czy istnieje takie T > 0, że sin(3(x + T )) = sin(3x), a jeśli istnieje, to wskazać jego najmniejszą możliwą wartość. Przekształcimy nieco wyrażenie sin(3x + 2π), mianowicie ( sin(3x) = sin(3x + 2π) = sin 3 ( x + 2 3 π)). Zatem 2 3π jest okresem funkcji f(x) = sin(3x). Jest to jednocześnie najmniejszy z możliwych okresów tej funkcji, bo 2π jest okresem podstawowym funkcji sinus. Wobec tego okres podstawowy funkcji f(x) = sin(3x) wynosi 2 3 π, zatem T = 2 3 π. Uwaga. Można oczywiście powyższe rozważania uogólnić na dowolną funkcję f(x) okresową o okresie podstawowym T. Wtedy funkcja f(ax), gdzie a > 0 jest też funkcją okresową o okresie podstawowym T 1 = T a. Przykład 2. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = 1 + x [x] i naszkicuj jej wykres, jeśli [x] oznacza część całkowitą z x. Rozwiązanie. Przez część całkowitą [x] liczby rzeczywistej x rozumiemy największą liczbę całkowitą k, która jest nie większa niż x. To znaczy, że x 1 < k x i k Z, Z - zbiór liczb całkowitych. Zauważmy, że jeśli liczbę rzeczywistą x powiększymy o całość tzn. dodamy do x liczbę całkowitą, to część całkowita wzrośnie też o tę całość, [x + l] = [x] + l, gdzie l Z. Zatem f(x + l) = 1 + x + l [x + l] = 1 + x + l ([x] + l) = 1 + x [x]. Widać stąd, że każda liczba całkowita dodatnia jest okresem funkcji f. Najmniejszy spośród tych okresów całkowitych
wynosi 1. Musimy odpowiedzieć sobie na pytanie, czy funkcja f nie ma innych okresów. Niech T będzie dowolnym (T R, T > 0) okresem funkcji f. Stąd f(x + T ) = f(x) 1 + x + T [x + T ] = 1 + x [x] [x + T ] [x] = T. Różnica, występująca z lewej strony ostatniej z ciągu powyższych równości, jest różnicą dwóch liczb całkowitych, a więc T jest liczbą całkowitą (suma, różnica, iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). Pokazaliśmy zatem, że jeśli T jest okresem funkcji f, to T Z. Wcześniej pokazaliśmy, że każda liczba całkowita dodatnia jest okresem funkcji f, zatem funkcja f nie ma innych okresów, jak wśród liczb całkowitych. Okresem podstawowym funkcji f jest wobec tego 1 ( T = 1). Zadania 1. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = 1 sin x, g(x) = sin x, h(k) = ( 1)k, gdzie k Z, Z - zbiór liczb całkowitych. 2. Czy suma dowolnych dwóch funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie jest funkcją okresową? 3. Czy kwadrat funkcji okresowej jest funkcją okresową? Czy funkcja i jej kwadrat muszą mieć taki sam okres podstawowy? Odpowiedzi 1. Okres funkcji f wynosi 2π, okres funkcji g wynosi π, okres funkcji h wynosi 2. 2. Nie. Na przykład f 1 (x) = sin 2 x, f 2 (x) = cos 2 x są funkcjami okresowymi (okres wynosi π), a funkcja f(x) = sin 2 x + cos 2 x nie ma okresu podstawowego (bo jest to funcja stała f(x) = 1). 3. Kwadrat funkcji okresowej jest funkcją okresową, bo każdy okres funkcji jest jednocześnie okresem (nie koniecznie podstawowym) jej kwadratu. Funkcja i jej kwadrat nie muszą mieć takiego samego okresu podstawowego (np. f(x) = cos x ma okres T = 2π, a f 2 (x) = cos 2 x ma T = π). Definicja 8 Funkcję f : X R, gdzie X R, nazywamy parzystą, jeśli ( ) x X x X i f( x) = f(x). Przykładem funkcji parzystej jest funkcja f(x) = x 2, bo f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x). Definicja 9 Funkcję f : X R, gdzie X R, nazywamy nieparzystą, jeśli ( ) x X x X i f( x) = f(x). Przykładem funkcji nieparzystej jest g(x) = x 3, bo f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x). Uwagi. 1)Dziedzina funkcji parzystej albo nieparzystej jest zbiorem symetrycznym względem punktu 0 na osi liczbowej. 2) Oś OY jest osią symetrii wykresu funkcji parzystej, początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji nieparzystej. 3) Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. f(x) = x + 1. 4) Łatwo zauważyć, że każdą funkcję można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i funkcji nieparzystej. Ponadto ten rozkład jest jednoznaczny. Mianowicie f(x) = f(x) + f( x) 2 + f(x) f( x). 2 Przykład 1. Uzasadnij, że funkcja f(x) = x 4 3x 2 + 1 jest parzysta.
Rozwiązanie. Oczywiście dziedziną funkcji f jest R, zatem jeśli x należy do dziedziny funkcji f, to x też do niej należy. Musimy teraz pokazać, że spełniony jest warunek f(x) = f( x) dla dowolnych argumentów x funkcji f. Wyznaczmy najpierw wartość f( x). Mamy f( x) = ( x) 4 3 ( x) 2 + 1 = x 4 3x 2 + 1 = f(x) dla x R, zatem funkcja f jest parzysta. Przykład 2. Zbadaj parzystość funkcji g(x) = 2 x 2 x i h(x) = (x 1) 2. Rozwiązanie. Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyznaczmy dla funkcji g(x) = 2 x 2 x najpierw g( x) a potem postaramy się zapisać to wyrażenie w takiej postaci, by ułatwić porównanie tej wielkości z g(x). Mamy zatem ( g( x) = 2 x 2 x = 2 x 2 x) = g(x) dla x R. stąd funkcja g jest nieparzysta. Podobnie postępujemy z funkcją h(x) = (x 1) 2. Mamy tu h( x) = ( x 1) 2 = (x + 1) 2. Porównajmy wyrażenie h( x) = (x + 1) 2 z h(x) = (x 1) 2 oraz z h(x) = (x 1) 2. Mamy oraz (x + 1) 2 = (x 1) 2 x 2 + 2x + 1 = x 2 2x + 1 x = 0. (1) (x + 1) 2 = (x 1) 2 x + 1 = x 1 = 0 sprzeczność. (2) Z (1) widać, że h( x) = h(x) tylko dla jednej wartości argumentu x, mianowicie dla x = 0, a nie dla wszystkich możliwych argumentów x funkcji h (x R), zatem funkcja h nie jest funkcją parzystą. Z (2) wynika, że dla żadnej wartości argumentu x R nie zachodzi równość h( x) = h(x), zatem funkcja h nie jest funkcją nieparzystą. Mamy tu przykład funkcji, która nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Zadania 1. Zbadaj, czy podana funkcja jest parzysta, czy nieparzysta, czy też nie jest ani parzysta ani nieparzysta: f(x) = x2 +2 x 5, g(x) = sin x, h(x) = x x + cos(x). 2. Pokaż, że iloczyn dwóch funkcji parzystych lub dwóch funkcji nieparzystych o wspólnej dziedzinie jest funkcją parzystą. 3. Pokaż, że iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej o wspólnej dziedzinie jest funkcją nieparzystą. 4. Pokaż, że funkcja g 1 (x) = f(x)+f( x) 2 z punktu 4) Uwagi po Def. 9, jest parzysta, a g 2 (x) = f(x) f( x) 2 nieparzysta, przy dowolnej funkcji f : R R. 5. Uzasadnij, że funkcja f(x) = x x jest nieparzysta. 6. Uzasadnij, że funkcja g(x) = sin x x jest parzysta. Odpowiedzi 1. Funkcja f jest nieparzysta, funkcja g jest parzysta, funkcja h nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Funkcja liniowa. Definicja 10 Funkcja liniowa, to funkcja f : R R, postaci f(x) = ax + b, gdzie a, b R. Uwagi. 1) Wykresem funkcji liniowej jest prosta. 2) Jeśli współczynnik a nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej jest dodatni tzn. a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca. 3) Jeśli współczynnik kierunkowy a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca. 4) Współczynnik kierunkowy a jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej będącej wykresem funkcji f do dodatniej części osi OX. 5) Dwie proste: l 1 : y = a 1 x + b 1 i l 2 : y = a 2 x + b 2 są równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe są równe, tzn. gdy a 1 = a 2. Przy czym jeśli dodatkowo b 1 = b 2, to proste te pokrywają się. 6) Dwie proste: l 1 : y = a 1 x + b 1 i l 2 : y = a 2 x + b 2, a 1, a 2 0 są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są odwrotnie proporcjonalne i przeciwnych znaków tzn. a 1 = 1 a 2. Przykład 1. Znajdź funkcję liniową f(x) = ax + b, jeśli wiadomo, że 1. f(0) = 2, a x = 3 jest miejscem zerowym tej funkcji. 2. a = 3, a f(2) = 5. Rozwiązanie. Aby znaleźć funkcję f, trzeba wyznaczyć wartości współczynników a oraz b. 1 Ponieważ f(0) = 2, więc 2 = a 0 + b. Funkcja f ma miejsce zerowe w punkcie x = 3, to znaczy, że f( 3) = 0, czyli 0 = 3a + b. Aby wyznaczyć wartości a i b wystarczy rozwiązać układ dwóch równań { 0 = 3a + b. 2 = b Zatem a = 2 3 i b = 2, a poszukiwana funkcja liniowa ma równanie f(x) = 2 3 x + 2. 2 W drugim przykładzie znany jest już współczynnik kierukowy funkcji a = 3. Musimy zatem wyznaczyć b. Ponieważ f(2) = 5, więc 5 = 3 2 + b. Stąd b = 1, a poszukiwana funkcja ma postać f(x) = 3x 1. Przykład 2. O funkcji liniowej f wiemy, że f(2) = 13 i f(4) = 23. Znajdź f(10) f(2). Rozwiązanie. Sposób 1. Można wyznaczyć wartości współczynników a i b funkcji f z układu równań { 13 = 2a + b 23 = 4a + b. Następnie trzeba wyznaczyć wartości f(10) i f(2). Wyznaczymy niewiadomą b z pierwszego równania i podstawimy ją do równania drugiego. { b = 13 2a 23 = 4a + b { b = 13 2a 23 = 4a + 13 2a { b = 13 2a 10 = 2a { b = 3 a = 5. Funkcja f ma zatem postać f(x) = 5x + 3, stąd f(10) = 53 i f(2) = 13, więc f(10) f(2) = 53 13 = 40. Sposób 2. Nie musimy znać dokładnej postaci funkcji liniowej f, aby wyznaczyć wartość różnicy f(10) f(2). Ponieważ f jest funkcją liniową, to dla dowolnych x 1, x 2 iloraz f(x 2 ) f(x 1 ) przez
x 2 x 1 jest stały i nie zależy od doboru x 1 i x 2. Co więcej, iloraz ten jest równy współczynnikowi kierunkowemu a funkcji f. Mamy bowiem f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ) + b b = a(x 2 x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ), czyli f(x 2 ) f(x 1 ) = a x 1, x 2 R. (3) x 2 x 1 Uwaga. Równość ta wynika także z twierdzenia o tangensie kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Z warunków zadania wynika zatem, że współczynnik a = 5, bo a = f(4) f(2) 4 2 Zatem z (3) dla x 2 = 10 i x 1 = 2 mamy Zadania = 23 13 2 = 10 2 = 5. f(10) f(2) = a(10 2) = 5 8 = 40. 1. Dopasuj wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów: a) f(x) = 1 2 x + 2, g(x) = 2x 1, h(x) = 3 x 3, k(x) = 1 + x 3, l(x) = 2. b)
c) d) e) Odpowiedzi 1) f(x) e); g(x) a); h(x) c); k(x) d); l(x) b).
Zadania o nierównościach (dodatkowe) 1.* Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, to 3(xy + yz + xz) (x + y + z) 2. 2.* Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, x + y + z = 3, to 3.* Udowodnić, że jeśli x, y, z > 0, xyz = 1, to 3xyz xy + yz + xz x + y + z. x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz 2( x + y + z). Kiedy w powyższej nierówności zachodzi równość? 4.* Niech a 1,..., a n 0. Udowodnić, że 5.* Udowodnić, że jeśli x, y, z > 0, xyz = 1, to n (1 + a i ) (1 + n a 1... a n ) n. i=1 (x + 2y)(y + 2z)(z + 2x) 27. 6.* Niech a, b, c będą długościami boków pewnego trójkąta, h a, h b, h c długościami wysokości opuszczonych na odpowiedznie boki, r długością okręgu wpisanego w ten trójkąt, a p połową jego obwodu. Udowodnić, że h a ah b bh c c (3r) 2p. 7.* Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania udowodnić, że ( ) a + b + c a+b+c a a b b c c. 3 8.* Niech a i, b i > 0 (i = 1,..., n), n i=1 a i = n i=1 b i. Udowodnić, że n i 1 a 2 i a i + b i 1 2 n a i. i=1 9.* Udowodnić, że dla x 1,..., x n > 0 spełniona jest nierówność n x1... x n x 1 +... + x n n korzystając z wypukłości funkcji wykładniczej. 10.* Udowodnić, że dla a, b 0 spełniona jest nierówność a 4 + b 4 a6 b 2 + b6 a 2. 11.* Udowodnić, że dla a, b > 0 spełniona jest nierówność a + b a 2 b + b 2 a
12.* Udowodnić, że dla a, b, c [0, 1], a 2 + b 2 + c 2 = 2, spełniona jest nierówność a + b + c abc + 2. 13.* Udowodnić, że dla a, b, c 0 spełniona jest nierówność 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c). 14.* Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a + b + c a2 + b 2 2c + a2 + c 2 2b + b2 + b 2 2a a3 bc + b3 ac + c3 ab. 15.* Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a b + c + b a + c + c a + b 3 2. 16.* Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a 3 b + b 3 c + c 3 a abc(a + b + c). 17.* Udowodnić, że jeśli a, b > 0, a 2 + b 2 = 1, to a 3 + b 3 2ab. 18.* Przy oznaczeniach z zadania 6 udowodnić, że: 1 p a + 1 p b + 1 ( 1 p c 2 a + 1 b + 1 ). c 19.* (25 IMO) Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, x + y + z = 1, to 0 xy + yz + zx 2xyz 7 27. 20.* Udowodnić, że jeśli a > b > 0 i n N to a 2n+1 b + na n b n+2 > ab 2n+1 + na n+2 b n.
Przekształcanie wykresu funkcji. Przykład 1. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Narysuj wykres funkcji g będącej obrazem funkcji f a)wprzesunięciuowektor[2,0], b)wprzesunięciuowektor[0,1], c)wprzesunięciuowektor[2,1], d)wsymetriiwzględemosiox, e)wsymetriiwzględemosioy, f) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Jakim wzorem jest opisana funkcja g? Rozwiązanie. a) Przesuńmy najpierw wykres funkcji f o dany wektor. Mamynp.g(3)=f(1),g(5)=f(3).Funkcjęgopisujewzórg(x)=f(x 2). b)poprzesunięciuowektor[0,1]otrzymamyfunkcjęg(x)=f(x)+1.
c)poprzesunięciuowektor[2,1]otrzymamyfunkcjęg(x)=f(x 2)+1. d)obrazemfunkcjifwsymetriiwzględemosioxjestfunkcjag(x)= f(x). e)obrazemfunkcjifwsymetriiwzględemosioyjestfunkcjag(x)=f( x).
f) Obrazem funkcji f w symetrii względem początku układu współrzędnych jest funkcja g(x) = f( x)(symetria środkowa względem początku układu współrzędnych jest złożeniemdwóchsymetriiosiowychwzględemosioxioy). Ogólnie,jeślichcemyprzesunąćwykresfunkcjiy =f(x)owektor[a,b],topunktp o współrzędnych(x P,y P )należącydowykresufunkcjif zostanieprzesuniętydopunktup o współrzędnych(x P,y P ),gdziex P =x P+a,y P =y P+b.Mamyy P =f(x P ),czyliy P b=f(x P a).stądy P =f(x P a)+b,zatemkrzywagbędącaprzesunięciemwykresu funkcjifowektor[a,b]opisanajestrównaniemy=f(x a)+b.wpodobnysposóbmożna wyprowadzić równania krzywych będących obrazami danej funkcji w symetriach względem osi układy współrzędnych i punktu O. Przykład 2. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.
Narysuj wykres funkcji a)y=f(2x), b)y=f( 1 2 x), c)y=2f(x). Rozwiązanie. a) Łatwo zauważyć, że czynnik 2 przy x odpowiada za ściśnięcie wykresu. b)czynnik 1 2 przyxpowoduje rozciągnięcie wykresuwzdłużosiox. c) W tym przypadku przez 2 mnożymy wartości funkcji.
Przykład 3. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Narysujwykresfunkcjiy= f(x),y=f( x )orazy= f( x ). Rozwiązanie. Narysujmy najpierw wykres funkcji y = f(x). Tam, gdzie funkcja f przyjmowaławartościnieujemne,wykresfunkcjiy= f(x) pokrywasięzwykresemfunkcjif.dla tychx,dlaktórychf(x)<0mamy f(x) = f(x),czylimusimyzastąpićodpowiedniączęść wykresu jego obrazem w symetrii względem osi OX. Pozostałedwawykresysąnakolejnymrysunku.Wykresfunkcjif( x )dlax 0pokrywasię zwykresemf(x).dlax<0mamyf( x )=f( x),więctaczęśćwykresujestobrazemfunkcji fwsymetriiwzględemosioy.
Zadanie 1. Dana jest funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych Narysujwykresyfunkcjiy=2f(x),y=2f( x ),y=2f( x ) 3,y= 2f( x ) 3. Zadanie 2. Dana jest funkcja, której dziedziną jest przedział[ 5, 5]. Narysujwykresyfunkcjiy= f( 3x)+2,y=f( x +1) 1,y= f( x 3),y= 2f( x ) 3.